测量角度问题 课件

∴sinβ＝4
7
3 .
而 sinα＝sin(β－60°)＝sinβcos60°－sin60°cosβ
＝4
7
3×12＋
23×17＝5
14
3 .
∵在△ACD 中，sin2610°＝sAinDα，
∴AD＝21si×n6s0in°α＝15(km)．
∴这个人再走 15 km 就可到达 A 城．
[方法·规律·小结] 1．测量角度问题是指无法直接用量角器测量角度的求解问 题．在实际生活中，要测量角的大小，求三角形中角度的大小， 求不能直接测得的角，求轮船航行时航速与航向等问题均可结 合正弦定理及余弦定理，通过解三角形求解．在解决与测量问 题有关的题目时，要搞清楚仰角、俯角、方位角与方向角的含 义，合理地构造三角形求解，即把实际问题数学化．
图 1-2-14
解：设经过 t 小时台风中心移动到点 Q 时，台风边沿恰经 过 O 城，
由题意，可得 OP＝300，PQ＝20t，OQ＝r(t)＝60＋10t. 因为 cosθ＝102，∠OPQ＝θ－45°， 所以 sinθ＝7102，cos∠OPQ＝45. 由余弦定理，
得OQ2＝OP2＋PQ2－2·OP·PQ·cos∠OPQ，
图 1-2-12
思维突破：首先求出 AC 边所对的角∠ABC，进而用余弦 定理算出 AC 边，再根据正弦定理算出 AC 边和 AB 边的夹角 ∠CAB.
解：在△ABC 中，∠ABC＝180°－75°＋32°＝137°， 根据余弦定理，得 AC＝ AB2＋BC2－2AB×BC×cos∠ABC ＝ 67.52＋54.02－2×67.5×54.0×cos137° ≈113.15.
易错分析：本题在解△ACD 时，利用余弦定理求 AD，会 得出两个根，产生了增根，应对其进行验证，若ห้องสมุดไป่ตู้用正弦定理 来求解可避免这种情况．
解：在△ACD 中，已知 CD＝21 km，∠CAD＝60°，只需 再求出一个量即可．
如图 D3，设∠ACD＝α，∠CDB＝β.
图 D3 在CBD 中，由余弦定理，得 cosβ＝BD2＋2BCDD·C2－D BC2＝2022×＋2201×2－23112＝－17，
由正弦定理，得sin∠BCCAB＝sin∠ACABC， sin∠CAB＝BCsinA∠C ABC ＝54.01×13s.i1n5137°
≈0.325 5， 所以∠CAB≈19°， 75°－∠CAB≈56°. 答：此船应该沿北偏东 56°的方向航行，需要航行 113.15 n mile.
解三角形问题中，求某些角的度数时，最好用 余弦定理求角．因为余弦函数在(0，π)上是单调递减的，而正 弦函数在(0，π)上不是一一对应，一个正弦值可以对应两个角． 但角在0，π2上时，用正弦、余弦定理皆可．
2．解三角形的应用题时，通常会遇到两种情况，如下： (1)已知量与未知量全部集中在一个三角形中，依次利用正 弦定理或余弦定理解之． (2)已知量与未知量涉及两个或几个三角形，这时需要选择 条件足够的三角形优先研究，再逐步在其余的三角形中求出问 题的解．
测量角度问题
1．复习仰角、俯角、方位角与方向角的含义(见前面章节)． 2．坡角是指斜坡所在平面与__水__平__面__的夹角．坡度(坡比) 是指_坡__面__的__垂__直__高__度___h__和__水__平__宽__度__l_的__比___． 练习：沿坡角为 45°的斜坡直线向上行走 80 m，实际升高 了_4_0____2__m. 解析：h＝80×sin45°＝40 2.
【问题探究】 1．仰角、俯角、坡角都是锐角吗？ 答案：是． 2．方位角与方向角的范围一样吗？ 答案：不一样，方位角的取值范围为0°～360°，方向角一 般指锐角．
题型 1 船的航向问题 【例 1】 如图 1-2-12，一艘海轮从 A 出发，沿北偏东 75° 的方向航行 67.5 n mile 后到达海岛 B，然后从 B 出发，沿北偏 东 32°的方向航行 54.0 n mile 后达到海岛 C.如果下次航行直接 从 A 出发到达 C，此船应该沿怎样的方向航行，需要航行多少 距离？(角度精确到 0.1°，距离精确到 0.01 n mile)
题型 2 解三角形与函数的综合 【例 2】 在某海滨城市附近海面有一台风，据监测，当前
台风中心位于城市 O(如图 1-2-14)的东偏南 θcosθ＝102方向 300 km 的海面 P 处，并以 20 km/h 的速度向西偏北 45°方向移动， 台风侵袭的范围为圆形区域，当前半径为 60 km，并以 10 km/h 的速度不断增大，问几小时后该城市开始受到台风的侵袭？受 到台风的侵袭时间有多少小时？
即(60＋10t)2＝3002＋(20t)2－2×300×20t×45， 即t2－36t＋288＝0. 解得t1＝12，t2＝24，t2－t1＝12.
答：12 小时后该城市开始受到台风侵袭，受到台风侵袭的 时间有 12 小时．
【例 3】 某观测站C在 A 城的南偏西 20°的方向，由 A 城 出发的一条公路，走向是南偏东40°，由C处测得距 C 为 31 km 的公路上 B 处，有一人正沿公路向 A 城走去，走了 20 km 后到 达 D 处，此时 CD 的间距为 21 km，问：这个人还走多少千米 到达 A 城？