图像追及相遇问题

[解题样板] 甲车运动6 s的位移为
s0＝12a1t20＝45 m(2分) 此时甲车尚未追上乙车，设此后用时间t与乙车相遇，则有
12a1(t＋ t0)2＝________(3分 ) 将上式代入数据并整理得：________＝0(2分) 解得：t1＝4 s，t2＝8 s(2分) t1、t2都有意义，t1＝4 s时，甲车追上乙车；t2＝8 s 时，乙车追上 甲车再次相遇 第一次相遇地点距A的距离：s1＝________＝125 m(2分) 第二次相遇地点距A的距离：s2＝________＝245 m(2分) [答案] 12a2t2＋85 m t2－12t＋32 12a1(t1＋t0)2 12a1(t2＋t0)2
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Байду номын сангаас
3．追及和相遇问题 (1)追及问题的两类情况 ①若后者能追上前者，追上时，两者处于同一位置，且后者速度一 定不小于前者速度． ②若追不上前者，则当后者速度与前者相等时，两者相距最近． (2)相遇问题的两类情况 ①同向运动的两物体追及即相遇． ②相向运动的物体，当各自发生的位移大小之和等于开始时两物体 间的距离时即相遇．
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2．理解分析x－t图象的基本方法和技巧 (1)从x－t图象上可以确定物体在任意时间内的位移． (2)从x－t图象上可以确定物体通过任一位移所需的时间． (3)根据x－t图象的斜率可以判断和比较物体运动速度的大小，并能 判断运动性质．
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物体沿x轴运动，观察者在O点，在x轴上有A、B、C三个点，它们 到观察者的距离分别为4 m、4 m、8 m，如下图甲所示．请在下图乙中 做出观察者看到的下列物体运动的位移—时间图象．
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[解析] (1)首先确定两车相遇前各自的运动情况，是都在匀加速 运动，还是一个匀加速运动一个匀速运动，还是都在匀速运动
甲车的加速度为a1＝
Δv Δt1
＝2.5
m/s2，加速到速度最大时所需时间t1
＝v1＝ a1
16
s
乙车的加速度为a2＝
Δv Δt2
＝5
m/s2，加速到速度最大时所需时间 t2＝
4 h末，甲车运动位移120 km，乙车运动位移30 m，两车原来相距 70 km，故此时两车还相距20 km，D错．
[答案] BC
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(2011·佛山市高三第一次联考)甲、乙两车某时刻由同一地点沿同 一方向开始做直线运动，若以该时刻作为计时起点，得到两车的位移—时 间图象(s－t图象)如图所示，则下列说法正确的是( )
(3)匀减速运动的物体追匀速运动的物体，与(2)相似．
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(对应学生用书P9) 要点一 对x－t图象的理解 1.理解图象中的“点”、“线”、“斜率”、“截距”的物理意义 (1)点：两图线交点，说明两物体相遇． (2)线：表示研究对象的变化过程和规律．若为倾斜直线，则表示物 体做匀速直线运动；若为曲线，则表示物体的速度在变化． (3)斜率：x－t图象的斜率表示速度的大小及方向． (4)截距：纵轴截距表示t＝0时刻的初始位移，横轴截距表示位移为 零的时刻．
(1)物体甲从O点开始以1 m/s的速度沿x轴正方向运动； (2)物体乙在B点静止； (3)物体丙从A点开始以1 m/s的速度沿x轴正方向运动； (4)物体丁从C点开始以2 m/s的速度沿x轴负方向运动．
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[答案] 如右图所示
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要点二 对v－t图象的理解 1.理解图象中的“点”、“线”、“斜率”、“截距”、“面积” 的物理意义 (1)点：两图线交点，说明两物体在交点时的速度相等． (2)线：倾斜直线表示匀变速直线运动，曲线表示变加速运动． (3)斜率：表示加速度的大小及方向． (4)截距：纵轴截距表示t＝0时刻的初速度，横轴截距表示速度为零 的时刻． (5)面积：表示某段时间内的位移．
