江苏初三初中数学月考试卷带答案解析

江苏初三初中数学月考试卷
班级:___________ 姓名：___________ 分数：___________
一、选择题
1.||的值是（）
A．B．C．-2D．2
2.56.2万平方米用科学记数法表示正确的是（）
A．5.62×104m2B．56.2×104m2C．5.62×105m2D．0.562×103m2
3.若在“正三角形、平行四边形、菱形、正五边形、正六边形”这五种图形中随机抽取一种图形，则抽到的图形属于中心对称图形的概率是（）
A．B．C．D．
4.今年4月，全国山地越野车大赛在我市某区举行，其中8名选手某项得分如表：
则这8名选手得分的众数、中位数分别是（）
A．85、85B．87、85C．85、86D．85、87
5.如图，DE∥BC，在下列比例式中，不能成立的是（）
A．B．C．D．
6.菱形的周长为20cm，它的一条对角线长为6cm，则其面积为（）cm2．
A．6B．12C．18D．24
7.若式子有意义，则x的取值范围是（）
A．x≥B．x≤C．x=D．以上都不对
8.任意大于1的正整数m的三次幂均可“分裂”成m个连续奇数的和，如：23=3+5，33=7+9+11，
43=13+15+17+19，…按此规律，若m3分裂后其中有一个奇数是2015，则m的值是（）
A．46B．45C．44D．43
二、填空题
1.点P（-3，4）关于原点对称的点的坐标是．
2.已知y是x的反比例函数，当x＞0时，y随x的增大而减小．请写出一个满足以上条件的函数表达式．
3.方程x2+1=2的解是．
4.若扇形半径为6cm，面积为9πcm2，则该扇形的弧长为 cm．
5.一组数据5，2，x，6，4的平均数是4，这组数据的方差是．
6.如图，A、B两地间有一池塘阻隔，为测量A、B两地的距离，在地面上选一点C，连接CA、CB的中点D、E．若DE的长度为30m，则A、B两地的距离为 m．
7.如图，点D、E分别在AB、BC上，DE∥AC，AF∥BC，∠1=70°，则∠2= °．
8.如果-3是分式方程的增根，则a= ．
9.如图，AB为⊙O的直径，∠E=20°，∠DBC=50°，则∠CBE= °．
10.如图，已知正方形ABCD的边长为2，E是边BC上的动点，BF⊥AE交CD于点F，垂足为G，连结CG．下列说法：①AG＞GE；②AE=BF；③点G运动的路径长为π；④CG的最小值为-1．其中正确的说法
是．（把你认为正确的说法的序号都填上）
三、解答题
1.（1）计算：
（2）解方程：．
2.先化简，再求值：，其中x是不等式组的整数解．
3.有四张正面分别标有数字2，1，-3，-4的不透明卡片，它们除数字外其余全部相同，现将它们背面朝上，洗匀后从四张卡片中随机地摸取一张不放回，将该卡片上的数字记为m，再随机地摸取一张，将卡片上的数字记为n．（1）请画出树状图并写出（m，n）所有可能的结果；
（2）求所选出的m，n能使一次函数y=mx+n的图象经过第二、三、四象限的概率．
4.某市团委举办“我的中国梦”为主题的知识竞赛，甲、乙两所学校参赛人数相等，比赛结束后，发现学生成绩分别为70分，80分，90分，100分，并根据统计数据绘制了如下不完整的统计图表：
乙校成绩统计表
（1）在图①中，“80分”所在扇形的圆心角度数为；（2）请你将图②补充完整；
（3）求乙校成绩的平均分；
（4）经计算知S
甲2=135，S
乙
2=175，请你根据这两个数据，对甲、乙两校成绩作出合理评价．
5.如图，一艘轮船航行到B处时，测得小岛A在船的北偏东60°的方向，轮船从B处继续向正东方向航行200海里到达C处时，测得小岛A在船的北偏东30°的方向．己知在小岛周围170海里内有暗礁，若轮船不改变航向继续向前行驶，试问轮船有无触礁的危险？（≈1.732）
6.某商场销售一批品牌衬衫，平均每天可售出20件，每件盈利40元，为了扩大销售，增加盈利，尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施，经调查发现，如果每件衬衫每降价1元，商场平均每天可多售出2件．
（1）如果每件衬衣降价x元，每天可以销售y件，求y与x的函数关系式；
（2）若商场平均每天要盈利1200元，每件衬衫应降价多少元？
（3）每件衬衫降价多少元时，商场平均每天盈利最多？
7.如图，已知正比例函数y=2x和反比例函数的图象交于点A（m，-2）．
（1）求反比例函数的解析式；
（2）观察图象，直接写出正比例函数值大于反比例函数值时自变量x的取值范围；
