中考数学复习《探索二次函数综合型压轴题解题技巧》分类训练七：与特殊平行四边形相关压轴题

2021中考数学复习《探索二次函数综合型压轴题解题技巧》分类训练七：
与特殊平行四边形相关的压轴题（附答案）
方法提炼：
1、特殊四边形的探究问题解题方法步骤如下:（1）先假设结论成立；（2）设出点坐标，求边长.（类型一方法指导）；（3）建立关系式，并计算。

若四边形的四个顶点位置已确定，则直接利用四边形边的性质进行计算；若四边形的四个顶点位置不确定，需分情况讨论。

2、探究菱形:①已知三个定点去求未知点坐标；②已知两个定点去求未知点坐标.一般会用到菱形的对角线互相垂直平分、四边相等等性质列关系式。

3、探究正方形:利用正方形对角线互相平分且相等的性质进行计算，一般是分别计算出两条对角线的长度，令其相等，得到方程再求解。

4、探究矩形:利用矩形对边相等、对角线相等列等量关系式求解；或根据邻边垂直，利用勾股定理列关系式求解。

典例引领：
例：已知二次函数y＝ax2+bx+3的图象与x轴交于点A（﹣1，0）与B（3，0）．（1）求此二次函数的解析式；
（2）若该二次函数图象顶点为D，点P为x轴上一点，将该二次函数图象绕着点P旋转180°得到新抛物线的顶点记为E，与x轴的交点记为F、G（点F在点G的左侧），若四边形DBEF是矩形，求点P的坐标；
（3）若抛物线与y轴交于点C，现将抛物线进行平移，使得平移后的抛物线经过点C，在平移后的抛物线上是否存在点M，使得以A、B、C、M为顶点的四边形是平行四边形，若存在，请写出平移方式；若不存在，请说明理由．
分析：（1）把A、B两点坐标代入解析式，建立二元一次方程组，便可求得解析式；（2）设P（t，0），根据矩形的性质得P为DE的中点，从而得E的坐标，因旋转前后的抛物线的解析式中二次项系数互为相反数，便可写出旋转后的抛物线的解析，进而求得F 点坐标，再根据矩形的性质得DE＝BF，列出t的方程，求得t的值便可；
（3）由题意知，平移后的抛物线的解析式中二次项系数与常数项没变化，只是一次项系数发生了变化，可设出平移后抛物线的解析式，分三种情况：分别以BC、AB、AC为对角线构成平行四边形，由平移知识求出M点的坐标，再把M点坐标分别代入平移后的解析式，求得新抛物线的顶点坐标，再由原抛物线与新抛物线的顶点坐标，便可得各种情形下的平移方式．
解：（1）∵二次函数y＝ax2+bx+3的图象与x轴交于点A（﹣1，0）与B（3，0）．
∴，
∴，
∴此二次函数的解析式：y＝﹣x2+2x+3；
（2）∵y＝﹣x2+2x+3＝﹣（x﹣1）2+4，
∴D（1，4），
设P（t，0），则E（2t﹣1，﹣4），如图1，
∴新抛物线的解析式为：y＝（x﹣2t+1）2﹣4，DE＝，
令y＝0，得（x﹣2t+1）2﹣4＝0，
解得，x＝2t﹣1±2，
∴F（2t﹣3，0），
∴BF＝6﹣2t，
∵四边形DBEF是矩形，
∴DE＝BF，
∴＝6﹣2t，
∴t＝﹣2，
∴P（﹣2，0）；
（3）∵抛物线y＝﹣x2+2x+3与y轴交于点C，
∴C（0，3），
∵将抛物线进行平移，使得平移后的抛物线经过点C，
∴可设平移后的抛物线的解析式为y＝﹣x2+mx+3，
∵以A、B、C、M为顶点的四边形是平行四边形，
∴存在三种情况：
①如图2，当四边形ABMC为平行四边形时，则CM∥AB，且CM＝AB，M在第一象限内，则M（4，3），
M（4，3）代入y＝﹣x2+mx+3中，得m＝4，
此时，平移后抛物线的解析式为y＝﹣x2+4x+3＝﹣（x﹣2）2+7，
∴平移后抛物线的顶点为（2，7），
∵原抛物线的顶点为（1，4），
故原抛物线向右平移1个单位，再向上平移3个单位，在平移后的抛物线上是就存在点