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例1 t＝0时，甲乙两汽车从相距70 km的两地开始相向行驶，它们 的v－t图象如下图所示．忽略汽车掉头所需时间．下列对汽车运动状况 的描述正确的是( )
A．在第1小时末，乙车改变运动方向 B．在第2小时末，甲乙两车相距10 km C．在前4小时内，乙车运动加速度的大小总比甲车的大 D．在第4小时末，甲乙两车相遇 [思路诱导] 在v－t图象中，两图线相交点不一定是物体的相遇点， 理解图线斜率的意义及图线与时间轴围成面积的意义是解题的关键．
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[解析] 由图象可知前5 s做的是匀速运动，A正确；5 s～15 s内做 匀加速运动，但加速度为0.8 m/s2，B错误；15 s～20 s做匀减速运动，其 加速度为－(16/5)m/s2＝－3.2 m/s2，C正确；质点在20 s末离出发点最远， 质点一直做的是方向不变的直线运动，D错误．
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例2 (13分)如图所示，直线MN表示一条平直公路，甲、乙两辆汽 车原来停在A、B两处，A、B间的距离为85 m，现甲车先开始向右做匀 加速直线运动，加速度a1＝2.5 m/s2，甲车运动6.0 s时，乙车开始向右做 匀加速直线运动，加速度a2＝5.0 m/s2，求两辆汽车相遇处距A处的距 离．
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汽车的加速性能用车的速度从0到100 km/h(按30 m/s估算)的加速时 间来表示，这个时间越短，汽车启动时的加速性能就越好．下表列出了 两种汽车的性能指标.
甲车 乙车
启动的快慢(s) (0～30 m/s的加速时间)
最大速度(m/s)
12
40
6
50
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现让甲、乙两车在同一条平直公路上同向行驶，乙车在前，甲车在 后，两车相距85 m．甲车先启动，经过一段时间t0乙车再启动．若两车 从静止启动后均以各自的最大加速度匀加速运动，在乙车开出8 s时两车 相遇，则
(1)t0应满足的条件是什么？在此条件下，两车相遇时甲车行驶的路 程是多少？
(2)以乙车刚刚启动时为t＝0时刻，在同一个坐标系内画出甲、乙两 车从乙车启动到两车相遇过程中的v－t图象．
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(2011·湛江月考)如图所示是某质点做直线运动的v－t图象，由图 可知这个质点的运动情况是( )
A．前5 s做的是匀速运动 B．5 s～15 s内做匀加速运动，加速度为1 m/s2 C．15 s～20 s内做匀减速运动，加速度为－3.2 m/s2 D．质点15 s末离出发点最远，20秒末回到出发点
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(1)x－t图象、v－t图象都不是物体运动的轨迹，图象中各点的坐标 值是x、v与t的一一对应，而不是物体的位置坐标y与x的一一对应．
(2)x－t图象、v－t图象的形状由x与t、v与t的函数关系决定．
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问题探究1 为什么只有在直线运动中，才能作v－t图象？ [提示] 因为v－t图象中，纵轴(v)不但表示各时刻速度的大小，而 且表示速度的方向，箭头所指方向是我们选定的正方向，只有当物体沿 同一条直线运动时，选定正方向，物体的速度方向才能用正、负号表 示．
[答案] A
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题型二 追及相遇问题分析
追及问题一般是指两个物体同方向运动，由于各自的速度不同后者 追上前者的问题．追及问题的实质是分析讨论两物体在相同时间内能否 到达相同的空间位置的问题．解决此类问题要注意“两个关系”和“一 个条件”，“两个关系”即时间关系和位移关系；“一个条件”即两者 速度相等，它往往是物体间能否追上或两物体距离最大、最小的临界条 件，也是分析判断问题的切入点．画出运动示意图，在图上标出已知量 和未知量，再探寻位移关系和速度关系是解决此类问题的通用技巧．
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[尝试解答] 速度图象在t轴下的均为反方向运动，故2 h末乙车改 变运动方向，A错．
2 h末从图象围成的面积可知乙车运动位移为30 km，甲车位移为30 km，相向运动，此时两车相距x＝(70－30－30) km＝10 km，B对．
