重庆市江津区2019-2020学年高考适应性测试卷数学试题(2)含解析

重庆市江津区2019-2020学年高考适应性测试卷数学试题（2）
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．盒中有6个小球，其中4个白球，2个黑球，从中任取()1,2i i =个球，在取出的球中，黑球放回，白球则涂黑后放回，此时盒中黑球的个数()1,2i X i =，则( )
A ．()()1233P X P X =>=，12EX EX >
B ．()()1233P X P X =<=，12EX EX >
C ．()()1233P X P X =>=，12EX EX <
D ．()()1233P X P X =<=，12EX EX < 【答案】C 【解析】 【分析】
根据古典概型概率计算公式，计算出概率并求得数学期望，由此判断出正确选项. 【详解】
13X =表示取出的为一个白球，所以()141162
33C P X C ===.12X =表示取出一个黑球，
()12116123C P X C ===，所以()1218
32333
E X =⨯+⨯=.
23X =表示取出两个球，其中一黑一白，()11
422268
315C C P X C ===，22X =表示取出两个球为黑球，
()22226115C P X C ==，24X =表示取出两个球为白球，()2
42266
415
C P X C ===，所以
()281610
3241515153
E X =⨯
+⨯+⨯=.所以()()1233P X P X =>=，12EX EX <. 故选：C 【点睛】
本小题主要考查离散型随机变量分布列和数学期望的计算，属于中档题. 2
．设10(){
2,0
x
x f x x -≥=<，则((2))f f -=（ ）
A ．1-
B ．
1
4
C ．
12
D ．
32
【答案】C 【解析】
试题分析：()2
122
4f --==
Q ，()(
)111211422f f f ⎛⎫
∴-===-= ⎪⎝⎭
．故C 正确．
考点：复合函数求值． 3．已知(),A A A
x y 是圆心为坐标原点O ，半径为1的圆上的任意一点，将射线OA 绕点O 逆时针旋转23
π
到OB 交圆于点(),B B B x y ，则2A
B y
y +的最大值为（ ）
A ．3
B ．2
C ．3
D ．5
【答案】C 【解析】 【分析】
设射线OA 与x 轴正向所成的角为α，由三角函数的定义得sin A y α=，2sin()3
B y πα=+
，2A B y y +=33sin cos 2αα+，利用辅助角公式计算即可.
【详解】
设射线OA 与x 轴正向所成的角为α，由已知，cos ,sin A A x y αα==，
22cos(),sin()33B B x y ππαα=+
=+，所以2A B y y +=2sin α+2sin()3
π
α+= 132sin sin cos 2ααα-+=33sin cos 3sin()326
π
ααα+=+≤，
当3
π
α=
时，取得等号.
故选：C. 【点睛】
本题考查正弦型函数的最值问题，涉及到三角函数的定义、辅助角公式等知识，是一道容易题. 4．已知集合{}|,A x x a a R =≤∈，{}
|216x
B x =<，若A B ，则实数a 的取值范围是（ ）
A ．∅
B ．R
C ．(],4-∞
D ．(),4-∞
【答案】D 【解析】 【分析】
先化简{}
{}|216|4x
B x x x =<=<，再根据{}|,A x x a a R =≤∈，且A B 求解.
【详解】
因为{}
{}|216|4x
B x x x =<=<，
又因为{}|,A x x a a R =≤∈，且A B ， 所以4a <.
【点睛】
本题主要考查集合的基本运算，还考查了运算求解的能力，属于基础题.
