江西省上饶县中学高考数学仿真考试试题 理

上饶县中学2018届高三年级高考仿真考试
数学（理科）试卷
满分：150分 考试时间：120分钟
注意事项：
1. 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。

答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.
2. 回答第Ⅰ卷时，选出每个小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮搽干净后，再选涂其他答案标号，写在本试卷上无效.
3. 回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上，答在本试题上无效.
4. 考试结束，将本试题和答题卡一并交回.
第Ⅰ卷
一、选择题（每小题5分，共60分。

每小题所给选项只有一项符合题意，请将正确答案的选项填涂在答题卡上）
1．若集合{}
B B A y y A =≥= ,0|，则集合B 不可能是 A ．{
}
x y y =|
B ．{
}
x
y y 2|=
C ．{}x y y lg |=
D ．∅
2．已知复数2
(1)1z i i -=+，则=z
A. 2
B. 1
C.
12
3．已知32
)24sin(
=-θπ
，则=θsin A ．97 B ．9
1
C ．9
1
-
D ．9
7-
4．下列说法错误的是
A ． “若2≠x ，则065-2≠+x x ”的逆否命题是“若065-2=+x x ，则2=x ”
B ． “3>x ”是“065-2>+x x ”的必要不充分条件
C ． “R x ∈∀，065-2≠+x x ”的否定是“065,02
00=+-∈∃x x R x ” D ．命题：“，Z x ∈∃0使06502
0<+-x x ”为假命题
5．当实数x 、y 满足不等式组⎪⎩
⎪
⎨⎧≥≥≤+0022y x y x 时，恒有3≤+y kx 成立，则k 的取值范围为
A ．]0,(-∞
B ．),0[+∞
C ．]3,(-∞
D ．]3,0[
6．过双曲线)0,0(122
22>>=-b a b
y a x 的右焦点F 作圆222b y x =+的切线FM （切点为M ）
交y 轴于点P ．若FM 2=，则双曲线的离心率是
A ．5
B ．
2
5
C ．6
D ．
2
6 7．在二面角α﹣l ﹣β 的半平面α内，AB ⊥l ，垂足为B ；在半平面β内，CD ⊥l ，垂足为D ；M 为l 上任一点．若AB=2，CD=3，BD=1，则CM AM +的最小值为
A. 26
B ．5
C ．23
D ．21
8．设x ～)11
(，N ，其正态分布密度曲线如图，向正方形ABCD 中随机投掷10000个点，则落入阴影部分的点的个数的估计值是 （注：若x ～)(2
μσ，N ，则
%26.68)(=+<<-σμσμx P ,%44.95)22(=+<<-σμσμx P ）
A ．7539
B ．6038
C ．6587
D ．7028
9．约公元263年，我国数学家刘徽发现：当圆内接正多边形的边数 无限增加时，多边形的面积可无限接近圆的面积.并创立了“割圆术”， 得到了圆周率精确到小数点后两位的近似值3.14.根据该思想设计的 程序框图（如图），则输出的n 值为(参考数据：sin15°=0.2588， sin7.5°=0.1305.)
A ．6
B ．12
C ．24
D ．48
10．某棱锥的三视图如图所示，则该棱锥的外接球的直径为
A ．22
B ．11
C ．32
D ．13
11．过点)12(-，
P 作抛物线y x 42
=的两条切线，切点分别为A ，B ，PA ，PB 分别交x 轴于E ，F 两点，O 为坐标原点，则△PEF 与△OAB 的面积之比为
A ．
2
3
B ．
4
3 C ．
2
1 D ．
4
1 12．已知函数.2018
2),2(2
0,2
sin )(⎪⎩⎪⎨⎧≤<-≤≤=x x f x x x f π设方程01)(2=-x f 的根为,,,,,21+∈N n x x x n 则n n x x x x x ,2,,2,2,1321- 的平均数为
A ．2017
B ．2018
C ．4034
D ．4036
第Ⅱ卷
二、填空题（每小题5分，共20分，把答案填写在答题纸的相应位置上） 13．已知向量,
2==，,的夹角为120
= ． 14．若n
x
x )3
(-的展开式中各项系数的和为64,则该展开式中的常数项为 ．
15．已知定义在R 上的函数)(x f 的导函数为)(x f '，且⎰+
'+-=2
2
,)()2(3)(dx x f x f x x f 则
=⎰
2
)(dx x f ．
16．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，D 是AC 的中点，且
c A A c C A a 31cos sin cos sin =+，5
5
2cos =B ，2=b ，则△ABC 的面积为 ．
三、解答题(本大题共70分=10分+12×5分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 17．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且22-=n n a S （n ∈N*），数列{}n b 满足b 1=1，且点
),(1+n n b b P （n ∈N*）在直线2+=x y 上.
