人教A版高中数学必修第二册精品课件 第6章 平面向量及其应用 6.3.4 平面向量数乘运算的坐标表示
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共线; (2)因为两个向量共线,所以3×4=(-2)×x,解得x=-6.
答案:(1)C (2)-6
合作探究·释疑解惑
探究一
探究二
探究三
探究一 平面向量线性运算的坐标表示
【例1】 已知向量a=(1,2),b=(3,-4),c=(-2,6),试求a+3b,
3a-2b+ c.
分析:直接利用向量在坐标形式下的各种运算法则求解.
(1)∵=(-1,1)-(0,0)=(-1,1),
=(0,1)-(1,0)=(-1,1),
∴ = ,∴ ∥ ,即 DE∥BC.
(2)连接 MB,MD,
∵M 为 EC 的中点,∴M ,
∴=(-1,1)- , = -,
=(1,0)- , = ,- ,
(1)若已知向量的坐标,则直接应用两个向量加、减及数乘的
运算法则进行.
(2)若已知有向线段两端点的坐标,则可先求出向量的坐标,再
进行向量的坐标运算.
(3)向量的线性坐标运算可类比数的运算进行.
【变式训练 1】 若 A,B,C 三点的坐标分别为(2,-4),(0,6),(-8,10),
求+2, − 的坐标.
解:因为a=(1,2),b=(3,-4),c=(-2,6),
所以a+3b=(1,2)+3(3,-4)=(1,2)+(9,-12)=(10,-10),
3a-2b+ c=3(1,2)-2(3,-4)+ (-2,6)=(3,6)-(6,-8)+(-1,3)=(-4,17).
平面向量坐标运算的方法:
2.已知a=(x,y),λ∈R,则λa= (λx,λy) ,即实数与向量的积的坐标
等于用这个实数乘原来向量的相应坐标.
3.已知=(-1,2),则-3等于(
)
A.(-3,-3)
答案:C
B.(-6,3)
C.(3,-6)
D.(-4,-1)
二、平面向量共线的坐标表示
1.如果向量a=(x1,y1),b=(x2,y2)(b≠0),根据共线向量定理,当a与b
足的关系,再根据A,P,C三点共线即可求得点P的坐标.
解法一:由 O,P,B 三点共线,
可设=λ=(4λ,4λ),
则 = − =(4λ-4,4λ),
= − =(-2,6).
由与共线得(4λ-4)×6-4λ×(-2)=0,
解得
λ=,即
=
=(3,3),
故 ka+b 与 a-3b 反向.
k=-.
本例条件不变,若问题改为“当k为何值时,a+kb与3a-b平行?”,
又如何求k的值?
解:a+kb=(1,2)+k(-3,2)=(1-3k,2+2k),
3a-b=3(1,2)-(-3,2)=(6,4),
∵a+kb与3a-b平行,
∴(1-3k)×4-(2+2k)×6=0,
共线时,存在唯一实数λ,使a=λb,那么根据向量数乘运算的坐
标表示,你能发现a与b的坐标之间的关系吗?
提示:若a=(x1,y1),b=(x2,y2)(b≠0),且a与b共线,则x1y2=x2y1.
2.平面向量共线的坐标表示
条件
结论
a=(x1,y1),b=(x2,y2),其中 b≠0
向量 a,b 共线的充要条件是 x1y2-x2y1=0
1.三点共线问题的实质是向量共线问题,利用向量共线证明三
点共线需分两步完成:(1)证明向量共线;(2)证明两个向量有公
共点.
2.A,B,C三点共线,即由这三个点组成的任意两个向量共线.
【变式训练2】 如图所示,已知直角梯形ABCD,AD⊥AB,
AB=2AD=2CD,过点C作CE⊥AB于点E,M为CE的中点,试建
故直线 AB 与 CD 不平行.
