人教A版高中数学选修3-3-1.2 直线与球面的位置关系和球幂定理- 课件(共32张PPT)
合集下载
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
想一想
你还能发现其他一些球的对称性吗？
位置 关系
相离 相切
2. 直线与球面的位置关系和球幂定理．
相交
位置 关系
相离 相切
球幂定理 定理1，2，3．
3. 球面的对称性．
谢谢
不知道自己缺点的人，一辈子都不会想要改善。成功的花，人们只惊慕她现时的明艳！然而当初她的芽儿，浸透了奋斗的泪泉，洒遍了牺牲的血雨。成功的条件在于勇气和 信乃是由健全的思想和健康的体魄而来。成功了自己笑一辈子，不成功被人笑一辈子。成功只有一个理由，失败却有一千种理由。从胜利学得少，从失败学得多。你生而有 前进，形如蝼蚁。你一天的爱心可能带来别人一生的感谢。逆风的方向，更适合飞翔。只有承担起旅途风雨，才能最终守得住彩虹满天只有创造，才是真正的享受，只有拚 活。知识玩转财富。志不立，天下无可成之事。竹笋虽然柔嫩，但它不怕重压，敢于奋斗、敢于冒尖。阻止你前行的，不是人生道路上的一百块石头，而是你鞋子里的那一 爱，不必呼天抢地，只是相顾无言。最值得欣赏的风景，是自己奋斗的足迹。爱的力量大到可以使人忘记一切，却又小到连一粒嫉妒的沙石也不能容纳。生活不可能像你想 不会像你想的那么糟。时间告诉你什么叫衰老，回忆告诉你什么叫幼稚。不要总在过去的回忆里缠绵，昨天的太阳，晒不干今天的衣裳。实现梦想往往是一个艰苦的坚持的 到位，立竿见影。那些成就卓越的人，几乎都在追求梦想的过程中表现出一种顽强的毅力。世界上唯一不变的字就是“变”字。事实胜于雄辩，百闻不如一见。思路决定出路 细节决定成败，性格决定命运虽然你的思维相对于宇宙智慧来说只不过是汪洋中的一滴水，但这滴水却凝聚着海洋的全部财富；是质量上的一而非数量上的一；你的思维拥 所有过不去的都会过去，要对时间有耐心。人总会遇到挫折，总会有低潮，会有不被人理解的时候。如果你希望成功，以恒心为良友，以经验为参谋，以小心为兄弟，以希 个人不知道他要驶向哪个码头，那么任何风都不会是顺风。沙漠里的脚印很快就消逝了。一支支奋进歌却在跋涉者的心中长久激荡。上天完全是为了坚强你的意志，才在道 碍。拥有资源不能成功，善用资源才能成功。小成功靠自己，大成功靠团队。炫耀什么，缺少什么；掩饰什么，自卑什么。所谓正常人，只是自我防御比较好的人。真正的 防而又不受害。学习必须如蜜蜂一样，采过许多花，这才能酿出蜜来态度决定高度。外在压力增加时，就应增强内在的动力。我不是富二代，不能拼爹，但为了成功，我可 站在万人中央成为别人的光。人一辈子不长不短，走着走着，就进了坟墓，你是要轰轰烈烈地风光下葬，还是一把骨灰撒向河流山川。严于自律：不能成为自己本身之主人 他周围任何事物的主人。自律是完全拥有自己的内心并将其导向他所希望的目标的惟一正确的途径。生活对于智者永远是一首昂扬的歌，它的主旋律永远是奋斗。眼泪的存 伤不是一场幻觉。要不断提高自身的能力，才能益己及他。有能力办实事才不会毕竟空谈何益。故事的结束总是满载而归，就是金榜题名。一个人失败的最大原因，是对自 的信心，甚至以为自己必将失败无疑。一个人炫耀什么，说明内心缺少什么。一个人只有在全力以赴的时候才能发挥最大的潜能。