7.5.2三角形外角定理的证明(课件)北师大版数学八年级上册
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解：(1)在△ABC中，∠ABC＝60°，∠ACB＝40°， 所以∠A＝180°－∠ABC－∠ACB＝80°. 因为BD为∠ABC的平分线，CD为∠ACE的平分线， 所∠A以C∠DD＝B12C＝(18012∠°A－B∠C＝ACB12×)＝6012°×＝14300°°＝，70°， 所以∠D＝180°－∠DBC－∠ACB－∠ACD＝180°－30° －40°－70°＝40°，所以∠A＝80°，∠D＝40°.
4．如图，这是我们证明三角形内角和定理时画的辅助线 (CM∥AB)，你能就此图说明∠ACD与∠A、∠B的关系吗？
因为CM∥AB， 所以∠A＝∠1，∠B＝∠2. 又因为∠ACD＝∠1＋∠2， 所以∠ACD＝∠A＋∠B
小组讨论
如图，在△ABC中，∠ABC的平分线与外角∠ACE的平分线相交于点D. (1)若∠ABC＝60°，∠ACB＝40°，求∠A和∠D的度数；
5 三角形内角和定理
第2课时 三角形外角定理的证明
学习目标
1. 通过阅读课本掌握三角形的外角的定义和性质，了解三 角形外角定理的证明过程，提高学生解决问题的能力．
2．通过让学生在操作活动中探索并了解三角形外角的两个 性质，训练学生对所学知识的运用能力．
3．通过让学生积极参与数学学习活动，激发学生对数学的 好奇心与求知欲，给学生树立学好数学的信心．
公元220年至280年间，中国历史上的一个重要时期.在这个时 期，中国分裂成为三个政治实体：曹魏、蜀汉和东吴.这三个 政治实体之间相互争斗，形成了著名的三国鼎立的局面. 这是三国时期的局势图，把三国主要 城邦用直线连接起来就形成了我们今 天要学习的三角形外角
自主探究
1. 阅读课本181－182页． 2．请同学们随便画一个三角形并按课本181页的方法找到三角
(2)猜想∠A和∠D有什么数量关系，并说明理由．
(2)∠A＝2∠D，理由如下： 因为∠ACE＝∠A＋∠ABC，所以∠ACD＋∠ECD＝∠A＋ ∠ABD＋∠DBE，∠DCE＝∠D＋∠DBC. 又因为BD为∠ABC的平分线，CD为∠ACE的平分线， 所以∠ABD＝∠DBE，∠ACD＝∠ECD. 因为∠A＝∠ACE－∠ABC＝2(∠DCE－∠DBC)， 又因为∠D＝∠DCE－∠DBC，所以∠A＝2∠D
归纳：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和． 在这里，我们通过三角形内角和定理直接推导出一个新定理，像这 样，由基本事实或定理直接推导出的定理，叫做这个基本事实或定 理的推论．因此，这个结论称为三角形内角和定理的推论，它可以 当作定理直接使用.
典例精讲
【题型一】三角形外角的性质 例1：如图，在△ABC中，∠A＝70°，∠ACD是△ABC 的外角．若∠ACD＝120°，则∠B＝__5_0_°__．
旧识回顾 1．三角形内角和定理是什么？
三角形的内角和等于180° 2．邻补角的定义是什么？
两个角有一条公共边，它们的另一边互为反向延长线，具有 这种关系的两个角，互为邻补角
新知导入
情境导入
A
B C
问题导入
同学们， 当今世界风云变幻，虽然和平与发展已成为世界的主流.但 是各个国家和地区之间的矛盾仍然存在，我们的幸福生活离不开党的 领导，人民解放军的保护.这是一个八一军徽，轮廓是一个五角星， 那么大家知道这五个角的和是多少吗？
变式：如图，在△ABC中，延长AB至点D，延长BC至点E，若 ∠A＝55°，则∠1＋∠2＝___2_3_5___°.
课堂小结
1．我们这节课学习了哪些主要知识？ ①三角形的外角概念． ②三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和． ③三角形的一个外角与它相邻内角的关法
注意：把三角形各边向两方向延长，就可以画出一个三角 形的所有外角．可以得到：一个三角形有6个外角，其中 有3个与另外3个相等，所以研究时，只讨论不同顶点处的 3个外角的性质．
知识点2：三角形内角和定理的推论(难点)
如图所示，∠1是△ABC的一个外角，∠1与图中的其他角有什么关系呢？能 证明你的结论吗？ 因为∠1＋∠4＝180°，∠2＋∠3＋∠4＝180°，所以∠2＋∠3 ＝180°－∠4，∠1＝180°－∠4，所以∠1＝∠2＋∠3.
