福建省芗城中学高考数学前热身理试卷新人教A版(1)

2014届高三年高考热身考试理科数学试题
一、选择题（本题10小题，每小题5分，共50分。

每小题只有一个选项符合题意，请将正
确答案填入答题卷中。

）
1. 若复数z 满足i 45i z =- (其中i 为虚数单位)，则复数z 为（ ） A ．54i - B ．54i -+ C ．54i + D ．54i -- 2．已知集合}1)2lg(|{<-=x x A ，集合}822
1
|
{<<=x x B ，则A B I 等于（ ） A ．(2,12)
B ．(2,3)
C ．(1,3)-
D ．(1,12)-
3．下列说法正确的是（ ）
A ．若“p q Λ”为假命题，则p ，q 均为假命题
B ．“2>x ”是“2320x x -+>”的必要不充分条件
C ．命题“x R ∃∈，使得2
10x x ++<”的否定是：“x R ∀∈， 均有2
10x x ++<” D ．在ABC ∆中，若A 是最大角，则“2
2
2
sin sin sin B C A +<”是“ABC ∆为钝角三角形”的充要条件
4．设b a ,是两条不同直线，βα,是两个不同平面，下列四个命题中正确的是（ ）
A ．若b a ,与α所成的角相等，则b a //
B ．若α//a ，β//b ，βα//，则b a //
C ．若α⊥a ，β⊥b ，βα⊥，则b a ⊥
D ．若α⊂a ，β⊂b ，b a //，则βα// 5．二项式1()n
x x
-的展开式中恰好第5项的二项式系数最大，则展开式中含2x 项的系数是（ ） A ．－56
B ．－35
C ． 35
D ．56
6．设0a >且1a ≠，命题p ：函数()x
f x a =在R 上是增函数 ，命题q ：函数
3()(2)g x a x =-在R 上是减函数，则p 是q 的（ ）
A ．充分不必要条件
B ．必要不充分条件
C ．充分必要条件
D ．既不充分也不必要条件
7．双曲线2
2
1()my x m -=∈R 与椭圆2
215
y x +=有相同的焦点，该双曲线的渐近线方程为
（ ）
A
．y = B
．y x = C ．13
y x =±
D ．3y x =±
8．已知平行四边形ABCD 中，1,2,AB AD ==60DAB ∠=︒, 则→
→
⋅AB AC 等于（ ）
A ．1
B
C ．2
D
．9.设函数266,0
()34,0x x x f x x x ⎧-+≥=⎨
+<⎩，若互不相等的实数123x x x 、、满足 123()()()
f x f x f x ==，则
123
x x x ++的取值范围是（ ）
A ．]6311(，
B ．），（326320
C ．2026]33（，
D ．），（6311
10．设函数)(x f y =的定义域为D ，若对于任意1x 、D x ∈2，当a x x 221=+时，恒有
b x f x f 2)()(21=+，则称点),(b a 为函数)(x f y =图像的对称中心．研究函数
3sin )(-+=x x x f π的某一个对称中心，并利用对称中心的上述定义，可得到 ⎪⎭
⎫
⎝⎛+⎪⎭⎫
⎝⎛++⎪⎭⎫
⎝⎛+⎪⎭⎫
⎝⎛2014402720144026201422014
1
f f f f Λ的值为（ ） A ．8054- B ．4027- C ．4027 D ．8054
二、填空题（本题5小题，每小题4分,共20分。

请将正确答案填入答题卷中。

） 11．曲线2
1y x =+与直线0,1x x ==及x 轴所围成的图形的面积是 ． 12．执行如图所示的程序框图，若输入的5a =，则输出的结
果是__ __．
13．已知变量,x y 满足约束条件1,1,3,2
x y x y y ⎧
⎪-≤⎪
+≥⎨⎪⎪≤⎩若,x y 取整数，则
目标函数2z x y =+的最大值是 .
14．已知矩形的周长为36，矩形绕它的一条边旋转形成一个圆柱，则旋转形成的圆柱的侧
面积的最大值为 .
