基于茶文化视角的中心极限定理的教学设计

2020年第08期
基金项目：黔南民族师范学院项目“2014ZCSX15”，省科技厅联合基金项目“黔科合LH 字［2015］7720”作者简介：熊梅（1979-），女，贵州安龙人，高级实验师，研究方向：实验管理及实验教学。

收稿日期：2020年7月5日。

中心极限定理是概率论与数理统计中十分重要的定理，是
概率论与数理统计课程教学中的一个重难点。

中心极限定理的重要性在于，不管一个随机变量是离散型还是连续型，也无论这个随机变量服从什么分布，当这种相互独立的随机变量的个数增加时，其和的分布都趋于正态分布。

因此，只要和式中加项的个数充分大，就可以不必考虑和式中的随机变量服从什么分布，都可以用正态分布来近似。

然而，在实际教学过程中，由于中心极限定理本身的抽象性和结果的多样性使得学生易产生畏难情绪，导致学生很难准确深入理解中心极限定理的实质。

1茶文化对创新思维培养的价值
对世界文化影响比较深远的中国传统文化中，茶文化是其中之一。

茶文化包含了丰富的哲学思想，其中就有道家的“天人合一”及儒家“中庸”之道等优秀思想。

所以，茶文化中能体现出遵循事物的发展规律，实现人与自然的和谐。

这种和谐不是妥协适应，而是各个事物间能相互吸纳融合，使得各个事物间能以恰到好处的状态存在，并且达到一种平衡。

茶文化中的这些哲学思想在对社会大众心智的启迪起着非常重要的作用。

将茶文化的思想内涵渗透给学生，有利于他们在学习上能戒骄戒躁，踏实稳重，认真务实，树立正确的人生三观。

同时，将茶文化的哲学思想融入到教学的各个环节中，可以促进创新培养新方式方法的诞生，对于提高学生的创新水平有着重要的意义。

[1]本文在茶文化视角下，将教学设计与实验项目相结合，运用数学软件（如Matlab ，Mathematic ，Maple 等）实现中心极限定理的仿真模拟，培养学生的学习兴趣，加深对定理的理解。

2中心极限定理的表述
在一般的教材中，中心极限定理是一组定理：林德伯格（Lindeberg ）-莱维（Levy ）中心极限定理（独立同分布中心极限定理）、De Moivre-Laplace 中心极限定理（二项分布的正态近似）和
Liapunov 中心极限定理（独立但不同分布中心极限定理）[2]。

其中De Moivre-Laplace 中心极限定理是独立同分布中心极限定理的特殊情况，而Liapunov 中心极限定理则比独立同分布中心极限定理更具有一般性。

设n Y 服从二项分布(,)
b n p ，引入随机变量k X ，在第k 次试
验中
则
()1,k X b p ，其中1,2,,k n = ，且1
n
n k k Y X ==å，从而De
Moivre-Laplace 中心极限定理可以表述成：当n 充分大时，独立同()01-分布的随机变量12,,,n X X X ,其和1n
k k X =å近似服从正
态分布。

De Moivre-Laplace 中心极限定理
设在独立试验序列中，
事件A 发生的概率()(01)p A p p =<<，随机变量n Y 表示“事件
A 在n 次独立试验中发生的次数”，则对于任何实数x 有下式成立：
那么当n 充分大时，由此
独立同分布中心极限定理（Lindeberg-Levy 中心极限定理）设随机变量12,,,n X X X 相互独立，服从相同的分布，并且数学期望和方差都存在且方差不为0，即()i E X m =，
但不服从得到了Liapunov 中心极限定理。

Liapunov 中心极限定理
设随机变量12,,,n X X X 相互
方差()2
0i i D X s =>，记
条件：存在0d >，使得
3中心极限定理的实验项目设计
基于茶文化视角的中心极限定理的教学设计
熊梅，张大林
（黔南民族师范学院数学与统计学院，贵州都匀558000）
摘要：中心极限定理是概率论与数理统计教学过程中的一个重难点.本文将实验项目融入教学过程，借助数学软件的数据模拟方法，将实验数值与理论数值进行比较，得到直接的近似结果.并通过图形模拟，展示中心极限定理蕴含的变化过程，使得抽象的教学内容具体化、直观化，提高了课堂教学效果．
关键词：中心极限定理；实验项目；数学软件；教学设计
思考·探索
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2020年第08期
学术专业人文茶趣
3.1数值近似实验项目
设(0.5)X P ，其30次重复观测结果为1230,,,X X X ，记
用计算机模拟Z 的重复观测结果1000次，将Z 的经验分布函数1000()
F x 与()x F 在点
30.5,012
x k k =-+££的值相比较，并解释比较结果[3]。

