平遥县第二中学2018-2019学年高二上学期第二次月考试卷数学(1)

平遥县第二中学2018-2019学年高二上学期第二次月考试卷数学
班级__________ 姓名__________ 分数__________
一、选择题
1．已知双曲线的渐近线与圆x2+（y﹣2）2=1相交，则该双曲线的离心率的取值范围是（）
A．（，+∞）B．（1，）C．（2．+∞）D．（1，2）
2．直线x+y﹣1=0与2x+2y+3=0的距离是（）
A． B．C． D．
3．对于区间[a，b]上有意义的两个函数f（x）与g（x），如果对于区间[a，b]中的任意数x均有|f（x）﹣g （x）|≤1，则称函数f（x）与g（x）在区间[a，b]上是密切函数，[a，b]称为密切区间．若m（x）=x2﹣3x+4与n（x）=2x﹣3在某个区间上是“密切函数”，则它的一个密切区间可能是（）
A．[3，4] B．[2，4] C．[1，4] D．[2，3]
4．某工厂产生的废气经过过虑后排放，过虑过程中废气的污染物数量P（单位：毫克/升）与时间t（单位：
小时）间的关系为
0e kt
P P-
=（
P，k均为正常数）．如果前5个小时消除了10%的污染物，为了消除27.1%的污染物，则需要（）小时.
A.8
B.10
C. 15
D. 18
【命题意图】本题考指数函数的简单应用，考查函数思想，方程思想的灵活运用，体现“数学是有用的”的新课标的这一重要思想.
5．若函数y=x2+（2a﹣1）x+1在区间（﹣∞，2]上是减函数，则实数a的取值范围是（）
A．[﹣，+∞）B．（﹣∞，﹣] C．[，+∞）D．（﹣∞，]
6．在正方体8个顶点中任选3个顶点连成三角形，则所得的三角形是等腰直角三角形的概率为（）
A．B．C．D．
7．下列函数在其定义域内既是奇函数又是增函数的是（）
A． B． C． D．
8．下列说法：①将一组数据中的每个数据都加上或减去同一个常数后，方差恒不变；②设有一个回归方程
y=3﹣5x，变量x增加一个单位时，y平均增加5个单位；③线性回归方程y=bx+a必过；④在吸烟与患肺病这两个分类变量的计算中，从独立性检验知，有99%的把握认为吸烟与患肺病有关系时，我们说某人吸烟，那么他有99%的可能患肺病；其中错误的个数是（）
A．0 B．1 C．2 D．3
9． “2
4
x π
π
-
<≤
”是“tan 1x ≤”的（ ） A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
【命题意图】本题主要考查充分必要条件的概念与判定方法，正切函数的性质和图象，重点是单调性.
10．在ABC ∆中，若60A ∠=，45B ∠=，BC =AC =（ ）
A ．
B ． C.
D 11．若复数（2+ai ）2（a ∈R ）是实数（i 是虚数单位），则实数a 的值为（ ） A ．﹣2 B ．±2 C ．0 D ．2
12．与圆C 1：x 2+y 2﹣6x+4y+12=0，C 2：x 2+y 2
﹣14x ﹣2y+14=0都相切的直线有（ ） A ．1条 B ．2条 C ．3条 D ．4条
二、填空题
13．下列四个命题申是真命题的是 （填所有真命题的序号） ①“p ∧q 为真”是“p ∨q 为真”的充分不必要条件；
②空间中一个角的两边和另一个角的两边分别平行，则这两个角相等； ③在侧棱长为2，底面边长为3的正三棱锥中，侧棱与底面成30°的角；
④动圆P 过定点A （﹣2，0），且在定圆B ：（x ﹣2）2+y 2=36的内部与其相内切，则动圆圆心P 的轨迹为一个椭圆．
14． 设函数()x
f x e =，()ln
g x x m =+．有下列四个命题：
①若对任意[1,2]x ∈，关于x 的不等式()()f x g x >恒成立，则m e <；
②若存在0[1,2]x ∈，使得不等式00()()f x g x >成立，则2
ln 2m e <-；
③若对任意1[1,2]x ∈及任意2[1,2]x ∈，不等式12()()f x g x >恒成立，则ln 22
e
m <
-； ④若对任意1[1,2]x ∈，存在2[1,2]x ∈，使得不等式12()()f x g x >成立，则m e <． 其中所有正确结论的序号为 .
【命题意图】本题考查对数函数的性质，函数的单调性与导数的关系等基础知识，考查运算求解，推理论证能力，考查分类整合思想.
