北京第八十中学数学高二下期中经典练习(培优提高)

一、选择题
1．(0分)[ID ：13603]已知a ，b ，c 为ABC ∆的三个内角A ，B ，C 的对边，向量=
（3，-1），=（cosA ，sinA ），若⊥，且cos cos sin a B b A c C +=，则角B=
（ ） A ．
6
π B ．
3
π C ．
4
π D ．
23
π 2．(0分)[ID ：13599]已知向量5168,77AB ⎛⎫= ⎪⎝⎭，68,77AC ⎛⎫
= ⎪⎝⎭
，D ，E 是线段BC 上两点，且15BD BC =
，1
3
CE CB =，则向量AD 与AE 的关系是（ ） A ．2AD AE = B ．1
2
AD AE =
C ．A
D A
E ⊥
D ．AD 与A
E 成60︒夹角
3．(0分)[ID ：13583]已知向量(2
2cos 3m x =，()1,sin2n x =，设函数
()f x m n =⋅，则下列关于函数()y f x =的性质的描述正确的是( )
A ．关于直线12
x π
=对称
B ．关于点5,012π⎛⎫
⎪⎝⎭
对称 C ．周期为2π
D ．()y f x =在,03π⎛⎫
-
⎪⎝⎭
上是增函数 4．(0分)[ID ：13581]若在直线l 上存在不同的三点 A B C 、、，使得关于x 的方程
20x OA xOB BC ++=有解（O l ∉），则方程解集为（ ）
A ．∅
B ．{}1-
C ．{}1,0-
D ．1515-+--⎪⎪⎩⎭
5．(0分)[ID ：13580]在ABC 中，a ，b ，c 分别为内角A ，B ，C 的对边，三边a ，
b ，
c 成等差数列，且6
B π
=
，则()2
cos cos A C -的值为（ ）
A ．13
B 2
C ．22
D ．0
6．(0分)[ID ：13561]函数f （x ）＝Asin （ωx+φ）（其中A ＞0，ω＞0，|φ|＜
2
π
）的图象如图所示，为了得到g （x ）＝Acosωx 的图象，只需把y ＝f （x ）的图象上所有的点（ ）
A ．向右平移12
π
个单位长度 B ．向左平移12
π
个单位长度
C ．向右平移
6π
个单位长度 D ．向左平移
6
π
个单位长度 7．(0分)[ID ：13553]函数()()()sin 102
f x x π
ωϕωϕ=++><，
的部分图像如图所示，
将()f x 的图像向右平移
4
π
个单位长度后得函数()g x 的图像，则()g x =（）
A ．2sin 23
x π⎛⎫+ ⎪⎝
⎭
B ．sin 23x π⎛⎫
- ⎪⎝
⎭
C ．sin 213x π⎛⎫
+
+ ⎪⎝
⎭
D ．sin 213x π⎛⎫-
+ ⎪⎝
⎭
8．(0分)[ID ：13552]设向量(,4)a x =-，(1,)b x =-，向量a 与b 的夹角为锐角，则x 的范围为( )
A ．(22)，-
B ．(0,+)∞
C ．(0,2)(2+)⋃∞，
D ．[22]-，
9．(0分)[ID ：13626]如图，在ABC 中，AD AB ⊥，3BC BD =，1AD =，则
AC AD ⋅=（ ）
A ．23
B ．
3
2
C ．
33
D ．3
10．(0分)[ID ：13617]已知 sin 0θ>且cos 0θ<，则角的终边所在的象限是（ ） A ．第一象限
B ．第二象限
C ．第三象限
D ．第四象限
11．(0分)[ID ：13613]已知在ABC 中，::3:2:4sinA sinB sinC =，那么cosC 的值为
（ ） A ．14
-
B ．
14
C ．23
-
D ．
23
12．(0分)[ID ：13597]已知20a b =≠，且关于x 的方程2
0x a x a b ++⋅=有实根，
则a 与b 的夹角的取值范围是( ) A ．06
,π⎡⎤⎢⎥⎣⎦
B ．,3ππ⎡⎤
⎢
⎥⎣⎦
C ．2,33ππ⎡⎤
⎢
⎥⎣⎦
D ．,6ππ⎡⎤⎢
⎥⎣⎦
13．(0分)[ID ：13596]已知函数()sin()3
f x x π
=-，要得到()cos g x x =的图象，只需将
函数()y f x =的图象（ ） A ．向左平移56
π
个单位 B ．向右平移3
π
个单位 C ．向左平移
3
π
个单位 D ．向右平移
56
π
个单位
14．(0分)[ID ：13535]已知函数())24
f π
αα=-
+，在锐角三角形ABC 中，
()6f A =，且cos2cos2B C =，则tan B 的值为( )
A ．1
B 1
C ．
2
D 1
15．(0分)[ID ：13530]从集合{2,3,4,5}中随机抽取一个数m,从集合{1,3,5}中随机抽取一个数n,则向量a =(m,n)与向量b =(1,-1)垂直的概率为( ) A ．