(2) = − =(4-k,-7),
= − =(10-k,k-12),
若 A,B,C 三点共线,则 ∥ ,
即(4-k)(k-12)=-7×(10-k),
解得 k=-2 或 k=11,
故当 k=-2 或 k=11 时,A,B,C 三点共线.
？
6.3.4
平面向量数乘运算
的坐标表示
自主预习·新知导学
合作探究·释疑解惑
思 想 方 法
自主预习·新知导学
一、平面向量数乘运算的坐标表示
1.已知a=(x,y),你能得出2a,3a的坐标吗?
提示:2a=a+a=(x,y)+(x,y)=(2x,2y);
3a=2a+a=(2x,2y)+(x,y)=(3x,3y).
立适当的坐标系并用向量的方法证明:
(1)DE∥BC;
(2)D,M,B三点共线.
证明:如图,以E为原点,AB所在直线为x轴,EC所在直线为y轴
建立平面直角坐标系,
设||=1,则||=1,||=2.
由题意得四边形AECD是边长为1的正方形,
可得各点坐标分别为
E(0,0),B(1,0),C(0,1),D(-1,1),A(-1,0).
a-3b=(1,2)-3(-3,2)=(10,-4),
当 ka+b 与 a-3b 平行时,存在唯一实数 λ,使 ka+b=λ(a-3b).
- = ,
由(k-3,2k+2)=λ(10,-4),得
解得 k=λ=-.
+ = -,
当 k=-时,ka+b 与 a-3b 平行,
AB 与 CD 平行吗?
(2)已知向量=(k,12),=(4,5),=(10,k).当 k 为何值时,A,B,C
三点共线?
分析:(1)判断 ∥ →判断点 A 是否在直线 CD 上→结论.
(2)求 A,B,C 三点共线时 k 的值,则一定有=λ成立.先求
, ,再列方程求解 k.
这时 ka+b=-a+b=-(a-3b),
∵λ=-<0,∴ka+b 与 a-3b 反向.
解法二:由解法一知 ka+b=(k-3,2k+2),
a-3b=(10,-4),
∵ka+b 与 a-3b 平行,
∴(k-3)×(-4)-10(2k+2)=0,解得
此时
ka+b=(- , )=-(a-3b).
∴=-,∴ ∥ .
又 MD 与 MB 有公共点 M,
∴D,M,B 三点共线.
,
,
思 想 方 法
【典例】 如图所示,已知点A(4,0),B(4,4),C(2,6),求AC和OB的
交点P的坐标.
审题视角:(1)AC与OB相交于点P,则必有O,P,B三点共线和
A,P,C三点共线;(2)先根据O,P,B三点共线可得到点P坐标应满
首先分析题意,将题目中有关的点坐标化,线段向量化,然后利
用题目条件,寻找向量关系,列出方程(组)求出有关变量,最后
回归到几何问题中.
【变式训练】 在△AOB 中,已知点 O(0,0),A(0,5),B(4,3),
=
,
=
,AD
与 BC 交于点 M,求点 M 的坐标.
解:∵点 O(0,0),A(0,5),B(4,3),
解:(1)因为=(2,4),=(4,11)-(-1,1)=(5,10),
=(-2,-1)-(-1,1)=(-1,-2),
所以=-2, =-5.
所以 ∥ ∥ .
因为与, 有共同的起点 A,
所以 A,B,C,D 四点共线.
因此直线 AB 与 CD 重合.
∴=(0,5),=(4,3).
∵=
=
,
∴点 C 的坐标为
,
,
.
同理可得点 D 的坐标为
,
,从而 =
,-
.
设点 M 的坐标为(x,y),则=(x,y-5).
∵A,M,D 三点共线,∴与共线.
∴-x-2(y-5)=0,
即 7x+4y=20.①
3.(1)下列各组向量中,共线的是(
)
A.a=(1,2),b=(4,2)
B.a=(1,0),b=(0,2)
C.a=(0,-2),b=(0,2)
D.a=(-3,2),b=(-6,-4)
(2)若向量m=(3,-2)与n=(x,4)共线,则实数x=
.
