2023-2024人教版八年级数学上册1331等腰三角形第1课时等腰三角形的性质pptx
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∴△BAD ≌△CAD (SAS) ∴∠B =∠C.
A B DC
第1课时 等腰三角形的性质
方法三：作底边上的高线
证明：作 BC 边上的高线 AD. 在 Rt△BAD 和 Rt△CAD 中
AB = AC AD = AD ∴△BAD≌△CAD (HL) ∴∠B =∠C .
A B DC
第1课时 等腰三角形的性质
证明
已知：△ABC 中，AB = AC，求证：∠B =∠C.
方法一：作底边上的中线
A
证明：作底边BC的中线 AD，
AB = AC，
BD = CD， AD = AD， ∴△BAD≌△CAD (SSS) ∴∠B =∠C.
B DC
第1课时 等腰三角形的性质
方法二：作顶角的平分线
证明：作顶角∠BAC的平分线 AD， AB = AC ∠BAD =∠CAD AD = AD
归纳
性质 1：等腰三角形的两个底角相等 ( 简写成：等边对等角 ) .
符号语言：
A
如图，在△ABC中，
∵AB = AC
∴∠B =∠C (等边对等角)
B
C
第1课时 等腰三角形的性质
性质 2：等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相 重合 ( 简写成：三线合一 ).
符号语言 1： 如图，在△ABC中，
A
B
C
D
第1课时 等腰三角形的性质
从以上证明也可以得出，等腰三角形底边上的中线的左右两部分经翻折 可以重合，等腰三角形是轴对称图形，底边上的中线（顶角平分线、底 边上的高)所在直线就是它的对称轴
A
B DC
第1课时 等腰三角形的性质
例1 如图，在△ABC 中 ，AB = AC，点 D 在 AC 上，且 BD = BC = AD， 求△ABC 各角的度数. 解：∵AB = AC，BD = BC = AD， ∴∠ABC =∠C =∠BDC，
第1课时 等腰三角形的性质
针对训练 1. (1) 等腰三角形一个底角为75°，它的另外两个角为__7_5_°_，__30_°__； (2) 等腰三角形一个角为36°，它的另外两个角为__72_°_，__7_2°__或__3_6°__，_1_0_8_°__； (3) 等腰三角形一个角为120°，它的另外两个角为__3_0_°_，__30_°__.
∠A =∠ABD（等边对等角）. 设∠A = x， 则∠BDC =∠A +∠ABD = 2x， 从而∠ABC =∠C =∠BDC = 2x，
第1课时 等腰三角形的性质
于是在△ABC 中，有 ∠A +∠ABC +∠C = x + 2x + 2x = 180° 解得 x = 36°， 在△ABC 中， ∠A = 36°，∠ABC =∠C = 72°.
探究
把一张长方形的纸按图中的虚线对折，并剪去阴影部分，再把它展开， 得到的△ABC 有什么特点？
剪刀剪过的两条边是相等的， 即△ABC中AB=AC，所以△ABC 是等腰三角形.
第1课时 等腰三角形的性质
把剪出的等腰三角形ABC沿折痕对折，找出其中重合的线段和角.
重合的线段 AB 与 AC BD 与 CD AD 与 AD
∵AB = AC，AD⊥BC ∴BD = CD，∠BAD =∠CAD ( 三线合一 )
A
B
C
D
第1课时 等腰三角形的性质
符号语言2： 如图，在△ABC中， ∵AB = AC，BD = CD， ∴AD⊥BC，∠BAD = ∠CAD( 三线合一 )
符号语言 3： 如图，在△ABC中， ∵AB = AC，∠BAD=∠CAD ∴AD⊥BC，BD = CD ( 三线合一 )
难点
第1课时 等腰三角形的性质
新课引入
还记得我们学过的等腰三角形的定义及组成吗？
定义：两边相等的三角形叫做等腰三角形.
A
如图，△ABC为等腰三角形，其中AB=AC， 则AB，AC为腰， BC为底边， 两腰的夹角为顶角， 腰与底边的夹角为底角.
顶
角
腰
腰
底角
B
底边 C
第1课时 等腰三角形的性质
新知学习 等腰三角形的性质
第1课时 等腰三角形的 性质
人教版
八年级上
目录
01 学 习 目 标 03 新 知 学 习
02 新 课 引 入 04 课 堂 小 结
第1课时 等腰三角形的性质
学习目标
1. 理解等腰三角形的概念.