我们的能力是有限的，有很多东西飘然于 之外。过去再优美，我们不能住进去；现在再艰险，我们也要走过去！即使行动导致错误，却也带来了学习与成长；不行动则是停滞与萎缩。你的所有不甘和怨气来源于你 你可以平凡，但不能平庸。懦弱的人只会裹足不前，莽撞的人只能引为烧身，只有真正勇敢的人才能所向披靡。平凡的脚步也可以走完伟大的行程。平静的湖面锻炼不出精 生活打造不出生活的强者。人的生命似洪水在奔流，不遇着岛屿、暗礁，难以激起美丽的浪花人生不怕重来，就怕没有将来。人生的成败往往就在于一念之差。人生就像一 为你在看别人耍猴的时候，却不知自己也是猴子中的一员！人生如天气，可预料，但往往出乎意料。人生最大的改变就是去做自己害怕的事情。如果不想被打倒，只有增加 你向神求助，说明你相信神的能力；如果神没有帮助你，说明神相信你的能力。善待自己，不被别人左右，也不去左右别人，自信优雅。活是欺骗不了的，一个人要生活得 象这杯浓酒,不经三番五次的提炼呵,就不会这样一来可口！生命不止需要长度，更需要宽度。时间就像一张网，你撒在哪里，你的收获就在哪里。世上最累人的事，莫过于 你�
想一想
你能仿照定理1的证明过程， 证明定理2和定理3吗？
我们学过的圆它是对称图形，既是
轴对称图形，又是中心对称图形，球面 是一个旋转曲面，与圆一样，球面也有 对称性．
由右图可以看出：
O
1.球面关于球心对称；
2.球面关于球的任意一条直 径对称；
3.球面关于球的大圆对称．
球的这种对称性有很多应用，对 我们研究球面几何具有很大的帮助．
教学目标
知识与能力
• 学习平面几何与立体几何的异同点． • 认识球与平面、球与直线的关系． • 了解球面的对称性．
过程与方法
• 通过与过去知识的对比学习，进一步了解 欧氏几何． • 以球为主，介绍三维欧氏空间的特点． • 掌握球的一些基本性质．
情感态度与价值观
• 让学生在回顾旧知识时，学习新的知识． • 培养合作交流意识．
的半径r．
思考
过球面外一点P，引球的 所有切线有什么性质？
B P
O A
归纳
由上图可以容易得出，过球面外 一点 p 做球的切线，所有的切线（切 点与 p 的距离 ）都相等，它们构成一 个圆锥面．
2.2 球幂定理
想一想
观察下图，想一想我们学过的一 些关于圆的定理．
E
A
D
QC
O
F
P
B
之前在平面几何中学过切线长定理、 切割线定理、相交弦定理，这些定理统 称为圆幂定理．
1.直线与球面相交
O P
l
直线与球面有两个交点，此直线 叫做球面的割线，球心到直线的距离
小于球的半径r．
2.直线与球面相离
O Pl
直线与球面没有公共点，球心到直 线的距离大于球的半径r．
3.直线与球面相切
O
P
l
直线与球面有且只有一个公共点，
这个公共点叫做切点，该直线叫做球面 的切线，此时球心到直线的距离等于球
教学重难点
• 了解平面与球面的位置关系． • 理解球幂定理． • 掌握直线与球面的位置关系． • 掌握球面的对称性．
类似平面与球面的位置关系：
位置关系
相交 相离 相切
第一种：平面与球面相交
O P
a
如上图所示，平面与球面相交，截面是 圆面，平面与球面的交线是一个圆．当球面 与平面相交时，球心到平面的距离小于球的 半径r．
旧知回顾
欧几里得
我们以前学
习的平面几何和 立体几何统称欧 几里得几何（简 称欧氏几何）.
