高三第四次月考理科数学试卷高三数学模拟试题精选25高三数学模拟试题精选25

实验中学高三第四次月考理科数学试卷
制卷人：歐陽文化、歐陽理複；制卷時間：二O 二二年二月七日
一、选择题：本大题一一共12小题，每一小题5分，在每一小题给出的四个选项里面，只有一项是哪一项符合题目要求的．
1. 集合{}{}
2|||2,|0M x x N x x x =<=->，那么M N = 〔 〕
A ．∅ B.R C .M D.N
2. 在复平面内，复数
121i
i
+-对应的点位于〔 〕 A ．第一象限
B ．第二象限
C ．第三象限 D
3. 假设右框图所给程序运行的结果为S =90，那么判断框
中应填入的关于k 的判断条件是( ) A ．k 8≤ B ．k 7≤
C ．k 9>
D ．k 8>
4. 设曲线x x y sin cos 1+=
在点⎪⎭
⎫
⎝⎛1,2π处的切线与直线01=+-ay x 平行，那么实数a 等于
A.1-
B.1
C.2-
D.2
5. 函数f 〔x 〕是以2为周期的偶函数，且当)10(log ,12)(,)1,0(2f x f x x
则时-=∈ 的值是〔 〕 A ．
5
3 B ．
58 C ．8
5- D ．3
5
-
6. 假设
cos 22
sin()
4
θπ
θ=-
-，那么cos sin θθ+的值是〔 〕
O y
x
D
C
B
A -1
1
2π A.72-
B.12-
C.1
2
D.72 7．如图，一个空间几何体的正视图、侧视图、俯视图为全等的等腰直角三角形，假如直角三角形的直角边长为1，那么这个几何体的外表积为 〔 〕
A ．2
3
3+ B ．33+ C ．
61 D ．2
3
8．函数)1,0(log )(,)(,)(321≠>===a a x x f x x f a x f a a
x 且其中在同一坐标系中画出其
中两个函数在第一象限内的图象，其中正确的选项是 〔 〕
5||),4,2(),2,1(=--==c b a ，假设2
5
)(=
•+c b a ，那么a 与c 的夹角为〔 〕 A ．︒30 B ．︒60 C ．︒120 D ．︒150 10．如下图，墙上挂有一长为π2，宽为2
的矩形木板ABCD ，它的阴影局部是由 函数]2,0[,cos π∈=x x y 的图象和直线
1=y 围成的图形.某人向此板投镖，假
设每次都能击中木板，且击中木板上 每个点的可能性都一样，那么他击中阴 影局部的概率是 〔 〕 A ．
8
1
B ．
4
1 C ．31
D ．
2
1
侧视图
正视图
俯视图
11．椭圆122
22=+b
y a x 的左、右焦点分别为F 1、F 2，且|F 1F 2|=2c ，点A 在椭圆上，
0211=⋅F F AF ，221c AF AF =⋅，那么椭圆的离心率e =
〔 〕
A ．
3
3 B ．
2
1
3- C ．
2
1
5- D ．
2
2 12．给出以下命题：
①命题“假设m>0，那么方程x 2
+x －m=0有实数根〞的逆否命题为：“假设方程x 2
+x －m=0 无实数根，那么m ≤0”.
②“x =1”是“x 2
－3x+2=0”的充分不必要条件. ③假设“p 且q 〞为假命题，那么p 、q 均为假命题.
④对于命题p ：.01,:,01,2
2
≥++∈∀⌝<++∈∃x x R x p x x R x 均有则使得 〔其中“∃〞表示“存在〞，“∀〞表示“任意〞〕
其中错误．．的命题为 〔 〕 A ．① B ．② C ．③ D ．④
二、填空题：本大题一一共4小题，每一小题4分．一共16分 13．设数列{}n a 满足2
1
123333
3
n n n a a a a -++++=
…，a ∈*
N ．那么数列{}n a 的通项公式为____________
14. 圆O 的半径为18，P 为圆外一点，P 与圆上各点连线的最大间隔 为38，那么点P 到圆O 的切线长是 ___________________.
15．设实数x,y 满足：⎪⎩
⎪
⎨⎧≥-≤-+≤--0
32,0420
2x y x y x 那么x y 的最大值是_____________.
16．定义在R 上的偶函数)(x f ，满足)()1(x f x f -=+，且)(x f 在[-1,0]上是增函数，
以下五个关于)(x f 的命题中:①)(x f 是周期函数；②)(x f 的图象关于1=x 对称；③
)(x f 在［0，1］上是增函数;④)(x f 在［1，2］上是减函数；⑤)0()2(f f =
其中正确的命题是_____________
三、解答题：解容许写出文字说明，证明过程或者演算步骤．
17．〔本小题满分是12分〕锐角ABC ∆中内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ,向量
(2sin ,3),m B = 2
(2cos 1,cos 2)2
B
n B =- ,且m n ⊥. 〔Ⅰ〕求B 的大小;
〔Ⅱ〕假如2b =，求ABC ∆的面积ABC S ∆的最大值. 18．〔本小题满分是12分〕如图，平面PCBM ⊥平面ABC ,∠PCB =90°,PM ∥BC ，
直线AM 与直线PC 所成的角为60°，又AC =1,BC =2PM =2, ∠ACB =90° (Ⅰ)求证：AC ⊥BM ;
(Ⅱ)求二面角M -AB -C 的正切值； 〔Ⅲ〕求多面体P-MABC 的体积.
19．〔本小题满分是12分〕在汶川大地震后对唐家山堰塞湖的抢险过程中,武警官兵准备用射击的方法引爆从湖坝上游 漂流而下的一个宏大的汽油罐.只有5发子弹,第一次命中只能使汽油流出,第二次命中才能引爆.每次射击是互相HY 的,且命中的概率都是2
3
. 〔Ⅰ〕求油罐被引爆的概率;
〔Ⅱ〕假如引爆或者子弹打光那么停顿射击,设射击次数为ξ.求ξ的分布列及E ξ. 20．〔本小题满分是12分〕C B A 、、是直线l 上的三点，向量→
→
→
OC OB OA ,,满足：
=++'+-→→→OC x OB f y OA )1ln()]1(2[→
〔Ⅰ〕求函数)(x f y =的表达式；
〔Ⅱ〕假设0>x ，证明：2
2)(+>x x
x f ； (Ⅲ) 假设不等式
32)(2
1222
--+≤bm m x f x 时，[]1,1-∈x 及[]1,1-∈b 都恒成立，务实数m 的取值范围．
21．〔本小题满分是12分〕双曲线的中心为原点O ，焦点在x 轴上，两条渐近线分别为12l l ，，
经过右焦点F 垂直于1l 的直线分别交12l l ，于A B ，两点．OA AB OB 、、成等差数列，且BF 与FA 同向．
〔Ⅰ〕求双曲线的离心率；
〔Ⅱ〕设AB 被双曲线所截得的线段的长为4，求双曲线的方程． 22. 〔本小题满分是14分〕
数列).,3,2,1(22
1,1,}{2
11 =+-=
=+n a a a a a n n n n 中 〔1〕求证：①1+<n n a a ；②21<≤n a ； 〔2〕比拟∑=+n
k n k
a a 1139401与的大小，并加以证明。

