高中数学《函数的奇偶性》文字素材4 新人教B版必修1

函数的奇偶性
一、定义
如果对于定义域内任意一个x ，都有f(-x)= -f(x)，那么这个函数叫奇函数. 如果对于定义域内任意一个x ，都有f(-x)= f(x)，那么这个函数叫偶函数. 注：1．函数是奇函数或偶函数的判定有以下四种情况：
一个函数是奇函数但不是偶函数，一般地，称为奇函数.
一个函数是偶函数但不是奇函数，一般地，称为偶函数.
一个函数既是奇函数又是偶函数.
一个函数既不是奇函数也不是偶函数.
2．一个函数是奇函数或偶函数的一个必须具备的必要的条件是：这个函数的定义域是关于原点对称的实数.可知，如果一个函数的定义域不关于原点对称，那么这个函数就不具有奇偶性.
3．判断函数的奇偶性的等价命题
若对于定义域内任意一个x 有f(x)-f(-x)=0成立或
()1()
f x f x -=（f(x)≠0）成立，则f(x)为偶函数.
若f(x)是偶函数，那么f(x)=f(－x)=)(x f ; 若对于定义域内任意一个x 有f(x)+f(-x)=0成立()1()
f x f x -=-（f(x)≠0）成立，则f(x)为奇函数.
4．在几个函数的共同定义域上，若 f i (x)为奇函数，g i (x)是偶函数，可知以下几个结论：
f 1(x)+f 2(x)是奇函数，
g 1(x).+g 2(x)是偶函数.f 1(x). f 2(x 2)是偶函数，g 1(x).g 2(x)是偶
函数，f(x). g(x)是奇函数.
具有奇偶性函数的图象的特征：
奇函数的图象关于原点成中心对称的图形.偶函数的图象关于y 轴成轴对称图形.以上的性质逆之亦真.
二．函数奇偶性的判定
A.函数奇偶性的判定中”六点”
①勿忘定义域
例、判断下列函数的奇偶性 ⑴x
x x f 111)(++= ⑵x x x x f -+-=11)1()(
⑶()f x = ②勿忘化简解析式 例、⑴判断函数44)(22---=
x x x f 的奇偶性 ⑵函数1221-+-=x x y （ ）
A ．是奇函数，不是偶函数
B ．是偶函数，不是奇函数
C ．既不是偶函数，也不是奇函数
D ．既是偶函数，又是奇函数
③勿忘分段讨论
例、判断函数(1)(0)()(1)(0)
x x x f x x x x -<⎧=⎨-+>⎩的奇偶性
④勿忘分类讨论
如判断下列函数的奇偶性f (x)= | x+a | - | x-a |
⑤勿忘等价性 如判断11()()212
x f x x =+-的奇偶性___. ⑥勿忘个别值的特殊性 例、判断函数316()2f x x
x =-+的奇偶性. B.确定函数奇偶性的常用方法（若所给函数的解析式较为复杂，应先化简，再判断其奇偶性）： ①定义法：如判断函数
y =的奇偶性____。

又如判断下列函数的奇偶性f (x)= | x+2 | - | x-2 |
②利用函数奇偶性定义的等价形式：()()0f x f x ±-=或()1()
f x f x -=±（()0f x ≠）。

③图像法：奇函数的图象关于原点对称；偶函数的图象关于y 轴对称。

④赋值法
例:已知定义在R 上的函数f (x)，对一切x ，y ∈R 有f (x-y)+f (x+y)=2f (x)f (y).且f (x)不恒为零，判断f (x)的奇偶性.
C.特别注意:具有奇偶性的函数的定义域的特征：定义域必须关于原点对称！为此确定函数的奇偶性时，务必先判定函数定义域是否关于原点对称。

如若函数)(x f 2sin(3)x θ=+，[25,3]x απα∈-为奇函数，其中)2,0(πθ∈，则θα-的值是 .
三、函数奇偶性的性质：
①奇函数在关于原点对称的区间上若有单调性，则其单调性完全相同；偶函数在关于原点对称的区间上若有单调性，则其单调性恰恰相反.
②如果奇函数有反函数，那么其反函数一定还是奇函数.
③若()f x 为偶函数，则()()(||)f x f x f x -==.如若定义在R 上的偶函数()f x 在
(,0)-∞上是减函数，且)31(f =2，则不等式2)(log 8
1>x f 的解集为______. ④若奇函数()f x 定义域中含有0，则必有(0)0f =.故(0)0f =是()f x 为奇函数的既不充分也不必要条件。

如若22()21
x x a a f x +-=+·为奇函数，则实数a ＝____. ⑤定义在关于原点对称区间上的任意一个函数，都可表示成“一个奇函数与一个偶函数
的和（或差）”。