（3）若双曲线上点C（2，n）沿OA方向平移个单位长度得到点B，判断四边形OABC的形状并证明你的结论．
8.如图，⊙O的直径AB为10cm，弦BC为5cm，D、E分别是∠ACB的平分线与⊙O，AB的交点，P为AB延长线上一点，且PC=PE．
（1）求AC、AD的长；
（2）试判断直线PC与⊙O的位置关系，并说明理由．
9.（1）问题：如图1，在四边形ABCD中，点P为AB上一点，∠DPC=∠A=∠B=90°．求证：AD BC=AP
BP ．
（2）探究：如图2，在四边形ABCD 中，点P 为AB 上一点，当∠DPC=∠A=∠B=θ时，上述结论是否依然成立？说明理由．
（3）应用：请利用（1）（2）获得的经验解决问题：
如图3，在△ABD 中，AB=12，AD=BD=10．点P 以每秒1个单位长度的速度，由点A 出发，沿边AB 向点B 运动，且满足∠DPC=∠A ．设点P 的运动时间为t （秒），当以D 为圆心，以DC 为半径的圆与AB 相切，求t 的值．
10.如图1所示，已知抛物线y=-x 2+4x+5的顶点为D ，与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于C 点，E 为对称轴上的一点，连接CE ，将线段CE 绕点E 按逆时针方向旋转90°后，点C 的对应点C′恰好落在y 轴
上．
（1）直接写出D 点和E 点的坐标；
（2）点F 为直线C′E 与已知抛物线的一个交点，点H 是抛物线上C 与F 之间的一个动点，若过点H 作直线HG 与y 轴平行，且与直线C′E 交于点G ，设点H 的横坐标为m （0＜m ＜4），那么当m 为何值时，S △HGF ：S △BGF =5：6？
（3）图2所示的抛物线是由y=-x 2+4x+5向右平移1个单位后得到的，点T （5，y ）在抛物线上，点P 是抛物线上O 与T 之间的任意一点，在线段OT 上是否存在一点Q ，使△PQT 是等腰直角三角形？若存在，求出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由．
江苏初三初中数学月考试卷答案及解析
一、选择题
1.|
|的值是（ ） A ． B ． C ．-2 D ．2
【答案】B ．
【解析】试题解析：根据负数的绝对值是它的相反数，得|-
|=． 故选B ．
【考点】绝对值．
2.56.2万平方米用科学记数法表示正确的是（ ）
A ．5.62×104m 2
B ．56.2×104m 2
C ．5.62×105m 2
D ．0.562×103m 2
【答案】C.
【解析】试题解析：56.2万=562000=5.62×105．
故选C．
【考点】科学记数法—表示较大的数．
3.若在“正三角形、平行四边形、菱形、正五边形、正六边形”这五种图形中随机抽取一种图形，则抽到的图形属于中心对称图形的概率是（）
A．B．C．D．
【答案】C．
【解析】试题解析：这五种图形中，平行四边形、菱形和正六边形是中心对称图形，
所以这五种图形中随机抽取一种图形，则抽到的图形属于中心对称图形的概率=．
故选C．
【考点】1.概率公式；2.中心对称图形．
4.今年4月，全国山地越野车大赛在我市某区举行，其中8名选手某项得分如表：
则这8名选手得分的众数、中位数分别是（）
A．85、85B．87、85C．85、86D．85、87
【答案】C．
【解析】试题解析：众数是一组数据中出现次数最多的数据，
∴众数是85；
把数据按从小到大顺序排列，可得中位数=（85+87）÷2=86；
故选C．
【考点】1.众数；2.中位数．
5.如图，DE∥BC，在下列比例式中，不能成立的是（）
A．B．C．D．
【答案】B．
【解析】试题解析：根据题意，可得△ADE∽△ABC，
根据相似三角形对应边成比例，可知B不正确，因为AE与EC不是对应边，
所以B不成立．
故选B．
【考点】1.平行线分线段成比例；2.相似三角形的判定与性质．
6.菱形的周长为20cm，它的一条对角线长为6cm，则其面积为（）cm2．
A．6B．12C．18D．24
【答案】D．
【解析】试题解析：如图，
BD=6cm，菱形的周长为20cm，则AB=5cm，
因为菱形的对角线互相垂直平分，则OB=3cm，
由勾股定理得OA=4cm，则AC=8cm，
所以菱形的面积=12AC BD=12×6×8=24cm2．
故选D．
【考点】菱形的性质．
7.若式子有意义，则x的取值范围是（）
A．x≥B．x≤C．x=D．以上都不对
【答案】C.