M，使得以A、B、C、M为顶点的四边形是平行四边形；
②如图3，当四边形AMCB为平行四边形时，则CM∥AB，且CM＝AB，M在第二象限内，则M（﹣4，3），
M（﹣4，3）代入y＝﹣x2+mx+3中，得m＝﹣4，
此时，平移后抛物线的解析式为y＝﹣x2﹣4x+3＝﹣（x+2）2+7，
∴平移后抛物线的顶点为（﹣2，7），
∵原抛物线的顶点为（1，4），
故原抛物线向左平移3个单位，再向上平移3个单位，在平移后的抛物线上是就存在点M，使得以A、B、C、M为顶点的四边形是平行四边形；
③如图4，当四边形ACBM为平行四边形时，则AC∥BM，且AC＝BM，M在第四象限内，则M（2，﹣3），
M（2，﹣3）代入y＝﹣x2+mx+3中，得m＝﹣1，
此时，平移后抛物线的解析式为y＝﹣x2﹣x+3＝，
∴平移后抛物线的顶点为（，），
∵原抛物线的顶点为（1，4），
故原抛物线向右平移个单位，再向下平移个单位，在平移后的抛物线上是就存在点M，使得以A、B、C、M为顶点的四边形是平行四边形；
综上，存在点M，使得以A、B、C、M为顶点的四边形是平行四边形，平移方式有三种：向右平移1个单位，再向上平移3个单位；原抛物线向左平移3个单位，再向上平移3个单位；原抛物线向右平移个单位，再向下平移个单位．
点评：本题是二次函数的综合题，主要考查了待定系数法，图形变换：平移与旋转的性质，考查了矩形与平行四边形的存在性问题的探究，难度较大，是中考的压轴题，第（2）小题关键是旋转前后抛物线的解析式的异同，以矩形的对角线相等列方程是突破难点的方法；第（3）小题分情况讨论是一个难点，往往考虑不全面而失分．
跟踪训练：
1．如图，抛物线y＝ax2+bx+4（a≠0）与x轴交于A（﹣1，0）、B（4，0）两点，与y轴交于点C，连接BC，点P是抛物线上第一象限内一动点，过点P作PE⊥x轴于点E，交BC于点D，连接PC．（1）求抛物线的解析式；
（2）将△PCD沿直线CP翻折，点D的对应点为Q．试问四边形CDPQ是否能为菱形？
如果能，请求出此时点P的坐标；如果不能，请说明理由．
2．综合与探究
如图，抛物线y＝x2+bx+c与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，OA＝2，OC＝6，连接AC和BC．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点D在抛物线的对称轴上，当△ACD的周长最小时，点D的坐标为．（3）点E是第四象限内抛物线上的动点，连接CE和BE．求△BCE面积的最大值及此时点E的坐标；
（4）若点M是y轴上的动点，在坐标平面内是否存在点N，使以点A、C、M、N为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由．
3．如图，在平面直角坐标系中，二次函数y＝ax2+bx﹣的图象经过点A（﹣1，0），C（2，0），与y轴交于点B，其对称轴与x轴交于点D．
（1）求二次函数的表达式及其顶点的坐标；
（2）若P为y轴上的一个动点，连接PD，求PB+PD的最小值；
（3）M（x，t）为抛物线对称轴上一个动点，若平面内存在点N，使得以A、B、M、N 为顶点的四边形为菱形，则这样的点N共有个．
4．如图，在平面直角坐标系中有抛物线y＝a（x﹣2）2﹣2和y＝a（x﹣h）2，抛物线y＝a （x﹣2）2﹣2经过原点，与x轴正半轴交于点A，与其对称轴交于点B；点P是抛物线y ＝a（x﹣2）2﹣2上一动点，且点P在x轴下方，过点P作x轴的垂线交抛物线y＝a（x ﹣h）2于点D，过点D作PD的垂线交抛物线y＝a（x﹣h）2于点D′（不与点D重合），连接PD′，设点P的横坐标为m：