5．已知双曲线222:1(0)3
-=>y x C a a 的一个焦点与抛物线2
8x y =的焦点重合，则双曲线C 的离心率为
（ ） A ．2 B ．3
C ．3
D ．4
【答案】A 【解析】 【分析】
根据题意，由抛物线的方程可得其焦点坐标，由此可得双曲线的焦点坐标，由双曲线的几何性质可得
234a +=，解可得1a =，由离心率公式计算可得答案．
【详解】
根据题意，抛物线2
8x y =的焦点为(0,2)，
则双曲线22
213
y x a -=的焦点也为(0,2)，即2c =，
则有234a +=，解可得1a =， 双曲线的离心率2c
e a
==. 故选：A ． 【点睛】
本题主要考查双曲线、抛物线的标准方程，关键是求出抛物线焦点的坐标，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平．
6．如图是甲、乙两位同学在六次数学小测试（满分100分）中得分情况的茎叶图，则下列说法错误．．的是（ ）
A ．甲得分的平均数比乙大
B ．甲得分的极差比乙大
C ．甲得分的方差比乙小
D ．甲得分的中位数和乙相等
【答案】B 【解析】
由平均数、方差公式和极差、中位数概念，可得所求结论． 【详解】 对于甲，1798882829391
85.86x +++++=≈；
对于乙，2727481899699
85.26
x +++++=≈，
故A 正确；
甲的极差为937914-=，乙的极差为997227-=，故B 错误； 对于甲，方差2126S ≈.5，
对于乙，方差2
2
106.5S ≈，故C 正确； 甲得分的中位数为8288852+=，乙得分的中位数为8189
852
+=，故D 正确． 故选：B ． 【点睛】
本题考查茎叶图的应用，考查平均数和方差等概念，培养计算能力，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于基础题．
7．阿基米德（公元前287年—公元前212年），伟大的古希腊哲学家、数学家和物理学家，他死后的墓碑上刻着一个“圆柱容球”的立体几何图形，为纪念他发现“圆柱内切球的体积是圆柱体积的2
3
，且球的表面积也是圆柱表面积的2
3
”这一完美的结论.已知某圆柱的轴截面为正方形，其表面积为24π，则该圆柱的内切球体积为( ) A ．
43
π B ．16π
C ．163
π D ．
323
π 【答案】D 【解析】 【分析】
设圆柱的底面半径为r ,则其母线长为2l r =,由圆柱的表面积求出r ,代入圆柱的体积公式求出其体积,结合题中的结论即可求出该圆柱的内切球体积. 【详解】
设圆柱的底面半径为r ,则其母线长为2l r =, 因为圆柱的表面积公式为2
=22S r rl ππ+圆柱表， 所以222224r r r πππ+⨯=,解得2r =, 因为圆柱的体积公式为2=2V Sh r r π=⋅圆柱,
所以3
=22=16V ππ⨯⨯圆柱,
由题知,圆柱内切球的体积是圆柱体积的23
， 所以所求圆柱内切球的体积为
2232=16=333
V V ππ=⨯圆柱.
故选:D 【点睛】
本题考查圆柱的轴截面及表面积和体积公式;考查运算求解能力;熟练掌握圆柱的表面积和体积公式是求解本题的关键;属于中档题.
8．设m ，n 是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，下列命题中正确的是（ ） A ．若αβ⊥，m α⊂，n β⊂，则m n ⊥ B ．若//αβ，m α⊂，n β⊂，则//m n C ．若m n ⊥，m α⊂，n β⊂，则αβ⊥ D ．若m α⊥，//m n ，//n β，则αβ⊥ 【答案】D 【解析】
试题分析：m α⊥Q ，,n βαβ∴⊥P ,故选D.
考点：点线面的位置关系.
9．定义：{}()()N f x g x ⊗表示不等式()()f x g x <的解集中的整数解之和.若2()|log |f x x =，
2()(1)2g x a x =-+，{}()()6N f x g x ⊗=，则实数a 的取值范围是 A ．(,1]-∞- B ．2(log 32,0)-
C ．2(2log 6,0]-
D ．2log 32
(
,0]4
- 【答案】D 【解析】 【分析】 【详解】
由题意得，{}()()6N f x g x ⊗=表示不等式22|log |(1)2x a x <-+的解集中整数解之和为6.
当0a >时，数形结合（如图）得22|log |(1)2x a x <-+的解集中的整数解有无数多个，22|log |(1)2x a x <-+解集中的整数解之和一定大于6.
当0a =时，()2g x =，数形结合（如图），由()2f x <解得144x <<.在1
(,4)4
内有3个整数解，为1，2，3，满足{}()()6N f x g x ⊗=，所以0a =符合题意.
当0a <时，作出函数2()|log |f x x =和2()(1)2g x a x =-+的图象，如图所示.
若{}()()6N f x g x ⊗=，即22|log |(1)2x a x <-+的整数解只有1，2，3.