通过今天这节课我们要学会分享数学的乐趣，感受数 学的实用价值，体会数学以不变应万变的魅力．
课堂小结
教材习题：完成课本183页随堂练习． 作业本作业：完成对应练习． 实践性作业：在家中寻找一个一面为三 角形的物体，利用工具画出该三角形， 并计算三角形的外角．
小组展示
越展越优秀
提疑惑：你有什么疑惑？
知识讲解
知识点1：三角形外角的概念及特征(重点)
如图，把△ABC的一边BC延长，得到∠ACD.像这样，三角形的一 边与另一边的反向延长线组成的角，叫做三角形的外角． 特征： (1)顶点在三角形的一个顶点上； (2)一条边是三角形的一边； (3)另一条边是三角形某条边的反向延长线.
解：图①中，∠1＝40°，∠2＝140°；图②中，∠1＝110°，∠2＝70°； 图③中，∠1＝50°，∠2＝140°；图④中，∠1＝55°，∠2＝70°； 图⑤中，∠1＝80°，∠2＝40°；图⑥中，∠1＝60°，∠2＝30°.
【题型三】利用三角形外角性质求角的度数
例3：如图，在△ABC中，延长AB至点D，延长BC至点E， 若∠1＋∠2＝230°，则∠A＝___5_0_°___．
变式1：如图是滑雪大跳台的模拟示意图，其中∠B＝35°，∠C ＝x°，∠BAD＝y°，则y关于x的关系式是( B ) A．y＝x＋55 B．y＝x＋35 C．y＝x－35 D．y＝145－x
变式2：如图，在△ABC中，∠1∶∠2＝3∶5，∠4＝100°，则∠1 ＝__3_7_._5_°__．
【题型二】三角形的外角性质与内角和的综合应用 例2：写出下列图形中∠1和∠2的度数：
形的外角，并将内角剪下进行拼合．
3．请同学们在完成上面任务后思考以下问题： ①三角形的外角和相邻的内角的大小关系是什么？
三角形的外角＝180°－相邻的内角 ②三角形的外角和不相邻的两个内角的大小关系是什么？
三角形的外角等于不相邻的两个内角的和 ③一个三角形有几个外角？每个顶点处有几个外角？
三角形每个顶点处有两个外角，它们是对顶角．所以三 角形共有六个外角，通常每个顶点处取一个外角，因此， 我们常说三角形有三个外角
4．如图，这是我们证明三角形内角和定理时画的辅助线 (CM∥AB)，你能就此图说明∠ACD与∠A、∠B的关系吗？
因为CM∥AB， 所以∠A＝∠1，∠B＝∠2. 又因为∠ACD＝∠1＋∠2， 所以∠ACD＝∠A＋∠B
小组讨论
如图，在△ABC中，∠ABC的平分线与外角∠ACE的平分线相交于点D. (1)若∠ABC＝60°，∠ACB＝40°，求∠A和∠D的度数；
5 三角形内角和定理
第2课时 三角形外角定理的证明
学习目标
1. 通过阅读课本掌握三角形的外角的定义和性质，了解三 角形外角定理的证明过程，提高学生解决问题的能力．
2．通过让学生在操作活动中探索并了解三角形外角的两个 性质，训练学生对所学知识的运用能力．
3．通过让学生积极参与数学学习活动，激发学生对数学的 好奇心与求知欲，给学生树立学好数学的信心．
公元220年至280年间，中国历史上的一个重要时期.在这个时 期，中国分裂成为三个政治实体：曹魏、蜀汉和东吴.这三个 政治实体之间相互争斗，形成了著名的三国鼎立的局面. 这是三国时期的局势图，把三国主要 城邦用直线连接起来就形成了我们今 天要学习的三角形外角
自主探究
1. 阅读课本181－182页． 2．请同学们随便画一个三角形并按课本181页的方法找到三角
(2)猜想∠A和∠D有什么数量关系，并说明理由．
(2)∠A＝2∠D，理由如下： 因为∠ACE＝∠A＋∠ABC，所以∠ACD＋∠ECD＝∠A＋ ∠ABD＋∠DBE，∠DCE＝∠D＋∠DBC. 又因为BD为∠ABC的平分线，CD为∠ACE的平分线， 所以∠ABD＝∠DBE，∠ACD＝∠ECD. 因为∠A＝∠ACE－∠ABC＝2(∠DCE－∠DBC)， 又因为∠D＝∠DCE－∠DBC，所以∠A＝2∠D
归纳：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和． 在这里，我们通过三角形内角和定理直接推导出一个新定理，像这 样，由基本事实或定理直接推导出的定理，叫做这个基本事实或定 理的推论．因此，这个结论称为三角形内角和定理的推论，它可以 当作定理直接使用.
