2019-2020年大连五校高二上册期末数学试题(理科)(有答案)-(新课标人教版)-最新精品

辽宁省大连五校高二（上）期末数学试卷（理科）
一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．（5分）设命题p：∀＞0，﹣ln＞0，则￢p为（）
A．∀＞0，﹣ln≤0 B．∀＞0，﹣ln＜0
C．∃0＞0，0﹣ln0＞0 D．∃0＞0，0﹣ln0≤0
2．（5分）设等差数列{a n}的前n项和为S n，已知2a1+a13=﹣9，则S9=（）
A．﹣27 B．27 C．﹣54 D．54
3．（5分）若a，b∈R，则“＜”是“＞0”的（）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
4．（5分）已知双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的一条渐近线方程为﹣2y=0，则该双曲线的离心率是（）
A． B．C．D．
5．（5分）直三棱锥ABC﹣A1B1C1中，∠BCA=90°，M，N分别是A1B1，A1C1的中点，BC=CA=CC1，则BM与AN所成角的余弦值为（）
A． B．C．D．
6．（5分）已知等比数列{a n}中，a2=2，则其前三项和S3的取值范围是（）
A．（﹣∞，﹣2]B．（﹣∞，0）∪（1，+∞）C．[6，+∞）D．（﹣∞，﹣2]∪[6，+∞）
7．（5分）已知变量，y满足约束条件，若目标函数=+2y的最小值为2，则m=（）A．2 B．1 C．D．﹣2
8．（5分）60°的二面角的棱上有A，B两点，直线AC，BD分别在这个二面角的两个半平面内，且都垂直于AB，已知AB=4，AC=6，BD=8，则CD的长为（）
A．B．C． D．
9．（5分）已知不等式y≤a2+2y2对任意∈[1，2]，y∈[4，5]恒成立，则实数a的取值范围是（）
A．[﹣1，+∞）B．[﹣6，+∞）C．[﹣28，+∞）D．[﹣45，+∞）
10．（5分）设椭圆与函数y=3的图象相交于A，B两点，点P为椭圆C上异于A，B的动点，若直线PA的斜率取值范围是[﹣3，﹣1]，则直线PB的斜率取值范围是（）A．[﹣6，﹣2]B．[2，6]C．D．
11．（5分）设数列{a n}的前n项和S n，若+++…+=4n﹣4，且a n≥0，则S100等于（）
A．5048 B．5050 C．10098 D．10100
12．（5分）已知双曲线Γ：﹣=1（a＞0，b＞0）的上焦点F（0，c）（c＞0），M是双曲线下支上的一点，线段MF与圆2+y2﹣y+=0相切于点D，且|MF|=3|DF|，则双曲线Γ
的渐近线方程为（）
A．4±y=0 B．±4y=0 C．2±y=0 D．±2y=0
二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）
13．（5分）已知命题p：2+2﹣3＞0，命题q：＞a，若￢p是￢q的充分不必要条件，则实数a的取值范围是．
14．（5分）已知正项等比数列{a n}的公比为2，若，则的最小值等于．15．（5分）已知M是抛物线2=4y上一点，F为其焦点，点A在圆C：（+1）2+（y﹣6）2=1上，则|MA|+|MF|的最小值是．
16．（5分）如图，在直三棱柱A1B1C1﹣ABC中，，已知G与E分别是棱A1B1和CC1的中点，D与F分别是线段AC与AB上的动点（不包括端点）．若GD⊥EF，则线段DF的长度的取值范围是．
三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．（10分）已知数列{a n}是等比数列，首项a1=1，公比q＞0，其前n项和为S n，且S1+a1，S3+a3，S2+a2成等差数列．
（1）求数列{a n}的通项公式；
（2）若数列{b n}满足，求数列{b n}的前n项和T n．
