四川省成都七中2022～2023学年度下期高2023届模拟考试 数学(理)答案

成都七中高三数学高考模拟考试(理科)参考答案
一、选择题: CDDC BDDA BBAC 12.解.显然 A 在左支上B 在右支上.设e , c 分别为双曲线的离心率和半焦距, M 为AB 中点, 设 上AF 1O = θ ,再设 A 1, B 1 分别是 A , B 在左准线上的射影,则
取等条件是 e = · .故选
C.(注：应该有可以不用准线的解法) 二、填空题: −1; 0 ； 5; .
三、解答题
17.解.(1)记“抽取的两天销售量都小于 30 件”为事件 A ,则P
……3 分
(2)( i )设乙商家的日销售量为 a 件,则当 a = 28 时, X = 28×5 = 140 ;相仿地, 当a = 29 时, X = 145 ;当 a = 30 时, X = 150 ;而当 a = 31时, X = 30×5 +1×10 = 160 .
所以 X 的所有可能取值的集合为{140,145,150,160} , 5 分 利用茎叶图易得X 的分布列为
10
5
5 2
故所以
×140 + ×145+ ×150 + ×160 = 153 . …………………8 分
( ii )依题意, 甲商家的日平均销售量为 28×0.2+29×0.4+30×0.2+31×0.2=29.4.所以甲商家的日平均返利 额为 60+29.4×3=148.2 元. 10 分
再由( i )知乙商家的日平均返利额为 153 元.
由于 153 元>148.2 元,故应推荐该超市选择乙商家长期销售. 12 分 18.解.(1)证明:取BC 中点O ,连结AO , DO .
再由平面 BCD 与平面 ABC 垂直, DO 平面BCD 且DO 丄 BC 知DO 丄 平面ABC . 2 分 '.' AE 丄平面 ABC , :AE //DO . 又 DO = 2 = AE , :四边形 AODE 是平行四边形,故ED //AO . '.' △ABC 是等边三角形, :AO 丄 BC , '.' AO 平面 ABC ,平面 BCD 平面 ABC = BC ,平面BCD 丄 平面ABC , 4 分
:AO 丄 平面BCD , :ED 丄 平面BCD ,
ED 平面EBD , :平面EBD 丄平面BCD . 6 分
7 分
(4 + k2 )x2 −2k2x + k2 −4 = 0 , 由其一根为1 可解出另一根x M = 由此可得M 的坐标为
,且x M −1……………………5分
又AM 丄AN ,故同理可得N 的坐标为(1−4k 2
,
8k
) 且AN =
8k k2 +1
6 分
①由AM = AN 得k 3 + 4k = 4k2 +1,则(k −1)(k2 −3k +1) = 0 ，…………7 分
解得k = 1或k = …………8分
②由前所述,有SΔAMN = . …………9分
令,则在单调递增,
故有最小值，从而ΔAMN 面积的最大值为. ……………………12 分
注：32k(k2 +1) =
8 . 2.3k . 2(k2 +1) ≤ 8 [(3k)2 + 4(k2 +1)2 ] = 8 (4k2 +1)(k2 + 4) 但取等条件
3 3 3
3k = 2(k2 +1) 无实解.
21.解.(1)若a = 2 ,则f (x) =
3
x −4x + 20x −16ln x −8 ,定义域为(0, +∞) .
= x2 −8x + 20 −…………………2 分故当x ∈(0, 4) 时, f ’(x) ≤ 0 ;当x ∈(4, +∞) 时f ’(x) > 0 .
故f (x) 的单调递减区间为(0, 4] ,单调递增区间为[4, +∞) .(写成开区间亦可) ……4 分得 a →a = . ………6分
条件< ln 2 < 等价于< 3 −4 ln 2 < ,等价于
1+ 4k2 1+ 4k2
,
1+ 4k2
.
1 3 2
即2 < a < 4 . 8 分
再由= x2 −………9分
知f (x) 在(0, 2] 和[a, 4]单调递减,在[2, a]和[4, +∞) 单调递增,故f (x) 恰有两个极小值点x = 2 和x = 4 , 从而f (x) 的最小值为8 . ……11分故不等式f (x) ≤8 的解集是{2, 4} . 12 分
22.解.(1)曲线C 的普通方程为(x −3)2 + (y −2)2 = 4 ,
即x2 + y2 −2 3x −4y + 3 = 0 , 2分
又x = P c osθ, y = P sinθ,代入上式得曲线C 的极坐标方程为
P2 −2 3P c osθ−4P sinθ+ 3 = 0 ．5分
(2)设P(P1,θ) , Q(P2,θ) ,将θ= 代入P2 −2 P c osθ−4P sinθ+ 3 = 0 ,化简得
P2 −5P+ 3 = 0 , 8 分所以P1P2 = 3 ,故OP OQ = 3 ．…………………10 分
注：解法很多,结论正确的都算对,可酌情给分.
23.解.(1)当m = 1 时,不等式化为x −1−2x + 2≥1 , 由零点分段法得
[ x ≤−1 {
l x + 3 ≥1
[−1< x < 1
或{
l−3x −1≥1
[x ≥1
或{ ，3分
l−x −3 ≥1
解得−2≤ x ≤ −,所以原不等式的解集为[−2, −] . ……………………5 分(2)条件等价于对每个x ∈R , 3t ∈R使得f (x) < t +1 −t −1 = g(t) .
易知f (x) 有最大值f (−m) = 2m , ……………7 分
又g(t) ≤(t +1) −(t −1) = 2 ,取等条件是t ≥1 ,故g(t) 的最大值为2 , ……………9 分于是问题转化为2m < 2 ,解得0 < m <1 . 10 分。