DVD租赁问题

DVD在线租赁
摘要
本文是对DVD在线租赁问题的研究。

根据DVD分配数量与会员满意度之间的关系，引入01
-整数规划模型。

给出了DVD在线租赁过-变量，建立了01
程中合理的安排计划。

对于问题一，运用概率知识对10万名会员的需求情况进行合理推测。

以每月准备的DVD数量最少作为目标函数，建立单目标的最优化模型。

将约束条件定义为：每种DVD每月租赁数量可满足的会员人数不少于希望看到该种DVD 的会员人数的50%。

结合具体数据得到，为保证希望看到该DVD的会员中至少50%在一个月内能够看到该DVD，则需要准备的各种DVD数量分别为：6250，3125，1563，782，313张。

为保证三个月内至少95%的会员能够看到该DVD，则需要准备的各种DVD数量分别为：3959，1980，990，495，198张。

对于问题二，根据订单中数字与偏爱程度的相互关系，利用离散函数
t对满
ij
意度进行量化。

引入01
-变量
x，表示是否获得相应DVD，考虑网站DVD总
ij
数和每人每月所得DVD数量的限制建立了01
-整数规划模型。

运用E xcel软件对数据进行统计，并通过LIN G O软件求解得到DVD分配过程中除第417名会员外每名会员每月均可租赁三张DVD。

前30名会员（即C0001~C0030）分别获得DVD的情况参见表4。

对于问题三，需要确定DVD的分配方案，保证网站在购进DVD数量尽可能小的同时使会员满意度最大。

利用网站DVD总数和每人每月所得DVD数量的限制，引入取整概念，建立以DVD总数最小、会员满意度最大为目标函数的多目标01
-整数规划模型。

求解过程中采用固定DVD总量，优化会员满意度的方法，将多目标线性规划转化为单目标整数规划。

利用LIN G O软件进行求解，得到DVD分配的最优方案。

对于问题四，从网站经营管理人员的角度出发，DVD租赁过程中尚有大量问题值得探讨，诸如：月费高低与会员人数的关系，每月每人最大租赁次数与会员人数的关系，会员人数、月费高低、每月最大租赁次数等因素与网站总利润的关系等。

本文针对网站经营过程中尽量保证获利最大、会员满意度最高这一问题进行了深入探讨。

结合上文分析，建立以利润最大，满意度最高为目标的多目标整数规划模型。

利用问题三中的方法，对模型进行求解。

求解过程及结果，不再做具体说明。

关键词：01
-整数规划模型离散函数模糊定性指标量化L I N G O软件
一. 问题重述
随着信息时代的到来，网络成为人们生活中越来越不可或缺的元素之一。

许多网站利用其强大的资源和知名度，面向其会员群提供日益专业化和便捷化的服务。

例如，音像制品的在线租赁就是一种可行的服务。

这项服务充分发挥了网络的诸多优势，包括传播范围广泛、直达核心消费群、强烈的互动性、感官性强、成本相对低廉等，为顾客提供更为周到的服务。

考虑如下的在线DVD租赁问题。

顾客缴纳一定数量的月费成为会员，订购DVD租赁服务。

会员对哪些DVD有兴趣，只要在线提交订单，网站就会通过快递的方式尽可能满足要求。

会员提交的订单包括多张DVD，这些DVD是基于其偏爱程度排序的。

网站会根据手头现有的DVD数量和会员的订单进行分发。

每个会员每个月租赁次数不得超过2次，每次获得3张DVD。

会员看完3张DVD 之后，只需要将DVD放进网站提供的信封里寄回（邮费由网站承担），就可以继续下次租赁。

请考虑以下问题：
1）网站正准备购买一些新的DVD，通过问卷调查1000个会员，得到了愿意观看这些DVD的人数（表1给出了其中5种DVD的数据）。

此外，历史数据显示，60%的会员每月租赁DVD两次，而另外的40%只租一次。

假设网站现有10万个会员，对表1中的每种DVD来说，应该至少准备多少张，才能保证希望看到该DVD的会员中至少50%在一个月内能够看到该DVD？如果要求保证在三个月内至少95%的会员能够看到该DVD呢？
2）表2中列出了网站手上100种DVD的现有张数和当前需要处理的1000位会员的在线订单（表2的数据格式示例如下表2，具体数据请从/mcm05/problems2005c.asp下载），如何对这些DVD进行分配，才能使会员获得最大的满意度？请具体列出前30位会员（即C0001~C0030）分别获得哪些DVD。