18．（12分）在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=BC=1，AA1=2，E为BB1中点．
（1）证明：AC⊥D1E；
（2）求DE与平面AD1E所成角的正弦值．
19．（12分）已知数列{{a n}满足，．（1）求证：数列是等比数列；
（2）若数列{b n}是单调递增数列，求实数λ的取值范围．
20．（12分）如图，四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为矩形，侧面PAD为正三角形，且平面PAD⊥平面ABCD，E为PD中点，AD=2．
（Ⅰ）求证：平面AEC⊥平面PCD．
（Ⅱ）若二面角A﹣PC﹣E的平面角大小θ满足cosθ=，求四棱锥P﹣ABCD的体积．
21．（12分）已知过抛物线E：y2=2p（p＞0）的焦点F，斜率为的直线交抛物线于A（1，y1），B（2，y2）（1＜2）两点，且|AB|=6．
（1）求该抛物线E的方程；
（2）过点F任意作互相垂直的两条直线l1，l2，分别交曲线E于点C，D和M，N．设线段CD，MN的中点分别为P，Q，求证：直线PQ恒过一个定点．
22．（12分）如图，在平面直角坐标系oy中，已知圆C：（+1）2+y2=16，点A（1，0），点B （a，0）（|a|＞3），以B为圆心，|BA|的半径作圆，交圆C于点P，且的∠PBA的平分线次线段CP于点Q．
（I）当a变化时，点Q始终在某圆锥曲线τ是运动，求曲线τ的方程；
（II）已知直线l过点C，且与曲线τ交于M、N两点，记△OCM面积为S1，△OCN面积为S2，求的取值范围．
参考答案与试题解析
一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．（5分）设命题p：∀＞0，﹣ln＞0，则￢p为（）
A．∀＞0，﹣ln≤0 B．∀＞0，﹣ln＜0
C．∃0＞0，0﹣ln0＞0 D．∃0＞0，0﹣ln0≤0
【解答】解：因为全称命题的否定是特称命题，
所以命题“∀＞0，﹣ln＞0”的否定是∃＞0，﹣ln≤0．
故选：D．
2．（5分）设等差数列{a n}的前n项和为S n，已知2a1+a13=﹣9，则S9=（）
A．﹣27 B．27 C．﹣54 D．54
【解答】解：∵等差数列{a n}的前n项和为S n，2a1+a13=﹣9，
∴3a1+12d=﹣9，∴a1+4d=﹣3，
∴S9==9（a1+4d）=﹣27．
故选：A．
3．（5分）若a，b∈R，则“＜”是“＞0”的（）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
【解答】解：∀a，b∈R，a2+ab+b2=+b2≥0，当且仅当a=b=0时取等号．
∴＞0⇔（a﹣b）ab＞0，⇔“＜”．
∴“＜”是“＞0”的充要条件．
故选：C．
4．（5分）已知双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的一条渐近线方程为﹣2y=0，则该双曲线的离心率是（）
A． B．C．D．
【解答】解：∵双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的一条渐近线方程为﹣2y=0，
∴a=2b，
∴c=b，
∴双曲线的离心率是e==．
故选：D．
5．（5分）直三棱锥ABC﹣A1B1C1中，∠BCA=90°，M，N分别是A1B1，A1C1的中点，BC=CA=CC1，则BM与AN所成角的余弦值为（）
A． B．C．D．
【解答】解：根据已知条件，分别以C1A1，C1B1，C1C所在直线为，y，轴，建立如图所示空间直角坐标系，设CA=2，则：
A（2，0，2），N（1，0，0），B（0，2，2），A1（2，0，0），B1（0，2，0），M（1，1，0）；∴；
∴；
∴BM与AN所成角的余弦值为．
故选：D．
6．（5分）已知等比数列{a n}中，a2=2，则其前三项和S3的取值范围是（）