新课导入
本讲我们从欧氏几何的角度，即把 平面和球面都放到三维欧氏空间中，利 用已学过的立体几何知识研究平面、直 线与球面的位置关系及其几何性质，主 要介绍平面与球面的位置关系、直线与 球面的位置关系、球幂定理以及球面的 对称性．
类比圆幂定理，可以发现下面几个 定理：
定理1 从球面外一点p向球面引割线，交
球面与Q，R两点；再从点p引球面的任一 切线，切点为S，则
PS 2=PQ ·PR ．
证明：如下图，连结SQ，SR． 由于两条相交直线PS，RP 唯一确定
a平面，设平面a与球面的截面的圆心为 O．由圆幂定理可知
PS 2=PQ ·PR ．
在平面与球面相交时，有两种情况： 1、如果球面被经过球心的平面所截，那么 所截得的圆叫做大圆．
O
2、如果球面被不经过球心的平面所截得的 圆叫小圆．
O
当我们把地球看作一个球时，经线就 是球面上从北极到南极的半个大圆．
国际上，以过格林
尼治天文台的经线为 0°经线，向东叫做东 经，向西叫做西经．地 球球面上一点的经线的 经度是过该点的经度所 在的半平面与0°经线 所在的半平面所成的二 面角的大小．
很明显，地球表面上任意一点由经度和 纬度唯一确定．
第二种：平面与球面相离
O
a
P
平面与球面相离时，它们没有交点， 此时球心到平面的距离大于球的半径r．
第三种：平面与球面相切
O
a
P
平面与球面相切，有且只有一个交 点，球心到平面的距离等于球的半径r．
2.1 直线与球面的位置关系
我们可以参考平面与球面的位 置关系，来学习直线与球面的位置 关系．因为我们可以把平面看成是 由无数条直线组成．
R
Q O
P
S
定理2 从球面外一点p向球面引两条割
线，它们分别与球面相交于Q，R，S，
T四点，则
PQ·PR=PS·PT．
R Q
P
O
S T
定理3 设 p 是球面内一点，过点 做
两条直线，它们分别与球面交于Q，R， S，T四点，则
PQ·PR=PS·PT．
Q S
P
O
T
R
定理1、定理2、定理3统称为球幂定理．
你还能发现其他一些球的对称性吗？
位置 关系
相离 相切
2. 直线与球面的位置关系和球幂定理．
相交
位置 关系
相离 相切
球幂定理 定理1，2，3．
3. 球面的对称性．
谢谢
不知道自己缺点的人，一辈子都不会想要改善。成功的花，人们只惊慕她现时的明艳！然而当初她的芽儿，浸透了奋斗的泪泉，洒遍了牺牲的血雨。成功的条件在于勇气和 信乃是由健全的思想和健康的体魄而来。成功了自己笑一辈子，不成功被人笑一辈子。成功只有一个理由，失败却有一千种理由。从胜利学得少，从失败学得多。你生而有 前进，形如蝼蚁。你一天的爱心可能带来别人一生的感谢。逆风的方向，更适合飞翔。只有承担起旅途风雨，才能最终守得住彩虹满天只有创造，才是真正的享受，只有拚 活。知识玩转财富。志不立，天下无可成之事。竹笋虽然柔嫩，但它不怕重压，敢于奋斗、敢于冒尖。阻止你前行的，不是人生道路上的一百块石头，而是你鞋子里的那一 爱，不必呼天抢地，只是相顾无言。最值得欣赏的风景，是自己奋斗的足迹。爱的力量大到可以使人忘记一切，却又小到连一粒嫉妒的沙石也不能容纳。生活不可能像你想 不会像你想的那么糟。时间告诉你什么叫衰老，回忆告诉你什么叫幼稚。不要总在过去的回忆里缠绵，昨天的太阳，晒不干今天的衣裳。实现梦想往往是一个艰苦的坚持的 到位，立竿见影。那些成就卓越的人，几乎都在追求梦想的过程中表现出一种顽强的毅力。世界上唯一不变的字就是“变”字。事实胜于雄辩，百闻不如一见。