切蛋糕的数学问题

切蛋糕的学问

学校：温州市育英国际实验学校班级：初一（11）班

成员：黄纪凯金潇然王小丽指导老师：鲍剑锋

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切蛋糕的学问

一．提出问题

今年我过生日的时候，爸爸出差回来带来一个大蛋糕，馋得我直流口水。爸爸说：“你先别忙吃，考你一道数学题。”我信心十足地说：“尽管出吧没有什么问题能难得倒我的！”爸爸说：“你先别骄傲，听我的题目：一块蛋糕不能横着切，从上面一刀切下去最多可以切两块，两刀最多可以切四块，那么三刀最多可以切几块，四刀呢五刀……二十七刀最多可以切多少块我想都没想就回答：“这么简单一刀最多可以切两块，两刀最多可以切四块，三刀最多可以切六块，这样推想下去，二十七刀当然就可以切54块呀！”爸爸说：“错了，其实要使切的数最多，每两刀必须交叉，且三刀以上的刀痕不能交于一点。想知道答案，你可以找一找切的刀数与块数之间的规律。”我陷入了沉思。究竟怎么样切，才能使块数最多呢”

二. 探究问题

我找了两个朋友一起思考，怎样才能切割出尽可能多的月饼呢

于是我在平面上与朋友一起画了一个圆形进行切割，制作了以下表格：

我们就逐渐发现了一个规律： 一刀的最多块数：2=1+1, 二刀的最多块数：4=1+1+2, 三刀的最多块数：7=1+1+2+3, 四刀的最多块数：11=1+1+2+3+4, 五刀的最多块数：16=1+1+2+3+4+5 ……

我们从中发现快数是由一个等差数列和多余的一组成的，例如：上面可转化为以下这种形式： 一刀的最多块数：12)

11(1++（块） 二刀的最多块数：12)

12(2++（块） 三刀的最多块数：12)

13(3++（块） 四刀的最多块数：12)

14(4++（块） 五刀的最多块数：

12

)

15(5++（块）

……

那么，我们推出规律，即n 刀的最多块数为：12

)

1(++n n （块） 那么27刀就有=

12

)

127(27++=379（块） 我和朋友高兴地把答案告诉爸爸，爸爸夸奖了我们，还给我们吃了几块美味的蛋糕，我在吃蛋糕的时候又想：图形的切割多少可能与图形的什么有关呢

三．拓展和推广

经过上一次的探索，我发现切割蛋糕的规律。那么，切割的多少究竟与什么有关呢经过初步的思考，我猜测切割的多少可能与图形的面积，形状，所处的空间维度有关。

（1）我为了验证“图形的切割与图形的面积有关”，我进行了一个实验：设置一个半径是两厘米，一个半径是四厘米，一个半径是八厘米的圆，用同样的手法切割。就得到一个表格：

我发现无论进行多少次分割，它是与图形的面积无关的。并且块数m 与刀数n 的关系为：m=

2

)

1(+n n +1 所以，图形的分割与图形的面积无关（前提：圆不能缩小为一点！） （2）现在我们来研究“图形的分割是否与图形的形状有关”我与我的小伙伴做出了以下实验：设置一个圆形与一个月牙形，找出这个之间的关联。

246 3710 41115 .........

n

2)1

(+

n

n

+1

2)3

(+

n

n

+1

所以，图形分割与图形形状有关。并且值

得一提的是我发现月牙形的规律与三角

形数一样的，如图：

一刀二刀三刀四刀361015

不过，月牙形的切割块数是在第二个三角形数“3”的基础上进行的。（不含

不切的情况），因此，再求切n刀月牙形的最多块数时，事实上是在求第（n+1）个三角形数。由此在三角形数的计算公式上叠加了（3-1），于是

原来的

2)1

(+

n

n

便变成了

2

)1 3

1

(-

+

+

n

n

，即

2)3

(+

n

n

。

（3）对于空间维度，我们可以分三类切割：一维空间，二维空间，三维空间。

我们首先分割一维事物，在一维事物中，只有点，线，所以我们就来研究直线的分割吧。经过我们的研究，由于一维空间是不能横切的，如果一横切，这就会变成二维空间。由此得出下列结论：

第一刀2段第二刀3段第三刀4段第四刀5段

1 2 3 4所以，在一维空间里，段数=刀数+1

二维空间我们已经研究过了，圆形的切割规律：块数=

2)1

(+

n

n

+1（n为刀数）现在我们来研究三维空间的切割规律，我们来研究一个比较典型的三维图形——正方体。

总结：一，二，三维空间的关系图为

得出结论：在一般情况下，三维切割的个数>二维切割的个数>一维切割的个数（刀数≥3，且二维图形的平面应该与三维图形的一面相似）所以图形的分割与空间维度有关。

在数学的海洋与现实中，有没有分割的身影呢答案是肯定的，例如：

如果是一个折线，那它切一刀，两刀，三刀最多能切成几条一刀的话想都

不用想，肯定是3条，我想：这一条折线要把它当成两条线，一次，一条两段，就是四条了，因为这是折线，有两条是连在一起的，所以还要减一，也就是三条了。如果是这样我就可以把一二三刀的最多线条求出来：

一刀：（1+1）*2-1=3（条）

两刀：（2+1）*2-1=5（条）

三刀：（3+1）*2-1=7（条）

……

n刀：（n+1）*2-1=2n+1（条）

n（n+1）*2-1=2n+1……

所以，它的规律是2n+1（n为刀数）

看到这张图，最疯狂的一定那些拥有奇思妙想的艺术家以及有着硕大无比的数学脑袋的几何数学家们了，没错！，这就是黄金分割！黄金分割又称黄金律，黄金比例是指事物各部分间一定的数学比例关系，即将整体一分为二，较大部分与较小部分之比等于整体与较大部分之比，其比值约为1∶或∶1，即长段为全段的。被公认为最具有审美意义的比例数字。上述比例是最能引起人的美感的比例，因此被称为黄金分割。

数学不仅创造了知识，还创造了生活上的美感，数学，真是博大精深啊！

四.自己的感悟

可见做数学题目还真是来不得半点马虎，不懂的时候，除了要认真听别人