集美区三中2018-2019学年高二上学期第二次月考试卷数学

集美区三中2018-2019学年高二上学期第二次月考试卷数学 班级__________ 姓名__________ 分数__________
一、选择题
1． 下列命题正确的是（ ）
A ．很小的实数可以构成集合.
B ．集合{}2|1y y x =-与集合(){}2,|1x y y x =-是同一个集合.
C ．自然数集 N 中最小的数是.
D ．空集是任何集合的子集.
2． 已知实数a ，b ，c 满足不等式0＜a ＜b ＜c ＜1，且M=2a ，N=5﹣b ，P=（）c ，则M 、N 、P 的大小关系为（ ）
A ．M ＞N ＞P
B ．P ＜M ＜N
C ．N ＞P ＞M
3． 若函数()()()()()1cos sin cos sin 3sin cos 412f x x x x x a x x a x =-++-+-在02π⎡⎤
-⎢⎥⎣⎦，上单调递增，则实数的
取值范围为（ ）
A ．117⎡⎤⎢⎥⎣⎦，
B ．117⎡
⎤-⎢⎥⎣
⎦，
C.1
(][1)7
-∞-+∞，，
D ．[1)+∞， 4． 在等差数列{a n }中，3（a 3+a 5）+2（a 7+a 10+a 13）=24，则此数列前13项的和是（ ）
A ．13
B ．26
C ．52
D ．56
5． 已知f （x ）是定义在R 上的奇函数，且f （x ﹣2）=f （x+2），当0＜x ＜2时，f （x ）=1﹣log 2（x+1），则当0＜x ＜4时，不等式（x ﹣2）f （x ）＞0的解集是（ ）
A ．（0，1）∪（2，3）
B ．（0，1）∪（3，4）
C ．（1，2）∪（3，4）
D ．（1，2）∪（2，3）
6． 奇函数f （x ）在区间[3，6]上是增函数，在区间[3，6]上的最大值为8，最小值为﹣1，则f （6）+f （﹣3）的值为（ ） A ．10
B ．﹣10
C ．9
D ．15
7． 已知向量=（1，1，0），=（﹣1，0，2）且k +与2﹣互相垂直，则k 的值是（ ）
A ．1
B ．
C ．
D ．
8．已知双曲线的渐近线与圆x2+（y﹣2）2=1相交，则该双曲线的离心率的取值范围是（）
A．（，+∞）B．（1，）C．（2．+∞）D．（1，2）
9．函数y=x+cosx的大致图象是（）
A．B．
C．D．
10．若命题p：∃x∈R，x﹣2＞0，命题q：∀x∈R，＜x，则下列说法正确的是（）
A．命题p∨q是假命题B．命题p∧（￢q）是真命题
C．命题p∧q是真命题 D．命题p∨（￢q）是假命题
11．投篮测试中，每人投3次，至少投中2次才能通过测试．己知某同学每次投篮投中的概率为0.6，且各次投篮是否投中相互独立，则该同学通过测试的概率为（）
A．0.648 B．0.432 C．0.36 D．0.312
的六条棱所在的直线中，异面直线共有（）111]
12．如图所示，在三棱锥P ABC
A．2对B．3对C．4对D．6对
二、填空题
13．设椭圆E
：
+=1（a ＞b ＞0）的右顶点为A 、右焦点为F ，B 为椭圆E 在第二象限上的点，直线BO
交椭圆E 于点C ，若直线BF 平分线段AC ，则椭圆E 的离心率是 ．
14．已知实数x ，y 满足2330220y x y x y ≤⎧⎪
--≤⎨⎪+-≥⎩
，目标函数3z x y a =++的最大值为4，则a =______．
【命题意图】本题考查线性规划问题，意在考查作图与识图能力、逻辑思维能力、运算求解能力．
15．袋中装有6个不同的红球和4个不同的白球，不放回地依次摸出2个球，在第1次摸出红球的条件下，第2次摸出的也是红球的概率为 ．