解析:(1)C选项中,因为b=-a,所以a与b共线,其余各组向量均不
故点 P 的坐标为(3,3).
解法二:设 P(x,y),则=(x,y),
因为=(4,4),且与共线,
所以
=
,即
x=y.
又=(x-4,y),=(-2,6),
且与共线,
则得(x-4)×6-y×(-2)=0,解得 x=y=3,
所以点 P 的坐标为(3,3).
应用向量共线的坐标表示求解几何问题的步骤:
解得
k=-.
根据向量共线的条件求参数值的问题,一般有两种处理思路,
一是利用向量共线定理a=λb(λ∈R,b≠0)列方程组求解,二是利
用向量共线的坐标表达式x1y2-x2y1=0直接求解,其中a=(x1,y1),
b=(x2,y2)(b≠0).
探究三 判定直线平行、三点共线
【例 3】 (1)已知四点坐标 A(-1,1),B(1,5),C(-2,-1),D(4,11),直线
易知 =
,-
, =
,
.
∵C,M,B 三点共线,∴与共线.
∴x-4
-
由①②得
=0,即 7x-16y=-20.②
x= ,y=2.∴点
M 的坐标为
,
.
十年寒窗磨利剑，
一朝折桂展宏图！
解:∵=(-2,10),=(-8,4),=(-10,14),
∴+2=(-2,10)+2(-8,4)=(-2,10)+(-16,8)
=(-18,18),
− =(-8,4)- (-10,14)
=(-8,4)-(-5,7)=(-3,-3).
探究二 平面向量共线的坐标表示
【例2】 已知a=(1,2),b=(-3,2),当k为何值时,ka+b与a-3b平行?
平行时它们是同向还是反向?
分析:由向量a,b的坐标,求出ka+b与a-3b的坐标,由向量共线
的条件列方程(组),求k的值.从而进一步判定向量是同向还是
反向.
解法一:ka+b=k(1,2)+(-3,2)=(k-3,2k+2),
答案:(1)C (2)-6
合作探究·释疑解惑
探究一
探究二
探究三
探究一 平面向量线性运算的坐标表示
【例1】 已知向量a=(1,2),b=(3,-4),c=(-2,6),试求a+3b,
3a-2b+ c.
分析:直接利用向量在坐标形式下的各种运算法则求解.
(1)∵=(-1,1)-(0,0)=(-1,1),
=(0,1)-(1,0)=(-1,1),
∴ = ,∴ ∥ ,即 DE∥BC.
(2)连接 MB,MD,
∵M 为 EC 的中点,∴M ,
∴=(-1,1)- , = -,
=(1,0)- , = ,- ,
(1)若已知向量的坐标,则直接应用两个向量加、减及数乘的
运算法则进行.
(2)若已知有向线段两端点的坐标,则可先求出向量的坐标,再
进行向量的坐标运算.
(3)向量的线性坐标运算可类比数的运算进行.
【变式训练 1】 若 A,B,C 三点的坐标分别为(2,-4),(0,6),(-8,10),
求+2, − 的坐标.
解:因为a=(1,2),b=(3,-4),c=(-2,6),
所以a+3b=(1,2)+3(3,-4)=(1,2)+(9,-12)=(10,-10),
3a-2b+ c=3(1,2)-2(3,-4)+ (-2,6)=(3,6)-(6,-8)+(-1,3)=(-4,17).
平面向量坐标运算的方法:
2.已知a=(x,y),λ∈R,则λa= (λx,λy) ,即实数与向量的积的坐标
等于用这个实数乘原来向量的相应坐标.
3.已知=(-1,2),则-3等于(
)
A.(-3,-3)
答案:C
B.(-6,3)
C.(3,-6)
D.(-4,-1)
二、平面向量共线的坐标表示
1.如果向量a=(x1,y1),b=(x2,y2)(b≠0),根据共线向量定理,当a与b
足的关系,再根据A,P,C三点共线即可求得点P的坐标.