A．（﹣∞，﹣2]B．（﹣∞，0）∪（1，+∞）C．[6，+∞）D．（﹣∞，﹣2]∪[6，+∞）
【解答】解：∵等比数列{a n}中，a2=2，
∴其前三项和S3=，
当q＞0时，S3=≥2+2=6；
当q＜0时，S3=≤2﹣2=2﹣4=﹣2．
∴其前三项和S3的取值范围是（﹣∞，﹣2]∪[6，+∞）．
故选：D．
7．（5分）已知变量，y满足约束条件，若目标函数=+2y的最小值为2，则m=（）A．2 B．1 C．D．﹣2
【解答】解：由变量，y满足约束条件，作出可行域如图，
化目标函数=+2y为y=﹣+，由图可知，当直线y=﹣+过A时，直线在y轴上的截距最小，有最小值为2．
由，解得A（m，m），A代入=+2y，可得m+2m=2，解得m=．
故选：C．
8．（5分）60°的二面角的棱上有A，B两点，直线AC，BD分别在这个二面角的两个半平面内，且都垂直于AB，已知AB=4，AC=6，BD=8，则CD的长为（）
A．B．C． D．
【解答】解：∵60°的二面角的棱上有A，B两点，
直线AC，BD分别在这个二面角的两个半平面内，且都垂直于AB，
∴=，
∵AB=4，AC=6，BD=8，
∴2=（）2
=+2
=36+16+64+2×6×8×cos120°
=68．
∴CD的长为||=2．
故选：B．
9．（5分）已知不等式y≤a2+2y2对任意∈[1，2]，y∈[4，5]恒成立，则实数a的取值范围是（）
A．[﹣1，+∞）B．[﹣6，+∞）C．[﹣28，+∞）D．[﹣45，+∞）
【解答】解：由题意可知：不等式y≤a2+2y2对于∈[1，2]，y∈[4，5]恒成立，
即：a≥﹣2（）2，对于∈[1，2]，y∈[4，5]恒成立，
令t=，则2≤t≤5，
∴a≥t﹣2t2在[2，5]上恒成立，
∵y=﹣2t2+t的对称轴为t=，且开口向下，
∴y=﹣2t2+t在[2，5]单调递减，
∴y ma=﹣2×22+2=﹣6，
∴a≥﹣6，
故选B．
10．（5分）设椭圆与函数y=3的图象相交于A，B两点，点P为椭圆C上异于A，B的动点，若直线PA的斜率取值范围是[﹣3，﹣1]，则直线PB的斜率取值范围是（）A．[﹣6，﹣2]B．[2，6]C．D．
【解答】解：∵椭圆C：与函数y=3的图象相交于A，B两点，
∴A，B两点关于原点对称，设A（1，y1），（﹣1，﹣y1），
则，即．
设P（0，y0），则，可得：．
∴．
∵直线PA的斜率1的取值范围[﹣3，﹣1]，
∴﹣3≤≤﹣1，得，
∴直线PB的斜率取值范围是[]．
故选：D．
11．（5分）设数列{a n}的前n项和S n，若+++…+=4n﹣4，且a n≥0，则S100等于（）
A．5048 B．5050 C．10098 D．10100
【解答】解：当n=1时，=0，则a1=0．
当n≥2时，+++…++=4n﹣4，①
+++…+=4n﹣8，②
+++…++=4n，③
由①﹣②得到：=4，
∵a n≥0，
∴a n=2n，
由③﹣①得到：=4，
=2n+2，
∴a n
+1
﹣a n=2，
∴a n
+1
∴数列{a n}是等差数列，公差是2，
综上所述，a n=，
∴S100=S1+S2+S3++…+S100=0+×（100﹣1）=10098．
故选：C．
12．（5分）已知双曲线Γ：﹣=1（a＞0，b＞0）的上焦点F（0，c）（c＞0），M是双曲线下支上的一点，线段MF与圆2+y2﹣y+=0相切于点D，且|MF|=3|DF|，则双曲线Γ的渐近线方程为（）
A．4±y=0 B．±4y=0 C．2±y=0 D．±2y=0
【解答】解：由2+y2﹣y+=0，得2+（y﹣）2=，
则该圆的圆心坐标为（0，），半径为．
设切点D（0，y0）（y0＞0），
则由2+y2﹣y+=0与（0，y0﹣c）•（0，y0﹣）=0，
解得：0=，y0=．
∴D（，），
由|MF|=3|DF|，得=3，得M（，﹣），
代入双曲线Γ：﹣=1（a＞0，b＞0）整理得b=2a，∴双曲线Г的渐近线方程为y=±．故选：D．