只需满足(3)(3)(4)(4)f g f g <⎧⎨≥⎩，即2log 342292
a a <+⎧⎨≥+⎩，解得
2log 3204a -<≤，所以2log 3204a -<<. 综上，当{}()()6N f x g x ⊗=时，实数a 的取值范围是2log 32
(
,0]4
-.故选D. 10．已知函数()2x
f x x a =+⋅，()ln 42x
g x x a -=-⋅，若存在实数0x ，使()()005f x g x -=成立，则正数a 的取值范围为（ ）
A ．(]01，
B ．(]04，
C ．[)1+∞，
D ．(]
0,ln2 【答案】A 【解析】 【分析】
根据实数0x 满足的等量关系，代入后将方程变形0
0002
42ln 5x x a a x x -⋅+⋅=+-，构造函数
()ln 5h x x x =+-，并由导函数求得()h x 的最大值；由基本不等式可求得00242x x a a -⋅+⋅的最小值，结
合存在性问题的求法，即可求得正数a 的取值范围. 【详解】
函数()2x
f x x a =+⋅，()ln 42x g
x x a -=-⋅，
由题意得()()0000002ln 425x x f x g x x a x a --=+⋅-+⋅=，
即0
000242ln 5x x a a x x -⋅+⋅=+-，
令()ln 5h
x x x =+-，
∴()111x h x x x
-'=
-=， ∴()h x 在()01，上单调递增，在()1+∞，
上单调递减， ∴()()14max h
x h ==，而0
00024222424x
x x x a a a a --⋅+⋅≥⋅⋅=，
当且仅当00242x x -=⋅，即当01x =时，等号成立， ∴44a ≤， ∴01a <≤. 故选：A. 【点睛】
本题考查了导数在求函数最值中的应用，由基本不等式求函数的最值，存在性成立问题的解法，属于中档题.
11．一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积为（ ）
A ．
3
63
π+ B ．836π
C 323163
π
D ．16833
π
+
【答案】B 【解析】 【分析】
还原几何体可知原几何体为半个圆柱和一个四棱锥组成的组合体，分别求解两个部分的体积，加和得到结
果. 【详解】
由三视图还原可知，原几何体下半部分为半个圆柱，上半部分为一个四棱锥
半个圆柱体积为：22111
23622V r h πππ=
=⨯⨯=
四棱锥体积为：211
4333
V Sh ==⨯⨯⨯=
原几何体体积为：126V V V π=+= 本题正确选项：B 【点睛】
本题考查三视图的还原、组合体体积的求解问题，关键在于能够准确还原几何体，从而分别求解各部分的体积.
12．设1F ，2F 分别是椭圆22
22:1(0)x y E a b a b
+=>>的左、右焦点，过2F 的直线交椭圆于A ，B 两点，
且120AF AF ⋅=u u u v u u u u v ，222AF F B =u u u u v u u u u v
，则椭圆E 的离心率为( )
A ．
23
B ．
34
C D ．
4
【答案】C 【解析】 【分析】
根据222AF F B =u u u u r u u u r
表示出线段长度，由勾股定理，解出每条线段的长度，再由勾股定理构造出,a c 关系，
求出离心率. 【详解】
222AF F B =u u u u r u u u u r Q
设2BF x =，则22AF x =
由椭圆的定义，可以得到1122,2AF a x BF a x =-=-
120AF AF ⋅=u u u r u u u u r
Q ,12AF AF ∴⊥
在1Rt AF B V 中，有()()()2
2
2
2232a x x a x -+=-，解得3
a x =
2124,33
a a AF AF ∴=
= 在12Rt AF F △中，有()2
2
242233a a c ⎛⎫⎛⎫+= ⎪ ⎪
⎝⎭⎝⎭
整理得225=9c a ，5
3
c e a ∴==
故选C 项. 【点睛】
本题考查几何法求椭圆离心率，是求椭圆离心率的一个常用方法，通过几何关系，构造出,a c 关系，得到离心率.属于中档题.
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13．如图，在矩形ABCD 中，24==AD AB ，E 是AD 的中点，将ABE △，CDE △分别沿BE CE ，折起，使得平面ABE ⊥平面BCE ，平面CDE ⊥平面BCE ，则所得几何体ABCDE 的外接球的体积为__________.