16
B ．
13
C ．
14
D ．
12
二、填空题
16．(0分)[I∆：13720]∆ABC 的AB 边中点为D ，AC =1，BC =2，则AB CD ⋅的值为
_______________.
17．(0分)[ID ：13695]在ABC ∆所在平面上有一点P ，满足2PA PB PC AB ++=，则
APC ∆与ABC ∆的面积比为___________
18．(0分)[ID ：13693]已知
()()()()()1cos ,sin ,1cos ,sin ,1,0,0,,,2a b c ααββαπβππ=+=-=∈∈，a 与c 的
夹角为1θ，b 与c 的夹角为2θ，且1θ23
π
θ-=
，求sin
2
αβ
-=_______.
19．(0分)[ID ：13687]已知,a b 是两个非零向量，且||||||a b a b ==-，则a 与a b +的夹角大小为_________
20．(0分)[ID ：13671]已知ABC ∆的外接圆的圆心为O ，半径为2，若
2AO AB AC =+，且AO AB =，则向量BA 在向量CB 上的投影为_____
21．(0分)[ID ：13670]已知ABC ∆的面积为1，在ABC ∆所在的平面内有两点P ,Q ，满足
0,PA PC QA QB QC BC +=++=，则四边形BCPQ 的面积为____________.
22．(0分)[ID ：13657]若对任意x ∈R ，不等式2sin 22sin 0x x m +-<恒成立，则m 的取值范围是_____.
23．(0分)[ID ：13652]在直角梯形ABCD 中，//AB DC ，AD AB ⊥，2AD DC ==，3AB =，点M 是线段CB 上（包括边界）的一个动点，则AD AM ⋅的取值范围是______.
24．(0分)[ID ：13644]若(1,1),
(2,1)a b =-=-，则⋅=a b ______．
25．(0分)[ID ：13638]如图，在矩形ABCD 中，22AB BC =
=，，点E 为BC 的中点，
点F 在边CD 上，且2DF FC =，则AE BF ⋅的值是 ．
三、解答题
26．(0分)[ID ：13760]已知函数()()
2
cos 23sin cos sin (0)f x x x x x ωωωωω=-+>的
最小正周期为2π．
()1求ω的值；
()2ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，()2f B =，3a =
，ABC 面积
33
4
S =
，求b ． 27．(0分)[ID ：13754]已知在平行四边形ABCD 中，3
A π
∠=，边,AB AD 的长分别为
2,1，若,M N 分别是,BC CD 上的点，
（1）若,M N 分别是,BC CD 上的中点，求AM AN ⋅的值； （2）若点,M N 满足
BM CN BC
CD
=
，求AM AN ⋅的取值范围.
28．(0分)[ID ：13740]在△ABC 中，已知内角A ＝，边BC ＝2
，设内角B ＝x ，周长为
y ．
（1）求函数y ＝f （x ）的解析式和定义域； （2）求y 的最大值．
29．(0分)[ID ：13828]在平面直角坐标系xoy 中，已知向量2(
,22
m =-，(sin ,cos )n x x =，(0,)2
x π
∈．
（1）若m n ⊥，求tan x 的值； （2）若m 与n 的夹角为
3
π
，求x 的值． 30．(0分)[ID ：13826]已知(1,3),(3,),(1,),//AB BC m CD n AD BC =-==． （1）求实数n 的值；
（2）若AC BD ⊥，求实数m 的值．
【参考答案】
2016-2017年度第*次考试试卷 参考答案
**科目模拟测试
一、选择题 1．A 2．A 3．D 4．B 5．A 6．B 7．D 8．C 9．D 10．B 11．A 12．B
13．A
14．D
15．A
二、填空题
16．【解析】【分析】如图所示利用向量的运算法则将向量和都用和来表示然后展开即可得出答案【详解】如图所示：在△ABC中有由D是AB边的中点则有又因AC1BC2所以故答案为：【点睛】本题考查了向量的运算
17．【解析】∴即即即∴并且方向一样|BC|=3|AP|如果AP和AC夹角为θ那么BC和AC的夹角也是θ所以
18．【解析】【分析】由可得的范围利用向量的夹角公式化简可得同理可得再利用即可得出的值【详解】化为故答案为：【点睛】本题考查向量的夹角公式数量积运算倍角公式考查逻辑推理能力和计算能力属于中档题