【解析】试题解析：要使二次根式有意义，
则，
解得x=，
故选C．
【考点】二次根式有意义的条件．
8.任意大于1的正整数m的三次幂均可“分裂”成m个连续奇数的和，如：23=3+5，33=7+9+11，
43=13+15+17+19，…按此规律，若m3分裂后其中有一个奇数是2015，则m的值是（）
A．46B．45C．44D．43
【答案】B．
【解析】试题解析：∵底数是2的分裂成2个奇数，底数为3的分裂成3个奇数，底数为4的分裂成4个奇数，∴m3分裂成m个奇数，
所以，到m3的奇数的个数为：2+3+4+…+m=，
∵2n+1=2015，n=1007，
∴奇数2015是从3开始的第1007个奇数，
∵，，
∴第1007个奇数是底数为45的数的立方分裂的奇数的其中一个，
即m=45．
故选B．
【考点】规律型：数字的变化类．
二、填空题
1.点P（-3，4）关于原点对称的点的坐标是．
【答案】（3，-4）．
【解析】试题解析：根据中心对称的性质，得点P（-3，4）关于原点对称的点的坐标是（3，-4）．
【考点】关于原点对称的点的坐标．
2.已知y是x的反比例函数，当x＞0时，y随x的增大而减小．请写出一个满足以上条件的函数表达式．【答案】y=（x＞0），答案不唯一．
【解析】试题解析：只要使反比例系数大于0即可．如y=（x＞0），答案不唯一．
【考点】反比例函数的性质．
3.方程x2+1=2的解是．
【答案】x=±1．
【解析】试题解析：移项，得x2=2-1，
合并，得x2=1，
开方，得x=±1．
【考点】解一元二次方程-直接开平方法．
4.若扇形半径为6cm，面积为9πcm2，则该扇形的弧长为 cm．
【答案】3.
【解析】试题解析：9=×l×6，
l=3cm．
【考点】1.弧长的计算；2.扇形面积的计算．
5.一组数据5，2，x，6，4的平均数是4，这组数据的方差是．
【答案】2.
【解析】试题解析：∵数据5，2，x，6，4的平均数是4，
∴（5+2+x+6+4）÷5="4，"
解得：x="3，"
∴这组数据的方差是[（5-3）2+（2-3）2+（3-3）2+（6-3）2+（4-3）2]=2
【考点】1.方差；2.算术平均数．
6.如图，A、B两地间有一池塘阻隔，为测量A、B两地的距离，在地面上选一点C，连接CA、CB的中点D、E．若DE的长度为30m，则A、B两地的距离为 m．
【答案】60.
【解析】试题解析：∵D、E分别是AC、BC的中点，DE=30m，
∴AB=2DE=60m
【考点】三角形中位线定理．
7.如图，点D、E分别在AB、BC上，DE∥AC，AF∥BC，∠1=70°，则∠2= °．
【答案】70°.
【解析】试题解析：∵DE∥AC，
∴∠C=∠1=70°，
∵AF∥BC，
∴∠2=∠C=70°．
【考点】平行线的性质．
8.如果-3是分式方程的增根，则a= ．
【答案】3.