16．数据﹣2，﹣1，0，1，2的方差是 ．
17．小明想利用树影测量他家有房子旁的一棵树的高度，但由于地形的原因，树的影子总有一部分落在墙上，某时刻他测得树留在地面部分的影子长为1.4米，留在墙部分的影高为1.2米，同时，他又测得院子中一个直径为1.2米的石球的影子长（球与地面的接触点和地面上阴影边缘的最大距离）为0.8米，根据以上信息，可求得这棵树的高度是 米．（太阳光线可看作为平行光线）
18．【盐城中学2018届高三上第一次阶段性考试】已知函数f （x ）＝lnx －m
x
（m ∈R ）在区间[1，e]上取得最小值4，则m ＝________．
三、解答题
19．（本小题满分12分）已知12,F F 分别是椭圆C ：22221(0)x y a b a b +=>>
的两个焦点，P 是椭圆上
1122|,||PF F F PF 成等差数列．
（1）求椭圆C 的标准方程；、
（2）已知动直线l 过点F ，且与椭圆C 交于A B 、两点，试问x 轴上是否存在定点Q ，使得7
16
QA QB ⋅=-恒成立？若存在，求出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由．
20．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为等腰梯形，AD∥BC，PA=AB=BC=CD=2，PD=2，PA⊥PD，Q为PD的中点．
（Ⅰ）证明：CQ∥平面PAB；
（Ⅱ）若平面PAD⊥底面ABCD，求直线PD与平面AQC所成角的正弦值．
21．本小题满分12分某商店计划每天购进某商品若干件,商店每销售1件该商品可获利50元.若供大于求，剩余商品全部退回，但每件商品亏损10元；若供不应求，则从外部调剂，此时每件调剂商品可获利30元.
Ⅰ若商店一天购进该商品10件,求当天的利润y单位:元关于当天需求量n单位:件,n∈N的函数解析式；
,整理得下表:
,求这50天的日利润单位:元的平均数；
②若该店一天购进10件该商品,以50天记录的各需求量的频率作为各需求量发生的概率,求当天的利润在区间[400,550]内的概率.
22．已知m∈R，函数f（x）=（x2+mx+m）e x．
（1）若函数f（x）没有零点，求实数m的取值范围；
（2）若函数f（x）存在极大值，并记为g（m），求g（m）的表达式；
（3）当m=0时，求证：f（x）≥x2+x3．
23．已知数列{a n}满足a1=3，a n+1=a n+p•3n（n∈N*，p为常数），a1，a2+6，a3成等差数列．
（1）求p的值及数列{a n}的通项公式；
（2）设数列{b n}满足b n=，证明b n≤．
24．已知集合A={x|x2﹣5x﹣6＜0}，集合B={x|6x2﹣5x+1≥0}，集合C={x|（x﹣m）（m+9﹣x）＞0} （1）求A∩B
（2）若A∪C=C，求实数m的取值范围．
集美区三中2018-2019学年高二上学期第二次月考试卷数学（参考答案）
一、选择题
1．【答案】D
【解析】
试题分析：根据子集概念可知，空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集，所以选项D是正确，故选D.
考点：集合的概念；子集的概念.
2．【答案】A
【解析】解：∵0＜a＜b＜c＜1，
∴1＜2a＜2，＜5﹣b＜1，＜（）c＜1，
5﹣b=（）b＞（）c＞（）c，
即M＞N＞P，
故选：A
【点评】本题主要考查函数值的大小比较，根据幂函数和指数函数的单调性的性质是解决本题的关键．
3．【答案】D
【解析】
考点：1、导数；2、单调性；3、函数与不等式.
