2018-2019学年上学期高二数学12月月考试题含解析(71)

武乡县第二中学校2019-2020学年上学期高二数学12月月考试题含解析
班级__________ 姓名__________ 分数__________
一、选择题
1． 已知的终边过点()2,3，则7tan 4πθ⎛⎫
+ ⎪⎝⎭
等于（ ） A ．15- B ．1
5
C ．-5
D ．5
2． 线段AB 在平面α内，则直线AB 与平面α的位置关系是（ ）
A ．A
B ⊂α
B ．AB ⊄α
C ．由线段AB 的长短而定
D ．以上都不对
3． S n 是等差数列{a n }的前n 项和，若3a 8－2a 7＝4，则下列结论正确的是（ ）
A ．S 18＝72
B ．S 19＝76
C ．S 20＝80
D ．S 21＝84
4． 过抛物线y=x 2上的点的切线的倾斜角（ ）
A ．30°
B ．45°
C ．60°
D ．135°
5． 已知函数f （x ）=
若关于x 的方程f （x ）=k 有两个不同的实根，
则实数k 的取值范围是（ ） A ．（0，1） B ．（1，+∞） C ．（﹣1，0）
D ．（﹣∞，﹣1）
6． 若复数z=（其中a ∈R ，i 是虚数单位）的实部与虚部相等，则a=（ ） A ．3 B ．6
C ．9
D ．12
7． 以的焦点为顶点，顶点为焦点的椭圆方程为（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
8． 已知集合},052|{2
Z x x x x M ∈<+=，},0{a N =，若∅≠N M ，则=a （ ）
A ．1-
B ．
C ．1-或
D ．1-或2-
9． 已知偶函数f （x ）满足当x ＞0时，3f （x ）﹣2f （）=
，则f （﹣2）等于（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
10．在等差数列{}n a 中，首项10,a =公差0d ≠，若1237k a a a a a =++++，则k =
A 、22
B 、23
C 、24
D 、25
11．将甲，乙等5位同学分别保送到北京大学，清华大学，浙江大学等三所大学就读，则每所大学至少保送一人的不同保送的方法数为（ ）
（A ）150种 （ B ） 180 种 （C ） 240 种 （D ） 540 种
12．已知集合A={x|x 2﹣x ﹣2＜0}，B={x|﹣1＜x ＜1}，则（ ） A ．A ⊊B B ．B ⊊A C ．A=B D ．A ∩B=∅
二、填空题
13．设MP 和OM 分别是角
的正弦线和余弦线，则给出的以下不等式：
①MP ＜OM ＜0；②OM ＜0＜MP ；③OM ＜MP ＜0；④MP ＜0＜OM ， 其中正确的是 （把所有正确的序号都填上）．
14．抛物线y 2=8x 上一点P 到焦点的距离为10，则P 点的横坐标为 ． 15．直线l 过原点且平分平行四边形ABCD 的面积，若平行四边形的两个顶点为B （1，4），D （5，0），则直线l 的方程为 ．
16．在（1+x ）（x 2+）6的展开式中，x 3的系数是 ． 17．已知变量x ，y ，满足
，则z=log 4（2x+y+4）的最大值为
．
18．设集合A={x|x+m ≥0}，B={x|﹣2＜x ＜4}，全集U=R ，且（∁U A ）∩B=∅，求实数m 的取值范围为 ．
三、解答题
19．已知函数f （x ）=cosx （sinx+cosx ）﹣．
（1）若0＜α＜
，且sin α=
，求f （α）的值；
（2）求函数f （x ）的最小正周期及单调递增区间．
20．已知函数f（x）=ax3+2x﹣a，
（Ⅰ）求函数f（x）的单调递增区间；