二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）
13．（5分）已知命题p：2+2﹣3＞0，命题q：＞a，若￢p是￢q的充分不必要条件，则实数a的取值范围是[1，+∞）．
【解答】解：由2+2﹣3＞0得＞1或＜﹣3，
若￢p是￢q的充分不必要条件，
则q是p的充分不必要条件，
∵q：＞a，
∴a≥1，
即实数a的取值范围是[1，+∞），
故答案为：[1，+∞）．
14．（5分）已知正项等比数列{a n}的公比为2，若，则的最小值等于．【解答】解：正项等比数列{a n}的公比为2，若，
可得（a1•2m﹣1）（a1•2n﹣1）=4（2a1）2，
即有m﹣1+n﹣1=4，
则m+n=6，
可得=（m+n）（）=（2+++）
≥（+2）=×=．
当且仅当m=2n=4，都不是取得等号，
则的最小值为．
故答案为：．
15．（5分）已知M是抛物线2=4y上一点，F为其焦点，点A在圆C：（+1）2+（y﹣6）2=1上，则|MA|+|MF|的最小值是6．
【解答】解：抛物线2=4y的焦点F（0，1），准线方程为y=﹣1，
如图所示：
利用抛物线的定义知：|MP|=|MF|，
当A，M，P三点共线时，|MA|+|MF|的值最小．
即CM⊥轴，
此时|MA|+|MF|=|AP|=|CP|﹣1=7﹣1=6，
故答案为：6．
16．（5分）如图，在直三棱柱A1B1C1﹣ABC中，，已知G与E分别是棱A1B1和CC1的中点，D与F分别是线段AC与AB上的动点（不包括端点）．若GD⊥EF，
则线段DF的长度的取值范围是．
【解答】解：以A为原点，AB为轴，AC为y轴，AA1为轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则A（0，0，0），E（0，1，），G（，0，1），F（，0，0），D（0，y，0），
=（﹣，y，﹣1），=（，﹣1，﹣），
∵GD⊥EF，∴=﹣=0，即+2y﹣1=0
∴DF===，
∵0＜＜1，0＜y＜1，
∴0＜y＜，
当y=时，线段DF长度的最小值=，
当y=0时，线段DF长度的最大值是1，
而不包括端点，故y=0不能取1．
∴线段DF的长度的取值范围是[，1）．
故答案为：．
三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．（10分）已知数列{a n}是等比数列，首项a1=1，公比q＞0，其前n项和为S n，且S1+a1，S3+a3，S2+a2成等差数列．
（1）求数列{a n}的通项公式；
（2）若数列{b n}满足，求数列{b n}的前n项和T n．
【解答】解：（1）因为S1+a1，S3+a3，S2+a2成等差数列，
所以2（S3+a3）=（S1+a1）+（S2+a2），
所以（S3﹣S1）+（S3﹣S2）+2a3=a1+a2，
所以4a3=a1，因为数列{a n}是等比数列，
所以，
又q＞0，所以，
所以数列{a n}的通项公式．
（2）由（1）知，，
，
所以，
=20+21+22+…+2n﹣1﹣n•2n，
=．
故．
18．（12分）在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=BC=1，AA1=2，E为BB1中点．（1）证明：AC⊥D1E；
（2）求DE与平面AD1E所成角的正弦值．
【解答】（1）证明：连接BD，
∵ABCD﹣A1B1C1D1是长方体，∴D1D⊥平面ABCD，
又AC⊂平面ABCD，∴D1D⊥AC，
在长方形ABCD中，AB=BC，∴BD⊥AC，
又BD∩D1D=D，∴AC⊥平面BB1D1D，
而D1E⊂平面BB1D1D，∴AC⊥D1E；
（2）如图，以D为坐标原点，
以DA，DC，DD1所在的直线为，y，轴建立空间直角坐标系，
则A（1，0，0），D1（0，0，2），E（1，1，1），B（1，1，0），
，
设平面AD
E的法向量为，则，
令=1，则，
∴，
所以DE与平面AD1E所成角的正弦值为．