4．【答案】B
【解析】解：由等差数列的性质可得：a3+a5=2a4，a7+a13=2a10，
代入已知可得3×2a4+2×3a10=24，即a4+a10=4，
故数列的前13项之和S13=
===26
故选B
【点评】本题考查等差数列的性质和求和公式，涉及整体代入的思想，属中档题．5．【答案】D
【解析】解：∵f（x）是定义在R上的奇函数，且f（x﹣2）=f（x+2），
∴f（0）=0，且f（2+x）=﹣f（2﹣x），
∴f（x）的图象关于点（2，0）中心对称，
又0＜x＜2时，f（x）=1﹣log2（x+1），
故可作出fx（x）在0＜x＜4时的图象，
由图象可知当x∈（1，2）时，x﹣2＜0，f（x）＜0，
∴（x﹣2）f（x）＞0；
当x∈（2，3）时，x﹣2＞0，f（x）＞0，
∴（x﹣2）f（x）＞0；
∴不等式（x﹣2）f（x）＞0的解集是（1，2）∪（2，3）
故选：D
【点评】本题考查不等式的解法，涉及函数的性质和图象，属中档题．
6．【答案】C
【解析】解：由于f（x）在[3，6]上为增函数，
f（x）的最大值为f（6）=8，f（x）的最小值为f（3）=﹣1，
f（x）为奇函数，故f（﹣3）=﹣f（3）=1，∴f（6）+f（﹣3）=8+1=9．
故选：C．
7．【答案】D
【解析】解：∵=（1，1，0），=（﹣1，0，2），
∴k+=k（1，1，0）+（﹣1，0，2）=（k﹣1，k，2），
2﹣=2（1，1，0）﹣（﹣1，0，2）=（3，2，﹣2），
又k+与2﹣互相垂直，
∴3（k﹣1）+2k﹣4=0，解得：k=．
故选：D．
【点评】本题考查空间向量的数量积运算，考查向量数量积的坐标表示，是基础的计算题．
8．【答案】C
【解析】解：∵双曲线渐近线为bx±ay=0，与圆x2+（y﹣2）2=1相交
∴圆心到渐近线的距离小于半径，即＜1
∴3a2＜b2，
∴c2=a2+b2＞4a2，
∴e=＞2
故选：C．
【点评】本题主要考查了双曲线的简单性质，直线与圆的位置关系，点到直线的距离公式等．考查了学生数形结合的思想的运用．
9．【答案】B
【解析】解：由于f（x）=x+cosx，
∴f（﹣x）=﹣x+cosx，
∴f（﹣x）≠f（x），且f（﹣x）≠﹣f（x），
故此函数是非奇非偶函数，排除A、C；
又当x=时，x+cosx=x，
即f（x）的图象与直线y=x的交点中有一个点的横坐标为，排除D．
故选：B．
【点评】本题考查函数的图象，考查同学们对函数基础知识的把握程度以及数形结合的思维能力，属于中档题．10．【答案】B
【解析】解：∃x∈R，x﹣2＞0，即不等式x﹣2＞0有解，∴命题p是真命题；
x＜0时，＜x无解，∴命题q是假命题；
∴p∨q为真命题，p∧q是假命题，￢q是真命题，p∨（￢q）是真命题，p∧（￢q）是真命题；
故选：B．
【点评】考查真命题，假命题的概念，以及p∨q，p∧q，￢q的真假和p，q真假的关系．
11．【答案】A
【解析】解：由题意可知：同学3次测试满足X∽B（3，0.6），
该同学通过测试的概率为=0.648．
故选：A．
12．【答案】B
【解析】
中，则PA与BC、PC与AB、PB与AC都是异面直线，所以共有三对，故选试题分析：三棱锥P ABC
B．
考点：异面直线的判定．
二、填空题
13．【答案】．
【解析】解：如图，设AC中点为M，连接OM，
则OM为△ABC的中位线，
于是△OFM∽△AFB，且==，
即=可得e==．
故答案为：．
【点评】本题考查椭圆的方程和性质，主要是离心率的求法，运用中位线定理和三角形相似的性质是解题的关键．
14．【答案】3-
【解析】作出可行域如图所示：作直线0l ：30x y +=，再作一组平行于0l 的直线l ：3x y z a +=-，当直线
l 经过点5(,2)3M 时，3z a x y -=+取得最大值，∴max 5()3273
z a -=⨯+=，所以max 74z a =+=，故
3a =-．
15．【答案】
．
【解析】解：方法一：由题意，第1次摸出红球，由于不放回，所以袋中还有5个不同的红球和4个不同的白球
故在第1次摸出红球的条件下，第2次摸出的也是红球的概率为=，
方法二：先求出“第一次摸到红球”的概率为：P 1=
，
设“在第一次摸出红球的条件下，第二次也摸到红球”的概率是P 2
再求“第一次摸到红球且第二次也摸到红球”的概率为P==，
根据条件概率公式，得：P 2=
=，
故答案为：