【解析】试题解析：去分母得：a-2x+2a=3，
由分式方程有增根是-3，
把x=-3代入a-2x+2a=3，可得：a-6+2a=3，
解得：a=3.
【考点】分式方程的增根．
9.如图，AB为⊙O的直径，∠E=20°，∠DBC=50°，则∠CBE= °．
【答案】60°．
【解析】试题解析：连接AC，
∵∠DBA和∠DCA都为所对的圆周角，
∴∠DBA=∠DCA，
∵AB为⊙O的直径，
∴∠BCA=90°，
∴∠CBA+∠CAB=90°，
∵∠CAB=∠E+∠DCA，
∴∠CBD+∠DBA+∠E+∠DBA=90°，
∵∠E=20°，∠DBC=50°，
∴∠DBA=10°，
∴∠CBE=∠DBA+∠CBD=10°+50°=60°．
【考点】圆周角定理．
10.如图，已知正方形ABCD的边长为2，E是边BC上的动点，BF⊥AE交CD于点F，垂足为G，连结CG．下列说法：①AG＞GE；②AE=BF；③点G运动的路径长为π；④CG的最小值为-1．其中正确的说法
是．（把你认为正确的说法的序号都填上）
【答案】②④．
【解析】试题解析：如图：
∵在正方形ABCD中，BF⊥AE，
∴∠AGB保持90°不变，
∴G点的轨迹是以AB中点O为圆心，AO为半径的圆弧，
∴当E移动到与C重合时，F点和D点重合，此时G点为AC中点，
∴AG=GE，故①错误；
∵BF⊥AE，
∴∠AEB+∠CBF=90°，
∵∠AEB+∠BAE=90°，
∴∠BAE=∠CBF，
在△ABE和△BCF中，
，
∴△ABE≌△BCF（AAS），
∴故②正确；
∵当E点运动到C点时停止，
∴点G运动的轨迹为圆，
圆弧的长=×π×2=，故③错误；
由于OC和OG的长度是一定的，因此当O、G、C在同一条直线上时，CG取最小值，
OC=，
CG的最小值为OC-OG=-1，故④正确；
综上所述，正确的结论有②④．
【考点】四边形综合题．
三、解答题
1.（1）计算：
（2）解方程：．
【答案】(1) ;(2) x=。

【解析】（1）第一项根据算术平方根的意义计算，第二项运用特殊角三角函数值计算，第三项根据零次幂的意义
进行计算，第四项根据负整数指数幂的意义进行计算，最后再进行加减运算即可；
（2）根据去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1，最后进行验根等步骤进行求解即可.
试题解析：（1）原式=
=
=；
（2）
去分母，得4-2（3x-1）=3
去括号得，4-6x+2=3
移项得，-6x=-4-2+3
合并同类项得，-6x=-3
系数化为1得，x=.
经检验：x=是原方程的根.
【考点】1.实数的混合运算；2.解分式方程.
2.先化简，再求值：，其中x是不等式组的整数解．
【答案】1.
