河北省邯郸市第二中学2017-2018学年高二上学期期中考试数学试题

邯郸市第二中学高二年级（2016级）期中考试数学试卷考试范围 必修五，简易逻辑；考试时间：120分钟；注意：本试卷包含Ⅰ、Ⅱ两卷。

第Ⅰ卷为选择题，所有答案必须用2B 铅笔涂在答题卡中相应的位置。

第Ⅱ卷为非选择题，所有答案必须填在答题卷的相应位置。

答案写在试卷上均无效，不予记分。

第I 卷（选择题）一、选择题(本大题共12小题，共60.0分)1.已知集合A={x |x 2-2x -3＜0}，集合B={x |12+x ＞1}，则∁B A=（ ） A. [3，+∞） B. （3，+∞）C. （-∞，-1]∪[3，+∞）D. （-∞，-1）∪（3，+∞） 2.已知等差数列{a n }中，a 1+a 3+a 9=20，则4a 5-a 7=（ ） A. 20 B. 30 C. 40 D. 503.在△ABC 中，若acos C+ccos A=bsin B ，则此三角形为（ ） A. 等边三角形 B. 等腰三角形 C. 直角三角形 D. 等腰直角三角形4.已知命题p ：（x -3）（x +1）＞0，命题q ：x 2-2x +1＞0，则命题p 是命题q 的（ ）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分又不必要条件5.在公差不为零的等差数列{a n }中，2a 5-a 72+2a 9=0，数列{b n }是等比数列，且b 7=a 7，则log 2（b 5b 9）=（ ）A. 1B. 2C. 4D. 86.下列函数中，最小值为4的是（ ） A.y =log 3x +4log x 3 B. y =x xe e -+4 C. y =sinx +（0＜x ＜π） D. y =x +7.等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 5=5，那么2+2的最小值为（ ） A. 4 B. 2 C. 2 D.8.已知实数x，y满足若目标函数Z=ax+y的最大值为3a+9，最小值为3a-3，则实数a的取值范围是（）A. {a|-1≤a≤1}B. {a|a≤-1}C. {a|a≤-1或a≥1}D. {a|a≥1}9.若a＜b＜0，则下列不等式：①|a|＞|b|；②；③；④a2＜b2中，正确的有（）A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个10.在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知a=1，2b-c=2acos C，sin C=，则△ABC的面积为（）A. B. C.或 D.或11.定义为n个正数P1，P2…P n的“均倒数”，若已知正整数数列{a n}的前n项的“均倒数”为，又b n=，则++…+=（）A. B. C. D.12.给出下列命题：①命题“若b2-4ac＜0，则方程ax2+bx+c=0（a≠0）无实根”的否命题；②命题“在△ABC中，AB=BC=CA，那么△ABC为等边三角形”的逆命题；③命题“若a＞b＞0，则”的逆否命题；④“若m≥1，则mx2-2（m+1）x+（m+3）＞0的解集为R”的逆命题．其中真命题的序号为（）A. ①②③B. ①②④C. ②④D. ①②③④第II卷（非选择题）二、填空题(本大题共4小题，共20.0分)13.若实数a，b满足2a+2b=1，则a+b的最大值是______ ．14.如图所示，为测量一水塔AB 的高度，在C 处测得塔顶的仰角为60°，后退20米到达D 处测得塔顶的仰角为30°，则水塔的高度为 ______ 米． 15.若变量x ，y 满足约束条件，则的最大值为 ______ ．16.设S n 为数列{a n }的前n 项和，已知a 1=2，对任意p 、q ∈N *，都有a p +q =a p +a q ，则f （n ）=（n ∈N *）的最小值为 ______ ．三、解答题(本大题共6小题，共70.0分)17.已知数列{a n }是公比为2的等比数列，且a 2，a 3+1，a 4成等差数列． （1）求数列{a n }的通项公式；（2）记b n =a n +log 2a n +1，求数列{b n }的前n 项和T n ．18.在△ABC 中，已知三内角A ，B ，C 成等差数列，且sin （+A ）=． （1）求tan A 及角B 的值；（2）设角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且a =5，求b ，c 的值．