15．已知函数f （x ）=（2x+1）e x ，f ′（x ）为f （x ）的导函数，则f ′（0）的值为 ．
16．如图，在棱长为1的正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，M 、N 分别是A 1B 1和BB 1的中点，那么直线AM 和CN 所成角的余弦值为 ．
17．在三角形ABC 中，已知AB=4，AC=3，BC=6，P 为BC 中点，则三角形ABP 的周长为 ．
18．设平面向量()1,2,3,i a i =，满足1i
a =且120a a ⋅=，则12a a += ，123a a a ++的最大
值为 .
【命题意图】本题考查平面向量数量积等基础知识，意在考查运算求解能力.
三、解答题
19．（1）已知f （x ）的定义域为[﹣2，1]，求函数f （3x ﹣1）的定义域； （2）已知f （2x+5）的定义域为[﹣1，4]，求函数f （x ）的定义域．
20．【徐州市2018届高三上学期期中】已知函数（,是自然对数的底数）.
（1）若函数在区间上是单调减函数,求实数的取值范围；
（2）求函数的极值；
（3）设函数图象上任意一点处的切线为，求在轴上的截距的取值范围．
21．已知f （x ）=x 3+3ax 2+bx 在x=﹣1时有极值为0． （1）求常数 a ，b 的值；
（2）求f （x ）在[﹣2，﹣]的最值．
22．如图，AB 是⊙O 的直径，C ，F 为⊙O 上的点，CA 是∠BAF 的角平分线，过点C 作CD ⊥AF 交AF 的延长线于D 点，CM ⊥AB ，垂足为点M ． （1）求证：DC 是⊙O 的切线； （2）求证：AM •MB=DF •DA ．
23．（本小题满分14分）
设函数2
()1cos f x ax bx x =++-，0,2
x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦
（其中a ，b R ∈）.
（1）若0a =，1
2
b =-
，求()f x 的单调区间； （2）若0b =，讨论函数()f x 在0,2π⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
上零点的个数.
【命题意图】本题主要考查利用导数研究函数的单调性，最值、通过研究函数图象与性质，讨论函数的零点个数，考查考生运算求解能力、转化能力和综合应用能力，是难题.
24．设集合{}
{}2
|8150,|10A x x x B x ax =-+==-=．
（1）若1
5
a =，判断集合A 与B 的关系； （2）若A B B =，求实数组成的集合C ．
平遥县第二中学2018-2019学年高二上学期第二次月考试卷数学（参考答案）
一、选择题
1．【答案】C
【解析】解：∵双曲线渐近线为bx±ay=0，与圆x2+（y﹣2）2=1相交
∴圆心到渐近线的距离小于半径，即＜1
∴3a2＜b2，
∴c2=a2+b2＞4a2，
∴e=＞2
故选：C．
【点评】本题主要考查了双曲线的简单性质，直线与圆的位置关系，点到直线的距离公式等．考查了学生数形结合的思想的运用．
2．【答案】A
【解析】解：直线x+y﹣1=0与2x+2y+3=0的距离，就是直线2x+2y﹣2=0与2x+2y+3=0的距离是：
=．
故选：A．
3．【答案】D
【解析】解：∵m（x）=x2﹣3x+4与n（x）=2x﹣3，
∴m（x）﹣n（x）=（x2﹣3x+4）﹣（2x﹣3）=x2﹣5x+7．
令﹣1≤x2﹣5x+7≤1，
则有，
∴2≤x≤3．
故答案为D．
【点评】本题考查了新定义函数和解一元二次不等式组，本题的计算量不大，新定义也比较容易理解，属于基础题．
4．【答案】15
【解析】
5．【答案】B
【解析】解：∵函数y=x2+（2a﹣1）x+1的图象是方向朝上，以直线x=为对称轴的抛物线
又∵函数在区间（﹣∞，2]上是减函数，
故2≤
解得a≤﹣
故选B．
6．【答案】C
【解析】解：正方体8个顶点中任选3个顶点连成三角形，所得的三角形是等腰直角三角形只能在各个面上，在每一个面上能组成等腰直角三角形的有四个，
所以共有4×6=24个，
而在8个点中选3个点的有C83=56，
所以所求概率为=
故选：C
【点评】本题是一个古典概型问题，学好古典概型可以为其它概率的学习奠定基础，同时有利于理解概率的概念，有利于计算一些事件的概率，有利于解释生活中的一些问题．
7．【答案】B
【解析】【知识点】函数的单调性与最值函数的奇偶性
【试题解析】若函数是奇函数，则故排除A、D；
对C：在（-和（上单调递增，
