福建省莆田市兴化中学2018年高二数学文下学期期末试卷含解析

福建省莆田市兴化中学2018年高二数学文下学期期末
试卷含解析
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的
1. 已知满足，则的形状是
A.等腰三角形
B.直角三角形
C.等腰直角三角形
D.等腰三角形或直角三角形
参考答案：
A
2. 已知函数，若在和处切线平行，则（）
A.
B.
C.
D.
参考答案：
A
【分析】
求出原函数的导函数，可得，得到，则
，由x1≠x2，利用基本不等式求得x12+x22＞512．
【详解】由f（x）lnx，得f′（x）（x＞0），
∴，
整理得：，则，
∴，则，
∴x1x2≥256，
∵x1≠x2，∴x1x2＞256．
∴2x1x2＝512．
故选：A．
【点睛】本题考查了利用导数研究曲线上某点的切线方程，训练了利用基本不等式求最值，是中档题．
3. 已知是公比为的等比数列，且成等差数列，则＝（）
A．B． C． D．
或
参考答案：
D
4. 若复数（i为虚数单位），则z的共轭复数=（）
A．1+i B．﹣1+i C．l﹣i D．﹣1一i
参考答案：
B
【考点】A7：复数代数形式的混合运算．
【分析】利用复数的运算法则、共轭复数的定义即可得出．
【解答】解：复数==﹣i﹣1，则z的共轭复数=﹣1+i．
故选：B．
5. 执行如图所示的程序框图，则输出的k的值是（）
A．3 B．4 C．5 D．6
参考答案：
C
6. 公差不为零的等差数列中，，且、、成等比数列，则数列的公差等于（）
A．1 B．2
C．3 D．4
参考答案：
B
7. 已知{a n}为等差数列，，若{b n}为等比数列，，则{b n}的类似结论是（）
A． B．
C． D．
参考答案：
D
略
8. 设离散型随机变量X的概率分布如下：
则X的均值为（）.
A. 1
B.
C. 2
D. 参考答案：
D
略
9. 在四边形ABCD中，，且＝，则四边形是（）
A.矩形
B. 菱形
C. 直角梯形
D. 等腰梯形
参考答案：
B
略
10. 复数z满足?（1+2i）=4+3i，则z等于( )
A．2﹣i B．2+i C．1+2i D．1﹣2i
参考答案：
B
考点：复数代数形式的乘除运算．
专题：数系的扩充和复数．
分析：利用复数的运算法则、共轭复数的定义即可得出．
解答：解：∵?（1+2i）=4+3i，
∴===2﹣i，
∴z=2+i．
故选：B．
点评：本题考查了复数的运算法则、共轭复数的定义，属于基础题
二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 已知椭圆的两个焦点是，，点在该椭圆上，若，则
的面积是__________．
参考答案：
由题意，，∴，．
∵，∴，
∴．
12. 过点（0，－2）和抛物线C: = 2只有一个公共点的直线有__________条.