19．（12分）已知数列{{a n}满足，．（1）求证：数列是等比数列；
（2）若数列{b n}是单调递增数列，求实数λ的取值范围．
【解答】解：（1）因为数列{a n}满足，所以，
即，又a1=1，所以，
所以数列是以2为首项，公比为2的等比数列．
（2）由（1）可得，所以，
因为b1=﹣λ符合，所以．
＞b n，即（n﹣λ）•2n＞（n﹣1﹣λ）•2n﹣1，
因为数列{b n}是单调递增数列，所以b n
+1
化为λ＜n+1，所以λ＜2．
20．（12分）如图，四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为矩形，侧面PAD为正三角形，且平面PAD⊥平面ABCD，E为PD中点，AD=2．
（Ⅰ）求证：平面AEC⊥平面PCD．
（Ⅱ）若二面角A﹣PC﹣E的平面角大小θ满足cosθ=，求四棱锥P﹣ABCD的体积．
【解答】（Ⅰ）证明：取AD中点为O，BC中点为F，
由侧面PAD为正三角形，且平面PAD⊥平面ABCD，得PO⊥平面ABCD，故FO⊥PO，又FO⊥AD，则FO⊥平面PAD，∴FO⊥AE，
又CD∥FO，则CD⊥AE，
又E是PD中点，则AE⊥PD，
由线面垂直的判定定理知AE⊥平面PCD，
又AE⊂平面AEC，故平面AEC⊥平面PCD；
（Ⅱ）解：如图所示，建立空间直角坐标系O﹣y，
令AB=a，则P（0，0，），A（1，0，0），C（﹣1，a，0）．
由（Ⅰ）知=（）为平面PCE的法向量，
令=（1，y，）为平面PAC的法向量，
由于=（1，0，﹣），=（2，﹣a，0）均与垂直，
∴，解得，则，
由cos θ=||=，解得a=．
故四棱锥P﹣ABCD的体积V=S ABCD•PO=•2••=2．
21．（12分）已知过抛物线E：y2=2p（p＞0）的焦点F，斜率为的直线交抛物线于A（1，y1），B（2，y2）（1＜2）两点，且|AB|=6．
（1）求该抛物线E的方程；
（2）过点F任意作互相垂直的两条直线l1，l2，分别交曲线E于点C，D和M，N．设线段CD，MN的中点分别为P，Q，求证：直线PQ恒过一个定点．
【解答】解：（1）抛物线的焦点，∴直线AB的方程为：
联立方程组，消元得：，
∴
∴，解得p=±2．
∵p＞0，
∴抛物线E的方程为：y2=4．
（2）证明：设C，D两点坐标分别为（1，y1），（2，y2），则点P的坐标为．由题意可设直线l1的方程为y=（﹣1）（≠0）．
由，得22﹣（22+4）+2=0．△=（22+4）﹣44=162+16＞0
因为直线l1与曲线E于C，D两点，所以．
所以点P的坐标为．
由题知，直线l2的斜率为，同理可得点Q的坐标为（1+22，﹣2）．
当≠±1时，有，此时直线PQ的斜率．
所以，直线PQ的方程为，整理得y2+（﹣3）﹣y=0．
于是，直线PQ恒过定点（3，0）；
当=±1时，直线PQ的方程为=3，也过点（3，0）．
综上所述，直线PQ恒过定点（3，0）．
22．（12分）如图，在平面直角坐标系oy中，已知圆C：（+1）2+y2=16，点A（1，0），点B （a，0）（|a|＞3），以B为圆心，|BA|的半径作圆，交圆C于点P，且的∠PBA的平分线次线段CP于点Q．
（I）当a变化时，点Q始终在某圆锥曲线τ是运动，求曲线τ的方程；
（II）已知直线l过点C，且与曲线τ交于M、N两点，记△OCM面积为S1，△OCN面积为S2，求的取值范围．
【解答】解：（I）如图，∵BA=BP，BQ=BQ，∠PBQ=∠ABQ，
∴△QAB≌△QPB，∴QA=QP，
∵CP=CQ+QP=QC+QA，QC+QA=4，
由椭圆的定义可知，Q点的轨迹是以C，A为焦点，2a=4的椭圆，
故点Q的轨迹方程为
（II）由题可知，设直线l：=my﹣1，不妨设M（1，y1），N（2，y2）
∵，
，
∵，∴（3m2+4）y2﹣6my﹣9=0，△=144m2+144＞0，
∴，
∵，
即∈（﹣，0]，∈（﹣3，﹣），
∴=﹣∈（，3）．。