2020年河北省衡水市深县深州镇中学高三数学文月考试卷含解析

2020年河北省衡水市深县深州镇中学高三数学文月考
试卷含解析
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的
1. 某程序框图如图所示，若输出的S =57，则判断框内为
A．k>4？ B．k>5?
C．k>6？ D．k>7？
参考答案：
2. 设为正实数，则“”是“”成立的………………（）．（A）充分不必要条件（B）必要不充分条件（C）充要条件（D）既不充分也不必要条件参考答案：
C
3. 设f（x）是周期为2的奇函数，当0≤x≤1时，f（x）=2x，则f（﹣）=（）
A．﹣B．﹣C．D．
参考答案：
B
【考点】函数奇偶性的性质；函数的周期性．
【分析】根据函数奇偶性和周期性的关系进行转化求解即可．
【解答】解：∵f（x）是周期为2的奇函数，
∴f（﹣）=﹣f（）=﹣f（﹣2）=﹣f（），
∵当0≤x≤1时，f（x）=2x，
∴f（）==，
则f（﹣）=﹣，
故选：B．
4. 某几何体的三视图（如图3所示）均为边长为2的等腰直角三角
形，则该几何体的表面积是
A．B ．
C．
D．
参考答案：
A
略
5. 将直线y=3x绕原点逆时针旋转90度，再向右平移1个单位，所得的直线方程为M（1,－1），则直线l的斜率为（）
A. B. C.
D.
参考答案：
A
6. 已知等差数列{a n}的前n项和为S n，若S10=55，则a3+a8=（）
A．5 B． C．10 D．11
参考答案：
D
【考点】等差数列的前n项和．
【分析】利用等差数列前n项和公式得到S10=5（a3+a8），由此能求出a3+a8的值．
【解答】解：∵等差数列{a n}的前n项和为S n，S10=55，
∴S10===5（a3+a8）=55，
解得a3+a8=11．
故选：D．
7. 若，，则角的终边落在直线（）上
A．B．
C．D．
参考答案：
B
可得，则，角的终边落在直线，即．
8. 已知集合，集合，则= （）
A． B． C． D．
参考答案：
9. 若将函数的图象向右平移个单位，所得图象关于y轴对称，则的最小值是( )
A. B. C. D.
参考答案：
D
【分析】
化简函数得，的图象向右平移个单位可得
，所得函数的图象关于y轴对称，得，即，，对赋值求解即可.
【详解】∵
，
函数的图象向右平移个单位可得，所得图象关于y轴对称，
根据三角函数的对称性，可得此函数在y轴处取得函数的最值，即，解得=，，
所以，，且，令时，的最小值为.
故选：D．
10. 若双曲线的一条渐近线经过点，则此双曲线的离心率为（）
A. B. C. D.
参考答案：
C
【分析】
先由渐近线过点，得到与关系，进而可求出结果.
【详解】因为双曲线的一条渐近线经过点，所以，即
，
即，所以.
故选C
【点睛】本题主要考查双曲线的离心率，熟记双曲线的性质即可，属于基础题型.
二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 已知函数是R上的奇函数，若对于，都有，
时，的值为
参考答案：
-1
12. ，则数列的前项和____________
参考答案：
略
13. 已知实数x，y满足的最小值为___________．
参考答案：
5
解析：
由题意可得可行域为如图所示（含边界），，即，
则在点处取得最小值. 联立解得：.
代入得最小值5.
14. 古代数学家杨辉在沈括的隙积术的基础上想到：若由大小相等的圆球垛成类似于正四棱台的方垛，上底由a×a个球组成，以下各层的长、宽依次各增加过一个球，共有n
层，最下层（即下底）由b×b个球组成，杨辉给出求方垛中圆球总数的公式如下：S=
（a2+b2+ab+），根据以上材料，我们可得12+22+…+n2= ．
参考答案：
【考点】数列的求和．
【分析】取a=1，b=n，代入公式S=（a2+b2+ab+），即可得出．
【解答】解：取a=1，b=n，
则可得12+22+…+n2=×=．
故答案为：．
【点评】本题考查了杨辉求方垛中圆球总数的公式、数列求和，考查了推理能力与计算能
力，属于中档题．
15. 设向量与的夹角为，且，，则．
参考答案：
16. 计算：＝．
参考答案：
答案：
解析：；
17. 对于同一平面的单位向量若与的夹角为则的最大值
是 .
参考答案：
方法一：在半径为的圆中，以圆心为起点构造单位向量，并满足，分别考察向量，和的几何意义，利用平几知识可得
最大值为.
方法二：，注意到，都是相互独立的单位向量，
所以的最小值为，所以最大值为.
方法三：，仿方法一可得的最小值为.
三、解答题：本大题共5小题，共72分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
18. 函数是定义在上的偶函数，且对任意实数，都有成立，已知当时，。