（1）①直接写出a的值；②直接写出抛物线y＝a（x﹣2）2﹣2的函数表达式的一般式；
（2）当抛物线y＝a（x﹣h）2经过原点时，设△PDD′与△OAB重叠部分图形周长为L：
①求的值；②直接写出L与m之间的函数关系式；
（3）当h为何值时，存在点P，使以点O、A、D、D′为顶点的四边形是菱形？直接写出h的值．
为D点．
（1）直接写出A，B，D三点的坐标；
（2）设M（m，0）x轴上一点，将抛物线L绕点M旋转180°得到抛物线L1．
①当抛物线L1经过原点时，直接写出m的值；
②若C为第一象限内抛物线L1上一点，E为第一象限内一点，问是否存在以BD为边，
以B，D，C，E为顶点的正方形，若存在，请求出此时抛物线L1的表达式；若不存在，请说明理由．
6．如图，抛物线y＝x2+x﹣4与x轴交于A，B（A在B的左侧），与y轴交于点C，抛物线上的点E的横坐标为3，过点E作直线l1∥x轴．
（1）点P为抛物线上的动点，且在直线AC的下方，点M，N分别为x轴，直线l1上的动点，且MN⊥x轴，当△APC面积最大时，求PM+MN+EN的最小值；
（2）过（1）中的点P作PD⊥AC，垂足为F，且直线PD与y轴交于点D，把△DFC 绕顶点F旋转45°，得到△D'FC'，再把△D'FC'沿直线PD平移至△D″F′C″，在平面上是否存在点K，使得以O，C″，D″，K为顶点的四边形为菱形？若存在直接写出点K的坐标；若不存在，说明理由．
与y轴交于点C．
（1）连接BC，P是线段BC上方抛物线上的一动点，过点P作PH⊥BC于点H，当PH 长度最大时，在△APB内部有一点M，连接AM、BM、PM，求AM+BM+PM的最小值．
（2）若点D是OC的中点，将抛物线y＝﹣x2+x﹣4沿射线AD方向平移个单位得到新抛物线y′，C′是抛物线y′上与C对应的点，抛物线y'的对称轴上有一动点N，在平面直角坐标系中是否存在一点S，使得C′、N、B、S为顶点的四边形是矩形？若存在，请直接写出点S的坐标；若不存在，请说明理由．
8．定义：在平面直角坐标系中，图形G上点P（x，y）的纵坐标y与其横坐标x的差y﹣x 称为点P的“坐标差”，而图形G上所有点的“坐标差”中的最大值称为图形G的“特征值”
（1）点A（2，6）的“坐标差”为；（2）求抛物线y＝﹣x2+5x+4的“特征值”；
（3）某二次函数y＝﹣x2+bx+c（c≠0）的“特征值”为﹣1，点B与点C分别是此二次函数的图象与x轴和y轴的交点，且点B与点C的“坐标差”相等，求此二次函数的解析式；
（4）二次函数y＝﹣x2+px+q的图象的顶点在“坐标差”为2的一次函数的图象上，四边形DEFO是矩形，点E的坐标为（7，3），点O为坐标原点，点D在x轴上，点F在y轴上，当二次函数y＝﹣x2+px+q的图象与矩形的边只有三个交点时，求此二次函数的解析式及特征值．
9．已知如图，在平面直角坐标系xOy中，点A、B、C分别为坐标轴上的三个点，且OA＝1，OB＝3，OC＝4，
（1）求经过A、B、C三点的抛物线的解析式；
（2）在平面直角坐标系xOy中是否存在一点P，使得以点A、B、C、P为顶点的四边形为菱形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；
10．如图，已知抛物线y＝ax2+c过点（﹣2，2），（4，5），过定点F（0，2）的直线l：y＝kx+2与抛物线交于A、
B两点，点B在点A的右侧，过点B作x轴的垂线，垂足为C．
（1）求抛物线的解析式；
（2）当点B在抛物线上运动时，判断线段BF与BC的数量关系（＞、＜、＝），并证明你的判断；
（3）P为y轴上一点，以B、C、F、P为顶点的四边形是菱形，设点P（0，m），求自然数m的值；