重点
2. 探索并证明等腰三角形的性质定理：等腰三角形的两个底角相等；等
腰三角形顶角平分线、底边上的中线及底边上的高线重合.
2.已知等腰三角形一边长为4，周长为10，则另两边长分别为（ C ）
A．4，2
B．3，3
C．4，2或3，3 D．以上都不对
未指明边是腰或底，需分类讨论.
第1课时 等腰三角形的性质
3.如图，△ABC 中，AB = AC，AD 和 BE 是高，它们相交于点 H，且 AE = BE，求证：AH = 2BD.
第1课时 等腰三角形的性质
在△AHE 和△BCE 中， ∠HAE =∠CBE， AE = BE， ∠AEH =∠BEC，
∴△AHE≌△BCE(ASA). ∴AH = BC. 又∵BC = 2BD， ∴AH = 2BD.
第1课时 等腰三角形的性质
课堂小结
性质1
等腰三角形的两个底角相等 ( 简写成：等 边对等角 ) .
分析: 运用等腰三角形“三线合一”，得 2BD = BC，只需证明△AHE≌△BCE .
第1课时 等腰三角形的性质
证明:∵AB = AC，AD 是高，BE 是高， ∴BC = 2BD. ∠ADC = 90°，∠AEH =∠BEC = 90° ∴∠HAE +∠C = 90°，∠CBE +∠C = 90° ∴∠HAE =∠CBE .
第1课时 等腰三角形的性质
随堂练习
1. 在△ABC 中，AB = AC，AB 的垂直平分线与 AC 所在的直线相交得 的锐角为 50°，则底角的大小为 70° 或 20°.
分析：当题目未给定三角形的形状时，一般需考虑锐角三角形、钝角
三角形、直角三角形三种情况.
A
A
B
C
B
C
第1课时 等腰三角形的性质
重合的角 ∠B 与∠C ∠BAD 与∠CAD ∠ADB 与∠ADC
由这些重合的线段和角，你能发现等腰三角形的性质吗？说出 你的猜想.
第1课时 等腰三角形的性质
猜想 1：等腰三角形的两个底角相等. 猜想 2：等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线及底边上的高线互相 重合.
试着证明这2个 猜想.
第1课时 等腰三角形的性质
等腰三角形 的性质
性质2
等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、 底边上的高互相重合 ( 简写成：三线合一 ).
A B DC
第1课时 等腰三角形的性质
方法三：作底边上的高线
证明：作 BC 边上的高线 AD. 在 Rt△BAD 和 Rt△CAD 中
AB = AC AD = AD ∴△BAD≌△CAD (HL) ∴∠B =∠C .
A B DC
第1课时 等腰三角形的性质
证明
已知：△ABC 中，AB = AC，求证：∠B =∠C.
方法一：作底边上的中线
A
证明：作底边BC的中线 AD，
AB = AC，
BD = CD， AD = AD， ∴△BAD≌△CAD (SSS) ∴∠B =∠C.
B DC
第1课时 等腰三角形的性质
方法二：作顶角的平分线
证明：作顶角∠BAC的平分线 AD， AB = AC ∠BAD =∠CAD AD = AD
归纳
性质 1：等腰三角形的两个底角相等 ( 简写成：等边对等角 ) .
符号语言：
A
如图，在△ABC中，
∵AB = AC
∴∠B =∠C (等边对等角)
B
C
第1课时 等腰三角形的性质
性质 2：等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相 重合 ( 简写成：三线合一 ).
符号语言 1： 如图，在△ABC中，
A
B
C
D
第1课时 等腰三角形的性质
从以上证明也可以得出，等腰三角形底边上的中线的左右两部分经翻折 可以重合，等腰三角形是轴对称图形，底边上的中线（顶角平分线、底 边上的高)所在直线就是它的对称轴
A
B DC
第1课时 等腰三角形的性质
例1 如图，在△ABC 中 ，AB = AC，点 D 在 AC 上，且 BD = BC = AD， 求△ABC 各角的度数. 解：∵AB = AC，BD = BC = AD， ∴∠ABC =∠C =∠BDC，
第1课时 等腰三角形的性质
针对训练 1. (1) 等腰三角形一个底角为75°，它的另外两个角为__7_5_°_，__30_°__； (2) 等腰三角形一个角为36°，它的另外两个角为__72_°_，__7_2°__或__3_6°__，_1_0_8_°__； (3) 等腰三角形一个角为120°，它的另外两个角为__3_0_°_，__30_°__.