解：在Matlab 命令窗口中输入代码：>>y=poissrnd(0.5,1000,30)；
得到一个100030´阶的矩阵y 该矩阵的每一行可以看做X 的一次30次重复观测的模拟结果。

执行代码：
>>xm=(mean (y,2)-0.5)*sqrt(60)；得到1000维的列向量xm ，它是每个分量都是Z 的一次重复观测的模拟结果。

运行代码：
>>sum([xm<-3,xm<-2.5,xm<-2,xm<-1.5,xm<-1,xm<-0.5])/1000
得到X 的经验分布函数在-3，-2.5，-2，-1.5，-1，-0.5处的值：ans=
0.00000.00000.02200.07900.19000.3670运行代码：
>>sum([xm<0,xm<0.5,xm<1,xm<1.5,xm<2,xm<2.5,xm<3])/1000
得到X 的经验分布函数在0，0.5，1，1.5，2，2.5，3处的值：ans=
0.47400.66400.81100.92200.96800.98600.9960运行代码：
>>normcdf(-3:0.5:3,0,1)
得到分布函数0.1()x F 在30.5x k =-+点的值，
012k ££。

ans=
Columns 1through 10
0.00130.00620.02280.06680.15870.30850.50000.69150.84130.9332Columns 11through 130.97720.99380.9987
将所得的经验分布函数和正态分布函数的值列入下表。

比较两个分布函数在相同点的值，发现它们的最大误差不超过0.06，说明用标准正态分布函数来近似Z 的经验分布函数的效果还是比较好的。

当n 充分大时，独立同分
布的随机变量序列的平均值在样本容量n 较大时，模拟服从指.设指数分
布的概率密度函数为
, 0,
()0, 0,
x e x f x x q q -ì³=í
<î其分布函数为
1, 0,
()0, 0.
x e x F x x q -ì-
³=
í
<
î不妨以3q =为例，编写Matlab 程序如下[4]：
clc,
clear,
N=10^5;theta=3;n=5;x=exprnd(theta,[1,N]);hist(x,10)
for i=1:floor(N/n)
mu(i)=mean(x((i-1)*n+1:i*n));end
figure(2),hist(mu,10)
服从指数分布的随机变量序列的平均值图1
样本容量n=1时的分布图2样本容量n=5时的分布
图3样本容量n=10时的分布
图4样本容量n=20时的分布图5样本容量n=40时的分布
图6样本容量n=80时的分布
由图1到图6可以看出，当n=1，随机变量序列的平均值的分布就是指数分布，当n=5时只有偏正态分布的雏形，n=10时，开始呈现正态分布的特征，n=20、n=40，到n=80时，正态分布特征均值n 的增大越来越趋向于3m q ==的正态
分布.同时方差越来越小.即n ®¥时，4
结束语
数学软件的使用，为中心极限定理的实验教学提供了便利.不仅对于抽象的中心极限定理，可以通过图形直观展示，加深学生对概念本质的理解.利用数学软件实施实验教学，既可以提高学生的学习兴趣和编程能力，还可以培养学生数学直觉和创造力，是一个不错的教学设计项目和实施方案.
参考文献
[1]陈国艳.数学教育培养学生创新能力模式的研究与实践——以茶文化为切入点[J]．福建茶叶，2019，01：144-145．
[2]茆诗松.概率论与数理统计教程[M]2版．北京：高等教育出版社，2010
[3]张德丰等.MATLAB 概率与数理统计分析[M].北京：机械工业出版社,2010
[4]马翠玲等.融入数学史,借助MATLAB 实现中心极限定理形象化教学[J].大学数学，2014.12，Vol ．30，Sup1.115-118
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