19．【解析】【分析】根据向量加法减法的几何意义模的几何意义判断出的位置关系由此求得与的夹角大小【详解】由于根据向量模和减法的几何意义可知以为邻边的平行四边形为菱形如图所示且为等边三角形故根据加法的平行四
20．－1【解析】【分析】因为可知为直角三角形又可知为等边三角形故所求投影为＝【详解】因为所以为的中点即为直角三角形又可知为边长为2的等边三角形故向量在向量上的投影为＝故答案为：-1【点睛】本题主要考查向
21．【解析】【分析】根据可判断出的位置并作出图形然后根据三角形的面积公式可求解出即可求解出四边形BCPQ的面积【详解】因为所以是线段的中点又因为所以所以所以是上靠近的一个三等分点作出图示如下图：因为所以
22．【解析】【分析】问题转化为m＞对任意x∈R恒成立只需由三角函数求出求y＝的最大值即可【详解】不等式即由于的最大值为故答案为【点睛】本题考查三角函数的最值涉及恒成立问题和三角函数公式的应用属基础题
23．【解析】【分析】以点为坐标原点为轴的正方向建立平面直角坐标系得出的方程为可设点的坐标为然后利用坐标计算出关于实数的表达式然后结合的取值范围得出的取值范围【详解】以点为坐标原点为轴的正方向建立平面直角
24．3【解析】【分析】直接利用向量的数量积的运算公式即可求解得到答案【详解】由题意向量根据向量的数量积的运算公式可得则故答案为3【点睛】本题主要考查了向量的数量积的运算其中解答中熟记向量的数量积的运算公
25．【解析】试题分析：以为原点为轴为轴建立平面直角坐标系所以所以考点：向量数量积的坐标运算
三、解答题 26． 27． 28． 29． 30．
2016-2017年度第*次考试试卷 参考解析
【参考解析】
**科目模拟测试
一、选择题 1．A 解析：A 【解析】 试题分析：∵
=（3,-1），=（cosA,sinA ），m n ⊥3sin 0A A -=，∴
tan 3A =，∴3
A π
=
，
∵cos cos sin a B b A c C +=，∴sin cos sin cos sin sin A B B A C C +=，∴
2sin()sin A B C +=，
∴sin 1C =，∴2
C π
=
，∴6
B A
C π
π=--=
．
考点：向量垂直的充要条件、正弦定理、特殊角的三角函数值．
2．A
解析：A 【解析】
【分析】
先求出=6,8AD （），=3,4AE （），所以2AD AE =，即得解. 【详解】
1141
()5555AD AB BD AB BC AB AC AB AB AC =+=+=+-=+
45168168,,(6,8)577577⎛⎫⎛⎫
=
+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
， 111215168268(),,3333377377AE AC CE AC CB AC AB AC AB AC ⎛⎫⎛⎫
=+=+=+-=+=+ ⎪ ⎪
⎝⎭⎝⎭
(3,4)=，
所以2AD AE =. 故选：A. 【点睛】
本题主要考查基底法和向量的坐标运算，考查共线向量，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.
3．D
解析：D 【解析】 【分析】 【详解】
()
22cos 2cos 2212sin(2)16f x x x x x x π=+=+=++，当12
x π
=
时,sin(2)sin
16
3
x π
π
+=≠±,∴f (x )不关于直线12
x π
=
对称；
当512x π=
时,2sin(2)116x π
++= ,∴f (x )关于点5(
,1)12
π对称； f (x )得周期22
T π
π==， 当(,0)3
x π
∈-
时,2(,)6
26x π
ππ
+
∈-
,∴f (x )在(,0)3
π
-上是增函数． 本题选择D 选项.
4．B
解析：B 【解析】 【分析】
利用向量的运算法则将等式中的向量都用以O 为起点的向量表示，利用三点共线的条件列出方程求出x . 【详解】
20x OA xOB BC ++=，即20x OA xOB OC OB ++-=，
所以2x OA xOB OB OC --+=， 因为,,A B C 三点共线，
所以2
(1)1x x -+-=，解得120,1x x ==-，
当0x =时，20x OA xOB BC ++=等价于0BC =，不合题意， 所以1x =-，即解集为{}1-， 故选B. 【点睛】
该题考查的是有关向量的问题，涉及到的知识点有向量的减法运算，三点共线的条件对应的等量关系式，属于简单题目.