参考答案：
3
13. 执行如图的程序框图，若输入x=12，则输出y=．
参考答案：
考点：程序框图．
专题：图表型；算法和程序框图．
分析：模拟执行程序框图，依次写出每次循环得到的x，y的值，当x=4，y=时由于||＜1，此时满足条件|y﹣x|＜1，退出循环，输出y的值为．
解答：解：模拟执行程序框图，可得
x=12，y=6，
不满足条件|y﹣x|＜1，x=6，y=4
不满足条件|y﹣x|＜1，x=4，y=
由于||＜1，故此时满足条件|y﹣x|＜1，退出循环，输出y的值为．
故答案为：．
点评：本题主要考查了循环结构的程序框图，正确判断退出循环时y的值是解题的关键，属于基础题．
14. 如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到A处时测得公路北侧一山顶D在西偏北30°的方向上，行驶600m后到达B处，测得此山顶在西偏北75°的方向上，仰角为30°，则此山的高度CD= m．
参考答案：
100
【考点】解三角形的实际应用．
【分析】设此山高h（m），在△BCD中，利用仰角的正切表示出BC，进而在△ABC中利用正弦定理求得h．
【解答】解：设此山高h（m），则BC=h，
在△ABC中，∠BAC=30°，∠CBA=105°，∠BCA=45°，AB=600．
根据正弦定理得=，
解得h=100（m）
故答案为：100．
【点评】本题主要考查了解三角形的实际应用．关键是构造三角形，将各个已知条件向这个主三角形集中，再通过正弦、余弦定理或其他基本性质建立条件之间的联系，列方程或列式求解．
15. 钝角三角形ABC的面积是，AB=1，BC=,则AC=
参考答案：
试题分析：由题意得,因为钝角三角形
ABC，所以,
考点：余弦定理
【思路点睛】(1)对于面积公式S＝absin C＝acsin B＝bcsin A，一般是已知哪一个角就使用哪一个公式．
(2)与面积有关的问题，一般要用到正弦定理或余弦定理进行边和角的转
化．[KS5UKS5U.KS5U
(3)在解三角形或判断三角形形状时，要注意三角函数值的符号和角的范围，防止出现增解、漏解．
16. 若⊙O：x2＋y2＝5与⊙O1：(x－m)2＋y2＝20(m∈R)相交于A、B两点，且两圆在点A处的切线互相垂直，则线段AB的长度是__________．
参考答案：
4
略
17. 一个抛物线型拱桥，当水面离拱顶2m时，水面宽4m．若水面下降2m，则水面宽度为m．
参考答案：
考点：抛物线的应用．
专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．
分析：如图所示，建立直角坐标系．设抛物线的方程为x2=﹣2py（p＞0）．利用当水面离拱顶2m时，水面宽4m．可得B（2，﹣2）．代入抛物线方程可得22=﹣2p×（﹣2），解得p．设D（x，﹣4），代入抛物线方程即可得出．
解答：解：如图所示，建立直角坐标系．
设抛物线的方程为x2=﹣2py（p＞0）．
∵当水面离拱顶2m时，水面宽4m．
∴B（2，﹣2）．
代入抛物线方程可得22=﹣2p×（﹣2），
解得p=1．
∴抛物线的标准方程为：x2=﹣2y．
设D（x，﹣4），代入抛物线方程可得x2=﹣2×（﹣4），
解得x=．
∴|CD|=4．
故答案为：4．
点评：本题考查了抛物线的标准方程及其应用，考查了数形结合的思想方法，考查了计算能力，属于基础题．
三、解答题：本大题共5小题，共72分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
18. （本题满分12分）某校从高二年级学生中随机抽取60名学生，将其期中考试的政治成绩（均为整数）分成六段：，，…，后得到如下频率分布直方图7．
（Ⅰ）求分数在内的频率；
（Ⅱ）根据频率分布直方图，估计该校高二年
级学生期中考试政治成绩的平均分；
（Ⅲ）用分层抽样的方法在80分以上（含80分）
的学生中抽取一个容量为6的样本，将该样
本看成一个总体，从中任意选取2人，
求其中恰有1人的分数不低于90分的概率．
参考答案：
（Ⅰ）分数在内的频率为：
………3分
（Ⅱ）平均分为：
………7分
（Ⅲ）由题意，分数段的人数为：人
分数段的人数为：人；…………9分