11．如图，在平面直角坐标系xOy中，O为坐标原点，抛物线y＝a（x+3）（x﹣1）（a＞0）与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧）．
（1）求点A与点B的坐标；
（2）若a＝，点M是抛物线上一动点，若满足∠MAO不大于45°，求点M的横坐标m的取值范围．
（3）经过点B的直线l：y＝kx+b与y轴正半轴交于点C．与抛物线的另一个交点为点D，且CD＝4BC．若点P在抛物线对称轴上，点Q在抛物线上，以点B，D，P，Q为顶点的四边形能否成为矩形？若能，求出点P的坐标；若不能，请说明理由．
12．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于A（﹣2，0），B（8，0）两点，与y轴交于点C，且OC＝2OA，抛物线的对称轴x轴交于点D．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点P是第一象限内抛物线上位于对称轴右侧的一个动点，设点P点的横坐标为m，且S△CDP＝S△ABC，求m的值；
（3）K是抛物线上一个动点，在平面直角坐标系中是否存在点H，使B、C、K、H为顶点的四边形成为矩形？若存在，直接写出点H的坐标；若不存在，说明理由．
13．已知平面直角坐标系xOy（如图1，一次函数y＝x+3的图象与y轴交于点A，点M在正比例函数y＝x的图象上，且MO＝MA．二次函数y＝x2+bx+c的图象经过点A、M．
（1）求线段AM的长；
（2）求这个二次函数的解析式；
（3）如果点B在y轴上，且位于点A下方，点C在上述二次函数的图象上，点D在一次函数y＝x+3的图象上，且四边形ABCD是菱形，求点C的坐标．
参考答案
1．分析：（1）利用待定系数法求解可得；
（2）如图2，当点Q落在y轴上时，四边形CDPQ是菱形，根据翻折的性质知：CD＝CQ，PQ＝PD，∠PCQ＝∠PCD，又知Q落在y轴上时，则CQ∥PD，由四边相等：CD ＝DP＝PQ＝QC，得四边形CDPQ是菱形，表示P（n，﹣n2+3n+4），则D（n，﹣n+4），G（0，﹣n+4），利用勾股定理表示PD和CD的长并列式可得结论．
解：（1）将A（﹣1，0）、B（4，0）两点代入y＝ax2+bx+4，得：
，
解得：，
∴抛物线解析式为y＝﹣x2+3x+4；
（2）存在这样的Q点，使得四边形CDPQ是菱形，如图1，
当点Q落在y轴上时，四边形CDPQ是菱形，
理由是：由轴对称的性质知：CD＝CQ，PQ＝PD，∠PCQ＝∠PCD，
当点Q落在y轴上时，CQ∥PD，
∴∠PCQ＝∠CPD，
∴∠PCD＝∠CPD，
∴CD＝PD，
∴CD＝DP＝PQ＝QC，
∴四边形CDPQ是菱形，
过D作DG⊥y轴于点G，
设P（n，﹣n2+3n+4），则D（n，﹣n+4），G（0，﹣n+4），
在Rt△CGD中，CD2＝CG2+GD2＝[4﹣（﹣n+4）]2+n2＝2n2，而|PD|＝|（﹣n2+3n+4）﹣（﹣n+4）|＝|﹣n2+4n|，
∵PD＝CD，
∴﹣n2+4n＝n①，
﹣n2+4n＝﹣n②，
解方程①得：n＝4﹣或0（不符合条件，舍去），
解方程②得：n＝4+或0（不符合条件，舍去），
当n＝4﹣时，P（4﹣，5﹣2），如图1，
当n＝4+时，P（4+，﹣5﹣2），如图2，
此时点P在第四象限，此情况舍去．
综上所述，存在这样的Q点，使得四边形CDPQ是菱形，此时点P的坐标为（4﹣，5﹣2）．
点评：本题是二次函数的综合题，考查了利用待定系数法求函数的解析式、菱形的性质和判定，此类问题要熟练掌握利用解析式表示线段的长，并利用勾股定理列方程解决问题．
2．分析：（1）由OA＝2，OC＝6得到A（﹣2，0），C（0，﹣6），用待定系数法即求得抛物线解析式．