【答案】
32
3
π 【解析】 【分析】
根据题意，画出空间几何体，设BE EC BC ，，的中点分别为M N O ，，，并连接
AM CM AO DN NO DO OE ，，，，，，，利用面面垂直的性质及所给线段关系，可知几何体ABCDE 的
外接球的球心为O ，即可求得其外接球的体积. 【详解】
由题可得ABE △，CDE △，BEC △均为等腰直角三角形，如图所示，
设BE EC BC ，，的中点分别为M N O ，，， 连接AM CM AO DN NO DO OE ，，，，，，， 则OM BE ⊥，ON CE ⊥.
因为平面ABE ⊥平面BCE ，平面CDE ⊥平面BCE ， 所以OM ⊥平面ABE ，ON ⊥平面DEC ， 易得2OA OB OC OD OE =====，
则几何体ABCDE 的外接球的球心为O ，半径2R =， 所以几何体ABCDE 的外接球的体积为343233
V R ππ=
=. 故答案为：32
3
π. 【点睛】
本题考查了空间几何体的综合应用，折叠后空间几何体的线面位置关系应用，空间几何体外接球的性质及体积求法，属于中档题.
14．已知函数()()()()2cos 20f x x x ϕϕϕ=+-+≤<π是定义在R 上的奇函数，则8f π⎛⎫
- ⎪⎝⎭
的值为__________．
【答案】 【解析】 【分析】
先利用辅助角公式将()()()2cos 2f x x x ϕϕ=+-+转化成()2sin 26f x x πϕ⎛⎫
=+-
⎪⎝
⎭
,根据函数是定义在R 上的奇函数得出6π
=ϕ,从而得出函数解析式,最后求出8f π⎛⎫
- ⎪⎝⎭
即可. 【详解】
解: ()()()2cos 22sin 26f x x x x πϕϕϕ⎛⎫
=+-+=+- ⎪⎝
⎭
, 又因为()f x 定义在R 上的奇函数, 则()02sin 2006f πϕ⎛⎫
=⨯+-= ⎪⎝
⎭
, 则6
k π
ϕπ-
=,又因为()0ϕπ≤<, 所以6
π
=
ϕ,()()2sin 2f x x =,
所以2sin 288f ππ⎛⎫⎛⎫
-
=-⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
.
故答案为: 【点睛】
本题考查三角函数的化简,三角函数的奇偶性和三角函数求值,考查了基本知识的应用能力和计算能力,是基础题.
15．已知向量()1,1,2a b ==r r ，且向量a r 与b r
的夹角为()
3,4
a a
b π⋅+=r r r _______. 【答案】1 【解析】 【分析】
根据向量数量积的定义求解即可． 【详解】
解：∵向量()112a b ==r r ，，，且向量a
r 与b r 的夹角为34
π，
∴|a r
|==
所以：a r •（a b +r
r ）2a a b =+⋅=
r r r 2⨯cos
34
π
=2﹣2＝1， 故答案为：1． 【点睛】
本题主要考查平面向量的数量积的定义，属于基础题．
16．已知向量AB u u u r =（1，2），AC uuu r =（-3，1），则AB BC ⋅u u u r u u u r
=______． 【答案】-6 【解析】 【分析】
由BC AC AB =-u u u v u u u v u u u v 可求BC uuu v ，然后根据向量数量积的坐标表示可求AB u u u v •BC u u u v
. 【详解】
∵AB u u u v =（1，2），AC u u u v =（-3，1），∴BC AC AB =-u u u v u u u v u u u v
=（-4，-1）， 则AB u u u v
•BC u u u v
=1×（-4）+2×（-1）=-6 故答案为-6 【点睛】
本题主要考查了向量数量积的坐标表示，属于基础试题．
三、解答题：共70分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．已知函数()()2
14f x x a a R x =-+-
∈，ln ()x
g x x
=. （1）当a 为何值时，x 轴为曲线()y f x =的切线；
（2）用{}max ,m n 表示m 、n 中的最大值，设函数()()(){}()max ,0h x xf x xg x x =>，当0<<3a 时，
讨论()h x 零点的个数.