【点评】本题考查了概率的计算方法，主要是考查了条件概率与独立事件的理解，属于中档题．看准确事件之间的联系，正确运用公式，是解决本题的关键．
16．【答案】2．
【解析】解：∵数据﹣2，﹣1，0，1，2，
∴=，
∴S2=[（﹣2﹣0）2+（﹣1﹣0）2+（0﹣0）2+（1﹣0）2+（2﹣0）2]=2，
故答案为2；
【点评】本题考查方差的定义与意义：一般地设n个数据，x
，x2，…x n的平均数，是一道基础题；
1
17．【答案】 3.3
【解析】
解：如图BC为竿的高度，ED为墙上的影子，BE为地面上的影子．
设BC=x，则根据题意
=，
AB=x，
在AE=AB﹣BE=x﹣1.4，
则=，即=，求得
x=3.3（米）
故树的高度为3.3米， 故答案为：3.3．
【点评】本题主要考查了解三角形的实际应用．解题的关键是建立数学模型，把实际问题转化为数学问题．
18．【答案】－3e 【解析】f ′（x ）＝1x ＋2m x ＝2x m x
，令f ′（x ）＝0，则x ＝－m ，且当x<－m 时，f ′（x ）<0，f （x ）单调递减，
当x>－m 时，f ′（x ）>0，f （x ）单调递增．若－m ≤1，即m ≥－1时，f （x ）min ＝f （1）＝－m ≤1，不可能等于4；
若1<－m ≤e ，即－e ≤m<－1时，f （x ）
min ＝f （－m ）＝ln （－m ）＋1，令ln （－m ）＋1＝4，得m ＝－e 3（－e ，－
1）；若－m>e ，即m<－e 时，f （x ）min ＝f （e ）＝1－m e ，令1－m
e
＝4，得m ＝－3e ，符合题意．综上所述，m
＝－3e.
三、解答题
19．【答案】
【解析】【命题意图】本题考查椭圆的定义及方程、直线与椭圆的位置关系、平面向量数量积等基础知识，意在考查学生逻辑思维能力、运算求解能力、探索能力，以及分类讨论思想、待定系数法、设而不求法的应用．
下面证明54m =
时，7
16
QA QB ⋅=-恒成立． 当直线l 的斜率为0时，结论成立；
当直线l 的斜率不为0时，设直线l 的方程为1x ty =+，()11,A x y ，()22,B x y ，
由1x ty =+及2
212
x y +=，得22(2)210t y ty ++-=， 所以0∆>，∴12122221
,22
t y y y y t t +=-=-++． 111x ty =+，221x ty =+，
∴112212125511(,)(,)()()4444x y x y ty ty y y -⋅-=--+=2
(1)t +121211()416
y y t y y -++＝
222
222
11212217(1)242162(2)1616
t t t t t t t t --+-++⋅+=+=-+++．
综上所述，在x 轴上存在点5(,0)4Q 使得7
16
QA QB ⋅=-
恒成立． 20．【答案】
【解析】（Ⅰ）证明：取PA 的中点N ，连接QN ，BN ． ∵Q ，N 是PD ，PA 的中点，
∴QN ∥AD ，且QN=AD ． ∵PA=2，PD=2，PA ⊥PD ，
∴AD=4，
∴BC=AD ．又BC ∥AD ， ∴QN ∥BC ，且QN=BC ， ∴四边形BCQN 为平行四边形，
∴BN ∥CQ ．又BN ⊂平面PAB ，且CQ ⊄平面PAB ， ∴CQ ∥平面PAB ．
（Ⅱ）解：取AD 的中点M ，连接BM ；取BM 的中点O ，连接BO 、PO ． 由（Ⅰ）知PA=AM=PM=2， ∴△APM 为等边三角形， ∴PO ⊥AM ．同理：BO ⊥AM ．
∵平面PAD ⊥平面ABCD ，平面PAD ∩平面ABCD=AD ，PO ⊂平面PAD ， ∴PO ⊥平面ABCD ．
以O 为坐标原点，分别以OB ，OD ，OP 所在直线为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系，
则D （0，3，0），A （0，﹣1，0），P （0，0，），C （，2，0），Q （0，，）．
∴
=（
，3，0），
=（0，3，﹣
），
=（0，，
）．
设平面AQC 的法向量为=（x ，y ，z ），
∴，令y=﹣得=（3，﹣，5）．
∴cos ＜
，＞=
=﹣
．
∴直线PD 与平面AQC 所成角正弦值为
．
21．【答案】
【解析】：Ⅰ当日需求量10n ≥时,利润为5010(10)3030200y n n =⨯+-⨯=+； 当需求量10n <时，利润50(10)1060100y n n n =⨯--⨯=-.