∵用分层抽样的方法在80分以上（含80分）的学生中抽取一个容量为6的样本，∴分数段抽取5人，分别记为A，B，C，D，E；分数段抽取1人，记为M. 因为从样本中任取2人，其中恰有1人的分数不低于90分，则另一人的
分数一定是在分数段，所以只需在分数段抽取的5人中确定1人．设“从样本中任取2人，其中恰有1人的分数不低于90分为”事件，
则基本事件空间包含的基本事件有：(A，B)，(A，C)，(A，D)，(A，E)，(B，C)，
(B，D)，(B，E)，(C，D)，(C，E)，(D，E)，(A，M)，(B，M)，(C，M)，(D，M)，
(E，M)共15种．
事件包含的基本事件有(A，M)，(B，M)，(C，M)，(D，M)，(E，M)5种．
∴恰有1人的分数不低于90分的
概率为．…………12分
19. 已知函数f（x）=e x﹣ax﹣1（a∈R）．
（Ⅰ）讨论函数f（x）在区间（0，2）上的极值；
（Ⅱ）已知n∈N*且n≥2，求证：．
参考答案：
【考点】利用导数研究函数的极值；不等式的证明．
【分析】（Ⅰ）求出导函数 f'（x）=e x﹣a，通过若a≤0，若a＞0，①当0＜lna＜2，即1＜a＜e2时，②当lna≥2或lna≤0，即a≥e2或0＜a≤1时，分别求解导函数符号，判断函数的单调性求解函数的极值．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，当a=1时，f（x）=e x﹣x﹣1在x=ln1=0处取得最小值0，推出
e x≥x+1．得到x≥ln（x+1），转化为，然后证明所证明的不等式即可．
【解答】解：（Ⅰ） f'（x）=e x﹣a…
若a≤0，则在区间（0，2）上有f'（x）＞0恒成立，则f（x）在区间（0，2）上无极值；…
若a＞0，令f'（x）=0，则x=lna，
①当0＜lna＜2，即1＜a＜e2时，当0＜x＜lna时f'（x）＜0，2＞x＞lna时f'（x）＞0，
故此时f（x）在x=lna取得极小值f（lna）=a﹣alna﹣1．…
②当lna≥2或lna≤0，即a≥e2或0＜a≤1时，f（x）在区间（0，2）上无极值…
综上所述，当a∈（﹣∞，1]∪[e2，+∞）时f（x）在区间（0，2）上无极值；
当1＜a＜e2时f（x）在区间（0，2）上有极小值f（lna）=a﹣alna﹣1．…
（Ⅱ）证明：由（Ⅰ）知，当a=1时，f（x）=e x﹣x﹣1在x=ln1=0处取得最小值0，
即恒有f（x）=e x﹣x﹣1≥0，即e x≥x+1．…
当x＞﹣1时，两边取对数可得，x≥ln（x+1）（当x=0时等号成立）…
令，则，即…
∴
，
故．…
20. （本小题满分14分）设△ABC的内角A、B、C的对边长分别为a、b、c，且
,，求角B.
参考答案：
21. 已知A （1，2），B（a，1），C（2，3），D（﹣1，b）（a，b∈R）是复平面上的四个点，且向量，对应的复数分别为z1，z2．
（Ⅰ）若z1+z2=1+i，求z1，z2
（Ⅱ）若|z1+z2|=2，z1﹣z2为实数，求a，b的值．
参考答案：
【考点】A7：复数代数形式的混合运算．
【分析】（I）向量=（a﹣1，﹣1），=（﹣3，b﹣3）对应的复数分别为z1=（a﹣1）﹣i，z2=﹣3+（b﹣3）i．利用z1+z2=（a﹣4）+（b﹣4）i=1+i．即可得出a，b．（II）|z1+z2|=2，z1﹣z2为实数，可得=2，（a+2）+（2﹣b）i∈R，即可得出．
【解答】解：（I）向量=（a﹣1，﹣1），=（﹣3，b﹣3）对应的复数分别为z1=（a﹣1）﹣i，z2=﹣3+（b﹣3）i．
∴z1+z2=（a﹣4）+（b﹣4）i=1+i．
∴a﹣4=1，b﹣4=1．
解得a=b=5．
∴z1=4﹣i，z2=﹣3+2i．
（II）|z1+z2|=2，z1﹣z2为实数，
∴=2，（a+2）+（2﹣b）i∈R，
∴2﹣b=0，解得b=2，
∴（a﹣4）2+4=4，解得a=4．
∴a=4，b=2．
22. （本小题满分12分）
已知，求
(Ⅰ)的值
(Ⅱ)及的值；
（Ⅲ）各项二项式系数和。

参考答案：
（本题满分12分）
(Ⅰ)令，则…………………………………………………2分
(Ⅱ)令，则，令，则
于是
； (5)
分
…………………………………………………8分
（Ⅲ）各项二项式系数和…………………12分略。