解法一:由 O,P,B 三点共线,
可设=λ=(4λ,4λ),
则 = − =(4λ-4,4λ),
= − =(-2,6).
由与共线得(4λ-4)×6-4λ×(-2)=0,
解得
λ=,即
=
=(3,3),
故 ka+b 与 a-3b 反向.
k=-.
本例条件不变,若问题改为“当k为何值时,a+kb与3a-b平行?”,
又如何求k的值?
解:a+kb=(1,2)+k(-3,2)=(1-3k,2+2k),
3a-b=3(1,2)-(-3,2)=(6,4),
∵a+kb与3a-b平行,
∴(1-3k)×4-(2+2k)×6=0,
共线时,存在唯一实数λ,使a=λb,那么根据向量数乘运算的坐
标表示,你能发现a与b的坐标之间的关系吗?
提示:若a=(x1,y1),b=(x2,y2)(b≠0),且a与b共线,则x1y2=x2y1.
2.平面向量共线的坐标表示
条件
结论
a=(x1,y1),b=(x2,y2),其中 b≠0
向量 a,b 共线的充要条件是 x1y2-x2y1=0
1.三点共线问题的实质是向量共线问题,利用向量共线证明三
点共线需分两步完成:(1)证明向量共线;(2)证明两个向量有公
共点.
2.A,B,C三点共线,即由这三个点组成的任意两个向量共线.
【变式训练2】 如图所示,已知直角梯形ABCD,AD⊥AB,
AB=2AD=2CD,过点C作CE⊥AB于点E,M为CE的中点,试建
故直线 AB 与 CD 不平行.
(2) = − =(4-k,-7),
= − =(10-k,k-12),
若 A,B,C 三点共线,则 ∥ ,
即(4-k)(k-12)=-7×(10-k),
解得 k=-2 或 k=11,
故当 k=-2 或 k=11 时,A,B,C 三点共线.
？
6.3.4
平面向量数乘运算
的坐标表示
自主预习·新知导学
合作探究·释疑解惑
思 想 方 法
自主预习·新知导学
一、平面向量数乘运算的坐标表示
1.已知a=(x,y),你能得出2a,3a的坐标吗?
提示:2a=a+a=(x,y)+(x,y)=(2x,2y);
3a=2a+a=(2x,2y)+(x,y)=(3x,3y).
立适当的坐标系并用向量的方法证明:
(1)DE∥BC;
(2)D,M,B三点共线.
证明:如图,以E为原点,AB所在直线为x轴,EC所在直线为y轴
建立平面直角坐标系,
设||=1,则||=1,||=2.
由题意得四边形AECD是边长为1的正方形,
可得各点坐标分别为
E(0,0),B(1,0),C(0,1),D(-1,1),A(-1,0).
a-3b=(1,2)-3(-3,2)=(10,-4),
当 ka+b 与 a-3b 平行时,存在唯一实数 λ,使 ka+b=λ(a-3b).
- = ,
由(k-3,2k+2)=λ(10,-4),得
解得 k=λ=-.
+ = -,
当 k=-时,ka+b 与 a-3b 平行,
AB 与 CD 平行吗?
(2)已知向量=(k,12),=(4,5),=(10,k).当 k 为何值时,A,B,C
三点共线?
分析:(1)判断 ∥ →判断点 A 是否在直线 CD 上→结论.
(2)求 A,B,C 三点共线时 k 的值,则一定有=λ成立.先求
, ,再列方程求解 k.
这时 ka+b=-a+b=-(a-3b),
∵λ=-<0,∴ka+b 与 a-3b 反向.
解法二:由解法一知 ka+b=(k-3,2k+2),
a-3b=(10,-4),
∵ka+b 与 a-3b 平行,
∴(k-3)×(-4)-10(2k+2)=0,解得
此时
ka+b=(- , )=-(a-3b).