19.（1）若x ＞0，y ＞0，且+=1，求xy 的最小值．（2）已知x ＞0，y ＞0，满足x +2y =1，求的最小值．20.解关于x 的不等式01)1(2<++-x a ax )0(>a ．21.命题p ：不等式x 2-（a +1）x +1＞0的解集是R ．命题q ：函数f （x ）=（a +1）x在定义域内是增函数．若p ∧q 为假命题，p ∨q 为真命题，求a 的取值范围．22.已知数列}{n a 的前n 项和为n S ，)(212*N n a S n n ∈-=，数列}{n b 满足,11=b 点),(1+n n b b P 在直线02=+-y x 上.(1)求数列}{n a ，}{n b 的通项n a ，n b ；(2)令n n nb a c⋅=，求数列}{n c 的前n 项和n T ；(3)若0>λ，求对所有的正整数n 都有nna b k 2222>+-λλ成立的k 的范围．答案和解析【答案】1.A2.A3.C4.A5.C6.B7. A8.A9.C 10.C 11.C 12.A 13.-214.15.316.17.解：（Ⅰ）由题意可得2（a3+1）=a2+a4，即2（2a2+1）=a2+4a2，解得：a2=2．∴a1==1．∴数列{a n}的通项公式为a n=2n-1．（Ⅱ）b n=a n+log2a n+1=2n-1+n，T n=b1+b2+b3+…+b n=（1+2+3+…+n）+（20+21+22+…+2n-1）==．18.解：（Ⅰ）∵A，B，C成等差数列，∴2B=A+C，又A+B+C=π，则B=，∵sin（+A）=，∴cos A=，∴sin A==，∴tan A==；（Ⅱ）由正弦定理可得=，∴b==7，由余弦定理可得a2=b2+c2-2bccos A，即25=49+c2-11c，解得c=3或c=8，∵cos A=＞cos，∴A＜，∴C＞，∴c=3舍去，故c=8．19.解：（1）∵x＞0，y＞0，且+=1∴：1=+=，可得：，当且仅当8x=2y，即x=4，y=16时取等号．那么：xy≥64故：xy的最小值是64：．（2）∵x＞0，y＞0，x+2y=1，那么：=（）（x+2y）=1+≥3+2=3+．当且仅当x=y，即x=，y=时取等号．故：的最小值是：3+．20.解：由ax2-（a+1）x+1＜0，得（ax-1）（x-1）＜0；∵a＞0，∴不等式化为，令，解得；∴当0＜a＜1时，原不等式的解集为{x|1＜x＜}；当a=1时，原不等式的解集为∅；当a＞1时，原不等式的解集为．21.解：∵命题p：不等式x2-（a+1）x+1＞0的解集是R∴△=（a+1）2-4＜0，解得-3＜a＜1，∵命题q：函数f（x）=（a+1）x在定义域内是增函数．∴a+1＞1，解得a＞0由p∧q为假命题，p∨q为真命题，可知p，q一真一假，当p真q假时，由{a|-3＜a＜1}∩{a|a≤0}={a|-3＜a≤0}当p假q真时，由{a|a≤-3，或a≥1}∩{a|a＞0}={a|a≥1}综上可知a的取值范围为：{a|-3＜a≤0，或a≥1}22. (1)解:,当时，,,是首项为，公比为2的等比数列.因此 ,当时,满足 ,所以 .因为在直线上，所以,而 ,所以.(2)解: ，③因此④③-④得：，.(3)证明:由(1)知,数列为单调递减数列；当时，.即最大值为1.由可得，而当时，当且仅当时取等号，.【解析】1. 解：A={x|x2-2x-3＜0}={x|-1＜x＜3}，B={x|2x+1＞1}={x|x＞-1}，C B A=[3，+∞）．故选A．根据集合A是二次不等式的解集，集合B是指数不等式的解集，因此可求出集合A，B，根据补集的求法求得C B A．此题是个基础题．考查对集合的理解和二次函数求值域以及对数函数定义域的求法，集合的补集及其运算．2. 解：∵等差数列{a n}中，a1+a3+a9=20，∴a1+a1+2d+a1+8d=3a1+10d=20，4a5-a7=4（a1+4d）-（a1+6d）=3a1+10d=20．故选：A．利用等差数列通项公式列出方程组，能求出结果．本题考查等差数列的通项公式的应用，是基础题，解题时要认真审题，注意等差数列的性质的合理运用．3. 解：在△ABC中，由acos C+ccos A=bsin B以及正弦定理可知，sin A cos C+sin C cos A=sin2B，即sin（A+C）=sin B=sin2B．∵0＜B＜π，sin B≠0，∴sin B=1，B=．所以三角形为直角三角形．故选：C．由已知以及正弦定理可知sin A cos C+sin C cos A=sin2B，化简可得sin B=sin2B，结合B的范围可求B=，从而得解．