但在定义域上不单调，故C错；
故答案为：B
8．【答案】C
【解析】解：对于①，方差反映一组数据的波动大小，将一组数据中的每个数据都加上或减去同一个常数后，方差恒不变，正确；
对于②，设有一个回归方程y=3﹣5x，变量x增加一个单位时，y应平均减少5个单位，②错误；
对于③，线性回归方程y=bx+a 必过样本中心点，正确；
对于④，在吸烟与患肺病这两个分类变量的计算中，从独立性检验知，有99%的把握认为吸烟与患肺病有关
系时，
我们说某人吸烟，那么他有99%的可能患肺病，错误； 综上，其中错误的个数是2． 故选：C ．
9． 【答案】A
【解析】因为tan y x =在,22ππ⎛⎫
-
⎪⎝⎭
上单调递增，且24x ππ-<≤，所以tan tan 4x π≤，即tan 1x ≤.反之，当
tan 1x ≤时，24k x k πππ-<≤+π（k Z ∈），不能保证24x ππ-<≤，所以“24
x ππ
-<≤”是“tan 1x ≤”
的充分不必要条件，故选A. 10．【答案】B 【解析】
考点：正弦定理的应用. 11．【答案】C
【解析】解：∵复数（2+ai ）2=4﹣a 2
+4ai 是实数，
∴4a=0， 解得a=0． 故选：C ．
【点评】本题考查了复数的运算法则、复数为实数的充要条件，属于基础题．
12．【答案】C
【解析】
【分析】先求出两圆的圆心和半径，判断两个圆的位置关系，从而确定与它们都相切的直线条数．
【解答】解：∵圆C 1：x 2+y 2﹣6x+4y+12=0，C 2：x 2+y 2
﹣14x ﹣2y+14=0的方程可化为，
；； ∴圆C 1，C 2的圆心分别为（3，﹣2），（7，1）；半径为r 1=1，r 2=6．
∴两圆的圆心距=r2﹣r1；
∴两个圆外切，
∴它们只有1条内公切线，2条外公切线．
故选C．
二、填空题
13．【答案】①③④
【解析】解：①“p∧q为真”，则p，q同时为真命题，则“p∨q为真”，
当p真q假时，满足p∨q为真，但p∧q为假，则“p∧q为真”是“p∨q为真”的充分不必要条件正确，故①正确；
②空间中一个角的两边和另一个角的两边分别平行，则这两个角相等或互补；故②错误，
③设正三棱锥为P﹣ABC，顶点P在底面的射影为O，则O为△ABC的中心，∠PCO为侧棱与底面所成角
∵正三棱锥的底面边长为3，∴CO=
∵侧棱长为2，∴
在直角△POC中，tan∠PCO=
∴侧棱与底面所成角的正切值为，即侧棱与底面所成角为30°，故③正确，
④如图，设动圆P和定圆B内切于M，则动圆的圆心P到两点，即定点A（﹣2，0）和定圆的圆心B（2，0）的距离之和恰好等于定圆半径，
即|PA|+|PB|=|PM|+|PB|=|BM|=6＞4=|AB|．
∴点P的轨迹是以A、B为焦点的椭圆，
故动圆圆心P的轨迹为一个椭圆，故④正确，
故答案为：①③④
14．【答案】①②④
【解析】
15．【答案】3．
【解析】解：∵f（x）=（2x+1）e x，
∴f′（x）=2e x+（2x+1）e x，
∴f′（0）=2e0+（2×0+1）e0=2+1=3．
故答案为：3．
16．【答案】．
【解析】解：如图，将AM平移到B1E，NC平移到B1F，则∠EB1F为直线AM与CN所成角
设边长为1，则B
E=B1F=，EF=
1
∴cos ∠EB 1F=，
故答案为
【点评】本小题主要考查异面直线所成的角，考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力，属于基础题．
17．【答案】 7+
【解析】解：如图所示， 设∠APB=α，∠APC=π﹣α． 在△ABP 与△APC 中，
由余弦定理可得：AB 2=AP 2+BP 2
﹣2AP •BPcos α，
AC 2=AP 2+PC 2﹣2AP •PCcos （π﹣α），
∴AB 2+AC 2=2AP 2
+， ∴42+32=2AP 2+
，
解得AP=．
∴三角形ABP 的周长=7+．
故答案为：7+
．
【点评】本题考查了余弦定理的应用、中线长定理，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
18．【答案】2，21+. 【解析】∵22
2
12
112221012a a a a a a +=+⋅+=++=，∴122a a +=，
而2
2
2123121233123()2()2221cos ,13a a a a a a a a a a a a ++=+++⋅+=+⋅⋅<+>+≤+，
∴12321a a a ++≤
，当且仅当12a a +与3a 1.