（2）由点D在抛物线对称轴上运动且A、B关于对称轴对称可得，AD＝BD，所以当点
C、D、B在同一直线上时，△ACD周长最小．求直线BC解析式，把对称轴的横坐标代
入即求得点D纵坐标．
（3）过点E作EG⊥x轴于点G，交直线BC与点F，设点E横坐标为t，则能用t表示EF的长．△BCE面积拆分为△BEF与△CEF的和，以EF为公共底计算可得S△BCE＝EF •OB，把含t的式子代入计算即得到S△BCE关于t的二次函数，配方即求得最大值和t的值，进而求得点E坐标．
（4）以AC为菱形的边和菱形的对角线进行分类画图，根据菱形邻边相等、对边平行的性质确定点N在坐标．
解：（1）∵OA＝2，OC＝6
∴A（﹣2，0），C（0，﹣6）
∵抛物线y＝x2+bx+c过点A、C
∴解得：
∴抛物线解析式为y＝x2﹣x﹣6
（2）∵当y＝0时，x2﹣x﹣6＝0，解得：x1＝﹣2，x2＝3
∴B（3，0），抛物线对称轴为直线x＝
∵点D在直线x＝上，点A、B关于直线x＝对称
∴x D＝，AD＝BD
∴当点B、D、C在同一直线上时，C△ACD＝AC+AD+CD＝AC+BD+CD＝AC+BC最小设直线BC解析式为y＝kx﹣6
∴3k﹣6＝0，解得：k＝2
∴直线BC：y＝2x﹣6
∴y D＝2×﹣6＝﹣5
∴D（，﹣5）
故答案为：（，﹣5）
（3）过点E作EG⊥x轴于点G，交直线BC与点F
设E（t，t2﹣t﹣6）（0＜t＜3），则F（t，2t﹣6）
∴EF＝2t﹣6﹣（t2﹣t﹣6）＝﹣t2+3t
∴S△BCE＝S△BEF+S△CEF＝EF•BG+EF•OG＝EF（BG+OG）＝EF•OB＝×3（﹣t2+3t）＝﹣（t﹣）2+
∴当t＝时，△BCE面积最大
∴y E＝（）2﹣﹣6＝﹣
∴点E坐标为（，﹣）时，△BCE面积最大，最大值为．
（4）存在点N，使以点A、C、M、N为顶点的四边形是菱形．
∵A（﹣2，0），C（0，﹣6）
∴AC＝
①若AC为菱形的边长，如图3，
则MN∥AC且，MN＝AC＝2
∴N1（﹣2，2），N2（﹣2，﹣2），N3（2，0）
②若AC为菱形的对角线，如图4，则AN4∥CM4，AN4＝CN4
设N4（﹣2，n）
∴﹣n＝
解得：n＝﹣
∴N4（﹣2，﹣）
综上所述，点N坐标为（﹣2，2），（﹣2，﹣2），（2，0），（﹣2，﹣）．
点评：本题考查了二次函数的图象与性质，轴对称求最短路径，一次函数的图象与性质，一次方程（组）的解法，菱形的性质，勾股定理．第（4）题对菱形顶点存在性的判断，以确定的边AC进行分类，再画图讨论计算．
3．分析：（1）将A、C三点的坐标代入y＝ax2+bx﹣，利用待定系数法即可求出二次函数的表达式，进而得到其顶点坐标；
（2）连接AB，作DH⊥AB于H，交OB于P，此时PB+PD最小．最小值就是线段DH，求出DH即可．
（3）当以A，B，M，N为顶点的四边形为菱形时，分三种情况：①以A为圆心AB为半径画弧与对称轴有两个交点，此时AM＝AB；②以B为圆心AB为半径画弧与对称轴有两个交点，此时BM＝AB；③线段AB的垂直平分线与对称轴有一个交点，此时AM＝BM．由M点的个数则可得出点N的个数有5个．
（1）∵二次函数y＝ax2+bx﹣的图象经过点A（﹣1，0）C（2，0），
∴，
解得：，
∴二次函数的表达式为，
∵y＝，
∴抛物线的顶点坐标为（）；
（2）如图，连接AB，作DH⊥AB于H，交OB于P，此时PB+PD最小．
理由：∵OA＝1，OB＝，
∴tan∠ABO＝，
∴∠ABO＝30°，
∴PH＝PB，
∴PB+PD＝PH+PD＝DH，
∴此时PB+PD最短（垂线段最短）．
在Rt△ADH中，∵∠AHD＝90°，AD＝，∠HAD＝60°，