5．A
解析：A 【解析】 【分析】
三边a ，b ，c 成等差数列，可得2b a c =+，利用正弦定理可得：
2sin sin sin B A C =+，即sin sin 1A C +=，设cos cos A C m -=，平方相加即可得出． 【详解】
解：三边a ，b ，c 成等差数列， 2b a c ∴=+，
利用正弦定理可得：2sin sin sin B A C =+，
sin sin 2sin
16
A C π
∴+==，
设cos cos A C m -=，
则平方相加可得：222cos()1A C m -+=+，
22cos 11m B ∴=+=．
故选：A ． 【点睛】
本题考查了等差数列的通项公式性质、正弦定理、同角三角函数基本关系式、和差公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
6．B
解析：B 【解析】 【分析】
由函数的图象的顶点坐标求出A ，由周期求出ω，由五点法作图求出φ的值，可得f （x ）的解析式，再利用函数y ＝A sin （ωx +φ）的图象变换规律，得出结论． 【详解】
根据函数f （x ）＝A sin （ωx +φ）（其中A ＞0，ω＞0，|φ|＜
2
π
）的图象，可得A ＝1， 1274123
w πππ⋅=-，∴ω＝2． 再根据五点法作图可得2×3π+φ＝π，求得φ＝3π，∴函数f （x ）＝sin （2x +3π
）．
故把y ＝f （x ）的图象上所有的点向左平移12
π
个单位长度，可得y ＝sin （2x +
6π+3
π
）＝cos2x ＝g （x ）的图象. 故选B ． 【点睛】
确定y ＝A sin(ωx ＋φ)＋b (A ＞0，ω＞0)的步骤和方法：(1)求A ，b ，确定函数的最大值M 和最小值m ，则A ＝
2M m -，b ＝2
M m
+；(2)求ω，确定函数的最小正周期T ，则可得ω＝2π
ω
；(3)求φ，常用的方法有：①代入法：把图象上的一个已知点代入(此时A ，ω，b 已知)
或代入图象与直线y ＝b 的交点求解(此时要注意交点在上升区间上还是在下降区间上)．②特殊点法：确定φ值时，往往以寻找“最值点”为突破口．具体如下：“最大值点”(即图象的“峰点”)时ωx ＋φ＝
2
π；“最小值点”(即图象的“谷点”)时ωx ＋φ＝32π
. 7．D
解析：D 【解析】 【分析】
由图像可知，代入点,26π⎛⎫
⎪⎝⎭和30,2⎛⎫
⎪⎝⎭
则可计算出()f x 表达式，再根据平移知识点左加右减即可得出()g x 表达式． 【详解】
由函数()sin()10,||2f x x πωϕωϕ⎛⎫
=++>< ⎪⎝
⎭
的部分图象知3
1sin 2ϕ+=
，即1sin 2
ϕ=. 因为||2ϕπ<
，所以6π=ϕ．所以()sin 16f x x πω⎛
⎫=++ ⎪⎝
⎭.
因为点,26π⎛⎫
⎪⎝⎭
在()f x 的图象上．所以sin 166π
πω⎛⎫+= ⎪⎝⎭.所以
2(Z)6
62
k k π
ππ
ωπ+
=+
∈．
因为0>ω，结合图象可知2ω=，所以()sin 216f x x π⎛⎫
=+
+ ⎪⎝
⎭
.
将()f x 的图象向右平移
4
π
个单位长度后得到函数()g x 的图象．则()sin 21sin 21463g x x x πππ⎡⎤⎛⎫⎛
⎫=-++=-+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝
⎭⎝⎭⎣⎦.
【点睛】
根据三角函数图像求表示时一般代入特殊点，如最值点和图像与坐标轴的交点进行运算．函数平移左加右减，注意平移的时候是x 整体变化，如果有系数记得加括号．
8．C
解析：C 【解析】 【分析】
由题意，根据向量a 与b 的夹角为锐角，可得1(4)()0x x ⨯+-⨯->且41x x
-≠，即可求解. 【详解】
由向量(,4)a x =-，(1,)b x =-，
因为向量a 与b 的夹角为锐角，则1(4)()0x x ⨯+-⨯->且
4
1x x
-≠， 解得0x >且2x ≠，即x 的范围为(0,2)(2+)⋃∞，
，故选C. 【点睛】
本题主要考查了平面向量的坐标运算及向量的共线定理的应用，其中解答中熟记平面向量的坐标运算法则和平面向量的共线定理，列出相应的关系式是解得关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.
