2019衡水名师原创理科数学专题卷：专题二《函数概念及其基本性质》

2019衡水名师原创理科数学专题卷
专题二 函数概念及其基本性质
考点04：函数及其表示（1—3题,13,14题，17,18题）
考点05：函数的单调性（4—6题，9—12题，15题，19—22题）
考点06：函数的奇偶性与周期性（7—8题，9—12题，16题，19—22题）
考试时间：120分钟 满分：150分
说明：请将选择题正确答案填写在答题卡上，主观题写在答题纸上
第I 卷（选择题）
一、选择题 1.
设函数y =的定义域A ,函数()ln 1y x =-的定义域为B ,则A B ⋂= ( )
A. ()1,2
B. (]1,2
C. ()2,1-
D. [2,1)-
2.函数()2
2,1,122,2x x f x x x x x +≤-⎧⎪=-<<⎨⎪≥⎩
若()3f x =,则x 的值是( )
A.
B.
C.
3
2或1 D. 1
3.已知函数()
2x y f =的定义域为[]1,1-,则函数()2log y f x =的定义域为( ) A. []1,1- B. 1[,2]2
C. [1,2]
D.
4]
4.已知函数()()()
()351{
2log 1a a x x f x a x x -+≤=->对于任意12x x ≠都有()()1212
0f x f x x x -<-成立,则
实数a 的取值范围是( ) A. (]1,3 B. ()1,3 C. (]1,2 D. ()1,2
5.定义在R 上的偶函数()f x ,满足()()1f x f x +=-,且在区间[]1,0-上为递增,则( )
A.
(3)(2)f f f << B.
(2)(3)f f f << C.
(3)(2)f f f << D.
(2)(3)f f f <<
6.函数() f x 是定义在R 上的奇函数,当0x >时, ()1f x x =-+,则当0?x <时, () f x 等于( )
A. 1x -+
B. 1x --
C. 1?x +
D. 1x -
7.定义在R 上的函数()f x 满足: ()()
1
1f x f x +=
,并且[]1,1x ∈-,(),10
{2
,015
x a x f x x x +-≤<=-≤<若5922f f ⎛⎫⎛⎫
-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,则()5f a = ( ) A.
716 B. 25
-
C.
1116 D. 1316
8.定义在R 上的偶函数() f x 在[)0,+∞上递增, 103f ⎛⎫
= ⎪⎝⎭
,则满足18
log 0f x ⎛⎫> ⎪⎝
⎭
的
x 的取值范围是( ) A. ()0,?+∞ B. ()10,2,2⎛⎫⋃+∞ ⎪⎝⎭
C. 110,,282⎛⎫⎛⎫⋃ ⎪
⎪⎝⎭⎝⎭
D. 10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭
9.已知函数f ()x 定义在实数集R 上的偶函数,且在区间[)0,+∞上单调递减,若实数a 满足
()212log log 2(1)f a f a f ⎛⎫
+≤- ⎪⎝⎭
,则a 的取值范围是( )
A. 1[2,],2
⎛⎤+∞⋃-∞ ⎥⎝
⎦
B. [)10,2,2
⎛⎤⋃+∞ ⎥⎝
⎦
C. 1,22⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
D. 10,2
⎛⎤ ⎥⎝
⎦
10.已知函数()224,0
{4,0
x x x f x x x x +≥=-<,若()
()22f a f a ->,则实数a 的取值范围是
( )
A. ()(),12,-∞-⋃+∞
B. ()1,2-
C. ()2,1-
D. ()(),21,-∞-⋃+∞
11.设()(
32log f x x x =+,则对任意实数,?