所以利润y 与日需求量n 的函数关系式为：30200,10,60100,10,n n n N
y n n n N +≥∈⎧=⎨-<∈⎩
Ⅱ50天内有9天获得的利润380元，有11天获得的利润为440元，有15天获得利润为500元，有10天获得的利润为530元，有5天获得的利润为560元.
①
3809
4401150015530105605
477.2
50
⨯+⨯+⨯+⨯+⨯= ② 若利润在区间[400,550]内的概率为11151018
5025
P ++==
22．【答案】
【解析】解：（1）令f （x ）=0，得（x 2+mx+m ）e x =0，所以x 2
+mx+m=0．
因为函数f （x ）没有零点，所以△=m 2
﹣4m ＜0，所以0＜m ＜4．
（2）f'（x ）=（2x+m ）e x +（x 2+mx+m ）e x =（x+2）（x+m ）e x
，
令f'（x ）=0，得x=﹣2，或x=﹣m ， 当m ＞2时，﹣m ＜﹣2．列出下表：
x
（﹣∞，﹣m ） ﹣m （﹣m ，﹣2） ﹣2
（﹣2，+∞） f'（x ） + 0
﹣
0 +
f （x ） ↗
me ﹣m ↘
（4﹣m ）e ﹣2
↗
当x=﹣m 时，f （x ）取得极大值me ﹣m
．
当m=2时，f'（x ）=（x+2）2e x
≥0，f （x ）在R 上为增函数，
所以f（x）无极大值．
当m＜2时，﹣m＞﹣2．列出下表：
x （﹣∞，﹣2）﹣2 （﹣2，﹣m）﹣m （﹣m，+∞）
f'（x）+0 ﹣0 +
f（x）↗（4﹣m）e﹣2↘me﹣m↗
当x=﹣2时，f（x）取得极大值（4﹣m）e﹣2，
所以
（3）当m=0时，f（x）=x2e x，令ϕ（x）=e x﹣1﹣x，则ϕ'（x）=e x﹣1，
当x＞0时，φ'（x）＞0，φ（x）为增函数；当x＜0时，φ'（x）＜0，φ（x）为减函数，
所以当x=0时，φ（x）取得最小值0．
所以φ（x）≥φ（0）=0，e x﹣1﹣x≥0，所以e x≥1+x，
因此x2e x≥x2+x3，即f（x）≥x2+x3．
【点评】本题考查的知识点是利用导数研究函数的单调性，利用函数研究函数的极值，其中根据已知函数的解析式，求出函数的导函数是解答此类问题的关键．
23．【答案】
【解析】（1）解：∵数列{a n}满足a1=3，a n+1=a n+p•3n（n∈N*，p为常数），
∴a2=3+3p，a3=3+12p，
∵a1，a2+6，a3成等差数列．∴2a2+12=a1+a3，即18+6p=6+12p 解得p=2．
∵a n+1=a n+p•3n，
∴a2﹣a1=2•3，a3﹣a2=2•32，…，a n﹣a n﹣1=2•3n﹣1，
将这些式子全加起来得
a n﹣a1=3n﹣3，
∴a n=3n．
（2）证明：∵{b n}满足b n=，∴b n=．
设f（x）=，则f′（x）=，x∈N*，
令f′（x）=0，得x=∈（1，2）
当x∈（0，）时，f′（x）＞0；当x∈（，+∞）时，f′（x）＜0，
且f（1）=，f（2）=，
∴f（x）max=f（2）=，x∈N*．
∴b n≤．
【点评】本题考查数列的通项公式的求法，考查不等式的证明，解题时要认真审题，注意构造法的合理运用．24．【答案】
【解析】解：由合A={x|x2﹣5x﹣6＜0}，集合B={x|6x2﹣5x+1≥0}，集合C={x|（x﹣m）（m+9﹣x）＞0}．
∴A={x|﹣1＜x＜6}，，C={x|m＜x＜m+9}．
（1），
（2）由A∪C=C，可得A⊆C．
即，解得﹣3≤m≤﹣1．。