八年级数学下册第十七章勾股定理171勾股定理第2课时勾股定理的应用

第2课时 勾股定理的应用
1．熟练运用勾股定理解决实际问题；
(重点)
2．掌握勾股定理的简单应用，探究最短距离问题．(难点)
一、情境导入
如图，在一个圆柱石凳上，若小明在吃东西时留下了一点食物在B 处，恰好一只在A 处的蚂蚁捕捉到这一信息，于是它想从A 处爬向B 处，你们想一想，蚂蚁怎么走最近？
二、合作探究
探究点一：勾股定理的实际应用
【类型一】 勾股定理在实际问题中的
应用
如图，在离水面高度为5米的岸
上，有人用绳子拉船靠岸，开始时绳子BC 的长为13米，此人以0.5米每秒的速度收绳．问6秒后船向岸边移动了多少米(假设绳子始终是直的，结果保留根号)?
解析：开始时，AC ＝5米，BC ＝13米，即可求得AB 的值，6秒后根据BC ，AC 长度即可求得AB 的值，然后解答即可．
解：在Rt△ABC 中，BC ＝13米，AC ＝5米，则AB ＝BC 2
－AC 2
＝12米.6秒后，B ′C ＝13－0.5×6＝10米，则AB ′＝
B ′
C 2－AC 2＝53(米)，则船向岸边移动的
距离为(12－53)米．
方法总结：本题直接考查勾股定理在实
际生活中的运用，可建立合理的数学模型，
将已知条件转化到同一直角三角形中求解． 【类型二】 利用勾股定理解决方位角问题
如图所示，在一次夏令营活动中，
小明坐车从营地A 点出发，沿北偏东60°方
向走了1003km 到达B 点，然后再沿北偏西30°方向走了100km
到达目的地C 点，求
出A 、C 两点之间的距离．
解析：根据所走的方向可判断出△ABC
是直角三角形，根据勾股定理可求出解．
解：∵AD ∥BE ，∴∠ABE ＝∠DAB ＝60°.∵∠CBF ＝30°，∴∠ABC ＝180°－∠ABE －∠CBF ＝180°－60°－30°＝90°.在Rt△ABC 中，AB ＝1003km ，BC ＝100km ，∴AC ＝AB 2
＋BC 2
＝
（1003）2＋1002
＝
200(km)，∴A 、C 两点之间的距离为200km.
方法总结：先确定△ABC
是直角三角形，再根据各边长，
用勾股定理可求出AC 的长．
【类型三】 利用勾股定理解决立体图形最短距离问题
如图，长方体的长BE ＝15cm ，宽
AB ＝10cm ，高AD ＝20cm ，点M 在CH 上，且CM ＝5cm ，一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点A 爬到点M ，需要爬行的最短距离是多少？
解：分两种情况比较最短距离：
如图①所示，蚂蚁爬行最短路线为AM ，
AM ＝102＋（20＋5）2＝529(cm)，如图②
所示，蚂蚁爬行最短路线为AM ，AM ＝
202
＋（10＋5）2
＝25(cm)．∵529＞25，∴第二种短些，此时最短距离为25cm.
答：需要爬行的最短距离是25cm. 方法总结：因为长方体的展开图不止一种情况，故对长方体相邻的两个面展开时，考虑要全面，不要有所遗漏．不过要留意展开时的多种情况，虽然看似很多，但由于长方体的对面是相同的，所以归纳起来只需讨论三种情况：前面和右面展开，前面和上面展开，左面和上面展开，从而比较取其最小值即可．
【类型四】 运用勾股定理解决折叠中
的有关计算
如图，四边形ABCD 是边长为9的
正方形纸片，将其沿MN 折叠，使点B 落在CD 边上的B ′处，点A 的对应点为A ′，且B ′C ＝3，则AM
的长是(
)
A ．1.5
B ．2
C ．2.25
D ．2.5
解析：连接BM ，MB ′.设AM ＝x ，在Rt△ABM 中，AB 2＋AM 2＝BM 2.在Rt△MDB ′中，MD 2＋DB ′2.∵MB ＝MB ′，∴AB 2＋AM 2＝BM 2＝B ′M 2＝MD 2＋DB ′2，即92＋x 2＝(9－x )2＋(9
－3)2
，解得x ＝2，即AM ＝2.故选B.
方法总结：解题的关键是设出适当的线段的长度为x ，然后用含有x 的式子表示其他线段，然后在直角三角形中利用勾股定理
列方程解答．
【类型五】 勾股定理与方程思想、数
形结合思想的应用
如图，在树上距地面10m 的D 处
有两只猴子，它们同时发现地面上C 处有一筐水果，一只猴子从D 处向上爬到树顶A 处，然后利用拉在A 处的滑绳AC 滑到C 处，另一只猴子从D 处先滑到地面B ，再由B 跑到C ，已知两猴子所经过的路程都是15m ，求树高AB .
解析：在Rt△ABC 中，∠B ＝90°，则满足AB 2＋BC 2＝AC 2
.设BC ＝a m ，AC ＝b m ，AD ＝x m ，根据两只猴子经过的路程一样可列方程组，从而求出x 的值，即可计算树高．
解：在Rt△ABC 中，∠B ＝90°，设BC ＝a m ，AC ＝b m ，AD ＝x m.∵两猴子所经过的路程都是15m ，则10＋a ＝x ＋b ＝15m.∴a ＝5，b ＝15－x .又∵在Rt△ABC 中，由勾股定
理得(10＋x )2＋a 2＝b 2，∴(10＋x )2＋52
＝
(15－x )2
，解得x ＝2，即AD ＝2米．∴AB ＝AD ＋DB ＝2＋10＝12(米)．
答：树高AB 为12米．
方法总结：勾股定理表达式中有三个量，如果条件中只有一个己知量，通常需要巧设未知数，灵活地寻找题中的等量关系，
然后利用勾股定理列方程求解．
探究点二：勾股定理与数轴
如图所示，数轴上点A 所表示的
数为a ，则a
的值是( )
A.5＋1 B ．－5＋1
C.5－1
D. 5 解析：先根据勾股定理求出三角形的斜边长，再根据两点间的距离公式即可求出A 点的坐标．图中的直角三角形的两直角边为1和2，∴斜边长为12
＋22
＝5，∴－1到
A的距离是 5.那么点A所表示的数为5－1.故选C.
方法总结：本题考查的是勾股定理及两点间的距离公式，解答此题时要注意，确定点A的位置，再根据A的位置来确定a的值．
三、板书设计
1．勾股定理的应用
方位角问题；路程最短问题；折叠问题；数形结合思想．
2．勾股定理与数轴
本节课充分锻炼了学生动手操作能力、分类比较能力、讨论交流能力和空间想象能力，让学生充分体验到了数学思想的魅力和知识创新的乐趣，突现教学过程中的师生互动，使学生真正成为主动学习者．。