（Ⅱ）若a=n且n∈N*，设x n是函数f n（x）=nx3+2x﹣n的零点．
（i）证明：n≥2时存在唯一x n且；
（i i）若b n=（1﹣x n）（1﹣x n+1），记S n=b1+b2+…+b n，证明：S n＜1．
21．设a＞0，是R上的偶函数．
（Ⅰ）求a的值；
（Ⅱ）证明：f（x）在（0，+∞）上是增函数．
22．如图，已知椭圆C，点B坐标为（0，﹣1），过点B的直线与
椭圆C的另外一个交点为A，且线段AB的中点E在直线y=x上．
（1）求直线AB的方程；
（2）若点P为椭圆C上异于A，B的任意一点，直线AP，BP分别交直线y=x于点M，N，直线BM交椭圆C于另外一点Q．
①证明：OM•ON为定值；
②证明：A、Q、N三点共线．
23．（本小题满分12分）已知过抛物线2
:2(0)C y px p =>
的焦点，斜率为交抛物线于11A x y （，）
和22B x y （，）（12x x ＜）两点，且9
2
AB =
． （I ）求该抛物线C 的方程；
（II ）如图所示，设O 为坐标原点，取C 上不同于O 的点S ，以OS 为直径作圆与C 相交另外一点R ，
求该圆面积的最小值时点S 的坐标．
24．已知函数f（x）=|x﹣m|，关于x的不等式f（x）≤3的解集为[﹣1，5]．（1）求实数m的值；
（2）已知a，b，c∈R，且a﹣2b+2c=m，求a2+b2+c2的最小值．
武乡县第二中学校2019-2020学年上学期高二数学12月月考试题含解析（参考
答案）
一、选择题
1． 【答案】B 【
解
析
】
考点：三角恒等变换． 2． 【答案】A
【解析】解：∵线段AB 在平面α内， ∴直线AB 上所有的点都在平面α内， ∴直线AB 与平面α的位置关系： 直线在平面α内，用符号表示为：AB ⊂α
故选A ．
【点评】本题考查了空间中直线与直线的位置关系及公理一，主要根据定义进行判断，考查了空间想象能力．公理一：如果一条线上的两个点在平面上则该线在平面上．
3． 【答案】
【解析】选B.∵3a 8－2a 7＝4，
∴3（a 1＋7d ）－2（a 1＋6d ）＝4， 即a 1＋9d ＝4，S 18＝18a 1＋18×17d 2＝18（a 1＋17
2
d ）不恒为常数．
S 19＝19a 1＋19×18d
2＝19（a 1＋9d ）＝76，
同理S 20，S 21均不恒为常数，故选B. 4． 【答案】B
【解析】解：y=x 2
的导数为y ′=2x ，
在点
的切线的斜率为k=2×=1，
设所求切线的倾斜角为α（0°≤α＜180°），
由k=tan α=1， 解得α=45°． 故选：B ．
【点评】本题考查导数的运用：求切线的斜率，考查直线的倾斜角的求法，考查运算能力，属于基础题．
5．【答案】A
【解析】解：函数f（x）=的图象如下图所示：
由图可得：当k∈（0，1）时，y=f（x）与y=k的图象有两个交点，
即方程f（x）=k有两个不同的实根，
故选：A
6．【答案】A
【解析】解：复数z===．
由条件复数z=（其中a∈R，i是虚数单位）的实部与虚部相等，得，18﹣a=3a+6，
解得a=3．
故选：A．
【点评】本题考查复数的代数形式的混合运算，考查计算能力．
7．【答案】D
【解析】解：双曲线的顶点为（0，﹣2）和（0，2），
焦点为（0，﹣4）和（0，4）．
∴椭圆的焦点坐标是为（0，﹣2）和（0，2），顶点为（0，﹣4）和（0，4）．
∴椭圆方程为．
故选D．
【点评】本题考查双曲线和椭圆的性质和应用，解题时要注意区分双曲线和椭圆的基本性质．
8． 【答案】D 【解析】
试题分析：由{}
{}1,2,025
,0522--=⎭
⎬⎫⎩
⎨⎧∈<<-
=∈<+=Z x x x Z x x x x M ，集合{}a N ,0=，