【解析】先将括号内的部分通分，再将各式因式分解，然后将除法转化为乘法进行解答．
试题解析：原式=
=
=，
不等式组，
解得：1≤x≤3，
又∵x为整数，
∴x=1，2，3，
又∵x≠1且x≠3，
∴x=2，
当x=2时，原式=1．
【考点】1.分式的化简求值；2.一元一次不等式组的整数解．
3.有四张正面分别标有数字2，1，-3，-4的不透明卡片，它们除数字外其余全部相同，现将它们背面朝上，洗匀
后从四张卡片中随机地摸取一张不放回，将该卡片上的数字记为m，再随机地摸取一张，将卡片上的数字记为n．（1）请画出树状图并写出（m，n）所有可能的结果；
（2）求所选出的m，n能使一次函数y=mx+n的图象经过第二、三、四象限的概率．
【答案】（1）所有可能的结果见解析；（2）．
【解析】（1）首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果；
（2）首先可得所选出的m，n能使一次函数y=mx+n的图象经过第二、三、四象限的有：（-3，-4），（-4，-3），再利用概率公式即可求得答案．
试题解析：（1）画树状图得：
则（m，n）共有12种等可能的结果：（2，1），（2，-3），（2，-4），（1，2），（1，-3），（1，-4），（-3，2），（-3，1），（-3，-4），（-4，2），（-4，1），（-4，-3）；
（2）∵所选出的m，n能使一次函数y=mx+n的图象经过第二、三四象限的有：（-3，-4），（-4，-3），
∴所选出的m，n能使一次函数y=mx+n的图象经过第二、三四象限的概率为：．
【考点】1.列表法与树状图法；2.一次函数图象与系数的关系．
4.某市团委举办“我的中国梦”为主题的知识竞赛，甲、乙两所学校参赛人数相等，比赛结束后，发现学生成绩分别为70分，80分，90分，100分，并根据统计数据绘制了如下不完整的统计图表：
乙校成绩统计表
（1）在图①中，“80分”所在扇形的圆心角度数为；
（2）请你将图②补充完整；
（3）求乙校成绩的平均分；
（4）经计算知S
甲2=135，S
乙
2=175，请你根据这两个数据，对甲、乙两校成绩作出合理评价．
【答案】（1）54°；（2）补图见解析；（3）85；（4）甲班20同名同学的成绩比较整齐．
【解析】（1）根据统计图可知甲班70分的有6人，从而可求得总人数，然后可求得成绩为80分的同学所占的百分比，最后根据圆心角的度数=360°×百分比即可求得答案；
（2）用总人数减去成绩为70分、80分、90分的人数即可求得成绩为100分的人数，从而可补全统计图；
（3）先求得乙班成绩为80分的人数，然后利用加权平均数公式计算平均数；
（4）根据方差的意义即可做出评价．
试题解析：（1）6÷30%=20，
3÷20=15%，
360°×15%=54°；
（2）20-6-3-6=5，统计图补充如下：
（3）20-1-7-8=4，
=85；
（4）∵S
甲2＜S
乙
2，
∴甲班20同名同学的成绩比较整齐．
【考点】1.条形统计图；2.扇形统计图；3.加权平均数；4.方差．
5.如图，一艘轮船航行到B处时，测得小岛A在船的北偏东60°的方向，轮船从B处继续向正东方向航行200海里到达C处时，测得小岛A在船的北偏东30°的方向．己知在小岛周围170海里内有暗礁，若轮船不改变航向继
续向前行驶，试问轮船有无触礁的危险？（≈1.732）
【答案】轮船不改变航向继续向前行使，轮船无触礁的危险．
【解析】如图，直角△ACD 和直角△ABD 有公共边AD ，在两个直角三角形中，利用三角函数即可用AD 表示出CD 与BD ，根据CB=BD-CD 即可列方程，从而求得AD 的长，与170海里比较，确定轮船继续向前行驶，有无触礁危险．
试题解析：该轮船不改变航向继续前行，没有触礁危险
理由如下：如图所示．
则有∠ABD=30°，∠ACD=60°．
∴∠CAB=∠ABD ， ∴BC=AC=200海里．
在Rt △ACD 中，设CD=x 海里，
则AC=2x ，AD=
x ，
在Rt △ABD 中，AB=2AD=2