9．D
解析：D 【解析】
∵3AC AB BC AB BD =+=+，
∴(3)3AC AD AB BD AD AB AD BD AD ⋅=+⋅=⋅+⋅， 又∵AB AD ⊥，∴0AB AD ⋅=， ∴
33cos 3cos 33
AC AD BD AD BD AD ADB BD ADB AD ⋅=⋅=⋅∠=⋅∠==， 故选D ．
10．B
解析：B 【解析】 【分析】
利用三角函数的定义，可确定0y >且0x <，进而可知θ所在的象限，得到结果.
【详解】
依据题设及三角函数的定义
可知角θ终边上的点的横坐标小于零，纵坐标大于零， 所以终边在第二象限， 故选B. 【点睛】
该题考查的是有关根据三角函数值的符号断定角所属的象限，涉及到的知识点有三角函数的定义，三角函数值在各个象限内的符号，属于简单题目.
11．A
解析：A 【解析】 【分析】 【详解】
::sin :sin :sin 3:2:4a b c A B C == ，不妨设3,2,4a k b k c k ===，,
则()()()222
3241
cos 2324
k k k C k k
+-=
=-⨯⨯ ，选A.
12．B
解析：B 【解析】 【分析】
根据方程有实根得到2
4cos 0a a b θ∆=-≥，利用向量模长关系可求得1cos 2
θ≤，根据向量夹角所处的范围可求得结果. 【详解】
关于x 的方程2
0x a x a b ++⋅=有实根 2
40a a b ∴∆=-⋅≥
设a 与b 的夹角为θ，则2
4cos 0a a b θ-≥ 又20a b =≠ 24cos 0b b θ∴-≥ 1cos 2
θ∴≤ 又[]0,θπ∈ ,3πθπ⎡⎤∴∈⎢⎥⎣⎦
本题正确选项：B 【点睛】
本题考查向量夹角的求解问题，关键是能够利用方程有实根得到关于夹角余弦值的取值范围，从而根据向量夹角范围得到结果.
13．A
解析：A 【解析】
函数5()cos sin()sin ()236g x x x x π
ππ⎡
⎤==+
=-+⎢⎥⎣⎦
，所以将函数()f x 的图象向左平移56
π
个单位时，可得到()cos g x x =的图象，选A. 14．D
解析：D 【解析】 【分析】
根据()6f A =得到4
A π
∠=，根据cos2cos2B C =得到38
B C π
∠=∠=
，利用二倍角公式计算得到答案. 【详解】
())264f A A π=-+=，即sin(2)42
A π-=
. 锐角三角形ABC ，故32,444A π
ππ
⎛⎫
-
∈- ⎪
⎝⎭
，故244A ππ-=，4A π∠=. ()2,20,B C π∈，cos2cos2B C =，故38
B C π
∠=∠=
.
2
2tan 3tan 2tan 11tan 4
B B B π
=
==--，故tan 1B =或tan 1B =（舍去）. 故选：D . 【点睛】
本题考查了三角恒等变换，意在考查学生的计算能力.
15．A
解析：A 【解析】 【分析】
根据分步计数乘法原理求得所有的(),m n )共有12个，满足两个向量垂直的(),m n 共有2个，利用古典概型公式可得结果. 【详解】
集合{2,3,4,5}中随机抽取一个数m ,有4种方法； 从集合{1,3,5}中随机抽取一个数n ，有3种方法， 所以，所有的(),m n 共有4312⨯=个，
由向量(),a m n =与向量()11
b =-,垂直,可得0a b n m ⋅=-=，即m n =, 故满足向量(),a m n =与向量()11
b =-,垂直的(),m n 共有2个：()()3,3,5,5， 所以向量(),a m n =与向量()11
b =-,垂直的概率为21
126
=，故选A.
【点睛】
本题主要考查分步计数乘法原理的应用、向量垂直的性质以及古典概型概率公式的应用，属于中档题. 在解古典概型概率题时，首先求出样本空间中基本事件的总数n ，其次求出概率事件中含有多少个基本事件m ，然后根据公式m
P n
=求得概率.
二、填空题
16．【解析】【分析】如图所示利用向量的运算法则将向量和都用和来表示然后展开即可得出答案【详解】如图所示：在△ABC 中有由D 是AB 边的中点则有又因AC 1BC 2所以故答案为：【点睛】本题考查了向量的运算
解析：
32
【解析】 【分析】
如图所示，利用向量的运算法则，将向量AB 和CD 都用CB 和CA 来表示，然后展开即可得出答案. 【详解】
如图所示：在△ABC 中，有AB CB CA =-，由D 是AB 边的中点，则有
CB CA
CD 2
+=
， 又因AC =1，BC =2， 所以()
()
()2222CB CA 113
AB CD CB CA CB CA 212222
+⋅=-⋅=-=-=. 故答案为：3
2
. 【点睛】
本题考查了向量的运算法则的应用，能够把向量AB 和CD 进行有效的转化是解题的关键，属于一般难度的题.