思路决定出路 细节决定成败，性格决定命运虽然你的思维相对于宇宙智慧来说只不过是汪洋中的一滴水，但这滴水却凝聚着海洋的全部财富；是质量上的一而非数量上的一；你的思维拥 所有过不去的都会过去，要对时间有耐心。人总会遇到挫折，总会有低潮，会有不被人理解的时候。如果你希望成功，以恒心为良友，以经验为参谋，以小心为兄弟，以希 个人不知道他要驶向哪个码头，那么任何风都不会是顺风。沙漠里的脚印很快就消逝了。一支支奋进歌却在跋涉者的心中长久激荡。上天完全是为了坚强你的意志，才在道 碍。拥有资源不能成功，善用资源才能成功。小成功靠自己，大成功靠团队。炫耀什么，缺少什么；掩饰什么，自卑什么。所谓正常人，只是自我防御比较好的人。真正的 防而又不受害。学习必须如蜜蜂一样，采过许多花，这才能酿出蜜来态度决定高度。外在压力增加时，就应增强内在的动力。我不是富二代，不能拼爹，但为了成功，我可 站在万人中央成为别人的光。人一辈子不长不短，走着走着，就进了坟墓，你是要轰轰烈烈地风光下葬，还是一把骨灰撒向河流山川。严于自律：不能成为自己本身之主人 他周围任何事物的主人。自律是完全拥有自己的内心并将其导向他所希望的目标的惟一正确的途径。生活对于智者永远是一首昂扬的歌，它的主旋律永远是奋斗。眼泪的存 伤不是一场幻觉。要不断提高自身的能力，才能益己及他。有能力办实事才不会毕竟空谈何益。故事的结束总是满载而归，就是金榜题名。一个人失败的最大原因，是对自 的信心，甚至以为自己必将失败无疑。一个人炫耀什么，说明内心缺少什么。一个人只有在全力以赴的时候才能发挥最大的潜能。我们的能力是有限的，有很多东西飘然于 之外。过去再优美，我们不能住进去；现在再艰险，我们也要走过去！即使行动导致错误，却也带来了学习与成长；不行动则是停滞与萎缩。你的所有不甘和怨气来源于你 你可以平凡，但不能平庸。懦弱的人只会裹足不前，莽撞的人只能引为烧身，只有真正勇敢的人才能所向披靡。平凡的脚步也可以走完伟大的行程。平静的湖面锻炼不出精 生活打造不出生活的强者。人的生命似洪水在奔流，不遇着岛屿、暗礁，难以激起美丽的浪花人生不怕重来，就怕没有将来。人生的成败往往就在于一念之差。人生就像一 为你在看别人耍猴的时候，却不知自己也是猴子中的一员！人生如天气，可预料，但往往出乎意料。人生最大的改变就是去做自己害怕的事情。如果不想被打倒，只有增加 你向神求助，说明你相信神的能力；如果神没有帮助你，说明神相信你的能力。善待自己，不被别人左右，也不去左右别人，自信优雅。活是欺骗不了的，一个人要生活得 象这杯浓酒,不经三番五次的提炼呵,就不会这样一来可口！生命不止需要长度，更需要宽度。时间就像一张网，你撒在哪里，你的收获就在哪里。世上最累人的事，莫过于 你�
想一想
你能仿照定理1的证明过程， 证明定理2和定理3吗？
我们学过的圆它是对称图形，既是
轴对称图形，又是中心对称图形，球面 是一个旋转曲面，与圆一样，球面也有 对称性．
由右图可以看出：
O
1.球面关于球心对称；
2.球面关于球的任意一条直 径对称；
3.球面关于球的大圆对称．
球的这种对称性有很多应用，对 我们研究球面几何具有很大的帮助．
教学目标
知识与能力
• 学习平面几何与立体几何的异同点． • 认识球与平面、球与直线的关系． • 了解球面的对称性．
过程与方法
• 通过与过去知识的对比学习，进一步了解 欧氏几何． • 以球为主，介绍三维欧氏空间的特点． • 掌握球的一些基本性质．
情感态度与价值观