如设)(x f 是定义域为R 的任一函数， ()()()2
f x f x F x +-=，()()()2
f x f x G x --=。

①判断)(x F 与)(x G 的奇偶性； ②若将函数)110lg()(+=x x f ，表示成一个奇函数)(x g 和一个偶函数)(x h 之和，则)(x g ＝____ ⑥复合函数的奇偶性特点是：“内偶则偶，内奇同外”.
⑦既奇又偶函数有无穷多个（()0f x =，定义域是关于原点对称的任意一个数集）.
四、好题训练
1. 试构造一个函数(),f x x D ∈，使得对一切x D ∈有|()||()|f x f x -=恒成立，但是()f x 既不是奇函数又不是偶函数，则()f x 可以是 .
2．定义两种运算：a b ⊕=a b ⊗=，则函数2()(2)2
x f x x ⊕=⊗-为( ） （A ）奇函数（B ）偶函数（C ）奇函数且为偶函数 （D ）非奇函数且非偶函数
3.（江苏）已知R a ∈，函数R x a x x f ∈-=|,|sin )(为奇函数，则a ＝
（A ）0 （B ）1（C ）－1 （D ）±1
4.（辽宁理）设()f x 是R 上的任意函数,则下列叙述正确的是
(A)()()f x f x -是奇函数 (B)()()f x f x -是奇函数
(C) ()()f x f x --是偶函数 (D) ()()f x f x +-是偶函数
5．（湖南）. 若)4
sin(3)4sin()(ππ-++=x x a x f 是偶函数，则a= . 6、设()f x 是定义在实数集
R 上的函数，且满足下列关系：
()(2006),(2006)(2006),()f x f x f x f x f x =--=-+则是： A 、偶函数又是周期函数
B 、偶函数，但不是周期函数
C 、奇函数，又是周期函数
D 、奇函数，但不是周期函数 7、函数g(x)=x 2⎪⎭
⎫ ⎝⎛+-21121x ，若a ≠0且a ∈R, 则下列点一定在函数y=g(x)的图象上的是（ ） （A ）(-a, -g(-a)) （B ）(a, g(-a)) （C ）(a, -g(a)) （D ）(-a, -g(a))
8、函数F(x)=(1＋1
22-x )f (x) (x ≠0)是偶函数，且f (x)不恒等于零，则f (x)（ ）。

（A ）是奇函数 （B ）可能是奇函数，也可能是偶函数
（C ）是偶函数 （D ）非奇、非偶函数
9、设函数y ＝f (x)是偶函数，则函数y ＝af (x)＋x 2 (a ∈R)的图象关于（ ）。

（A ）x 轴对称 （B ）y 轴对称
（C ）原点对称 （D ）直线y ＝x 对称
10、已知定义在实数集上的函数y ＝f (x)满足f (x ＋y)＝f (x)＋f (y), 且f (x)不恒等于零，则y ＝f (x)是（ ）。

（A ）奇函数 （B ）偶函数 （C ）非奇非偶函数 （D ）不能确定
11．)(x f 、)(x g 都是定义在R 上的奇函数，且2)(5)(3)(++=x g x f x F ，若b a F =)(，则=-)(a F ( )
A ．2+-b
B ．4+-b
C ．2-b
D ．2+b
12．给定：︒1 )(x f y =是定义在R 上的偶函数；︒2 )(x f y =的图像关于直线1=x 对称；︒3 2=T 为)(x f y = 的一个周期．如果将上面︒1、︒2、︒3中的任意2个作为条件，余下一个作为结论，那么构成的三个命题中真命题的个数有（ ）个
A ．0
B ．1
C ．2
D ．3
13. 函数)x (f y =与)x (g y =有相同的定义域, 且都不是常函数, 对定义域中任何x,
有1)x (g )x (g ,0)x (f )x (f =-⋅=-+, 且当0x ≠时, 1)x (g ≠, 则)x (f 1
)x (g )x (f 2)x (F +-= ( )A. 是奇函数但不是偶函数 B. 是偶函数但不是奇函数
C. 既是偶函数又是奇函数
D. 既不是偶函数又不是奇函数
14．函数)0(,||||)(2
2c b a c x b x x a x f <<<-++-=的图象关于 （ ）
A ．x 轴对称
B ．y 轴对称
C ．原点对称
D ．直线y = x 对称
15. 已知定义域为R 的函数⎩⎨⎧=为无理数，
为有理数，x x x f ,1,0)(那么)(x f （ ） A. 是奇函数且是周期函数 B. 是偶函数且是周期函数
C. 是偶函数但不是周期函数
D. 既不具有奇偶性又不具有周期性
16．定义在R 上的奇函数f (x)满足；当x>0时，f (x)=2020x +log 2020x ，则在R 上方程f (x)=0
的实根个数为 A. 1 B. 2 C. 3. D. 2020
17、设)(x f 为偶函数， 对于任意的0>x 都有),2(2)2(x f x f --=+ 已知,4)1(=-f 那么=-)3(f （ ）（A ） 2 （B ） 2- （C ） 8- （D ） 8
18. 已知b a bx ax x f +++=3)(2是偶函数，其定义域为[a －1，2a ]，则点（a ，b ）的轨迹为（ ）A 、点 B 、直线 C 、线段 D 、射线
19. 若奇函数))((R x x f ∈满足1)2(=f ，)2()()2(f x f x f +=+，则=)5(f
A 、0
B 、1
C 、25
D 、5
20. 已知函数)2sin()(φ+=x x f 满足)()(a f x f ≤对R x ∈恒成立,则函数 ( )
A. 函数)(a x f +一定是偶函数
B. 函数)(a x f -一定是偶函数
C. 函数)(a x f +一定是奇函数
D.函数)(a x f -一定是奇函数
21．若函数()log (a f x x =+是奇函数，则a= .
22.
函数),N n ()x 1()x 1()x (f n 2n 2*∈--+= 则)x (f 是
( )
A. 奇函数
B. 偶函数
C. 既是奇函数又是偶函数
D. 既不是奇函数又不是偶函数
23．已知q
x px x f ++=32)(2是奇函数，且q p f ⋅=则,1)1(= .。