17．【解析】∴即即即∴并且方向一样|BC|=3|AP|如果AP 和AC 夹角为θ那么BC 和AC 的夹角也是θ所以
解析：1
3
【解析】
∴2PA PB PC AB ++=即()()0PA AB PB AB PC -+-+=
2()PA PB PC PB PA ++=-，
即30PA BC +=， 即3PA CB =，
∴//PA CB 并且方向一样，|BC |=3|AP |，
如果AP 和AC 夹角为θ，那么BC 和AC 的夹角也是θ，
1
2
APC
S AP AC sin θ=⋅， 1
2ABC
S
BC AC sin θ=
⋅， 所以1.3
APC
ABC
S
S =
18．【解析】【分析】由可得的范围利用向量的夹角公式化简可得同理可得再利用即可得出的值【详解】化为故答案为：【点睛】本题考查向量的夹角公式数量积运算倍角公式考查逻辑推理能力和计算能力属于中档题
解析：1
2
-
【解析】 【分析】
由(0,)απ∈，可得
2α的范围．利用向量的夹角公式化简可得12
α
θ=，同理可得222βπθ=-，再利用123πθθ-=，即可得出sin 2αβ-的值．
【详解】
(0,)απ∈，∴(0,)22
απ
∈．
1cos a c α=+，||(1cos a =+=||1c =，
11cos cos cos ||||222cos a c a c αθ⋅+∴=
====⋅+，
12
α
θ∴=
．
(,2)βππ∈，∴
(22
β
π
∈，)π，
∴
(0,)2
2
βπ
π
-∈．
1cos b c β⋅=-，||(1cos b =-=
21cos cos sin cos()222||||22cos b c b c ββπ
θ-∴=====--，
22
2
β
π
θ∴=
-
， 123
π
θθ-=
，∴
(
)2
223
α
β
ππ--=，化为
2
6
αβ
π
-=-
，
1
sin
sin()262
αβ
π-=-=-．
故答案为：12
-． 【点睛】
本题考查向量的夹角公式、数量积运算、倍角公式，考查逻辑推理能力和计算能力，属于中档题．
19．【解析】【分析】根据向量加法减法的几何意义模的几何意义判断出的位置关系由此求得与的夹角大小【详解】由于根据向量模和减法的几何意义可知以为邻边的平行四边形为菱形如图所示且为等边三角形故根据加法的平行四 解析：6
π
【解析】 【分析】
根据向量加法、减法的几何意义，模的几何意义，判断出,a b 的位置关系，由此求得a 与
a b +的夹角大小.
【详解】
由于||||||a b a b ==-，根据向量模和减法的几何意义可知，以,a b 为邻边的平行四边形为菱形，如图所示，且ABC ∆为等边三角形，故π
3
ABC ∠=，根据a b +加法的平行四边形法则可知a 与a b +的夹角大小为
π6
.
【点睛】
本小题主要考查向量加法、减法的几何意义，模的几何意义，属于基础题.
20．－1【解析】【分析】因为可知为直角三角形又可知为等边三角形故所求投影为＝【详解】因为所以为的中点即为直角三角形又可知为边长为2的等边三角形故向量在向量上的投影为＝故答案为：-1【点睛】本题主要考查向
解析：－1 【解析】 【分析】
因为2AO AB AC =+可知，ABC ∆为直角三角形，又AO AB =可知，ABO ∆为等边三角形，故所求投影为cos120BA ＝1-． 【详解】
因为2AO AB AC =+，所以O 为BC 的中点，即ABC ∆为直角三角形，又AO AB =
可知，ABO ∆为边长为2的等边三角形，故向量BA 在向量CB 上的投影为cos120BA ＝1-．
故答案为：-1． 【点睛】
本题主要考查向量中点公式的应用以及向量投影的求法．
21．【解析】【分析】根据可判断出的位置并作出图形然后根据三角形的面积公式可求解出即可求解出四边形BCPQ 的面积【详解】因为所以是线段的中点又因为所以所以所以是上靠近的一个三等分点作出图示如下图：因为所以
解析：
23
【解析】 【分析】
根据0,PA PC QA QB QC BC +=++=可判断出,P Q 的位置并作出图形，然后根据三角形的面积公式1
sin 2
S bc A =可求解出APQ
S ，即可求解出四边形BCPQ 的面积.
