河南省信阳市马畈镇高级中学2020-2021学年高一数学理月考试卷含解析

河南省信阳市马畈镇高级中学2020-2021学年高一数学理月考试卷含解析
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的
1. 下列向量组中，能作为表示它们所在平面内所有向量的基底的是（）
A. B.
C. D.
参考答案：
C
2. 教室内有一把直尺，无论怎样放置，地面上总有这样的直线与该直尺所在
直线 ( )．
A．平行 B．异面 C．垂直 D．相交但不垂直
参考答案：
C
3. 在△ABC中，若，且，则的形状为
(A) 等边三角形(B) 钝角三角形
(C) 锐角三角形(D) 等腰直角三角形
参考答案：
D
，=，又，
为等腰直角三角形，
故选D.
4. 在中，，，则下列各式中正确的是（）
A．B．
C．D．
参考答案：
D
5. 已知函数，若a，b，c互不相等，且f（a）=f（b）=f（c），则abc的取值范围是（）
A．（1，10） B．（5，6）C．（10，12）D．（20，24）
参考答案：
C
【考点】分段函数的解析式求法及其图象的作法；函数的图象；对数的运算性质；对数函数的图象与性质．
【分析】画出函数的图象，根据f（a）=f（b）=f（c），不妨a＜b＜c，求出abc的范围即可．【解答】解：作出函数f（x）的图象如图，
不妨设a＜b＜c，则
ab=1，
则abc=c∈（10，12）．
故选C．
6. 在?ABCD中，AB=2BC=4，∠BAD=，E是CD的中点，则?等于（）
A．2 B．﹣3 C．4 D．6
参考答案：
A
【考点】9R：平面向量数量积的运算．
【分析】建立平面直角坐标系，代入各点坐标计算．
【解答】解：以AB所在直线为x轴，以A为坐标原点建立平面直角坐标系，
则A（0，0），B（4，0），C（5，），D（1，）．E（3，）．
∴=（5，），=（1，﹣）．∴?=5×1﹣=2．
故选：A．
7. 已知等差数列{a n}的前n项和为S n，若，，则（）
A．5 B．6 C．7 D．8
参考答案：
B
8. 已知数列{a n}是等差数列，若a9+3a11＜0，a10a11＜0，且数列{a n}的前n项和S n有最大值，那么S n取得最小正值时n等于（）
A．20 B．17 C．19 D．21
参考答案：
C
【考点】等差数列的性质．
【分析】由等差数列的性质和求和公式可得a10＞0，a11＜0，又可得S19=19a10＞0，而S20=10（a10+a11）＜0，进而可得S n取得最小正值时n等于19
【解答】解：∵a9+3a11＜0，∴由等差数列的性质可得
a9+3a11=a9+a11+2a11=a9+a11+a10+a12=2（a11+a10）＜0，
又a10a11＜0，∴a10和a11异号，
又∵数列{a n}的前n项和S n有最大值，
∴数列{a n}是递减的等差数列，
∴a10＞0，a11＜0，
∴S19===19a10＞0 ∴S20==10（a1+a20）=10（a10+a11）＜0
∴S n取得最小正值时n等于19
故选：C
【点评】本题考查等差数列的性质和求和公式，属基础题．
9. 等比数列中，，则此数列前9项的积为 ()
A． B． C． D．
参考答案：
C
10. 实半轴长等于，并且经过点B（5，﹣2）的双曲线的标准方程是（）
A．或
B．
C．
D．
参考答案：
C
【考点】双曲线的简单性质．
【专题】计算题；转化思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程．
【分析】若实轴在x轴上，可设其方程为=1，b＞0，若实轴在y轴上，可设其方程为=1，b＞0，分别把B（5，﹣2）代入，能求出结果．
【解答】解：由题设，a=2，a2=20．
若实轴在x轴上，可设其方程为=1，b＞0，
把B（5，﹣2）代入，得b2=16；
若实轴在y轴上，可设其方程为=1，b＞0，
把B（5，﹣2）代入，得b2=﹣（舍），
故所求的双曲线标准方程为．
故选：C．
【点评】本题考查双曲线的标准方程的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意双曲线性质的合理运用．
二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 已知sin＝，则cos＝________．
参考答案：
【详解】由sin＝，得cos2＝1－2sin2＝，
即cos＝，
所以cos＝cos＝，故答案为.
12. 已知数列{a n}满足，则__________.
参考答案：
【分析】数列为以为首项，1为公差的等差数列。