x ， BD===3x ， 又∵BD=BC+CD ，
∴3x=200+x ， ∴x=100．
∴AD=x=100≈173.2，
∵173.2海里＞170海里， ∴轮船不改变航向继续向前行使，轮船无触礁的危险．
【考点】解直角三角形的应用-方向角问题．
6.某商场销售一批品牌衬衫，平均每天可售出20件，每件盈利40元，为了扩大销售，增加盈利，尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施，经调查发现，如果每件衬衫每降价1元，商场平均每天可多售出2件．
（1）如果每件衬衣降价x 元，每天可以销售y 件，求y 与x 的函数关系式；
（2）若商场平均每天要盈利1200元，每件衬衫应降价多少元？
（3）每件衬衫降价多少元时，商场平均每天盈利最多？
【答案】（1）y=20+2x ；（2）应降20元；（3）每件衬衫降价15元时，商场平均每天赢利最多，最大利润为1250元．
【解析】（1）准确表示出每天降价x 元后售出的数量，第一小问即可解决；（2）根据：每件的实际利润×降价后的销售量=每天利润，列出方程解方程，再结合题意取舍可得；
（3）根据：每件的实际利润×降价后的销售量=每天利润，列出函数关系式，配方成二次函数顶点式，结合函数性质可得最值情况．
试题解析：（1）∵某商场销售一批品牌衬衫，平均每天可售出20件，如果每件衬衫每降价1元，商场平均每天可多售出2件．
∴每件衬衣降价x 元，每天可以销售y 件，y 与x 的函数关系式为：y=20+2x ；
（2）∵商场平均每天要盈利1200元，
∴（40-x ）（20+2x ）=1200，
整理得：2x 2-60x+400=0，
解得：x 1=20，x 2=10，
因为要减少库存，在获利相同的情况下，降价越多，销售越快，故每件衬衫应降20元；
（3）设商场平均每天赢利w 元，
则 w=（20+2x ）（40-x ），
=-2x 2+60x+800，
=-2（x-15）2+1250．
∴当x=15时，w 取最大值，最大值为1250．
答：每件衬衫降价15元时，商场平均每天赢利最多，最大利润为1250元．
【考点】1.二次函数的应用；2.一元二次方程的应用．
7.如图，已知正比例函数y=2x和反比例函数的图象交于点A（m，-2）．
（1）求反比例函数的解析式；
（2）观察图象，直接写出正比例函数值大于反比例函数值时自变量x的取值范围；
（3）若双曲线上点C（2，n）沿OA方向平移个单位长度得到点B，判断四边形OABC的形状并证明你的结论．
【答案】（1）y=；（2）-1＜x＜0或x＞1；（3）四边形OABC是菱形．证明见解析.
【解析】（1）设反比例函数的解析式为y=（k＞0），然后根据条件求出A点坐标，再求出k的值，进而求出
反比例函数的解析式；
（2）直接由图象得出正比例函数值大于反比例函数值时自变量x的取值范围；
（3）首先求出OA的长度，结合题意CB∥OA且CB=，判断出四边形OABC是平行四边形，再证明OA=OC 即可判定出四边形OABC的形状．
试题解析：（1）设反比例函数的解析式为y=（k＞0），
∵A（m，-2）在y=2x上，
∴-2=2m，
∴m=-1，
∴A（-1，-2），
又∵点A在y=上，
∴k=2，
∴反比例函数的解析式为y=；
（2）观察图象可知正比例函数值大于反比例函数值时自变量x的取值范围为-1＜x＜0或x＞1；
（3）四边形OABC是菱形．
证明：∵A（-1，-2），
∴OA=，
由题意知：CB∥OA且CB=，
∴CB=OA，
∴四边形OABC是平行四边形，
∵C（2，n）在y=上，
∴n=1，
∴C（2，1），
OC=，
∴OC=OA，
∴四边形OABC是菱形．
【考点】反比例函数综合题．
8.如图，⊙O的直径AB为10cm，弦BC为5cm，D、E分别是∠ACB的平分线与⊙O，AB的交点，P为AB延长线上一点，且PC=PE．
（1）求AC、AD的长；
（2）试判断直线PC与⊙O的位置关系，并说明理由．
【答案】(1) 5cm；5cm；(2) 直线PC与⊙O相切，理由见解析.