∠A =∠ABD（等边对等角）. 设∠A = x， 则∠BDC =∠A +∠ABD = 2x， 从而∠ABC =∠C =∠BDC = 2x，
第1课时 等腰三角形的性质
于是在△ABC 中，有 ∠A +∠ABC +∠C = x + 2x + 2x = 180° 解得 x = 36°， 在△ABC 中， ∠A = 36°，∠ABC =∠C = 72°.
探究
把一张长方形的纸按图中的虚线对折，并剪去阴影部分，再把它展开， 得到的△ABC 有什么特点？
剪刀剪过的两条边是相等的， 即△ABC中AB=AC，所以△ABC 是等腰三角形.
第1课时 等腰三角形的性质
把剪出的等腰三角形ABC沿折痕对折，找出其中重合的线段和角.
重合的线段 AB 与 AC BD 与 CD AD 与 AD
∵AB = AC，AD⊥BC ∴BD = CD，∠BAD =∠CAD ( 三线合一 )
A
B
C
D
第1课时 等腰三角形的性质
符号语言2： 如图，在△ABC中， ∵AB = AC，BD = CD， ∴AD⊥BC，∠BAD = ∠CAD( 三线合一 )
符号语言 3： 如图，在△ABC中， ∵AB = AC，∠BAD=∠CAD ∴AD⊥BC，BD = CD ( 三线合一 )
难点
第1课时 等腰三角形的性质
新课引入
还记得我们学过的等腰三角形的定义及组成吗？
定义：两边相等的三角形叫做等腰三角形.
A
如图，△ABC为等腰三角形，其中AB=AC， 则AB，AC为腰， BC为底边， 两腰的夹角为顶角， 腰与底边的夹角为底角.
顶
角
腰
腰
底角
B
底边 C
第1课时 等腰三角形的性质
新知学习 等腰三角形的性质
第1课时 等腰三角形的 性质
人教版
八年级上
目录
01 学 习 目 标 03 新 知 学 习
02 新 课 引 入 04 课 堂 小 结
第1课时 等腰三角形的性质
学习目标
1. 理解等腰三角形的概念.
重点
2. 探索并证明等腰三角形的性质定理：等腰三角形的两个底角相等；等
腰三角形顶角平分线、底边上的中线及底边上的高线重合.
2.已知等腰三角形一边长为4，周长为10，则另两边长分别为（ C ）
A．4，2
B．3，3
C．4，2或3，3 D．以上都不对
未指明边是腰或底，需分类讨论.
第1课时 等腰三角形的性质
3.如图，△ABC 中，AB = AC，AD 和 BE 是高，它们相交于点 H，且 AE = BE，求证：AH = 2BD.
第1课时 等腰三角形的性质
在△AHE 和△BCE 中， ∠HAE =∠CBE， AE = BE， ∠AEH =∠BEC，
∴△AHE≌△BCE(ASA). ∴AH = BC. 又∵BC = 2BD， ∴AH = 2BD.
第1课时 等腰三角形的性质
课堂小结
性质1
等腰三角形的两个底角相等 ( 简写成：等 边对等角 ) .
分析: 运用等腰三角形“三线合一”，得 2BD = BC，只需证明△AHE≌△BCE .
第1课时 等腰三角形的性质
证明:∵AB = AC，AD 是高，BE 是高， ∴BC = 2BD. ∠ADC = 90°，∠AEH =∠BEC = 90° ∴∠HAE +∠C = 90°，∠CBE +∠C = 90° ∴∠HAE =∠CBE .
第1课时 等腰三角形的性质
随堂练习
1. 在△ABC 中，AB = AC，AB 的垂直平分线与 AC 所在的直线相交得 的锐角为 50°，则底角的大小为 70° 或 20°.
分析：当题目未给定三角形的形状时，一般需考虑锐角三角形、钝角
三角形、直角三角形三种情况.
A
A
B
C
B
C
第1课时 等腰三角形的性质
重合的角 ∠B 与∠C ∠BAD 与∠CAD ∠ADB 与∠ADC
由这些重合的线段和角，你能发现等腰三角形的性质吗？说出 你的猜想.
第1课时 等腰三角形的性质
猜想 1：等腰三角形的两个底角相等. 猜想 2：等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线及底边上的高线互相 重合.
试着证明这2个 猜想.
第1课时 等腰三角形的性质
等腰三角形 的性质
性质2
等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、 底边上的高互相重合 ( 简写成：三线合一 ).