从图象的斜率看，斜率大加速度大，故乙车加速度在4 h内一直比 甲车加速度大，C对．
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2．理解分析v－t图象的基本方法和技巧 (1)从v－t图象上可以得出物体在任意时刻的运动速度． (2)由v－t图象的“面积”(速度图线和横轴所夹的面积)可求出物体 运动的位移大小． (3)从v－t图象上可以得出物体运动的加速度． 3．根据v－t图象可以判断加速度的变化情况，进而明确物体的运 动特征．
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问题探究2 在追及问题中，两物体存在最大距离、最小距离、恰 好追上、恰好追不上的条件是什么？并举例说明．
[提示] 条件均为：速度相等．例：(1)初速度为零的匀加速运动的 甲物体追前面匀速运动的乙物体时，一定能追上，在这过程中二者有最 大距离的条件是v甲＝v乙．
(2)匀速运动的甲物体追同方向做匀加速运动的乙物体，恰好追上、 追不上的临界条件是两物体等速(v甲＝v乙)．
A．t1时刻乙车从后面追上甲车 B．t1时刻两车相距最远 C．t1时刻两车的速度刚好相等 D．0到t1时间内，乙车的平均速度小于甲车的平均速度
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[解析] 本题为位移时间图象，根据图象可知：t1时刻乙车从后面 追上甲车，A选项正确，B选项错误；由t1时刻两图线切线斜率可知，此 时乙车速度大，C错误；根据平均速度定义可知0到t1时间内，乙车的平 均速度等于甲车的平均速度，D选项错误．本题正确选项为A.
[思路诱导] 这是一道典型的追及类试题．但在审题过程中有一个 迷惑点往往会使同学们落入陷阱．题中设问“求两辆汽车相遇处距A处的 距离”很容易让人想到“相遇处”的位置是确定的、唯一的．这是造成 漏解的一个表面原因．深层的原因则是没有抓住两车相遇的条件，对实 际的运动情境缺乏分析．
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(1)用数学方法判断追及问题可先假设能够相遇，列出物体间的位移 方程，如果是关于时间t的二次方程，则当t有唯一正解时，物体相遇一次； 当t有两个正解时，物体相遇两次；当t无正解时，物体不能相遇．
(2)在以下几种情况中一般存在两次相遇的问题： ①两个匀加速运动的物体之间的追及(加速度小的追赶加速度大的)； ②匀减速运动的物体追匀速运动的物体；③匀减速运动的物体追赶匀加 速运动的物体；④两个匀减速运动的物体之间的追及(加速度大的追赶加 速度小的)． 除上面提到的两个物体的运动性质外，两物体间的初始距离s0是制 约着能否追上、能相遇几次的条件．
图像追及相遇问题
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(对应学生用书P9) 匀变速直线运动图象(Ⅱ) 1．直线运动的x－t图象 (1)意义：反映了做直线运动的物体位移随时间变化的规律． (2)图线上某点切线斜率的意义 ①斜率大小：表示物体速度的大小． ②斜率的正负：表示物体速度的方向． (3)两种特殊的x－t图象 ①若x－t图象是一条平行于时间轴的直线，说明物体处于静止状 态． ②若x－t图象是一条倾斜的直线，说明物体在做匀速运动．
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2．直线运动的v－t图象 (1)意义：反映了做直线运动的物体速度随时间变化的规律． (2)图线斜率的意义 ①斜率大小：表示物体加速度的大小． ②斜率正负：表示物体加速度的方向． (3)两种特殊的v－t图象 ①若v－t图象是与横轴平行的直线，说明物体做匀速直线运动． ②若v－t图象是一条倾斜的直线，说明物体做匀变速直线运动． (4)图象与坐标轴围成的“面积”的意义 ①图象与时间轴围成的面积的数值表示相应时间内的位移的大小． ②若此面积在时间轴的上方，表示这段时间内的位移方向为正方向； 若此面积在时间轴的下方，表示这段时间内的位移方向为负方向．
[答案] AC
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题型一 由图象分析物体的运动情况
(对应学生用书P10)
图象类问题是利用数形结合的思想分析物体的运动，是高考必考的 一类题型．探寻纵坐标和横坐标所代表的两个物理量间的函数关系，将 物理过程“翻译”成图象，或将图象还原成物理过程，是解此类问题的 通法．弄清图线的形状是直线还是曲线，截距、斜率、面积所代表的物 理意义是解答问题的突破口．