【解析】（1）连接BD，先求出AC，在Rt△ABC中，运用勾股定理求AC，②由CD平分∠ACB，得出AD=BD，所以Rt△ABD是直角等腰三角形，求出AD，
（2）连接OC，由角的关系求出∠PCB=∠ACO，可得到∠OCP=90°，所以直线PC与⊙O相切．
试题解析：（1）①如图，连接BD，
∵AB是直径，
∴∠ACB=∠ADB=90°，
在Rt△ABC中，
AC=（cm），
②∵CD平分∠ACB，
∴∠ACD=∠BCD，
∴，
∴AD=BD，
∴Rt△ABD是直角等腰三角形，
∴AD=AB=×10=5cm；
（2）直线PC与⊙O相切，
理由：连接OC，
∵OC=OA，
∴∠CAO=∠OCA，
∵PC=PE，
∴∠PCE=∠PEC，
∵∠PEC=∠CAE+∠ACE，
∵CD平分∠ACB，
∴∠ACE=∠ECB，
∴∠PCB=∠CAO=∠ACO，
∵∠ACB=90°，
∴∠OCP=∠OCB+∠PCB=∠ACO+∠OCB=∠ACB=90°，
即OC⊥PC，
∴直线PC与⊙O相切．
【考点】1.切线的判定；2.勾股定理；3.圆周角定理．
9.（1）问题：如图1，在四边形ABCD中，点P为AB上一点，∠DPC=∠A=∠B=90°．求证：AD BC=AP
BP．
（2）探究：如图2，在四边形ABCD中，点P为AB上一点，当∠DPC=∠A=∠B=θ时，上述结论是否依然成立？说明理由．
（3）应用：请利用（1）（2）获得的经验解决问题：
如图3，在△ABD中，AB=12，AD=BD=10．点P以每秒1个单位长度的速度，由点A出发，沿边AB向点B运动，且满足∠DPC=∠A．设点P的运动时间为t（秒），当以D为圆心，以DC为半径的圆与AB相切，求t的值．【答案】(1)证明见解析；（2）结果成立，理由见解析；（3）t的值为2秒或10秒．
【解析】（1）由∠DPC=∠A=∠B=90°可得∠ADP=∠BPC，即可证到△ADP∽△BPC，然后运用相似三角形的
性质即可解决问题；
（2）由∠DPC=∠A=∠B=θ可得∠ADP=∠BPC，即可证到△ADP∽△BPC，然后运用相似三角形的性质即可解
决问题；
（3）过点D作DE⊥AB于点E，根据等腰三角形的性质可得AE=BE=6，根据勾股定理可得DE=8，由题可得DC=DE=8，则有BC=10-8=2．易证∠DPC=∠A=∠B．根据AD BC=AP BP，就可求出t的值．
试题解析：（1）如图1，
∵∠DPC=∠A=∠B=90°，
∴∠ADP+∠APD=90°，
∠BPC+∠APD=90°，
∴∠APD=∠BPC，
∴△ADP∽△BPC，
∴，
∴AD BC=AP BP；
（2）结论AD BC=AP BP仍成立；
证明：如图2，∵∠BPD=∠DPC+∠BPC，
又∵∠BPD=∠A+∠APD，
∴∠DPC+∠BPC=∠A+∠APD，
∵∠DPC=∠A=θ，
∴∠BPC=∠APD，
又∵∠A=∠B=θ，
∴△ADP∽△BPC，
∴，
∴AD BC=AP BP；
（3）如下图，过点D作DE⊥AB于点E，
∵AD=BD=10，AB=12，
∴AE=BE=6
∴DE==8，
∵以D为圆心，以DC为半径的圆与AB相切，
∴DC=DE=8，
∴BC=10-8=2，
∵AD=BD，
∴∠A=∠B，
又∵∠DPC=∠A，
∴∠DPC=∠A=∠B，
由（1）（2）的经验得AD•BC=AP•BP，
又∵AP=t，BP=12-t，
∴t（12-t）=10×2，
∴t=2或t=10，
∴t的值为2秒或10秒．
【考点】圆的综合题．
10.如图1所示，已知抛物线y=-x2+4x+5的顶点为D，与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，E为对称轴上的一点，连接CE，将线段CE绕点E按逆时针方向旋转90°后，点C的对应点C′恰好落在y轴
上．
（1）直接写出D点和E点的坐标；
（2）点F为直线C′E与已知抛物线的一个交点，点H是抛物线上C与F之间的一个动点，若过点H作直线HG
与y 轴平行，且与直线C′E 交于点G ，设点H 的横坐标为m （0＜m ＜4），那么当m 为何值时，S △HGF ：S △BGF =5：6？