15．对于集合A ，如果定义了一种运算“⊕”，使得集合A 中的元素间满足下列4个条件： （ⅰ）,a b A ∀∈，都有a b A ⊕∈；
（ⅱ）e A ∃∈，使得对a A ∀∈，都有e a a e a ⊕=⊕=； （ⅲ）a A ∀∈，a A '∃∈，使得a a a a e ''⊕=⊕=； （ⅳ）,,a b c A ∀∈，都有()()a b c a b c ⊕⊕=⊕⊕，
则称集合A 对于运算“⊕”构成“对称集”．下面给出三个集合及相应的运算“⊕”： ①{}A =整数，运算“⊕”为普通加法； ②{}A =复数，运算“⊕”为普通减法；
③{}
A =正实数，运算“⊕”为普通乘法．
其中可以构成“对称集”的有 ．（把所有正确的序号都填上） 三、解答题（本题6小题,共80分, 请将正确答案填入答题卷中。

） 16.(13分) 为减少“舌尖上的浪费”，某学校对在该校食堂用餐的学生能否做到“光盘”，
进行随机调查，从中随机抽取男、女生各15名进行了问卷调查，得到了如下列联表：
2n
17.(13分) 已知函数()3sin()cos().66
f x x x π
π
=-+- ( I ) 当x ∈A 时，函数f(x)取得最大值或最小值，求集合A ；
(Ⅱ) 将集合A 中x ∈(0，+∞)的所有x 的值，从小到大排成一数列，记为{a n }，求数
列{ a n }的通项公式； (Ⅲ)令2
1
n n n b a a π+=
⋅，求数列{b n }的前n 项和T n ．
18.(13分) 如图，在三棱锥C OAB -中， CO ⊥平面AOB ， 2=2OA OB OC ==，22AB =
D 为AB 的中点．
（Ⅰ）求证：AB ⊥平面COD ；
（Ⅱ）若动点E 满足CE ∥平面AOB ，问：当AE BE =时， 平面ACE 与平面AOB 所成的锐二面角是否为定值？ 若是，求出该锐二面角的余弦值；若不是，说明理由．
19.(13分) 已知点,A B 是抛物线2
:2(0)C y px p =>上不同的两点，点D 在抛物线C 的
准线l 上，且焦点F 到直线20x y -+=的距离为32
2
. (I ）求抛物线C 的方程；
O
A
C
D
B
E
(Ⅱ）现给出以下三个论断：
①直线AB 过焦点F ；②直线AD 过原点O ；③直线BD 平行x 轴．
请你以其中的两个论断作为条件，余下的一个论断作为结论，写出一个正确的命题，
并加以证明. 20.(14
分) 已知数列{}n a 满足11a t =>，
11
n n n a a n
++=
．函数21()ln(1)(0,)2f x x mx x m ⎡⎤
=++-∈⎢⎥⎣⎦
．
（I ）求数列{}n a 的通项公式；
（II ）试讨论函数()f x 的单调性；
（III ）若1
2
m =，数列{}n b 满足()+n n n b f a a =，求证：22n n n a a b <<+1．
21.本题设有（1）、（2）、（3）三个选答题，每小题7分，请考生任选2个小题作答，满分
14分．
如果多做，则按所做的前两题记分．作答时，在答题卡上把所选题号填入括号中. （1）（本小题满分7分）选修4-2：矩阵与变换
已知⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=11α为矩阵=A ⎪⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛-411a 属于特征值λ的一个特征向量． （Ⅰ）求实数λ,a 的值； （Ⅱ）求矩阵A 的逆矩阵.
（2）（本小题满分7分）选修4-4：坐标系与参数方程
平面直角坐标系中，以坐标原点O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系.