a b ,若0a b +≥,则( ) A. ()()0f a f b +≤ B. ()()0f a f b +≥ C. ()()0f a f b -≤ D. ()()0f a f b -≥ 二、填空题
12.若函数y =的定义域为R ,则a 的取值范围为__________. 13.已知函数()()
2
x a
f x x a -=
+,若对于定义域内的任意1x ,总存在2x 使得()()21f x f x <,
则满足条件的实数a 的取值范围是__________. 14.已知函数()2122f x x ax lnx =
+-,若()f x 在区间1,23⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
上是增函数,则实数a 的取值范围为__________ 15.若函数1
ln 21
ax y x -=+为奇函数,则a =__________. 三、解答题
16.已知二次函数()f x 满足(0)1f =,(1)()2f x f x x +-=. 1.求二次函数()f x 的解析式;
2.若不等式()2f x x m >+在[-1,1]上恒成立,求实数m 的取值范围.
17.已知二次函数2
()f x ax bx =+ (,a b 为常数,且0a ≠)满足条件: (1)(3)f x f x -=-,且方程()2f x x =有两等根. 1.求()f x 的解析式;
2.求()f x 在[0,]t 上的最大值.
18.已知函数()f x 对一切实数,x y 均有()()(22)f x y f y x y x +-=+-成立,且(1)0f = 1.求函数()f x 的解析式;
2.设()2()f x x g x x
-=,若不等式(2)20x x
g k -⋅≤ (k 为常数)在[]2,2x ∈-时恒成立,求
实数k
的取值范围
19.已知函数()f x 定义域为[1,1]-,若对于任意的[],1,1x y ∈-,都有
()()()f x y f x f y +=+,且0x >时,有()0f x >.
1.判断并证明函数()f x 的奇偶性;
2.判断并证明函数()f x 的单调性;
3.若()2
21f x m am <-+,对所有[]1,1x ∈-,[]1,1a ∈-恒成立,求a 的取值范围.
20.已知定义域为R 的函数是奇函数()122x
x b f x a
+-=+
1.求实数,?a b 的值
2.判断并证明() f x 在(),-∞+∞上的单调性
3.若对任意实数t R ∈,不等式()
()220f kt kt f kt -+-<恒成立,求k
的取值范围
21.已知函数()2
1f x ax bx =++ (,a b ,为实数, x R ∈),(),0,
(){
(),0.
f x x F x f x x >=-<.
1.若(1)0f -=,且函数()f x 的值域为[)0,?+∞,求()F x 得解析式;
2.在1的条件下,当[]2,2x ∈-时, ()()g x f x kx =-是单调函数,求实数k 的取值范围;
3.设0mn <,0m n +>,0a >,且()f x 为偶函数,判断()()F m F n +是否大于零,并说明理由.
参考答案
一、选择题 1.答案：D
解析：由240x -≥得22x -≤≤,由10x ->得1x <,故
{}|22A B x x ⋂=-≤≤{}{}|1|21x x x x ⋂<=-≤<,选D.
2.答案：B 解析：
3.答案：D
解析：∵11x -≤≤,∴1222x -≤≤即
1
222
x ≤≤,∴()y f x =的定义域为1[,2]2,∴21
log 22
x ≤≤
4x ≤≤ 4.答案：C 解析：根据题意,由
()()
1212
0f x f x x x -<-,易知函数()
f x 为R 上的单调递减函数,则()30{1
352a a a a
-<>-+≥,解得12a <≤.故选C.
5.答案：A 解析：
6.答案：B
解析：由题函数()f x 是定义在R 上的奇函数,当0x >时, ()1f x x =-+,则当0x <时,
0x ->,()()11,f x x x -=--+=+即()()1,1,f x x f x x -=+∴=--选B.
7.答案：B 解析：由()()
1
1f x f x +=
,得()(2)f x f x =+,所以函数()f x 的周期为2, 所以5122f f ⎛⎫⎛⎫-
=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭9122f f ⎛⎫⎛⎫
== ⎪ ⎪
⎝⎭⎝⎭
112225a ⇒-+=-35a ⇒=, 因此32
(5)(3)(1)(1)155
f a f f f ===-=-+=-,故选B. 8.答案：B
解析： 9.答案：B
解析：不等式变形为()()()22log log 21f a f a f +-≤,∴()()2log 1f a f ≤,由函数在区间[)0,+∞上单调递减可得2log 1a ≥或2log 1a ≤-,∴2a ≥或1
02
a <≤,所以a 的取值范围是[)10,2,2
⎛⎤⋃+∞ ⎥⎝
⎦
.