实验中学高三第四次月考理科数学试卷参考答案
一、选择题〔本大题一一共12题，每一小题5分，一共60分〕
二、填空题〔一共4小题，每一小题4分，一共16分.把答案填在题中的横线上〕
13． n
)3
1( 14．
15．
6
5
16． ① ② ⑤
17. 解：〔Ⅰ〕
m n ⊥，2(2sin ,3),(2cos 1,cos 2)2
B m B n B ==-
因为0=•n m ，所以)2cos ,12
cos
2()3,sin 2(2
B B
B n m -•=• =B B
B 2cos 3)12
cos
2(sin 22
+-=
2sin cos 2B B B =，
sin 22B B
=2sin(2)03
B π
=+=
又02
B π
<<
23
B π
π∴+
= 3
B π∴=
〔Ⅱ〕由余弦定理得 2
2
2
2cos b a c ac B =+-
22222a c ac ac ac ac ∴=+-≥-=
4ac ∴≤〔当且仅当a=c 时取到等号〕1sin 24
ABC s ac B ac ∆∴==
≤
ABC ∴∆的面积ABC S ∆
18. 〔Ⅰ〕∵平面PCBM ⊥平面ABC ，AC BC ⊥，AC ⊂平面ABC ． ∴AC ⊥平面PCBM 又∵BM ⊂平面PCBM ∴AC BM ⊥
〔Ⅱ〕取BC 的中点N ，那么1CN =．连接AN 、MN ．
∵平面PCBM ⊥平面ABC ，平面PCBM 平面ABC BC =，PC BC ⊥．
∴PC ⊥平面ABC ．
∵//PM CN =
，∴//MN PC =
，从而MN ⊥平面ABC ．
作NH AB ⊥于H ，连结MH ，那么由三垂线定理知AB MH ⊥． 从而MHN ∠为二面角M AB C --的平面角． ∵直线AM 与直线PC 所成的角为60°，
∴60AMN ∠=︒ ．
在ACN ∆
中，由勾股定理得AN =
在Rt AMN ∆
中，cot MN AN AMN =⋅∠=
=． 在Rt BNH ∆
中，sin 1AC NH BN ABC BN AB =⋅∠=⋅
==
． 在Rt MNH ∆
中，tan 3MN MHN NH ∠=== 故二面角M AB C --
的大小为tan
3
arc 〔Ⅱ〕如图以C 为原点建立空间直角坐标系C xyz -．
设0(0,0,)P z 0(0)z >，有(0,2,0)B ，(1,0,0)A ，0(0,1,)M z ．
0(1,1,)AM z =-，0(0,0,)CP z =
由直线AM 与直线PC 所成的角为60°，得
cos60AM CP AM CP ⋅=⋅⋅
︒
即2
00z
z =
，解得03
z =． ∴(1,1,
3
AM =-，(1,2,0)AB =- 设平面MAB 的一个法向量为1111(,,)n x y z
=，那么
由00020n AM x y z n AB x y ⎧⎧⋅=-+=⎪⎪⇒⎨⎨⋅=⎪⎪⎩
-+
=⎩
，取
1z ，得1n = 取平面ABC 的一个法向量为2(0,0,1)n =
那么12cos ,n n <
>1212
26n n n n ⋅=
=
=⋅ 由图知二面角M AB C --为
锐二面角，故二面角M AB C --的大小为
arccos
13
． 〔Ⅲ〕多面体
PMABC 就是四棱锥A BCPM -
11111()(21)133232PMABC A PMBC PMBC V V S AC PM CB CP AC -==⋅⋅=⋅⋅+⋅⋅=⋅⋅+=
19. 〔1〕设命中油罐的次数为X ，那么当0=X 或者1=X 时，油罐不能被引爆。