【答案】（1）3
4
a =；（2）见解析. 【解析】 【分析】
（1）设切点坐标为()0,0x ，然后根据()()000
f x f x ⎧=⎪⎨='⎪⎩可解得实数a 的值；
（2）令()()3
11
4
f x xf x x ax ==-+-
，()()()1ln 0g x xg x x x ==>，然后对实数a 进行分类讨论，结
合1f 和()11f 的符号来确定函数()y h x =的零点个数. 【详解】
（1）()2
14f x x a x =-+-
Q ，()21
24f x x x
'∴=-+， 设曲线()y f x =与x 轴相切于点()0,0x ，则()()0000f x f x ⎧=⎪⎨='⎪⎩
，
即2000201041204x a x x x ⎧-+-=⎪⎪
⎨⎪-+=⎪⎩
，解得01234x a ⎧=⎪⎪⎨
⎪=⎪⎩. 所以，当3
4
a =
时，x 轴为曲线()y f x =的切线； （2）令()()3
114
f x xf x x ax ==-+-，()()()1ln 0
g x xg x x x ==>，
则()()(){}
11max ,h x f x g x =，()2
13f x x a '=-+，由()10f x '=
，得x =
当x ⎛∈ ⎝
时，()10f x '>，此时，函数()1y f x =
为增函数；当x ⎫∈+∞⎪⎪⎭时，()10f x '<，此时，函数()1y f x =为减函数.
03a <<Q
，01∴<
<.
①当10f <，即当3
04a <<时，函数()y h x =有一个零点；
②当10f =，即当34a =时，函数()y h x =有两个零点；
③当()11010
f f ⎧>⎪⎨⎪
<⎩，即当3544a <<时，函数()y h x =有三个零点；
④当()11010f f ⎧>⎪⎨⎪
=⎩，即当54a =时，函数()y h x =有两个零点；
⑤当()11010
f f ⎧>⎪⎨⎪
>⎩，即当534a <<时，函数()y h x =只有一个零点. 综上所述，当304a <<或5
34
a <<时，函数()y h x =只有一个零点； 当3
4a =或54
a =时，函数()y h x =有两个零点； 当
35
44
a <<时，函数()y h x =有三个零点. 【点睛】
本题考查了利用导数的几何意义研究切线方程和利用导数研究函数的单调性与极值，关键是分类讨论思想的应用，属难题．
18．在直角坐标系l 中，已知直线l
的直角坐标方程为3y x =，曲线1C 的参数方程为cos 1sin x y θθ=⎧⎨
=+⎩
（θ为参数），以直角坐标系原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为
4sin()3
π
ρθ=+.
（1）求曲线1C 和直线l 的极坐标方程；
（2）已知直线l 与曲线1C 、2C 相交于异于极点的点,A B ，若,A B 的极径分别为12ρρ，，求12ρρ-的
值.
【答案】（1）2sin ρθ=，)6
R π
θρ=∈（.（2）
123ρρ-=
【解析】 【分析】
（1）先将曲线1C 的参数方程化为直角坐标方程，即可代入公式化为极坐标；根据直线的直角坐标方程，求得倾斜角，即可得极坐标方程.
（2）将直线l 的极坐标方程代入曲线1C 、2C 可得12,ρρ，进而代入可得12
ρρ-的值.
【详解】
（1）曲线1C 的参数方程为cos 1sin x y θθ=⎧⎨=+⎩
（θ为参数），
消去θ得22
20x y y +-=，
把2
2
2
x y ρ+=，sin y ρθ=代入得2
2sin 0ρθ-=，
从而得1C 的极坐标方程为2sin ρθ=，
∵直线l 的直角坐标方程为3
y x =
，其倾斜角为6π，
∴直线l 的极坐标方程为)6
R π
θρ=∈（.
（2）将6
π
θ=
代入曲线12C C ，的极坐标方程分别得到
12sin
1,6
π
ρ==24sin()463ππ
ρ=+=，
则
123ρρ-=.
【点睛】
本题考查了参数方程化为普通方程的方法，直角坐标方程化为极坐标方程的方法，极坐标的几何意义，属于中档题.