（1）求时，函数的表达式；
（2）求时，函数的表达式；
（3）若函数的最大值为，在区间上，解关于的不等式。

参考答案：
19. 如图，在三棱柱中，⊥底面，且△为正三角形，
，为的中点．
(1)求证直线∥平面；
(2)求证平面⊥平面；
(3)求三棱锥的体积．
参考答案：
(1)见解析； (2)见解析；(3) 9
解析：（1）证明：连接B1C交BC1于点O，连接OD，则点O为B1C的中点．…………1分∵D为AC中点，得DO为中位线，∴．…………………………2分
∴直线AB1∥平面BC1D ………………………4分
（2）证明：∵底面，∴……………………………………5分
∵底面正三角形，D是AC的中点∴BD⊥AC ………………………………6分
∵，∴BD⊥平面ACC1A1……………………………………7分
,…………………8分（3）由（2）知△ABC中，BD⊥AC，BD=BCsin60°=3
∴ ==………………………………10分
又是底面BCD上的高………………………………11分
∴=??6=9………………………13分
略
20. （2015?铜川模拟）已知a2+b2=1，c2+d2=1．
（Ⅰ）求证：ab+cd≤1．
（Ⅱ）求a+b的取值范围．
参考答案：
【考点】不等式的证明．
【专题】综合题；不等式的解法及应用．
【分析】（Ⅰ）利用综合法，结合基本不等式，即可得出结论；
（Ⅱ）设=（a，b），=（1，），利用|?|≤||?||，可求a+b的取值范围．
【解答】（I）证明：∵a2+b2≥2ab，c2+d2≥2cd，
∴a2+b2+c2+d2≥2（ab+cd），当且仅当a=b=c=d=时取“=”…
又∵a2+b2=1，c2+d2=1
∴2（ab+cd）
≤2…
∴ab+cd≤1
…
（Ⅱ）解：设=（a，b），=（1，），
∵|?|≤||?||，…
∴|a+b|≤2=2，
∴﹣2≤a+b≤2
∴a+b的取值范围为[﹣2，2]．…
【点评】本题考查不等式的证明，考查求a+b的取值范围，正确运用基本不等式，合理构造向量是关键．
21. 在△ABC中，a、b、c分别是角A、B、C的对边，且．
（1）求角B的大小；
（2）若b=3，求△ABC面积的最大值．
参考答案：
【考点】余弦定理；正弦定理．
【专题】计算题；转化思想；分析法；解三角形．
【分析】（1）根据正弦定理与两角和的正弦公式，化简已知等式得2cosBsinA+sin
（B+C）=0，由三角函数的诱导公式可得 sinA=sin（B+C），代入前面的等式并整理得
sinA（2cosB+1）=0．由此解出cosB=﹣，即可得出角B的大小．
（2）利用余弦定理得到b2=a2+c2﹣2accosB，将b及cosB的值代入，并利用基本不等式变形后得出ac的最大值，然后再利用三角形的面积公式表示出三角形ABC的面积，将ac的最大值及sinB的值代入，即可求出三角形ABC面积的最大值．
【解答】解：（1）∵在△ABC中，，
∴根据正弦定理，得=﹣，
去分母，得cosB（2sinA+sinC）=﹣sinBcosC，
即2cosBsinA+（sinBcosC+cosBsinC）=0，可得2cosBsinA+sin（B+C）=0，
∵△ABC中，sinA=sin（B+C），
∴2cosBsinA+sinA=0，即sinA（2cosB+1）=0．
又∵△ABC中，sinA＞0，
∴2cosB+1=0，可得cosB=﹣．
∵B∈（0，π），∴B=π．
（2）∵b=3，cosB=cosπ=﹣，
∴由余弦定理b2=a2+c2﹣2accosB，即9=a2+c2+ac≥3ac，即ac≤3，
∴S△ABC=acsinB≤×3×=（当且仅当ac时取等号），
则△ABC面积最大值为．
【点评】此题考查了正弦、余弦定理，三角形的面积公式，两角和与差的正弦函数公式，诱导公式，基本不等式，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握定理及公式是解本题的关键．
22.
（1）当时，求函数的单调递增区间；
（2）设函数（是自然对数的底数），是否存在使在上为减函数，若存在，求实数的范围，若不存在，请说明理由。

【答案】【解析】（1）f(x)的单调增区间是（0,1），；（2）实数的范围是.
解析：（1）当a=-2时，，
设,即，所以x<1,或x>2
所以f(x)的单调增区间是（0,1），.---------4分
（2）假设存在a使g(x)在[a,-a]上减函数，则a<0.
当时：
因为
所以①当时，在定义域上为增函数，不合题意；
②当时，由得，1<x<2a+2，在上为增函数，则在
上也是增函数，也不合题意；
③当时，由得：2a+2<x<1，若则a不存在，
所以时，a不存在.-----------------------8分
当时：因为g(x)在[a,-a]上为减函数，则F(x)在[a,1]上为减函数，f(x)在[1，-a]上也为减函数，且F(1) ，则，由得，所以，综上所述，符合条件的a 满足.-------12分
参考答案：略。