（1）求数列{}n a 、{}n b 的通项公式；
（2）设2
2sin
22
ππn con b n a c n n n ⋅-⋅=（n ∈N*），求数列{}n c 的前n 2项和n T 2. 18． 某校为了推动数学教学方法的改革，学校将高一年级部分生源情况基本相同的学生分成甲、乙两个班，每班各40人，甲班按原有模式教学，乙班实施教学方法改革．经过一年的教学实验，将甲、乙两个班学生一年来的数学成绩取平均数再取整，绘制成如下，规定不低于85分（百分制）为优秀，甲班学生成绩的中位数为74． （1） ①求茎叶图中x 的值和乙班同学成绩的众数；
②随机从乙班的数学成绩优秀的学生中逐个选取2人，求在第一个学生的成绩不小于90分的条件下，第二个学生的成绩也不小于90分的概率；
（2）完成表格，若有90%以上的把握认为“数学成绩优秀与教学改革有关”的话，那么学校
将扩大教学改革面，请问学校是否要扩大改革面？说明理由．
参考表：
19．如图，三棱台111C B A ABC -中，侧面BA B A 11与侧面CA C A 11是全等的梯形，若
1111,C A A A AB A A ⊥⊥，且A A B A AB 11142==．
（1）若2,21==，证明：DE ∥平面BC B C 11； （2）若二面角C 1﹣AA 1﹣B 为
3
π
，求平面BA B A 11与平面BC B C 11所成的锐二面角的余弦值．
20. 在直角坐标系xOy 中，椭圆)1(1:222
>=+a y a
x C 上异于顶点)0,(),0,(a B a A -的动点P
满足：直线PA 与直线PB 的斜率乘积为.4
1
- （1）求实数a 的值；
（2）设直线048=-+y x 被椭圆C 截得的弦上一动点M （不含端点），点)2,1(Q ，直线MQ
交椭圆C 于G H ,两点，证明：
.GM
QG
HM QH = 21．已知函数x
e x x
f 2)1()(-=,x kx x
g ln 1)(-+=,且)(x f 在0x x =处取得极小值．
（1）若曲线)(x g y =在点（)(,e g e ）处切线恰好经过点))(,(00x f x P ，求实数k 的值；
（2）若函数{})(),(m in )(x g x f x F =（{}q p ,m in 表示q p ,中最小值）在）（+∞,0上函数恰有
三个零点，求实数k 的取值范围．
22．【坐标系与参数方程】：在直角坐标系xOy 中．直线l 的参数方程为⎩⎨
⎧+=+=α
α
sin 1cos 1t y t x （t
为参数，πα<≤0）．在以O 为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线θρcos 4:=C ． （1）当4
π
α=
时，求C 与l 的交点的极坐标；
（2）直线l 与曲线C 交于B A ,两点，且两点对应的参数21,t t 互为相反数，求AB 的值． 23．【不等式选讲】：设函数172)(+-=x x f ． （1）求不等式x x f ≤)(的解集；
（2）若存在x 使不等式a x x f ≤--12)(成立，求实数a 的取值范围．
上饶县中学2018届高三年级高考仿真考试
数学（理科）参考答案与试题解析
一．选择题 1-4：CDBB 5-8：CDAC
9-12：DBCA
二．填空题 13．
．
14.540-
15．3
28-
16.
2
3 三．解答题
17.解：（Ⅰ）当n=1，a 1=2…（1分） 当n ≥2时，a n =S n ﹣S n ﹣1=2a n ﹣2a n ﹣1…（2分）
∴a n =2a n ﹣1（n ≥2），∴{a n }是等比数列，公比为2，首项a 1=2 ∴…（3分）
又点
在直线y=x+2上，∴b n+1=b n +2，
∴{b n }是等差数列，公差为2，首项b 1=1，∴b n =2n ﹣1…（5分） （Ⅱ）
…（7分）
T 2n =（a 1+a 3+…+a 2n ﹣1）﹣（b 2+b 4+…b 2n ） =
…（12分）
18．解：（1）①由甲班同学成绩的中位数为74， 所以7x+75=2×74，得x=3，
由茎叶图知，乙班同学成绩的众数为78，83；
②设在第一个学生的成绩不小于90分的条件下，第二个学生的成绩也不小于90分的概率为p,则2
1
12767=⨯⨯=
p . （2）填写列联表，如下；
依题意知，所以有90%以上的把握认为“数学成绩优秀与教学改革有关”，学校可以扩大教学改革面．
19．（1）证明：连接AC1，BC1，
在梯形A1C1CA中，AC=2A1C1，
∵AC1∩A1C=D，，
∴，
又，∴DE∥BC1，
∵BC1⊂平面BCC1B1，DE⊄平面BCC1B1，
∴DE∥平面BCC1B1 ；
（2）解：侧面A1C1CA是梯形，∵A1A⊥A1C1，∴AA1⊥AC，
又A1A⊥AB，∴∠BAC为二面角C1﹣AA1﹣B的平面角，则∠BAC=，
∴△ABC，△A1B1C1均为正三角形，
在平面ABC内，过点A作AC的垂线，如图建立空间直角坐标系，
不妨设AA1=1，则A1B1=A1C1=2，AC=AC=4，
故点A1（0，0，1），C（0，4，0），
．
设平面A1B1BA的法向量为，
则有，取，得；
设平面C1B1BC的法向量为，
则有，取，得．
∴，
故平面A 1B 1BA 与平面C 1B 1BC 所成的锐二面角的余弦值为．
20.解：（1）设),,(y x P 则
4
1-=-⋅+a x y a x y 即4422
2a y x =+ 又)1(1222
>=+a y a
x 故2=a
（2）设),(),,(),,(221100y x G y x H y x M ，且不妨21y y > 设直线)2(1:-=-y m x QM ，则
由⎩⎨
⎧=-+-=-0
48)2(1y x y m x 得m m
y ++=8230①
由⎩⎨⎧=+-=-4
4)2(12
2y x y m x 得0344)42()4(2
222=--+-++m m y m m y m 则4
3
44,4242
2212221+--=+-=+m m m y y m m m y y ② 而要证
.GM
QG HM QH = 只要证2
02
01122y y y y y y --=--
即证))(2(24210210y y y y y y ++=+ 把①②代入整理得证.
