高考数学总复习 基础知识名师讲义 第三章 第四节简单三角函数的恒等变换 文

第四节 简单三角函数的恒等变换
能运用和与差的三角函数公式、二倍角的正弦、余弦、正切公式进行简单的恒等变换(包括导出积化和差、和差化积、半角公式，但对这三组公式不要求记忆).
知识梳理
一、将二倍角公式变形可得到的公式
1．降幂公式：sin 2α＝ ____________，cos 2α＝___________，sin αcos α＝________. 2．升幂公式：1＋cos α＝________， 1－cos α＝________. 3．半角公式：sin α
2
＝±
1－cos α2，cos α
2
＝± 1＋cos α2，tan α
2
＝± 1－cos α
1＋cos α
＝
1－cos αsin α＝sin α
1＋cos α
. 注意：等号后的正、负号由α
2所在的象限决定．
二、辅助角公式
a sin x ＋
b cos x ＝a 2＋b 2·sin(x ＋φ)， 其中sin φ＝b a 2＋b 2，cos φ＝a a 2＋b 2
，即tan φ＝b
a .
一、1.1－cos 2α2 1＋cos 2α2 12sin 2α 2.2cos 2α2 2sin 2α
2
基础自测
1．(2012·哈尔滨三中月考)已知cos ⎝⎛⎭⎫x －π6＝－3
3，则cos x ＋cos ⎝⎛⎭⎫x －π3＝( ) A ．－23
3
B ．±233
C ．－1
D ．±1
解析：∵cos ⎝⎛⎭⎫x －π6＝－33，∴32cos x ＋12sin x ＝－33，∴cos x ＋cos ⎝⎛⎭⎫x －π3＝32cos x ＋3
2sin x ＝332cos x ＋12sin x ＝ 3×⎝⎛⎭
⎫－3
3＝－1.故选C.
答案：C
2．(2012·深圳调研)已知过点(0,1)的直线l ：x tan α－y －3tan β＝0的斜率为2，则tan(α
＋β)＝( )
A ．－73
B.7
3
C.57
D ．1
解析：依题意有－1－3tan β＝0，且tan α＝2，所以tan β＝－1
3
.所以tan (α＋β)＝
tan α＋tan β
1－tan αtan β＝2－131－2×⎝⎛⎭
⎫－13＝1.故选D.
答案：D
3．(2013·无锡联考)已知锐角α满足cos 2α＝cos ⎝⎛⎭⎫
π4－α，则sin 2α等于________．
解析：由cos 2α＝cos ⎝⎛⎭⎫π4－α得(cos α－sin α)(cos α＋sin α)＝2
2
(cos α＋sin α)，由α为锐角知cos α＋sin α≠0.
∴cos α－sin α＝22，平方得1－sin 2α＝12.∴sin 2α＝12. 答案：12
4. (2013·江西师大附中三模)已知sin ()3π－θ＝－2sin ⎝⎛⎭⎫
π2＋θ，则tan 2θ＝__________.
解析：由sin(3π－θ)＝－2sin ⎝⎛⎭⎫π2＋θ得tan θ＝－2，所以tan 2θ＝2tan θ1－tan 2 θ＝4
3. 答案：4
3
1．(2013·新课标全国卷Ⅱ)已知sin 2α＝2
3，则cos 2⎝⎛⎭⎫α＋π4＝( ) A.1
6
B.13
C.12
D.23
解析：因为cos 2⎝⎛⎭⎫α＋π4＝1＋cos2⎝⎛⎭⎫α＋π42＝1＋cos ⎝⎛⎭⎫2α＋π22＝1－sin 2α2
，所以cos 2⎝⎛⎭⎫α＋π4＝1－sin 2α2＝1－232＝16
，选A. 答案：A
2. (2013·北京卷)已知函数f (x )＝(2cos 2x －1)sin 2x ＋12cos 4x .
(1)求f (x )的最小正周期及最大值； (2)若α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，且f (α)＝2
2，求α的值．
解析：(1)因为f (x )＝(2cos 2x －1)sin 2x ＋12cos 4x ＝cos 2x sin 2x ＋12cos 4x ＝1
2
(sin 4x ＋cos 4x )
＝2
2
sin ⎝⎛⎭⎫4x ＋π4， 所以f (x )的最小正周期为π2，最大值为22.
(2)因为f (a )＝
2
2
，所以sin ⎝⎛⎭⎫4α＋π4＝1.因为α∈⎝⎛⎭⎫π2，π， 所以4α＋π4∈⎝⎛⎭⎫9π4，17π4，所以4α＋π4＝5π2，故α＝9π
16.
1．(2012·杭州市学军中学月考)若直线x ＝t 与函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4和y ＝cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π
4的图象分别交于P ，Q 两点，则|PQ |的最大值为( )
A ．2
B ．1 C. 3
D.2
解析：依题意有|PQ |＝sin ⎝⎛⎭⎫2t ＋π4－cos ⎝⎛⎭⎫2t ＋π
4＝2|sin 2t |≤ 2.故选D. 答案：D
2．若1＋tan θ1－tan θ＝2 015，则1
cos 2θ＋tan 2θ＝________.
解析：1cos 2θ＋tan 2θ＝1
cos 2θ－sin 2θ＋tan 2θ＝sin 2θ＋cos 2θcos 2θ－sin 2θ＋tan 2θ
＝tan 2θ＋11－tan 2θ＋2tan θ1－tan 2θ＝(tan θ＋1)2(1＋tan θ)(1－tan θ)＝1＋tan θ1－tan θ＝2 015. 答案：2 015。