∴=-,∴ ∥ .
又 MD 与 MB 有公共点 M,
∴D,M,B 三点共线.
,
,
思 想 方 法
【典例】 如图所示,已知点A(4,0),B(4,4),C(2,6),求AC和OB的
交点P的坐标.
审题视角:(1)AC与OB相交于点P,则必有O,P,B三点共线和
A,P,C三点共线;(2)先根据O,P,B三点共线可得到点P坐标应满
首先分析题意,将题目中有关的点坐标化,线段向量化,然后利
用题目条件,寻找向量关系,列出方程(组)求出有关变量,最后
回归到几何问题中.
【变式训练】 在△AOB 中,已知点 O(0,0),A(0,5),B(4,3),
=
,
=
,AD
与 BC 交于点 M,求点 M 的坐标.
解:∵点 O(0,0),A(0,5),B(4,3),
解:(1)因为=(2,4),=(4,11)-(-1,1)=(5,10),
=(-2,-1)-(-1,1)=(-1,-2),
所以=-2, =-5.
所以 ∥ ∥ .
因为与, 有共同的起点 A,
所以 A,B,C,D 四点共线.
因此直线 AB 与 CD 重合.
∴=(0,5),=(4,3).
∵=
=
,
∴点 C 的坐标为
,
,
.
同理可得点 D 的坐标为
,
,从而 =
,-
.
设点 M 的坐标为(x,y),则=(x,y-5).
∵A,M,D 三点共线,∴与共线.
∴-x-2(y-5)=0,
即 7x+4y=20.①
3.(1)下列各组向量中,共线的是(
)
A.a=(1,2),b=(4,2)
B.a=(1,0),b=(0,2)
C.a=(0,-2),b=(0,2)
D.a=(-3,2),b=(-6,-4)
(2)若向量m=(3,-2)与n=(x,4)共线,则实数x=
.
解析:(1)C选项中,因为b=-a,所以a与b共线,其余各组向量均不
故点 P 的坐标为(3,3).
解法二:设 P(x,y),则=(x,y),
因为=(4,4),且与共线,
所以
=
,即
x=y.
又=(x-4,y),=(-2,6),
且与共线,
则得(x-4)×6-y×(-2)=0,解得 x=y=3,
所以点 P 的坐标为(3,3).
应用向量共线的坐标表示求解几何问题的步骤:
解得
k=-.
根据向量共线的条件求参数值的问题,一般有两种处理思路,
一是利用向量共线定理a=λb(λ∈R,b≠0)列方程组求解,二是利
用向量共线的坐标表达式x1y2-x2y1=0直接求解,其中a=(x1,y1),
b=(x2,y2)(b≠0).
探究三 判定直线平行、三点共线
【例 3】 (1)已知四点坐标 A(-1,1),B(1,5),C(-2,-1),D(4,11),直线
易知 =
,-
, =
,
.
∵C,M,B 三点共线,∴与共线.
∴x-4
-
由①②得
=0,即 7x-16y=-20.②
x= ,y=2.∴点
M 的坐标为
,
.
十年寒窗磨利剑，
一朝折桂展宏图！
解:∵=(-2,10),=(-8,4),=(-10,14),
∴+2=(-2,10)+2(-8,4)=(-2,10)+(-16,8)
=(-18,18),
− =(-8,4)- (-10,14)
=(-8,4)-(-5,7)=(-3,-3).
探究二 平面向量共线的坐标表示
【例2】 已知a=(1,2),b=(-3,2),当k为何值时,ka+b与a-3b平行?
平行时它们是同向还是反向?
分析:由向量a,b的坐标,求出ka+b与a-3b的坐标,由向量共线
的条件列方程(组),求k的值.从而进一步判定向量是同向还是
反向.
解法一:ka+b=k(1,2)+(-3,2)=(k-3,2k+2),