点,A B 的极坐标分别为),2(π
，)4
π
，曲线C 的参数方程cos (1sin x y α
αα
=⎧⎨
=+⎩为参数）. （Ⅰ）求AOB ∆的面积； （Ⅱ）求直线AB 被曲线C 截得的弦长. （3）（本小题满分7分）选修4—5：不等式选讲
设函数()211f x x x =--+. （Ⅰ）求不等式()0f x ≤的解集D ； （Ⅱ）若存在实数[]2,0∈x
a 成立，求实数a 的取值范围．
2014届高三年高考热身考试理科数学答案 一、选择题 D B D C A D A C D A 二、填空题 4
3
62 5 162π ①、③ 三、解答题
16.解：（Ⅰ）
…………3分
由已知数据得 635.6652.613
171515)531012(302
2
>≈⨯⨯⨯⨯-⨯=
K ，所以，有99%以上的把握认为“在学校食堂用餐的学生能否做到‘光盘’与性别有关”…………6分 （Ⅱ）X 的可能取值为0，1，2…………7分
7
3
)0(215210=
==C C X P ,2110
)1(2
15
15110=⋅==C C C X P ，
21
2
)2(21525===C C X P ………10分
所以X 的分布列为：
X 的数学期望为3
21221170)(=⨯+⨯+⨯=X E …………13分
17. 解：（Ⅰ）)]6
cos(21)6sin(23[
2)(π
π-+-=x x x f …………1分 x x sin 2]6
)6sin[(2=+-=π
π…………3分
当函数)(x f 取得最值时，集合},2
{Z k k x x A ∈+==π
π…………4分
（Ⅱ）
),0(+∞∈x 的所有x
的值从小到大依次是
ΛΛ,2
)12(,
,2
5,23,
2π
π
ππ-n .……6分 即数列}{n a 的通项公式是2
)12(π
-=
n a n …………8分 （Ⅲ）由（Ⅱ）得 )1
21
121(2)12)(12(41
2
+--=+-=
⋅=
+n n n n a a b n n n π…………
10分
)1
21
121()5131()311[(2+--++-+-=∴n n T n Λ…………11分
1
24)1211(2+=
+-=n n
n …………13分
18. 解：（Ⅰ）在三棱锥C OAB -中， CO ⊥平面AOB ， CO ∴⊥AB ．…………………2分
又OA OB =，D 为AB 的中点， ∴DO ⊥AB ．…………………4分
∵DO CO O =I ，∴AB ⊥平面COD ．…………5分
（Ⅱ）∵=2OA OB =
，AB =AO ∴⊥BO ．…………5分
由CO ⊥平面AOB ，故以点O 为原点，OA 所在的直线为x 轴，OB 所在的直线为y 轴，OC 所在的直线为z 轴建立空间直角坐标系（如图），由已知可得 (0,0,0),O (2,0,0),(0,2,0),(0,0,1),A B C (1,1,0)D ．………7分
由CE ∥平面AOB ，故设(,,1)E x y ．…………8分 由AE BE =
故x y =，即(,,1)(0)E x x x ≠．……………9分
设平面ACE 的法向量为1=(,,)a b c n ，由(2,0,1)AC =-u u u v ，(,,0)CE x x =u u u v
，得
20,
0,a c ax bx -+=⎧⎨
+=⎩
令1a =，得1=(1,1,2)-n ．………11分 又平面AOB 的法向量为2=(0,0,1)n ，…………12分
所以12cos ,=n n ． 故平面ACE 与平面AOB 所成的锐二面角定值，
．……13分
19． 解：（I ）因为(,0)2p F ，
依题意得2d ==, ……………2分
解得2p =，所以抛物线C 的方程为2
4y x =…………4分
(Ⅱ）①命题：若直线AB 过焦点F ，且直线AD 过原点O ，则直线BD 平行x 轴.……
5分
设直线AB 的方程为1x ty =+，1122(,),(,)A x y B x y ，………6分 由2
1,
4,
x ty y x =+⎧⎨
=⎩ 得2
440y ty --=，124y y ∴=-，………8分
直线AD 的方程为1
1
y y x x =
，……………9分 所以点D 的坐标为11
(1,)y x --
，112211144
y y y x y y ∴-=-=-=，…………12分
∴直线DB 平行于x 轴.…………13分
②命题：若直线AB 过焦点F ，且直线BD 平行x 轴，则直线AD 过原点O .……
5分
设直线AB 的方程为1x ty =+，1122(,),(,)A x y B x y ，………6分
由21,4,
x ty y x =+⎧⎨=⎩ 得2
440y ty --=，124y y ∴=-，…………8分 即点B 的坐标为22
4
(,)x y -
，………9分 ∵直线BD 平行x 轴，∴点D 的坐标为1
4
(1,)y --
，………10分 ∴11(,)OA x y =u u u r ，1
4
(1,)OD y =--u u u r ，
由于11111
4
()(1)0x y y y y -
--=-+=， ∴OA u u u r ∥OD u u u
r ，即,,A O D 三点共线，…………12分
∴直线AD 过原点O .………13分 ③命题：若直线AD 过原点O ，且直线BD 平行x 轴，则直线AB 过焦点F .……5分
设直线AD 的方程为 (0)y kx k =≠，则点D 的坐标为(1,)k --，……6分 ∵直线BD 平行x 轴，
∴B y k =-，∴24B k x =，即点B 的坐标为2(,)4