典例精讲
【题型一】三角形外角的性质 例1：如图，在△ABC中，∠A＝70°，∠ACD是△ABC 的外角．若∠ACD＝120°，则∠B＝__5_0_°__．
旧识回顾 1．三角形内角和定理是什么？
三角形的内角和等于180° 2．邻补角的定义是什么？
两个角有一条公共边，它们的另一边互为反向延长线，具有 这种关系的两个角，互为邻补角
新知导入
情境导入
A
B C
问题导入
同学们， 当今世界风云变幻，虽然和平与发展已成为世界的主流.但 是各个国家和地区之间的矛盾仍然存在，我们的幸福生活离不开党的 领导，人民解放军的保护.这是一个八一军徽，轮廓是一个五角星， 那么大家知道这五个角的和是多少吗？
变式：如图，在△ABC中，延长AB至点D，延长BC至点E，若 ∠A＝55°，则∠1＋∠2＝___2_3_5___°.
课堂小结
1．我们这节课学习了哪些主要知识？ ①三角形的外角概念． ②三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和． ③三角形的一个外角与它相邻内角的关法
注意：把三角形各边向两方向延长，就可以画出一个三角 形的所有外角．可以得到：一个三角形有6个外角，其中 有3个与另外3个相等，所以研究时，只讨论不同顶点处的 3个外角的性质．
知识点2：三角形内角和定理的推论(难点)
如图所示，∠1是△ABC的一个外角，∠1与图中的其他角有什么关系呢？能 证明你的结论吗？ 因为∠1＋∠4＝180°，∠2＋∠3＋∠4＝180°，所以∠2＋∠3 ＝180°－∠4，∠1＝180°－∠4，所以∠1＝∠2＋∠3.
通过今天这节课我们要学会分享数学的乐趣，感受数 学的实用价值，体会数学以不变应万变的魅力．
课堂小结
教材习题：完成课本183页随堂练习． 作业本作业：完成对应练习． 实践性作业：在家中寻找一个一面为三 角形的物体，利用工具画出该三角形， 并计算三角形的外角．
小组展示
越展越优秀
提疑惑：你有什么疑惑？
知识讲解
知识点1：三角形外角的概念及特征(重点)
如图，把△ABC的一边BC延长，得到∠ACD.像这样，三角形的一 边与另一边的反向延长线组成的角，叫做三角形的外角． 特征： (1)顶点在三角形的一个顶点上； (2)一条边是三角形的一边； (3)另一条边是三角形某条边的反向延长线.
解：图①中，∠1＝40°，∠2＝140°；图②中，∠1＝110°，∠2＝70°； 图③中，∠1＝50°，∠2＝140°；图④中，∠1＝55°，∠2＝70°； 图⑤中，∠1＝80°，∠2＝40°；图⑥中，∠1＝60°，∠2＝30°.
【题型三】利用三角形外角性质求角的度数
例3：如图，在△ABC中，延长AB至点D，延长BC至点E， 若∠1＋∠2＝230°，则∠A＝___5_0_°___．
变式1：如图是滑雪大跳台的模拟示意图，其中∠B＝35°，∠C ＝x°，∠BAD＝y°，则y关于x的关系式是( B ) A．y＝x＋55 B．y＝x＋35 C．y＝x－35 D．y＝145－x
变式2：如图，在△ABC中，∠1∶∠2＝3∶5，∠4＝100°，则∠1 ＝__3_7_._5_°__．
【题型二】三角形的外角性质与内角和的综合应用 例2：写出下列图形中∠1和∠2的度数：
形的外角，并将内角剪下进行拼合．
3．请同学们在完成上面任务后思考以下问题： ①三角形的外角和相邻的内角的大小关系是什么？
三角形的外角＝180°－相邻的内角 ②三角形的外角和不相邻的两个内角的大小关系是什么？
三角形的外角等于不相邻的两个内角的和 ③一个三角形有几个外角？每个顶点处有几个外角？
三角形每个顶点处有两个外角，它们是对顶角．所以三 角形共有六个外角，通常每个顶点处取一个外角，因此， 我们常说三角形有三个外角