本题主要考查了正弦定理，两角和的正弦函数公式的应用，属于基础题．4. 解：由p：（x-3）（x+1）＞0，得x＜-1或x＞3，∴命题q：x2-2x+1＞0，解得x≠1，显然前者可以推出后者，后者不能推出前者．故选：A．先分别化简，再根据定义或者集合之间的包含关系可以求解．本题主要考查充分条件和必要条件的判断，利用不等式的性质是解决本题的关键，比较基础．5. 解：∵公差不为零的等差数列{a n}中，2a5-a72+2a9=0，∴，∴a7=4，∵数列{b n}是等比数列，且b7=a7，∴b7=4，，∴log2（b5b9）=log216=4．故选：C．由已知条件推导出b7=4，，由此能求出log2（b5b9）．本题考查对数值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意等差数列、等比数列、对数性质的合理运用．6. 解：A.0＜x＜1时，y＜0，不正确B．∵e x＞0，∴=4，当且仅当x=ln2时取等号，正确．C．令sinx=t∈（0，1），则y=f（t）=t+，y′=1-＜0，因此函数f（t）在（0，1）上单调递减，∴f（t）＞f（1）=5，不正确．D．x＜0时，y＜0，不正确．故选：B．A.0＜x＜1时，y＜0，即可判断出正误；B．由e x＞0，利用基本不等式的性质即可判断出正误．C．令sinx=t∈（0，1），则y=f（t）=t+，利用导数研究其单调性即可判断出正误．D．x＜0时，y＜0，即可判断出正误．本题考查了基本不等式的性质、利用导数研究函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．7. 解：由等差数列的前n项和公式S5==5，即a1+a5=2，由＞0，＞0+≥•==22=4，当且仅当=，即a1=a5=1，取“=”，∴+的最小值4，故选：A．根据等差数列的前n项和，S5==5，即a1+a5=2，根据基本不等式的性质知+≥•==22=4，即可求得+的最小值4．本题考查等差数列前n项和公式，考查基本不等式的应用，考查计算能力，属于中档题．8. 解：由z=ax+y得y=-ax+z，直线y=-ax+z是斜率为-a，y轴上的截距为z的直线，作出不等式组对应的平面区域如图：则A（3，9），B（-3，3），C（3，-3），∵z=ax+y的最大值为3a+9，最小值为3a-3，可知目标函数经过A取得最大值，经过C取得最小值，若a=0，则y=z，此时z=ax+y经过A取得最大值，经过C取得最小值，满足条件，若a＞0，则目标函数斜率k=-a＜0，要使目标函数在A处取得最大值，在C处取得最小值，则目标函数的斜率满足-a≥k BC=-1，即a≤1，可得a∈（0，1]．若a＜0，则目标函数斜率k=-a＞0，要使目标函数在A处取得最大值，在C处取得最小值，可得-a≤k BA=1∴-1≤a＜0，综上a∈[-1，1]故选：A．由约束条件作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，利用数形结合分类讨论进行求解．本题主要考查线性规划的应用，根据条件确定A，B是最优解是解决本题的关键．注意要进行分类讨论，是中档题．9. 解：对于①，根据不等式的性质，可知若a＜b＜0，则|a|＞|b|，故正确，对于②若a＜b＜0，两边同除以ab，则＜，即＜，故正确，对于③若a＜b＜0，则＞0，＞0，根据基本不等式即可得到；故正确，对于④若a＜b＜0，则a2＞b2，故不正确，故选：C根据不等式的性质即可判断．本题考查不等式的性质，属于基础题．10. 解：∵2b-c=2acos C，∴由正弦定理可得2sin B-sin C=2sin A cos C，∴2sin（A+C）-sin C=2sin A cos C，∴2cos A sin C=sin C，∴cos A=∴A=30°，∵sin C=，∴C=60°或120°A=30°，C=60°，B=90°，a=1，∴△ABC的面积为=，A=30°，C=120°，B=30°，a=1，∴△ABC的面积为=，故选：C．2b-c=2acos C，利用正弦定理，求出A；sin C=，可得C=60°或120°，分类讨论，可得三角形面积．本题考查正弦定理，考查三角形面积的计算，考查分类讨论的数学思想，属于中档题．11. 解：∵=，∴a1+a2+…+a n=n（2n+1），∴n≥2时，a n=n（2n+1）-（n-1）（2n-1）=4n-1．n=1时，a1=3，对于上式也成立．∴a n=4n-1．∴b n==n．∴==．则++…+=+…+=1-=．故选：C．