（3）图2所示的抛物线是由y=-x 2+4x+5向右平移1个单位后得到的，点T （5，y ）在抛物线上，点P 是抛物线上O 与T 之间的任意一点，在线段OT 上是否存在一点Q ，使△PQT 是等腰直角三角形？若存在，求出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1) D 点的坐标是（2，9），点E 的坐标是（2，3）．(2) m 1=，m 2=．(3) （1，1）或（3，
3）或（2，2）．
【解析】（1）首先根据抛物线y=-x 2+4x+5的顶点为D ，求出点D 的坐标是多少即可；然后设点E 的坐标是（2，m ），点C′的坐标是（0，n ），根据△CEC′是等腰直角三角形，求出E 点的坐标是多少即可．
（2）令抛物线y=-x 2+4x+5的y=0得：x 2-4x-5=0可求得A 、B 的坐标，然后再根据S △HGF ：S △BGF =5：6，得到：
，然后再证明△HGM ∽△ABN ，，从而可证得，所以HG=5，设点H （m ，-
m 2+4m+5），G （m ，m+1），最后根据HG=5，列出关于m 的方程求解即可；
（3）分别根据∠P 、∠Q 、∠T 为直角画出图形，然后利用等腰直角三角形的性质和一次函数的图象的性质求得点Q 的坐标即可．
试题解析：（1）∵抛物线y=-x 2+4x+5=-（x-2）2+9
∴D 点的坐标是（2，9）； ∵E 为对称轴上的一点，
∴点E 的横坐标是：-=2，
设点E 的坐标是（2，m ），点C′的坐标是（0，n ），
∵将线段CE 绕点E 按逆时针方向旋转90°后，点C 的对应点C′恰好落在y 轴上， ∴△CEC′是等腰直角三角形，
∴
解得或（舍去），
∴点E 的坐标是（2，3），点C′的坐标是（0，1）．
综上，可得D 点的坐标是（2，9），点E 的坐标是（2，3）．
（2）如图1所示：
令抛物线y=-x 2+4x+5的y=0得：x 2-4x-5=0，
解得：x 1=-1，x 2=5，
所以点A （-1，0），B （5，0）．
设直线C′E 的解析式是y=kx+b ，将E （2，3），C′（0，1），代入得
，
解得：， ∴直线C′E 的解析式为y=x+1，
将y=x+1与y=-x 2+4x+5，联立得：
，
解得：，， ∴点F 得坐标为（4，5），点A （-1，0）在直线C′E 上． ∵直线C′E 的解析式为y=x+1， ∴∠FAB=45°．
过点B 、H 分别作BN ⊥AF 、HM ⊥AF ，垂足分别为N 、M ．
∴∠HMN=90°，∠ADN=90°．
又∵∠NAD=∠HNM=45°．
∴△HGM ∽△ABN
∴，
∵S △HGF ：S △BGF =5：6，
∴
． ∴，即，
∴HG=5．
设点H 的横坐标为m ，则点H 的纵坐标为-m 2+4m+5，则点G 的坐标为（m ，m+1）， ∴-m 2+4m+5-（m+1）=5．
解得：m 1=，m 2=．
（3）由平移的规律可知：平移后抛物线的解析式为y=-（x-1）2+4（x-1）+5=-x 2+6x ． 将x=5代入y=-x 2+6x 得：y=5，
∴点T 的坐标为（5，5）．
设直线OT 的解析式为y=kx ，将x=5，y=5代入得；k=1，
∴直线OT 的解析式为y=x ，
①如图2所示：当PT ∥x 轴时，△PTQ 为等腰直角三角形，
将y=5代入抛物线y=-x 2+6x 得：x 2-6x+5=0，
解得：x 1=1，x 2=5．
∴点P 的坐标为（1，5）．
将x=1代入y=x 得：y=1，
∴点Q 的坐标为（1，1）．
②如图3所示：
由①可知：点P 的坐标为（1，5）．
∵△PTQ 为等腰直角三角形， ∴点Q 的横坐标为3，
将x=3代入y=x 得；y=3，
∴点Q 得坐标为（3，3）．
③如图4所示：
设直线PT 解析式为y=kx+b ，
∵直线PT ⊥QT ， ∴k=-1．
将k=-1，x=5，y=5代入y=kx+b 得：b=10，
∴直线PT 的解析式为y=-x+10．
将y=-x+10与y=-x 2+6x 联立得：x 1=2，x 2=5
∴点P 的横坐标为2．
将x=2代入y=x得，y=2，
∴点Q的坐标为（2，2）．
综上所述：点Q的坐标为（1，1）或（3，3）或（2，2）．【考点】二次函数综合题．。