3）继续考虑表2，并假设表2中DVD的现有数量全部为0。

如果你是网站经营管理人员，你如何决定每种DVD的购买量，以及如何对这些DVD进行分配，才能使一个月内95%的会员得到他想看的DVD，并且满意度最大？
4）如果你是网站经营管理人员，你觉得在DVD的需求预测、购买和分配中还有哪些重要问题值得研究？请明确提出你的问题，并尝试建立相应的数学模型。

注：D001~D100表示100种DVD, C0001~C1000表示1000个会员, 会员的在线订单用数字1,2,…表示，数字越小表示会员的偏爱程度越高，数字0表示对应的DVD当前不在会员的在线订单中。

二. 问题分析
2.1问题一的分析
要保证希望看到该DVD的会员中至少50%在一个月内能够看到该DVD，即要求每种DVD每月租赁数量可满足的会员人数不少于希望看到该种DVD的会员人数的50%。

以每月准备的DVD数量最少作为目标函数，以会员对各种DVD的需求作为约束条件，建立单目标的最优化模型，求解得到需要准备的DVD的数量。

2.2问题二的分析
会员的在线订单中，数字越小表示会员的偏爱程度越高，数字0表示对应的
DVD不被订购。

结合实际会员每次获得DVD的数量只能为3张，故选择离散函数
t对会员满意度进行度量。

ij
结合实际，引入01
-变量表示第i名会员是否预定第j种DVD。

为简化计算，现假设每名会员每个月只获得一次租赁，每张租赁出去的DVD均当月返还且不再进行第二次租赁。

考虑到网站各种DVD总数、每人每月所得DVD的次数和数量均有限制，而网站对DVD的安排，主要目的是使会员获得最大满意度。

故以会员满意度最大为目标函数，引入取整概念，建立01
-整数规划模型。

利用LIN G O软件求解即可得到100种DVD的最优分配方案。

2.3问题三的分析
假设网站中DVD现有数量全部为0。

对于管理者而言，需要保证一个月内95%的会员得到他想看的DVD。

对于会员，每人每个月租赁次数不得超过2次，每次获得3张DVD。

在以上两点条件下，要使购进DVD总量最小同时会员满意度最大。

综合以上分析，在问题一和问题二的基础上，引入取整概念，建立多目标整数规划模型。

模型的求解过程中固定DVD总量，对会员满意度进行优化，将问题转化为对单目标整数规划问题的求解。

2.4问题四的分析
DVD租赁过程中，作为网站经营管理人员，决策过程中需要综合考虑
月费的制定、每月最多租赁次数的确定、DVD购进数量与种类等众多因素。

结合实际分析得到，经营过程中要以网站获利最大、会员满意度最高作为最终目标。

结合DVD购进总量限制、会员每月最大租赁次数限制、每月需要满足的会员比例限制，建立多目标整数规划模型。

对模型进行求解即可得到DVD租赁过程中，最优的决策方案。

三. 模型的假设
1. 假设DVD每月的发行以及会员每月对DVD的需求相互独立；
2. 假设获得租赁两次的会员，第一次为每月中旬返还，第二次为月底返还。

租赁一次的会员，均为月底返还；
3. 假设问题二中每张DVD每月只租赁一次，每次均当月返还；
4. 假设问题二中每名会员每个月只获得一次租赁；
5. 假设各种DVD价格相同；
6. 假设DVD每月更新一次，不考虑多月重复使用情况；
四. 符号说明
五. 模型的准备
5.1 问题一中数据的处理
利用题中对1000名会员的调查结果，结合概率论[]1的相关知识，计算得到10万名会员对各种DVD 数量的需求情况。

10会员在线订单中数字越小表示会员偏爱程度越高，可以理解为对于数值越小的订单，当满足会员要求时相应的满意度数值越大。

对于订单中的数字0，表示对应的DVD 不被订购，此时取会员满意度为0。

根据要求会员每个月租赁次数不得超过2次，每次只能获得3张DVD ，将度量函数离散化，并作出定义与限制，具体函数如下：
1000
ij ij
ij ij p p t p ⎧≠⎪=⎨⎪=⎩
5.3问题四中网站会员人数与会费的函数关系
网站会费对会员人数存在一定制约关系，也即会费较高时，会员人数相对较少，会费较少时，会员人数则会增多。