10.答案：C 解析： 11.答案：B
解析：(
)(
32log f x x x =+定义域为R ,
∵(
)(
32log f x x x -=-+-
32
log x =-+
(()32log x x f x =--=-
∴() f x 是奇函数,∵() f x 在()0,?+∞上是增函数, 故() f x 在R 上为增函数,而0a b a b +≥⇒≥-, 所以()()()()0f a f b f a f b ≥-⇒+≥,故选B. 二、填空题 12.答案：[1,9] 解析： 函数
y =
的定义域为R , ∴(
)
222
1(1)01
a x a x a -+-+
≥+恒成立, 当210a -=时, 1a =±,当1a =时不等式恒成立,当1a =-时,无意义
当2
10a -≠时, ()()222
10214101a a a a ⎧->⎪⎨∆=---⋅
≤⎪+⎩
. 综上所述, a 的取值范围为[1,9] 13.答案：0a ≥
解析：由题意函数()f x 无最小值, 22
221
()()()x a a a f x x a x a x a
+-=
=-++++, 令
1
t x a
=+,则0t ≠,2()2f x y at t ==-+,0a =时, 函数为y t =,符合题意, 0a ≠时, 20a -<,即0a >, 综上有a 的取值范围是0a ≥. 14.答案：4,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭
解析：由题意知()1'2?0f x x a x =+-≥在1,23⎡⎤⎢⎥⎣⎦上恒成立,即12a x x ≥-+ 在1,23⎡⎤
⎢⎥⎣⎦上恒
成立. 又∵1y x x =-+
在 1,23⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
上单调递减, max 183x x ⎛
⎫∴-+= ⎪⎝
⎭
823a ∴≥,即4
3
a ≥
15.答案：2
解析：奇函数()()0f x f x +-=,即()222
111
ln ln ln 0212114a x ax ax x x x -----+==+-+-, ()222
1114a x x --=-,所以24,2a a ==±,
当2a =-时, ()()21
ln ln 121
x f x x --==-+,
故舍去,所以2a =. 三、解答题
16.答案：1.设2
()(0)f x ax bx c a =++≠, 由(0)1f =,得1c =,故2
()1(0)f x ax bx a =++≠, ∵(1)()2f x f x x +-=,
∴2
2
(1)(1)1(1)2a x b x ax bx x ++++-++=,
即22ax a b x ++=,∴22a =,0a b +=,解得1,1a b ==-,
∴2
()1f x x x =-+.