k k -，………8分
由2,4,
y kx y x =⎧⎨=⎩得22
4k x x =， ∴244,,A A x y k k =
=即点A 的坐标为244(,)k k
，…………10分 ∴2
244(1,),(1,)4
k FA FB k k k =-=--u u u r u u u r ，
由于224444
(1)()(1)04k k k k k k k k
---⋅-=-+-+=，
∴FA u u u r ∥FB u u u r
，即,,A F B 三点共线，………12分
∴直线AB 过焦点F .…………13分
20. 解：（I ）∵11
n n n a a n
++=， ∴当2n ≥时，-11n n a n a n =
-， ∴3212-123121n n a a a n
a a a n ⋅⋅⋅=⋅⋅⋅-L L ，即1
=n a n a ， ∴n a nt =，对1n =也成立， ∴数列{}n a 的通项公式为n a nt =．………3分
（II ）2122(221)
()21=(1)111mx mx x x mx m f x mx x x x x
+-+-'=+-=>-+++，………4分
当0m =时，()1x
f x x
-'=+，当10x -<<时，()0f x '>；当0x >时，()0f x '<，
∴函数()f x 的单调增区间是(1,0)-，减区间是(0,)+∞；…………5分
当102m <≤时，令()0f x '=，解得10x =，2211122m x m m
-=-=-+． 当102m <<
时，20x >，当10x -<<时，()0f x '>；当1012x m
<<-+时，()0f x '<； 1
12x m
>-+
时，()0f x '>， ∴函数()f x 的单调增区间是(1,0)-和1(1,)2m -+
+∞，减区间是1
(0,1)2m
-+；
………6分
当1
=2
m 时，120x x ==，2()01x f x x '=≥+，
∴函数()f x 的单调增区间是(1,+)-∞，无减区间．………7分
综上所述，当0m =时，∴函数()f x 的单调增区间是(1,0)-，减区间是(0,)+∞； 当102m <<
时，函数()f x 的单调增区间是(1,0)-和1(1,)2m
-++∞，减区间是1
(0,1)2m
-+
； 当1
=2m 时，函数()f x 的单调增区间是(1,+)-∞，无减区间．
（III ）当12m =
时，21()ln(1)2f x x x x =++-，21
ln(1)2
n n n b a a =++． 由n a nt =且1t >，故0n b >．………8分 要证
n n a b <1，即证n n a b <，即证21
ln(1)02
n n n a a a ++->． 由（II ）得21
()ln(1)(0)2
f x x x x x =++->在(0,+)∞上单调递增，
所以21
()ln(1)(0)02
f x x x x f =++->=，
所以21
()ln(1)02
n n n n f a a a a =++->，即n n a b <1成立．…………11分
要证2
2n n n a a b <+，由20n a +>，即证222n n n a a b +>，
即证2222ln(1)n n n n a a a a +>++，即证ln(1)n n a a >+．
设()ln(1)(0)g x x x x =-+>，1()1011x g x x x
'=-=>++， 所以()g x 在(0,+)∞上单调递增，()(0)0g x g >=，
从而ln(1)n n a a >+，即2
2n n n a a b <+成立．
综上，2
2n n n
a a
b <<+1．………14分
21.（1）（本小题满分7分）选修4-2：矩阵与变换
解：（Ⅰ）由1
14a ⎛⎫
⎪-⎝⎭11⎛⎫ ⎪⎝⎭
=λ11⎛⎫ ⎪⎝⎭得：114a λλ+=⎧⎨-+=⎩ 2,3a λ∴== ………4分 （Ⅱ）由(Ⅰ) 知 =A 1214⎛⎫
⎪-⎝⎭
||1426A ∴=⨯+=
=-1
A 1||A ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-1124=⎪
⎪⎪⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛-6161
3132…………… 7分 （2）（本小题满分7分）选修4-4：坐标系与参数方程
解：
（Ⅰ）01
2sin13522
AOB
S ∆=
⨯⨯=………………3分 （Ⅱ）在直角坐标系中(2,0),(2,2)A B -
所以直线AB 的方程为：220x y -+=……………4分 曲线C ：2
2(1)1x
y +-=是圆心为(0,1)P ，半径为1的圆……………5分
因为直线AB 正好过圆心(0,1)P ，所以直线AB 被曲线C 截得的弦长为2…
7分 (3）（本小题满分7分）选修4-5:不等式选讲
解：（Ⅰ）当1x ≤-时，由()20f x x =-+≤得2x ≥，所以x ∈∅；
当112x -<≤
时，由()30f x x =-≤得0x ≥，所以1
02x ≤≤； 当12x >时，由()20f x x =-≤得2x ≤，所以1
22
x <≤. ………2分
综上不等式()0f x ≤的解集D {}
02x x =≤≤. ……3分
(+=4分
由柯西不等式得2(31)((2))8x x ?+-=，
∴≤ ………………5分
当且仅当3
2
x =
时取“=”，
∴ a 的取值范围是(-?.………7分。