【详解】
因为0PA PC +=，所以P 是线段AC 的中点， 又因为QA QB QC
BC ++=，所以QA QB QC BQ QC ++=+，所以2QA BQ =，
所以Q 是AB 上靠近B 的一个三等分点，作出图示如下图：
因为121111sin sin 232323
APQ
S
AB AC A AB AC A ⎛⎫=⨯⨯⨯=⨯⨯⨯= ⎪⎝⎭， 所以12
133
BCPQ S =-=四边形. 故答案为：23
. 【点睛】
本题考查根据向量的线性运算求图形面积，难度一般.对于线段AB ，若存在点P 满足：
()*AP PB N λλ=∈，则P 是AB 的一个()1λ+等分点.
22．【解析】【分析】问题转化为m ＞对任意x ∈R 恒成立只需由三角函数求出求y ＝的最大值即可【详解】不等式即由于的最大值为故答案为【点睛】本题考查三角函数的最值涉及恒成立问题和三角函数公式的应用属基础题 解析：21,)+∞
【解析】 【分析】
问题转化为m ＞sin2cos21m x x >-+对任意x ∈R 恒成立，只需由三角函数求出求y ＝
sin2cos21x x -+的最大值即可． 【详解】
不等式2sin22sin 0x x m +-<，即sin2cos212sin 214m x x x π⎛
⎫>-+=-+ ⎪⎝
⎭.
2sin 214x π⎛
⎫
-
+ ⎪⎝
⎭
21，21m ∴>，
故答案为
(
)
21,++∞.
【点睛】
本题考查三角函数的最值，涉及恒成立问题和三角函数公式的应用，属基础题．
23．【解析】【分析】以点为坐标原点为轴的正方向建立平面直角坐标系得出的方程为可设点的坐标为然后利用坐标计算出关于实数的表达式然后结合的取值范围得出的取值范围【详解】以点为坐标原点为轴的正方向建立平面直角 解析：[]0,4
【解析】 【分析】
以点B 为坐标原点，AB 为x 轴的正方向建立平面直角坐标系xBy ，得出BC 的方程为
2y x =-，可设点M 的坐标为()(),210a a a --≤≤，然后利用坐标计算出AD AM ⋅关
于实数a 的表达式，然后结合a 的取值范围得出AD AM ⋅的取值范围. 【详解】
以点B 为坐标原点，AB 为x 轴的正方向建立平面直角坐标系xBy ，则点()30A -,、()0,0B 、()1,2C -、()3,2D -，BC 边所在直线的方程为2y x =-，设点(),2M a a -.
()0,2AD =，()3,2AM a a =+-，
4AD AM a ∴⋅=-，
10a -≤≤，则044a ≤-≤，因此，AD AM ⋅的取值范围是
[]0,4.
故答案为：[]0,4. 【点睛】
本题考查平面向量数量积的取值范围问题，可以引入参数来表示平面向量的数量积，也可以建立坐标系，将平面向量的数量积的取值范围转化为函数的值域来求解，考查运算求解能力，属于中等题.
24．3【解析】【分析】直接利用向量的数量积的运算公式即可求解得到答案【详解】由题意向量根据向量的数量积的运算公式可得则故答案为3【点睛】本题主要考查了向量的数量积的运算其中解答中熟记向量的数量积的运算公
解析：3 【解析】 【分析】
直接利用向量的数量积的运算公式，即可求解，得到答案． 【详解】
由题意，向量(1,1),(2,1)a b =-=-，
根据向量的数量积的运算公式，可得则213a b ⋅=+=． 故答案为3． 【点睛】
本题主要考查了向量的数量积的运算，其中解答中熟记向量的数量积的运算公式是解答的关键，着重考查了计算能力，属于基础题．
25．【解析】试题分析：以为原点为轴为轴建立平面直角坐标系所以所以考点：向量数量积的坐标运算 解析：
【解析】 试题分析：以
为原点，
为轴，
为
轴，建立平面直角坐标系，
，所以
，所以
考点：向量数量积的坐标运算
三、解答题 26．
(1)
1
2(2)3 【解析】 【分析】
（1）化简()π2sin 26f x x ω⎛⎫=- ⎪
⎝
⎭ ，根据函数的最小正周期2π
2π2T ω==即可求出ω的值
2）由（1）知，()π2sin 6f x x ⎛
⎫=- ⎪
⎝
⎭.由()π2sin 26f B B ⎛
⎫=-= ⎪⎝⎭
，求得2π3B =，再根据ABC 的面积33
4
SS =，解得3c =b . 【详解】
（1）()2
223sin cos cos
sin f x x x x x ωωωω=-+ 3sin2cos2x x ωω=-
π2sin 26x ω⎛
⎫=- ⎪⎝
⎭
故函数的最小正周期2π2π2T ω==，解得12ω=. （2）由（1）知，()π2sin 6f x x ⎛
⎫=-