【详解】因为所以
又
所以数列为以为首项，1为公差的等差数列。

所以
所以
故填
【点睛】本题考查等差数列，属于基础题。

13. （5分）下面给出五个命题：
①已知平面α∥平面β，AB，CD是夹在α，β间的线段，若AB∥CD，则AB=CD；
②a，b是异面直线，b，c是异面直线，则a，c一定是异面直线；
③三棱锥的四个面可以都是直角三角形．
④平面α∥平面β，P∈α，PQ∥β，则PQ?α；
⑤三棱锥中若有两组对棱互相垂直，则第三组对棱也一定互相垂直；
其中正确的命题编号是（写出所有正确命题的编号）
参考答案：
①③④⑤
考点：命题的真假判断与应用．
专题：作图题；空间位置关系与距离．
分析：利用空间中直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系，对①②③④⑤五个选项逐一判断即可．
解答：①∵AB∥CD，
∴过AB与CD作平面γ，使得γ与α与β各有一条交线BC与AD，则四边形ABCD为平行四边形，故AB=CD，①正确；
②a，b是异面直线，b，c是异面直线，如图，
显然a，c相交，不是异面直线，故②错误；
③三棱锥的四个面可以都是直角三角形，如图：
PA⊥底面ABC，BC⊥AB，则BC⊥平面PAB，于是BC⊥PB，从而该三棱锥的四个面都是直角三角形，故③正确；
④平面α∥平面β，P∈α，PQ∥β，
由面面平行的性质得，PQα，故④正确；
对于⑤，三棱锥中若有两组对棱互相垂直，则第三组对棱也一定互相垂直，正确，下面进行证明：设三棱锥P﹣ABC中，PB⊥AC，PC⊥AB，
求证：PA⊥BC
证明：作PH⊥平面ABC，垂足H，分别连结AH、BH、CH，与AB、BC、AC分别交于F、D、E点，
CH是PC在平面ABC的射影，且PC⊥AB，根据三垂线定理，CH（CF）⊥AB，
同理可得，BH（BE）⊥AC，
H是两条高线的交点，故H是三角形ABC的垂心，
故AD⊥BC，
AD是PA在平面ABC的射影，
∴PA⊥BC．
综上所述，①③④⑤正确．
故答案为：①③④⑤．
点评：本题考查命题的真假判断与应用，着重考查空间直线间的位置关系、线面垂直的判定与性质、面面平行的性质及三垂线定理的应用，考查作图与推理分析的能力，属于中档题．
14. 函数
的单调递增区间为参考答案：
，
，
令
求得
则函数的单调递增区间为，故答案为，
15. =
．
参考答案：
6
略
16. 已知上的最大值比最小值多1，
则a ＝__________。

参考答案：
略
17. 函数在区间上的最小值为_______________
参考答案：
1
三、解答题：本大题共5小题，共72分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
18. 已知，且向量与不共线.
（1）若与的夹角为，求；
（2）若向量与的夹角的钝角，求实数k的取值范围.
参考答案：(1) (2) 且
【分析】
（1）因为与的夹角为，所以可求得.展开代入即可求得结果. （2）由向量与的夹角的钝角，可得且不反向共线，展开解k即可.
【详解】解：（1）与的夹角为，
.
.
（2）向量与的夹角为钝角，
，且不能反向共线，
，解得
实数的取值范围是且.
【点睛】本题考查平面向量数量积的运算，考查已知向量夹角求参，考查向量夹角为钝角的求解运算，考查了学生转化的能力，属于基础题.
19. 为了解某冷饮店的经营状况，随机记录了该店1～5月的月营业额y（单位：万元）与月份的数据，如下表：
x 1 2 3 4 5
（1）求y关于x的回归直线方程；
（2）若在这些样本点中任取两点，求恰有一点在回归直线上的概率.
附：回归直线方程中，
，.
参考答案：
解：（1），，，，所以，
于是，所以回归有线方程为：.
（2）用，分别表示所取的两个样本点所在的月份，则该试验的基本事件可以表示为有序实数对，于是该试验的基本事件空间为：
，共包含个基本事件，
设“恰有一点在回归直线上”为事件，则中，共包含个基本事件，
所以.
20. 已知△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c．
（1）若a，b，c依次成等差数列，且公差为2，求c的值；
（2）若△ABC的外接圆面积为π，求△ABC周长的最大值．
参考答案：
（1）；（2）.
【分析】
（1）由成等差数列，且公差为，可得，利用余弦定理可构造关于的方程，解方程求得结果；（2）设，利用外接圆面积为，求得外接圆的半径．根据正弦定理，利用表示出三边，将周长表示为关于的函数，利用三角函数的值域求解方法求得最大值.
【详解】（1）依次成等差数列，且公差为
，
，由余弦定理得：
整理得：，解得：或
又，则（2）设，外接圆的半径为，则，解得：
由正弦定理可得：
可得：，，
的周长
又
当，即：时，取得最大值
【点睛】本题考查了正弦定理、余弦定理解三角形、三角形周长最值的求解.求解周长的最值的关键是能够将周长构造为关于角的函数，从而利用三角函数的知识来进行求解.考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
21. （本题满分12分）已知函数
（1）求的值；
（2）设且，，求的值。

参考答案：
（1）-------------------------------------------------------------------------1分
（2）所以
所以--------------------1分
由有所以 -----------2分
由有所以--------------1分
因为-----------------------------------------------------------2分
所以
--------------------------------------------------2分
---------------1分
当时，又因为，
所以（舍去） ------------------------------------- 1分
当时，因为，
所以-----------------------------------------------------------------------------------1分（另外可以这样限角由有又因为
在内所以应该所以）
22. 本小题满分12分）随机抽取某中学甲乙两班各10名同学,测量他们的身高(单位:cm),获得身高数据的茎叶图. （Ⅰ）根据茎叶图判断哪个班的平均身高较高; （Ⅱ）计算甲班的样本方差
参考答案：
(1)乙（2）57.2
略。