19．已知,,a b c R +∈，x R ∀∈，不等式|1||2|x x a b c ---≤++恒成立. （1）求证:2
2
2
13
a b c ++≥
（2）求证【答案】（1）证明见解析（2）证明见解析 【解析】 【分析】
（1）先根据绝对值不等式求得|1||2|x x ---的最大值，从而得到1a b c ++≥，再利用基本不等式进行证明；
（2）利用基本不等式2
2
2a b ab +≥变形得222
()2
a b a b ++≥，两边开平方得到新的不等式，利用同理可
得另外两个不等式，再进行不等式相加，即可得答案. 【详解】
（1）∵|1||2||12|1x x x x ---≤--+=，∴1a b c ++≥. ∵222a b ab +≥，222b c bc +≥，222c a ac +≥， ∴222222222a b c ab bc ac ≥++++，
∴2222222333222()1a b c a b c ab bc ac a b c ++≥+++++=++≥， ∴2
2
2
13
a b c ++≥
. （2）∵222a b ab +≥，(
)22
2
2222()a b
a
ab b a b +≥++=+，
即22
2
()2a b a b ++≥
||)22
a b a b ≥+=+.
()2
b c ≥
+
()2c a ≥+.
)a b c +≥++≥【点睛】
本题考查绝对值不等式、应用基本不等式证明不等式，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑
推理能力和推理论证能力.
20．已知ABC ∆的内角、、A B C 的对边分别为a b c 、、，且()2
2sin sin sin sin sin A B C A B -=-. （Ⅰ）求C ；
（Ⅱ）若1,c ABC =∆的周长是否有最大值？如果有，求出这个最大值，如果没有，请说明理由. 【答案】（Ⅰ）3
C π
=；（Ⅱ）有最大值，最大值为3.
【解析】 【分析】
（Ⅰ）利用正弦定理将角化边，再由余弦定理计算可得；
（Ⅱ）由正弦定理可得,a A b B ==，则2sin 6a b A π⎛
⎫+=+ ⎪⎝
⎭，再根据正弦函数的性质计
算可得； 【详解】
（Ⅰ）由()2
2sin sin sin sin sin A B C A B -=-得
222sin sin sin sin sin A B C A B +-=
再由正弦定理得222a b c ab +-=
因此2221
cos 222
a b c ab C ab ab +-===，
又因为()0,C π∈，所以3
C π
=
.
（Ⅱ）当1c =时，ABC ∆的周长有最大值，且最大值为3， 理由如下：
由正弦定理得1sin sin sin sin 3
a b c A B C ====
π
所以,a A b B =
=，
所以22sin 36a b A B A A A ππ⎛⎫⎛⎫+=
+=-=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝
⎭.
因为203A π<<，所以5666A πππ
<+<， 所以当6
2
A π
π
+
=
即3
A π
=
时，+a b 取到最大值2，
所以ABC ∆的周长有最大值，最大值为3. 【点睛】
本题考查正弦定理、余弦定理解三角形，以及三角函数的性质的应用，属于中档题.
21．在直角坐标系xOy 中，直线1l 的参数方程为1(1)x m y k m =-⎧⎨=-⎩为参数)，直线2l 的参数方程2x n
n y k =⎧⎪
⎨=+⎪⎩
(为
参数)，若直线12,l l 的交点为P ，当k 变化时，点P 的轨迹是曲线C （1）求曲线C 的普通方程；
（2）以坐标原点为极点，x 轴非负半轴为极轴且取相同的单位长度建立极坐标系，设射线3l 的极坐标方
程为(0)θαρ=…
，4tan 032παα⎛⎫
=<< ⎪⎝⎭
，点Q 为射线3l 与曲线C 的交点，求点Q 的极径. 【答案】（1）2
2
(1)1(0)x y x +-=≠；（2）8
5
【解析】 【分析】
（1）将两直线化为普通方程，消去参数k ，即可求出曲线C 的普通方程； （2）设Q 点的直角坐标系坐标为(cos ,sin )(0)a ρραρ>,求出43sin ,cos 55
a a ==， 代入曲线C 可求解. 【详解】
（1）直线1l 的普通方程为()y k x =-,直线2l 的普通方程为2x y k
-=
联立直线1l ,2l 方程消去参数k,得曲线C 的普通方程为2
(2)y y x -=-
整理得2
2
(1)1(0)x y x +-=≠.