2431
)321()0(5=
-==X P ， 243
10)321(32)1(1
5=
-⨯⨯==X C P 所以油罐被引爆的概率243
232
)1()0(1==X -=X -=P P P 〔2〕射击次数ξ的取值为2，3，4，5
9
43232)2(=⨯=
=ξP ， 27832)321(32)3(1
2=
⨯-⨯==C P ξ， 27
432)321(32)4(21
3=
⨯-⨯=C P ξ， 9
1
)4()3()2(1)5(=
=-=-=-==ξξξξp P P P . 所以ξ的分布列为:
27
9527427392=⨯+⨯+⨯+⨯=ξE
20. (1)∵OA →－[y ＋2f /(1)]OB →＋ln(x ＋1)OC →＝0，∴OA →＝[y ＋2f /
(1)]OB →－ln(x ＋1)OC →
由于A 、B 、C 三点一共线 即[y ＋2f /
(1)]＋[－ln(x ＋1)]＝1 ∴y ＝f (x )＝ln(x ＋1)＋1－2f /
(1)
f /(x )＝1x ＋1，得f /
(1)＝1
2
，故f (x )＝ln(x ＋1)
〔2〕令g (x )＝f (x )－2x x ＋2，由g /
(x )＝1x ＋1－2(x ＋2)－2x (x ＋2)2＝x 2
(x ＋1)(x ＋2)2
∵x ＞0，∴g /
(x )＞0，∴g (x )在(0，＋∞)上是增函数 故g (x )＞g (0)＝0 即f (x )＞2x x ＋2 。