又φ≠N M ，1-=∴a 或2-=a ，故选D ．
考点：交集及其运算． 9． 【答案】D
【解析】解：∵当x ＞0时，3f （x ）﹣2f （）=…①，
∴3f （）﹣2f （x ）==…②，
①×3+③×2得：
5f （x ）=，
故f （x ）=
，
又∵函数f （x ）为偶函数，
故f （﹣2）=f （2）=，
故选：D ．
【点评】本题考查的知识点是函数奇偶性的性质，其中根据已知求出当x ＞0时，函数f （x ）的解析式，是解答的关键．
10．【答案】A
【解析】1237k a a a a a =++++176
72
a d ⨯=+
121(221)d a d ==+-， ∴22k =．
11．【答案】A
【解析】5人可以分为1,1,3和1,2,2两种结果，所以每所大学至少保送一人的不同保送的
方法数为22333
535
3
32
2
150C C C A A A ⋅⋅+⋅=种,故选A ． 12．【答案】B
【解析】解：由题意可得，A={x|﹣1＜x＜2}，
∵B={x|﹣1＜x＜1}，
在集合B中的元素都属于集合A，但是在集合A中的元素不一定在集合B中，例如x=∴B⊊A．
故选B．
二、填空题
13．【答案】
②
【解析】解：由MP，OM分别为角的正弦线、余弦线，如图，
∵，
∴OM＜0＜MP．
故答案为：②．
【点评】本题的考点是三角函数线，考查用作图的方法比较三角函数的大小，本题是直接比较三角函数线的大小，在大多数此种类型的题中都是用三角函数线比较三个函数值的大小．
14．【答案】8．
【解析】解：∵抛物线y2=8x=2px，
∴p=4，
由抛物线定义可知，抛物线上任一点到焦点的距离与到准线的距离是相等的，
∴|MF|=x+=x+2=10，
∴x=8，
故答案为：8．
【点评】活用抛物线的定义是解决抛物线问题最基本的方法．抛物线上的点到焦点的距离，叫焦半径．到焦点的距离常转化为到准线的距离求解．
15．【答案】．
【解析】解：∵直线l过原点且平分平行四边形ABCD的面积，则直线过BD的中点（3，2），
故斜率为=，
∴由斜截式可得直线l的方程为，
故答案为．
【点评】本题考查直线的斜率公式，直线方程的斜截式．
16．【答案】20．
【解析】解：（1+x）（x2+）6的展开式中，
x3的系数是由（x2+）6的展开式中x3与1的积加上x2与x的积组成；
又（x2+）6的展开式中，
通项公式为T r+1=•x12﹣3r，
令12﹣3r=3，解得r=3，满足题意；
令12﹣3r=2，解得r=，不合题意，舍去；
所以展开式中x3的系数是=20．
故答案为：20．
17．【答案】
【解析】解：作的可行域如图：
易知可行域为一个三角形，
验证知在点A（1，2）时，
z1=2x+y+4取得最大值8，
∴z=log4（2x+y+4）最大是，
故答案为：．
【点评】本题主要考查了简单的线性规划，以及利用几何意义求最值，属于基础题．18．【答案】m≥2．
【解析】解：集合A={x|x+m≥0}={x|x≥﹣m}，全集U=R，所以C U A={x|x＜﹣m}，又B={x|﹣2＜x＜4}，且（∁U A）∩B=∅，所以有﹣m≤﹣2，所以m≥2．
故答案为m≥2．
三、解答题
19．【答案】
【解析】解：（1）∵0＜α＜，且sinα=，
∴cosα=，
∴f（α）=cosα（sinα+cosα）﹣，
=×（+）﹣
=．
（2）f（x）=cosx（sinx+cosx）﹣．
=sinxcosx+cos2x﹣
=sin2x+cos2x
=sin（2x+），
∴T==π，
由2kπ﹣≤2x+≤2kπ+，k∈Z，得kπ﹣≤x≤kπ+，k∈Z，
∴f（x）的单调递增区间为[kπ﹣，kπ+]，k∈Z．
20．【答案】