（2）设Q 点的直角坐标系坐标为(cos ,sin )(0)a ρραρ>, 由4tan 032a a π⎛⎫=
<< ⎪⎝⎭可得43sin ,cos 55
a a == 代入曲线C 的方程可得2
8
05
ρρ-
=，
解得8
,05
ρρ==（舍）， 所以点Q 的极径为8
5
.
【点睛】
本题主要考查了直线的参数方程化为普通方程，普通方程化为极坐标方程，极径的求法，属于中档题. 22．设函数()52f x x a x =-+--. （1）当1a =时，求不等式()0f x ≥的解集； （2）若()1f x ≤恒成立，求a 的取值范围. 【答案】 (1)[2,3]-；(2) ][()
,62,-∞-⋃+∞. 【解析】 【分析】 【详解】
分析：（1）先根据绝对值几何意义将不等式化为三个不等式组，分别求解，最后求并集，（2）先化简不等式为|||2|4x a x ++-≥，再根据绝对值三角不等式得|||2|x a x ++-最小值，最后解不等式|2|4a +≥得a 的取值范围． 详解：（1）当1a =时，
()24,1,
2,12,26, 2.x x f x x x x +≤-⎧⎪
=-<≤⎨⎪-+>⎩
可得()0f x ≥的解集为{|23}x x -≤≤． （2）()1f x ≤等价于24x a x ++-≥．
而22x a x a ++-≥+，且当2x =时等号成立．故()1f x ≤等价于24a +≥． 由24a +≥可得6a ≤-或2a ≥，所以a 的取值范围是][()
,62,-∞-⋃+∞．
点睛：含绝对值不等式的解法有两个基本方法，一是运用零点分区间讨论，二是利用绝对值的几何意义求解．法一是运用分类讨论思想，法二是运用数形结合思想，将绝对值不等式与函数以及不等式恒成立交汇、渗透，解题时强化函数、数形结合与转化化归思想方法的灵活应用，这是命题的新动向． 23．在直角坐标平面中，已知ABC ∆的顶点(2,0)A -，(2,0)B ，C 为平面内的动点，且
sin sin 3cos 0A B C +=.
（1）求动点C 的轨迹Q 的方程；
（2）设过点(1,0)F 且不垂直于x 轴的直线l 与Q 交于P ，R 两点，点P 关于x 轴的对称点为S ，证明：
直线RS 过x 轴上的定点.
【答案】（1）22
143
x y +=（0y ≠）
；（2）证明见解析. 【解析】 【分析】
（1）设点(,)C x y ，分别用
||y AC 表示sin A 、||
y
BC 表示sin B 和余弦定理表示cos C ，将sin sin 3cos 0A B C +=表示为x 、y 的方程，再化简即可；
（2）设直线方程代入Q 的轨迹方程，得()
2
2
34690m y my ++-=，设点()11,P x y ，()22,R x y ，
()11,S x y -，表示出直线RS ，取0y =，得4x =，即可证明直线RS 过x 轴上的定点.
【详解】
（1）设(,)C x y ，由已知sin sin 3cos 0A B C ⋅+=，
∴
2222
||||||30||||2||||y AC BC AB AC BC AC BC +-+⨯=⋅⋅， ∴22222
(2)(2)16302
x y x y y +++-+-+⨯=（0y ≠）
， 化简得点C 的轨迹Q 的方程为：22
143
x y +=（0y ≠）
； （2）由（1）知，过点(1,0)F 的直线l 的斜率为0时与Q 无交点，不合题意 故可设直线l 的方程为：1x my =+（0m ≠），代入Q 的方程得：
()2
234690m
y my ++-=.
设()11,P x y ，()22,R x y ，则()11,S x y -，
122634m y y m +=-
+，12
29
34
y y m =-+. ∴直线RS ：()21
1121
y y y y x x x x ++=
--.
令0y =，得()()()121121212121212121
11y x x y my my y y x x y
x x y y y y y y -++++=
+==+++
()21212122121
2
922234114634
m my y y y my y m m y y y y m ⎛
⎫- ⎪+++⎝⎭==+=+=++-+.
直线RS过x轴上的定点(4,0).
【点睛】
本题主要考查轨迹方程的求法、余弦定理的应用和利用直线和圆锥曲线的位置关系求定点问题，考查学生的计算能力，属于中档题.。