〔3〕原不等式等价于12
x 2－f (x 2
)≤m 2
－2bm －3。

令h (x )＝12x 2－f (x 2)＝12x 2－ln(1＋x 2)，由h /
(x )＝x －2x 1＋x 2＝x 3
－x 1＋x 2
当x ∈[－1，1]时，h (x )max ＝0，∴m 2
－2bm －3≥0
令Q (b )＝m 2
－2bm －3，那么⎩⎨⎧Q (1)＝m 2－2m －3≥0
Q (－1)＝m 2
＋2m －3≥0
解得m ≥3或者m ≤－3 。

21. 解：〔Ⅰ〕设OA m d =-，AB m =，OB m d =+ 由勾股定理可得：2
2
2
()()m d m m d -+=+ 得：14d m =
，tan b AOF a ∠=，4
tan tan 23
AB AOB AOF OA ∠=∠== 由倍角公式∴2
2
431b
a b a =⎛⎫
- ⎪⎝⎭，解得12b a =,
那么离心率2e = 〔Ⅱ〕过F 直线方程为()a
y x c b
=--,与双曲线方程22221x y a b -=联立
将2a b =
，c =
代入，化简有
22152104x x b +=
124x =-=
将数值代入，有4=解得3b = 故所求的双曲线方程为
22
1369
x y -=。

22. 〔1〕证明：①因为,0)2(2
1
2221221≥-=+-=
-+n n n n n a a a a a 当且仅当.,21n n n a a a ==+时
因为).,3,2,1(,0,1111 =<>-=++n a a a a a n n n n 即所以 ②因为11=a ，由①得
).(1*N ∈≥n a n 〔i 〕
下面证明：对于任意2,*
<∈n a n 有N 成立。

)
(.
2,,.,1.
22
3
)12(21,123
)1(21,23)1(21221.2,)1(.,1,1*2122211ii a n k n a x x y a a a a a k k n a n n k n n n n k 成立有时当于是结论也成立时即当所以时单调递增在且函数因为即时成立假设结论对显然结论成立由时当<∈+==+-<≥+-=+-=+-=
<≥===++N 根据〔i 〕、〔ii 〕得.21<≤n a
〔2〕解：由),2)(2()(,22
1112
1--=-+-=
+++n n n n n n n n a a a a a a a a 可得 从而
.2
12111---=+n n n a a a 因为∑
∑==+++--=---=---==n
k n
k n n k k k a a a a a a a 1111111.1212121)212
1(1,1所以 ;
39
40
11,2;39401,1,.813,23,2211.
)
2(39)
138)(35()2(393941403940121394013212132211111112
11111a a a n a a n a a a a a a a a a a a a a a a a n n n n n n n n n n n n n
k k
=+=<===+-=
=-⋅-+=
-⋅--=
---=-++++++++++=∑时当时当所以经计算可得及由所以
当∑
=+++++>-⋅-+=-<<≥n
k n n n n k
n a a a a a a n 1111110)2(39)138)(35(3940
1,2813,3得由时 ∑
=+>⇒n
k n k
a a 11.39401
制卷人：歐陽文化、歐陽理複；制卷時間：二O二二年二月七日制卷人：歐陽文化、歐陽理複；制卷時間：二O二二年二月七日
制卷人：歐陽文化、歐陽理複；制卷時間：二O二二年二月七日。