三、解答题
19．【答案】
【解析】解：（1）∵函数y=f （x ）的定义域为[﹣2，1]，
由﹣2≤3x ﹣1≤1得：x ∈[﹣，]，
故函数y=f （3x ﹣1）的定义域为[﹣，]；’ （2）∵函数f （2x+5）的定义域为[﹣1，4]， ∴x ∈[﹣1，4]， ∴2x+5∈[3，13]，
故函数f （x ）的定义域为：[3，13]．
20．【答案】（1）
（2）见解析（3）
【解析】试题分析：（1）由题意转化为
在区间
上恒成立，化简可得一次函数恒成立，根据一次函
数性质得不等式，解不等式得实数的取值范围；（2）导函数有一个零点，再根据a 的正负讨论导函数符号变化规律，确定极值取法（3）先根据导数得切线斜率再根据点斜式得切线方程，即得切线在x 轴上的截距，最后根据a 的正负以及基本不等式求截距的取值范围． 试题解析：（1）函数的导函数，
则在区间上恒成立，且等号不恒成立，
又
，所以
在区间
上恒成立，
记，只需， 即，解得．
（2）由，得
，
①当时，有
；
，
所以函数在单调递增，
单调递减，
所以函数在取得极大值
，没有极小值．
②当
时，有
；
，
所以函数在单调递减，单调递增，
所以函数在取得极小值，没有极大值．
综上可知: 当时，函数在取得极大值，没有极小值；
当时，函数在取得极小值，没有极大值．（3）设切点为，
则曲线在点处的切线方程为，
当时，切线的方程为，其在轴上的截距不存在．
当时，令，得切线在轴上的截距为
，
当时，
，
当且仅当，即或时取等号；
当时，
，当且仅当，即或时取等号.
所以切线在轴上的截距范围是.
点睛：函数极值问题的常见类型及解题策略
（1）知图判断函数极值的情况.先找导数为0的点，再判断导数为0的点的左、右两侧的导数符号.
（2）已知函数求极值.求→求方程的根→列表检验在的根的附近两侧的符号→下结论.
（3）已知极值求参数.若函数在点处取得极值，则，且在该点左、右两侧的导数值符号相反.
21．【答案】
【解析】解：（1）∵f（x）=x3+3ax2+bx，
∴f'（x）=3x2+6ax+b，
又∵f（x）在x=﹣1时有极值0，
∴f'（﹣1）=0且f（﹣1）=0，
即3﹣6a+b=0且﹣1+3a﹣b=0，
解得：a=，b=1 经检验，合题意．
（2）由（1）得f'（x）=3x2+4x+1，
令f'（x）=0得x=﹣或x=﹣1，
又∵f（﹣2）=﹣2，f（﹣）=﹣，f（﹣1）=0，f（﹣）=﹣，
∴f（x）max=0，f（x）min=﹣2．
22．【答案】
【解析】证明：（1）连接OC，∵OA=OC
∴∠OAC=∠OCA，
∵CA是∠BAF的角平分线，
∴∠OAC=∠FAC
∴∠FAC=∠OCA，
∴OC∥AD．…
∵CD⊥AF，
∴CD⊥OC，即DC是⊙O的切线．…
（2）连接BC，在Rt△ACB中，CM⊥AB，∴CM2=AM•MB．
又∵DC是⊙O的切线，∴DC2=DF•DA．
∵∠MAC=∠DAC，∠D=∠AMC，AC=AC
∴△AMC≌△ADC，∴DC=CM，
∴AM•MB=DF•DA…
【点评】几何证明选讲重点考查相似形，圆的比例线段问题，一般来说都比较简单，只要掌握常规的证法就可以了．
23．【答案】
【解析】（1）∵0a =，12
b =-， ∴1()1cos 2f x x x =-
+-，1()sin 2f x x '=-+，0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦
. （2分） 令()0f x '=，得6
x π
=.
当06x π<<时，()0f x '<，当62
x ππ
<<时，()0f x '>，
所以()f x 的单调增区间是,62ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，单调减区间是0,6π⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
. （5分）
若
112a -
<<-π，则()102f a π'=π+<，又()(0)0f f θ''>=，由零点存在定理，00,2θπ⎛⎫∃∈ ⎪⎝⎭
，使0()0f θ'=，所以()f x 在0(0,)θ上单调增，在0,2θπ⎛⎫
⎪⎝⎭上单调减.
又(0)0f =，2
()124
f a ππ=
+. 故当2142a -<≤-π时，2()1024f a ππ=
+≤，此时()f x 在0,2π⎡⎤
⎢⎥⎣⎦上有两个零点； 当241a -<<-ππ时，2()1024f a ππ=
+>，此时()f x 在0,2π⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
上只有一个零点.
24．【答案】（1）A B ⊆；（2）{}5,3,0=C . 【解析】
考
点：1、集合的表示；2、子集的性质.。