• 让学生在回顾旧知识时，学习新的知识． • 培养合作交流意识．
的半径r．
思考
过球面外一点P，引球的 所有切线有什么性质？
B P
O A
归纳
由上图可以容易得出，过球面外 一点 p 做球的切线，所有的切线（切 点与 p 的距离 ）都相等，它们构成一 个圆锥面．
2.2 球幂定理
想一想
观察下图，想一想我们学过的一 些关于圆的定理．
E
A
D
QC
O
F
P
B
之前在平面几何中学过切线长定理、 切割线定理、相交弦定理，这些定理统 称为圆幂定理．
1.直线与球面相交
O P
l
直线与球面有两个交点，此直线 叫做球面的割线，球心到直线的距离
小于球的半径r．
2.直线与球面相离
O Pl
直线与球面没有公共点，球心到直 线的距离大于球的半径r．
3.直线与球面相切
O
P
l
直线与球面有且只有一个公共点，
这个公共点叫做切点，该直线叫做球面 的切线，此时球心到直线的距离等于球
教学重难点
• 了解平面与球面的位置关系． • 理解球幂定理． • 掌握直线与球面的位置关系． • 掌握球面的对称性．
类似平面与球面的位置关系：
位置关系
相交 相离 相切
第一种：平面与球面相交
O P
a
如上图所示，平面与球面相交，截面是 圆面，平面与球面的交线是一个圆．当球面 与平面相交时，球心到平面的距离小于球的 半径r．
旧知回顾
欧几里得
我们以前学
习的平面几何和 立体几何统称欧 几里得几何（简 称欧氏几何）.
新课导入
本讲我们从欧氏几何的角度，即把 平面和球面都放到三维欧氏空间中，利 用已学过的立体几何知识研究平面、直 线与球面的位置关系及其几何性质，主 要介绍平面与球面的位置关系、直线与 球面的位置关系、球幂定理以及球面的 对称性．
类比圆幂定理，可以发现下面几个 定理：
定理1 从球面外一点p向球面引割线，交
球面与Q，R两点；再从点p引球面的任一 切线，切点为S，则
PS 2=PQ ·PR ．
证明：如下图，连结SQ，SR． 由于两条相交直线PS，RP 唯一确定
a平面，设平面a与球面的截面的圆心为 O．由圆幂定理可知
PS 2=PQ ·PR ．
在平面与球面相交时，有两种情况： 1、如果球面被经过球心的平面所截，那么 所截得的圆叫做大圆．
O
2、如果球面被不经过球心的平面所截得的 圆叫小圆．
O
当我们把地球看作一个球时，经线就 是球面上从北极到南极的半个大圆．
国际上，以过格林
尼治天文台的经线为 0°经线，向东叫做东 经，向西叫做西经．地 球球面上一点的经线的 经度是过该点的经度所 在的半平面与0°经线 所在的半平面所成的二 面角的大小．
很明显，地球表面上任意一点由经度和 纬度唯一确定．
第二种：平面与球面相离
O
a
P
平面与球面相离时，它们没有交点， 此时球心到平面的距离大于球的半径r．
第三种：平面与球面相切
O
a
P
平面与球面相切，有且只有一个交 点，球心到平面的距离等于球的半径r．
2.1 直线与球面的位置关系
我们可以参考平面与球面的位 置关系，来学习直线与球面的位置 关系．因为我们可以把平面看成是 由无数条直线组成．
R
Q O
P
S
定理2 从球面外一点p向球面引两条割
线，它们分别与球面相交于Q，R，S，
T四点，则
PQ·PR=PS·PT．
R Q
P
O
S T
定理3 设 p 是球面内一点，过点 做
两条直线，它们分别与球面交于Q，R， S，T四点，则
PQ·PR=PS·PT．
Q S
P
O
T
R
定理1、定理2、定理3统称为球幂定理．