【解析】解：（Ⅰ）f'（x）=3ax2+2，
若a≥0，则f'（x）＞0，函数f（x）在R上单调递增；
若a＜0，令f'（x）＞0，∴或，
函数f（x）的单调递增区间为和；
（Ⅱ）（i）由（Ⅰ）得，f n（x）=nx3+2x﹣n在R上单调递增，
又f n（1）=n+2﹣n=2＞0，
f n（）==
==﹣
当n≥2时，g（n）=n2﹣n﹣1＞0，，
n≥2时存在唯一x n且
（i i）当n≥2时，，∴（零点的区间判定）
∴，（数列裂项求和）
∴，
又f1（x）=x3+2x﹣1，，（函数法定界）
，又，
∴，
∴，（不等式放缩技巧）
命题得证．
【点评】本题主要考查了导数的求单调区间的方法和利用数列的裂项求和和不等式的放缩求和技巧解题，属于难题．
21．【答案】
【解析】解：（1）∵a＞0，是R上的偶函数．
∴f（﹣x）=f（x），即+=，
∴+a•2x=+，
2x（a﹣）﹣（a﹣）=0，
∴（a﹣）（2x+）=0，∵2x+＞0，a＞0，
∴a﹣=0，解得a=1，或a=﹣1（舍去），
∴a=1；
（2）证明：由（1）可知，
∴
∵x＞0，
∴22x＞1，
∴f'（x）＞0，
∴f（x）在（0，+∞）上单调递增；
【点评】本题主要考查函数单调性的判断问题．函数的单调性判断一般有两种方法，即定义法和求导判断导数正负．
22．【答案】
【解析】（1）解：设点E（t，t），∵B（0，﹣1），∴A（2t，2t+1），
∵点A在椭圆C上，∴，
整理得：6t2+4t=0，解得t=﹣或t=0（舍去），
∴E（﹣，﹣），A（﹣，﹣），
∴直线AB的方程为：x+2y+2=0；
（2）证明：设P（x0，y0），则，
①直线AP方程为：y+=（x+），
联立直线AP与直线y=x的方程，解得：x M=，
直线BP的方程为：y+1=，
联立直线BP与直线y=x的方程，解得：x N=，
∴OM•ON=|x M||x N|
=2•||•||
=||
=||
=||
=．
②设直线MB的方程为：y=kx﹣1（其中k==），
联立，整理得：（1+2k2）x2﹣4kx=0，
∴x Q=，y Q=，
∴k AN===1﹣，k AQ==1﹣
，
要证A、Q、N三点共线，只需证k AN=k AQ，即3x N+4=2k+2，
将k=代入，即证：x M•x N=，
由①的证明过程可知：|x M|•|x N|=，
而x M与x N同号，∴x M•x N=，
即A、Q、N三点共线．
【点评】本题是一道直线与圆锥曲线的综合题，考查求直线的方程、线段乘积为定值、三点共线等问题，考查运算求解能力，注意解题方法的积累，属于中档题．
23．【答案】
【解析】【命题意图】本题考查抛物线标准方程、抛物线定义、直线和抛物线位置关系等基础知识，意在考查转化与化归和综合分析问题、解决问题的能力．
因为
12
y y ≠，
20
y ≠，化简得
12216y y y ⎛⎫=-+ ⎪
⎝
⎭ ，所
以
22
1222256323264y y y =+
+≥=， 当且仅当2
222
256y y =即22y ＝16，24y =?时等号成立. 圆的直径OS
=
因为21y ≥64，所以当21y ＝
64即1y =±8
时，min OS =S 的坐标为168±（，）
． 24．【答案】
【解析】解：（1）|x ﹣m|≤3⇔﹣3≤x ﹣m ≤3⇔m ﹣3≤x ≤m+3
，由题意得，解得
m=2；
（2）由（1）可得a ﹣2b+2c=2，
由柯西不等式可得（a 2+b 2+c 2）[12+（﹣2）2+22]≥（a ﹣2b+2c ）2
=4， ∴a 2+b 2+c 2
≥
当且仅当，即
a=，b=
﹣，
c=时等号成立，
∴a 2+b 2+c 2
的最小值为．
【点评】本题主要考查绝对值三角不等式、柯西不等式的应用，属于基础题．。