⎪⎝⎭.由()π2sin 26f B B ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭，得ππ2π62B k -
=+（k Z ∈）.所以2π2π3B k =+（k Z ∈）.又(0,π)B ∈，所以2π3B =.ABC 的面积112π33sin 3sin 2234S ac B c ==⨯⨯⨯=，解得3c =.由余弦定理可得2222cos b a c ac B =+- ()()222π33233cos 3
=
+-⨯⨯ 9=，所以3b =. 【点睛】 本题主要考查三角恒等变换、三角函数的图象与性质、解三角形等基础知识；考查运算求解能力，考查函数与方程思想、数形结合思想，属于中档题．
27．
（1）154
;（2）[2,5] 【解析】
【分析】
画出图形，建立直角坐标系，利用比例关系，求出M ，N 的坐标，
（1）根据坐标直接求出数量积；
（2）通过二次函数求出数量积的范围．
【详解】
解：建立如图所示的直角坐标系，
则(2,0),(0,0)B A ，1
3(,)22D ，53(,22
C ， （1）因为,M N 分别是,BC C
D 上的中点，
9333((42M N ∴， 9333(,),(,4422
AM AN ∴==， 933327315(()42884
AM AN ∴⋅=⋅=+=；
（2）设||||||||BM CN BC CD ==,[0,1]λλ∈， 3532,,2,2222M N λλλ⎛⎫⎛⎫+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
， 所以23532,2,252222AM AN λλλλλ⎛⎫⎛⎫⋅=+⋅-=--+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
， 因为[0,1]λ∈，二次函数的对称轴为：-1λ=，
2222250205=5251215=2λλλλ∴--+≤--⨯+--+≥--⨯+，
所以AM AN ⋅的取值范围是[2,5]．
【点睛】
本题考查向量的综合应用，平面向量的坐标表示以及数量积的应用，二次函数的最值问题，是中档题．
28．
（1）y ＝4sinx ＋
＋2；（2）6． 【解析】
试题分析：（1）由已知条件及正弦定理得到
，AB ＝，从而得到周长y ＝4sinx ＋＋2，同时求出角x 的范围即可；（2）由两角差的正弦
公式及辅助角公式将（1）中的函数解析式化为y ＝4
sin （x ＋）＋2，并结合角x 的范围求最值即可．
试题解析：（1）△ABC 的内角和A ＋B ＋C ＝π，由A ＝
，B ＞0，C ＞0，得0＜B ＜．应用正弦定理，得
AC ＝·sinB ＝·sinx ＝4sinx ． AB ＝sinC ＝．
∵y ＝AB ＋BC ＋CA ，
∴y ＝4sinx ＋
＋2． （2）y ＝4（sinx ＋
cosx ＋sinx ）＋2＝4sin （x ＋）＋2． ∵＜x ＋＜
， ∴当x ＋
＝，即x ＝时，y 取得最大值6． 考点：①求解析式；②三角函数求最值．
29．
（1）tan 1x =（2）
512
π． 【解析】
【分析】 （1）转化m n ⊥，为0m n ⋅=，代入坐标计算即得解；
（2）由题意cos ,m n m n m n ⋅<>=
||||，代入可得1sin()42x π-=，结合角的范围计算即得解. 【详解】
（1）∵m n ⊥，
∴0
m n ⋅=，
故cos 022
x x -=， ∴tan 1x =． （2）∵m 与n 的夹角为3π，
∴2122cos ,112x x m n m n m n -⋅<>===⨯||||，
故1sin()42x π-=
， 又(0,)2x π
∈，∴(,)444x πππ-
∈-， 46x π
π
∴-=，即512
x π=． 故x 的值为
512
π． 【点睛】 本题考查了向量与三角函数综合，考查了学生综合分析，概念理解，数学运算的能力，属于中档题。

30．
（1）3n =-；（2）1m =±.
【解析】
试题分析：（1）利用向量//AD BC ，建立关于n 的方程，即可求解n 的值；（2）写出向量,AC BD 的坐标，利用AC BD ⊥得出关于m 的方程，即可求解实数m 的值. 试题解析：（1）(1,3),(3,),(1,),AB BC m CD n =-==
(3,3),
//3(3)30
3
AD AB BC CD m n AD BC
m n m n ∴=++=++∴++-=∴=-
（2）由（1）得 (1,-3),CD =(2,3),(4,3)AC AB BC m BD BC CD m =+=+=+=-
AC BD ⊥所以8(3)(3)0,1m m m ++-=∴=±
考点：向量的坐标运算.。