=，可得a1+a2+…+a n=n（2n+1），利用递推关系可得a n=4n-1．可得b n==n.==．再利用裂项求和方法即可得出．本题考查了数列递推关系、裂项求和方法、新定义，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．12. 解：①命题“若b2-4ac＜0，则方程ax2+bx+c=0（a≠0）无实根”的否命题是“若b2-4ac≥0，则方程ax2+bx+c=0（a≠0）有实根”，是正确的；②命题“△ABC中，AB=BC=CA，那么△ABC为等边三角形”的逆命题是“△ABC是等边三角形，则AB=BC=CA”，是正确的；③命题“若a＞b＞0，则”是正确的，∴它的逆否命题也是正确的；④命题“若m≥1，则mx2-2（m+1）x+（m+3）＞0的解集为R”的逆命题是“若mx2-2（m+1）x+（m+3）＞0的解集为R，则m≥1，∵不等式的解集为R时，∴的解集为m＞1，∴逆命题是错误的；∴正确命题有①②③；故选：A根据题意，按照要求写出命题①、②、③、④的否命题、逆命题或逆否命题，再判定它们是否正确．本题考查了四种命题之间的关系以及命题真假的判定问题，是基础题．13. 解：∵2a+2b=1，∴=，即，∴a+b≤-2，当且仅当，即a=b=-1时取等号，∴a=b=-1时，a+b取最大值-2．故答案为：-2．由2a+2b=1，得=，从而可求a+b的最大值，注意等号成立的条件．该题考查基本不等式在求函数最值中的运用，属基础题，熟记基本不等式的使用条件是解题关键．14. 解：设AB=hm，则BC=h，BD=h，则h-h=20，∴h=m，故答案为．利用AB表示出BC，BD．让BD减去BC等于20即可求得AB长．本题主要考查了三角函数的定义，根据三角函数可以把问题转化为方程问题来解决．15. 解：作出不等式组对应的平面区域如图：则的几何意义为动点P到定点Q（-1，-2）的斜率，由图象可知当P位于A（0，1）时，直线AQ的斜率最大，此时z==3，故答案为：3．作出不等式组对应平面区域，利用z的几何意义即可得到结论．本题主要考查线性规划的应用，利用z的几何意义，以及直线的斜率公式是解决本题的关键．16. 解：∵对任意p、q∈N*，都有a p+q=a p+a q，令p=n，q=1，可得a n+1=a n+a1，则-a n=2，∴数列{a n}是等差数列，公差为2．∴S n=2n+=n+n2．则f（n）===n+1+-1，令g（x）=x+（x≥1），则g′（x）=1-=，可得x∈[1，时，函数g（x）单调递减；x∈时，函数g（x）单调递增．又f（7）=14+，f（8）=14+．∴f（7）＜f（8）．∴f（n）=（n∈N*）的最小值为．故答案为：．对任意p、q∈N*，都有a p+q=a p+a q，令p=n，q=1，可得a n+1=a n+a1，则-a n=2，利用等差数列的求和公式可得S n．f（n）===n+1+-1，令g（x）=x+（x≥1），利用导数研究函数的单调性极值与最值即可得出．本题考查了等差数列的通项公式与求和公式、利用导数研究函数的单调性极值与最值，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．17.（I）由题意可得2（a3+1）=a2+a4，由公比为2，把a3、a4用a2表示，求得a2，进一步求出a1，数列{a n}的通项公式．（Ⅱ）利用已知条件转化求出数列的通项公式，然后求解数列的和即可．本题考查等差数列和等比数列的通项公式，考查了等比数列的前n项和，是基础的计算题．18.（Ⅰ）根据等差数列的性质可得B=，再根据诱导公式和同角的三角函数的关系即可求出tan A．（Ⅱ）根据正弦定理求出b，再根据余弦定理求出c．本题考查了正弦定理、余弦定理，内角和定理，以及等差中项的性质的应用，属于基础题．19.（1）利用基本不等式的性质即可得出．（2）利用“乘1法”与基本不等式的性质即可得出．本题考查了“乘1法”与基本不等式的性质，属于基础题．20.由a＞0，把不等式化为，求出不等式对应方程的实数根，讨论两根的大小，写出对应不等式的解集．本题考查了一元二次不等式的解法与应用问题，是基础题．21.由题意可得p，q真时，a的范围，分别由p真q假，p假q真由集合的运算可得．本题考查复合命题的真假，涉及一元二次不等式的解法和指数函数的单调性，属基础题．22. 本题考查了数列求和,等差数列的通项公式,错位相减法和不等式恒成立问题. (1)利用数列求和中的的关系得,再利用等差数列的通项公式得结论. (2)利用错位相减法计算得结论. (3)利用不等式恒成立问题得结论.。