结合实际分析，随着会费不断下降，会员人数增加的速率会越来越小，当到达某一程度时，会员人数不再无限增加而是趋于稳定。

根据以上几点，作出函数图像趋势线（见图一），最终确定用二次多项式函数的反函数对会费与会员人数之间的关系进行刻画：
.
图一 会员人数随会费变化趋势
注： x 轴为会费取值，y 轴为会员人数。

最后得到会员人数M （万）与会费y 之间函数关系如下：
M =
其中，M 保留四位小数，系数a '，c '可由实际调查得出，本文不做具体求解。

5.4问题四中每月每人最多租赁次数与会员人数的函数关系
每月每人可租赁的次数越多，网站对消费群的吸引力越大，则可以理解为网站会员人数相应越多。

伴随可租赁次数的不断增多，会员人数上升速率逐渐减慢。

根据以上几点，作出函数图像趋势线，最终确定采用二次多项式对租赁的最大次数与会员人数之间的关系进行刻画：
图二 会员人数随租赁最大次数的变化趋势
注： x 轴为租赁最大次数，y 轴为会员人数。

最后得到会员人数M （万）与租赁最大次数z 之间函数关系如下：
M =
其中，z 取整数，M 保留四位小数，系数b '可由实际调查得出，本文不做具体求解。

六. 模型的建立与求解
6.1问题一模型的建立与求解 6.1.1模型的建立 目标函数的确定
问题一需要求解满足题目要求的各种DVD 准备数量的最小值，故以各种DVD 数量j k 最小作为目标函数：
m in
j
k
其中j k 取整，1,2,3,4,5j =。

约束条件的分析
①用a ，b 分别表示会员中每月租赁两次与每月租赁一次的人数所占百分比。

假设1a b +=恒成立。

每种DVD 每月租赁数量可满足的会员人数j r 与各种DVD 数量j k 、比例a 、b 的关系：
()2j j r k a b =+
②希望看到第i 种DVD 的会员人数记为j n ，该种DVD 数量可满足的会员比例记为c ，可以得到，第j 种DVD 数量需要满足的会员人数j m ：
j j m n c
=⋅
③根据题意，每种DVD 每月租赁数量可满足的会员人数j p 不小于DVD 数量需要满足的会员人数j m ，即j j p m ≥：
()2j j k a b n c +≥⋅
④假设DVD 每月的发行以及会员每月对DVD 的需求均为相互独立。

根据题意，r 个月内需要满足比例为d 的会员可以看到希望看到的DVD ：
()2j j k a b r n d +≥
建立模型
㈠ 每月DVD 准备数量的求解模型： 目标函数：
m in
j
k
约束条件：
()2j j k a b n c +≥⋅
㈡ r 个月内DVD 准备数量的求解模型： 目标函数：
m in
j
k
约束条件：
()2j j k a b r n cd +≥
其中， 1,2,3,4,5j =，j n ，j k 取整。

6.1.2模型的求解
根据表1所得数据，取0.6a =，0.4b =，0.5c =，0.95d =，3r =带入上述模型中求解。

利用模型一，得到为保证希望看到该DVD 的会员中至少50%在一个月内能够看到该DVD ，每种DVD 需要准备的数量。

（参见表2）
各种DVD 需要准备的数量。

（参见表3）
6.2.1模型的建立 目标函数的确定
对DVD 的分配方案，最终目的是在现有DVD 张数的情况下使会员满意度最大。

引入01-变量ij x ，表示第i 名会员是否预定第j 种DVD ，得到目标函数：
1000100
1
1
m ax
ij
ij i j t
x ==∑∑
其中，j k 取整数。

约束条件的分析
①网站现有第j 种DVD 的数量记为j k ，显然租赁出去的第j 种DVD 数量不能超过该种DVD 现有张数：
1000
1
ij j i x k =≤∑
②根据假设，每个会员每个月只获得一次租赁，每次获得3张DVD ，也即
会员每月最多获得3张DVD ，同时每月获得的DVD 张数均为3的倍数或0：
100
13ij
j x
=≤∑ 100
1
3ij
j x
n ==∑
其中，n 为可租赁的次数，0,1n =。