2.由题意,知212x x x m -+>+在[-1,1]上恒成立, 即231m x x <-+在[-1,1]上恒成立, 令2235()31()24
g x x x x =-+=--, 则()g x 在[-1,1]上单调递减,
∴()g x 在[-1,1]上的最小值为(1)1g =-, ∴m 的取值范围是(,1)-∞-. 解析：
17.答案：1.∵方程()2f x x =有两等根,即()2
20ax b x +-=有两等根,
∴()2
2? 0b ∆=-=,解得2b =; ∵()()13f x f x -=-,得
1312
x x
-+-=,
∴1x =是函数图象的对称轴.而此函数图象的对称轴是直线2b x a
=- ∴12b
a
-
=,∴1a =-,故()22f x x x =-+ 2.∵函数()2
2f x x x =-+的图象的对称轴为[]1,0,x x t =∈, ∴当1t ≤时, ()f x 在[0,]t 上是增函数,∴()2
max 2f x t t =-+,
当1t >时, ()f x 在[]0,1上是增函数,在[]1,t 上是减函数, ∴()()max 11f x f ==, 综上, ()2
max 1,1
{2,1
t f x t t t >=-+≤ 解析：
18.答案：1.令 1?y =,所以(1)(1)(22)f x f x x +-=+-,又(1)0f =,所以2
(1)f x x +=.令1t x =+,所以1x t =-,所以2
()(1)f t t =-即2
()(1)f x x =-
2. ()2()f x x g x x -=2221241x x x x x x x -+--+==1
4x x
=+-,所以
1
(2)224202
x x x x x g k k -⋅=+
--⋅≤,所以2(1)(2)4210x x k -⋅-⋅+≤,令2x t =,[]2,2x ∈-,所以1,44t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦,即1,44t ⎡⎤
∈⎢⎥⎣⎦
时, 2(1)410k t t --+≤恒成立,即
2411t k t --≤2
114t t ⎛⎫⎛⎫
=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭恒成立,因为11,44t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦,所以2min
1140t t ⎡⎤⎛⎫⎛⎫-=⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦,所以
10k -≤,即1k ≥
解析：
19.答案：1.因为有()()()f x y f x f y +=+,令0x y ==, 得(0)(0)(0)f f f =+,所以(0)0f =, 令y x =-可得: (0)()()0f f x f x =+-=, 所以()()f x f x -=-,所以()f x 为奇函数
2.∵()f x 是定义在[1,1]-上的奇函数,由题意设1211x x -≤<≤, 则212121()()()()()f x f x f x f x f x x -=+-=-, 由题意0x >时,有()0f x >,∴21()()f x f x >, ∴()f x 是在[1,1]-上为单调递增函数.
3.因为()f x 在[1,1]-上为单调递增函数,所以()f x 在[1,1]-上的最大值为(1)1f =, 所以要使2
()21f x m am <-+,对所有[]1,1x ∈-,[]1,1a ∈-恒成立,
只要2211m am -+>,即220m am ->恒成立.
令2
2
()22g a m am am m =-=-+,(1)0{(1)0g g ->>得2220
{20
m m m m +>-+>,
∴2?m >或2?m <-
解析：
20.答案：1. 由于定义域为R 的函数()122x
x b f x a +-=+是奇函数,
()()()00
{11f f f =-=-∴1{2b a == ∴()11222
x
x f x +-=+经检验成立
2. () f x 在(),-∞+∞上是减函数.证明如下:设任意
()()()()
21
12121222,1212x x x x x x f x f x -<-=++ ∵12x x <∴()()12f x f x > ∴() f x 在(),-∞+∞上是减函数
3.不等式()
()220f kt kt f kt -+-<, 由奇函数() f x 得到()()f x f x -=-所以()()()222f kt kt f kt f kt -<--=-,
由() f x 在(),-∞+∞上是减函数,∴2220kt kt -+>对t R ∈恒成立 ∴0?k =或0{020
k k >⇒<<∆< 综上: 02k ≤<. 解析：
21.答案：1.∵(1)0f -=,∴10a b -+= ①
又x R ∈,()f x 的值域为[)0,?+∞,∴20,{
40,a b a >∆=-=② 由上述①②得, 24(1)0b b --=,∴2b =,1a =,
∴1)21)2(,0,(){(,0.
x x x F x x ++>=-< 2.由1知,
22()()21(2)1g x f x kx x x kx x k x =-=++-=+-+()2
222124k k x --⎛⎫=++- ⎪⎝⎭, 当222k -≥或222
k -≤-时,即6k ≥或2k ≤-时, ()g x 是单调函数. 3.∵()f x 是偶函数,∴2()1f x ax =+,
∴221,0,(){1,0,
ax x F x ax x +>=--<∵0mn <,设m n >,则0n <, 又0m n +>,
∴0m n >->,∴m n >-,
()()()()F m F n f m f n +=-=()()()2222110am an a m n +-+=->, 所以()()F m F n +能大于0.
解析：。