21．解：（1）f ′（x ）=（x 2﹣1）e x ，令f ′（x ）＞0，解得：x ＞1或x ＜﹣1， 令f ′（x ）＜0，解得：﹣1＜x ＜1，
故f （x ）在（﹣∞，﹣1）单调递增，在（﹣1，1）单调递减，在（1，+∞）单调递增，
f（x）在x=1处取极小值，f（1）=0，故P（1，0），
由g′（x）=k﹣，故g′（e）=k﹣，且g（e）=ke，
则y=g（x）在点（e，g（e））处切线y﹣ke=（k﹣）（x﹣e），
由P（1，0）在切线方程，代入切线方程解得：k=﹣1，
故实数k的值﹣1；
（2）g（x）=1+kx﹣lnx．（x＞0），g′（x）=k﹣，
当k≤0时，g′（x）＜0，则g（x）在（0，+∞）上单调递减，故g（x）无极值，当k＞0时，由g′（x）=0，解得：x=，
当x∈（0，）时，g′（x）＜0，当x∈（，+∞）时，g′（x）＞0，
则g（x）在（0，）上单调递减，在（，+∞）单调递增，
此时g（x）存在极小值g（）=2+lnk，无极大值，
可知：k≤0时，g（x）在（0，+∞）单调递减，
g（x）在（0，+∞）上至多有一个零点，故k≤0，不符合题意，
k＞0时，g（x）极小值=g（）=2+lnk，即为g（x）的最小值，
（i）当g（）=0时，则k=e﹣2，g（x）只有一个零点，不满足题意，
（ii）当k＞e﹣2，g（）＞0时，g（x）在（0，+∞）上无零点，不满足题意；（iii）当0＜k＜e﹣2时，g（）＜0，又g（1）=1+k＞0，
故g（）•g（1）＜0，∴g（x）在（1，）上有一个零点，设为x1，即g（x1）=0，由＞e2，取x=，则g（）=1+k﹣，
下面证明g（）=1+k﹣＞0，
令h（x）=x﹣lnx2，x＞2，
∴h′（x）=1﹣＞0，故h（x）在（2，+∞）上单调递增，
∴h（x）＞h（2）=2（1﹣ln2）＞0，即x＞lnx2，
∴e x＞x2，令x=，则＞，
∴g（）=1+k﹣＞1+k•﹣=1＞0，
∴g（）•g（）＜0，
∴g（x）在（，）上有一个零点，设为x2，则g（x2）=0
∵g（1）=k+1，f（x1）＞0，f（x2）＞0，
故F（x）=min{f（x），g（x）}中，有：
F（1）=f（1）=0＜g（1）=1+k，F（x1）=g（x1）=0＜f（x1），F（x2）=g（x2）=0＜f（x2），即函数F（x）有三个零点；
综上，满足题意的k的取值范围是（0，e﹣2）．
22．解：（1）依题意可知，直线l的极坐标方程为θ=（ρ∈R），
当ρ＞0时，联立，解得交点，
当ρ=0时，经检验（0，0）满足两方程，
当ρ＜0时，无交点；
综上，曲线C与直线l的点极坐标为（0，0），．
（2）把直线l的参数方程代入曲线C，得t2+2（sinα﹣cosα）t﹣2=0，
可知t1+t2=0，t1t2=﹣2，
所以|AB|=|t1﹣t2|==2．
23．解：（1）由f（x）≤x得|2x﹣7|+1≤x，
∴，
∴不等式f（x）≤x 的解集为；
（2）令g（x）=f（x）﹣2|x﹣1|=|2x﹣7|﹣2|x﹣1|+1，
则，
∴g（x）min=﹣4，
∵存在x使不等式f（x）﹣2|x﹣1|≤a成立，
∴g（x）min≤a，
∴a≥﹣4．
- 11 -。