建立模型[]2
目标函数：
1000100
1
1
m ax
ij
ij i j t
x ==∑∑
约束条件：
1000
11001100
1
33ij j i ij j ij j x k x x n ===⎧≤⎪⎪⎪⎪
≤⎨⎪⎪=⎪⎪⎩∑∑∑
其中，j k 取整数，0,1n =。

6.2.2模型的求解
对上述线性规划用LIN G O []3和M ATLAB 软件求解，得到最大满意度为
1634.712 。

（程序参见附录一、二）
最终得到前30名会员获得DVD 的种类与数量的具体情况。

（参见表4）
6.3问题三模型的建立与求解 6.3.1模型的建立 目标函数的确定
对DVD 的分配方案，最终目的是在现有DVD 张数为0的情况下使购进的DVD 数量最小同时会员满意度最大。

继续利用问题二中的01-变量ij x ，引入整数j k 表示各种DVD 的数量，得到目标函数：
100
1m in j
j k
=∑
1000100
1
1
m ax
ij
ij i j t
x ==∑∑
其中，j k 取整数。

约束条件的分析
①网站购进第j 种DVD 的数量记为j k ，显然需要租赁的第j 种DVD 数量不能超过该种DVD 现有张数：
()1000
1
20.60.4ij
j i x
k =≤⨯+∑
②对于会员，每人每个月租赁次数不得超过2次，每次获得3张DVD ：
100
16ij
j x
=≤∑ 100
1
3ij
j x
n ==∑
其中，n 为可租赁的次数，0,1,2n =。

③对于管理者而言，需要保证一个月内95%的会员得到他想看的DVD ：
()100
1
100030.9520.60.4100060.95j j q =⨯⨯≤⨯+≤⨯⨯∑
建立多目标函数的整数规划模型
目标函数：
100
1m in j
j k
=∑
1000100
1
1
m ax
ij
ij i j t
x ==∑∑
约束条件
()()1000
1100
11001100120.60.463285020.60.45700ij j i ij j ij j j j x k x x n q ====⎧≤⨯+⎪⎪⎪≤⎪⎪⎨⎪
=⎪⎪⎪
≤⨯+≤⎪⎩
∑∑∑∑
其中，j k 取整数，0,1,2n =。

6.3.2模型的简化
固定DVD 购进数量，优化会员满意度，将多目标整数规划简化为单目标整数规划：
目标函数：
1000100
1
1
m ax
ij
ij i j t
x ==∑∑
约束条件
..s t ()10001100
110011001
20.60.46
3285020.60.4
ij j i ij j ij j j
j x k x x n
q ====⎧≤⨯+⎪⎪⎪≤⎪⎪⎨⎪
=⎪⎪⎪
≤
⎪⨯+⎩∑∑∑∑
其中，j k 取整数，0,1,2n =。

6.3.3模型的求解
对上述线性规划用LIN G O 软件求解，得到最大满意度为1542.562，最小DVD 购买量为1782。

（程序参见附录三）
最终得到DVD 购买情况（参见表5）以及会员获得DVD 的种类与数量的具体情况。

表5 DVD 的购买数量
本文只对前30名会员的分配情况作出具体介绍。

（参见表6）
表6 前30名会员获得DVD 的种类与数量
6.4问题四模型的建立与求解 6.4.1模型的建立 目标函数的确定
从网站经营管理人员的角度出发，显然，网站获利最大、会员满意度最高为需要考虑的最终目标。

网站利润由会员会费的总收入与各项支出费用之差表示。

而各项费用的支出主要包含购进DVD 的费用和租赁过程中的邮费，其他支出情况暂不考虑。

现假设，DVD 原有数量为0，本文只考虑此种情况下，一个月内DVD 的购买和分配情况。

综合以上，得到目标函数如下：
00
m ax
z
j
n
j n y M k
n M α
λρ
γ==⋅-
⋅-
⋅⋅⋅∑∑
1000100
1
1
m ax
ij
ij i j t
x ==∑∑
根据月费y 与会员人数M 、最大租赁次数z 与会员人数M 的关系，进一步整理得到：
()2
2
m ax b M
j n j n a M
c M k n M αλργ'==''+⋅-⋅-
⋅⋅⋅∑∑
1000100
1
1
m ax
ij
ij i j t
x ==∑∑
符号解释：
y ：会员每月需缴纳的月费；
z ：每月每人可租赁DVD 的最多次数； α：购进DVD 的种类数；
n ：会员每月租赁DVD 的次数；
j k ：每月需要准备第j
种DVD 的数量；
ij x ：第i 名会员是否租赁第j 种DVD ； ij t ：第i 名会员对第j 种
DVD 的满意度；
n ρ：每月租赁n 次的会员占总会员数的比例；
λ：每张DVD 的价格，此处取定值，且假设各种DVD 的价格均相同； γ：DVD 邮寄过程中的邮费，此处取定值，且假设邮寄过程不考虑路程长
短，费用均相同；
约束条件的分析
①每种DVD 每月租赁数量可满足的会员人数不小于DVD 数量需要满足的会员人数：
10000
1
M z
ij n
j
i n x n k ρ
⋅==≤
⋅∑
∑
其中，1,2,j α= 。

②会员中每月租赁n 次的会员占总会员数的比重为n p ，每次租赁会获得3张DVD ，也即会员每月最多获得3z 张DVD ，同时每月获得的DVD 张数均为3的倍数或0：
1
3ij
j x
z α
=≤∑ 1
3ij
j x
n α
==∑
每月每人可租赁DVD 的最多次数z
与总会员数存在关系M =，带入整
理得到：
2
1
3ij
j x
b M α
='≤∑ 1
3ij
j x
n α
==∑
其中，0,1,2,n z = 。

③对于管理者而言，需要保证一个月内有一定比例的会员得到他想看的DVD ，记该比例为δ，则有：
()0
1
33z
n
j
n j m n k
zm α
δρδ==⋅≤
⋅≤∑∑
建立模型
综合以上，以利润最大，满意度最高作为目标函数[]4，建立多目标线性规划模型模型：
目标函数：
()2
2
m ax b M
j n j n a M
c M k n M αλργ'==''+⋅-⋅-
⋅⋅⋅∑∑
1000100
1
1
m ax
ij
ij i j t
x ==∑∑
约束条件：
()10000
11
2
11013333M z
ij n j
i n ij j ij j z n j n j x n k x b M x n m n k zm αααρδρδ⋅======⎧≤⋅⎪⎪⎪'≤⎪
⎪⎨⎪
=⎪⎪⎪
⋅≤⋅≤⎪⎩
∑∑∑∑∑∑
其中，j k ,取整，M 保留四位有效数字，0,1,2,n z = 。

6.4.2模型的求解
模型的求解方法，同问题三。

现因数据不足，不做具体求解。

参考文献
[1] 盛骤，谢式千，潘承毅，概率论与数理统计（第二版），北京：高等教育出
版社，1989。

[2] 袁亚湘、孙文瑜，最优化理论与方法，科学出版社，2001。

[3] 谢金星，薛毅，优化模型与LINDO/LINGO软件，北京：清华大学出版社，2005
年7月；
[4] 姜启源，《数学模型》，北京：高等教育出版社，2005．
附录
目录
摘要 (1)
一. 问题重述 (2)
二. 问题分析 (2)
三. 模型的假设 (3)
四. 符号说明 (3)
五. 模型的准备 (4)
5.1 问题一中数据的处理 (4)
5.2问题二中满意度的量化 (4)
5.3问题四中网站会员人数与会费的函数关系 (4)
5.4问题四中每月每人最多租赁次数与会员人数的函数关系 (4)
六. 模型的建立与求解 (5)
6.1问题一模型的建立与求解 (5)
6.1.1模型的建立 (5)
6.1.2模型的求解 (6)
6.2问题二模型的建立与求解 (6)
6.2.1模型的建立 (6)
6.2.2模型的求解 (7)
6.3问题三模型的建立与求解 (8)
6.3.1模型的建立 (8)
6.3.2模型的简化 (9)
6.3.3模型的求解 (9)
6.4问题四模型的建立与求解 (10)
6.4.1模型的建立 (10)
6.4.2模型的求解 (12)
七. 参考文献 (13)
附录 (14)。