∴sin60°＝，
∴DH＝，
∴PB+PD的最小值为；
（3）①以A为圆心AB为半径画弧，因为AB＞AD，故此时圆弧与对称轴有两个交点，且AM＝AB，即M点存在两个，所以满足条件的N点有两个；
②以B为圆心AB为半径画弧，因为AB，故此时圆弧与对称轴有两个交点，且BM ＝AB，即M点有两个，所以满足条件的N点有两个；
③线段AB的垂直平分线与对称轴有一个交点，此时AM＝BM，因为M点有一个，所以满足条件的N点有一个；
则满足条件的N点共有5个，
故答案为：5．
点评：本题是二次函数综合题，其中涉及到利用待定系数法求二次函数的解析式，菱形的判定，锐角三角函数定义，垂线段最短的性质等知识，解题的关键是掌握待定系数法确定函数解析式，学会利用垂线段最短解决实际问题中的最短问题，学会利用数形结合解决问题．
4．分析：（1））①将x＝0，y＝0代入y＝a（x﹣2）2﹣2中计算即可；②y＝﹣2x．
（2）将（0，0）代入y＝a（x﹣h）2中，可求得a＝，y＝x2，待定系数法求OB、AB的解析式，由点P的横坐标为m，即可表示出相应线段求解；
（3）以点O、A、D、D′为顶点的四边形是菱形，DD′＝OA，可知点D的纵坐标为2，再由AD＝OA＝4即可求出h的值．
解：（1）①将x＝0，y＝0代入y＝a（x﹣2）2﹣2中，得：0＝a（0﹣2）2﹣2，解得：a ＝；
②y＝﹣2x．
（2）∵抛物线y＝a（x﹣h）2经过原点，a＝；
∴y＝x2，
∴A（4，0），B（2，﹣2），
易得：直线OB解析式为：y＝﹣x，直线AB解析式为：y＝x﹣4
如图1，P（m，﹣2m），D（m，），E（m，0），F（m，﹣m），D′（﹣m，），①PD＝﹣（﹣2m）＝2m，DD′＝2m
∴＝＝1
②如图1，当0＜m≤2时，L＝OE+EF+OF＝m+m+m＝（2+）m，
当2＜m＜4时，如图2，设PD′交x轴于G，交AB于H，PD交x轴于E，交AB于F，则P（m，﹣2m），D（m，），E（m，0），F（m，m﹣4），D′（﹣m，），PF＝（m﹣4）﹣（﹣2m）＝﹣+3m﹣4，FH＝PH＝PF＝+
﹣2，PG＝+2m
∵DD′∥EG
∴＝，即：EG•PD＝PE•DD′，得：EG•（2m）＝（2m﹣m2）•2m
∴EG＝2m﹣m2，EF＝4﹣m（也可以利用等腰直角三角形的性质得出结论）
∴L＝EG+EF+FH+GH＝EG+EF+PG＝2m﹣m2+4﹣m+（+2m）＝+（2+1）m+4
∴L＝；
（3）如图3，设DP交x轴于N．
∵OADD′为菱形
∴AD＝AO＝DD′＝4，
∴PN＝2，
∴NA＝＝＝
∴h＝2±．
点评：本题是二次函数综合题，考查了待定系数法求函数解析式，菱形的性质，抛物线
的平移等，解题时要注意考虑分段函数表示方法．
5．分析：（1）令y＝0解方程即求得点A、B的坐标；把抛物线解析式配方即得到顶点D的坐标．
（2）由于抛物线经过180°旋转后开口大小不变（方向相反），抛物线L1顶点为D1与D 关于点M中心对称，即M为DD1中点，则利用中点坐标公式可用m表示点D1坐标，进而用顶点式写出抛物线L1的表达式．①当抛物线L1经过原点，即把x＝0、y＝0代入抛物线L1的表达式得到关于m的方程，解方程即求得m的值．
②利用构造弦图的全等三角形，求出以BD为边，另外两点M、N也在第一象限内的正
方形BDMN中，点M、N坐标．分类计算当点M或点N为C在抛物线L1上，列得关于m的方程，解得m的值代入抛物线L1的表达式即可．
解：（1）∵y＝0时，﹣x2﹣2x+＝0
解得：x1＝﹣5，x2＝1
∴A（﹣5，0），B（1，0）
∵y＝﹣x2﹣2x+＝﹣（x+2）2+
∴D（﹣2，）
（2）∵将抛物线L绕点M旋转180°得到抛物线L1
∴抛物线L1开口大小与抛物线L相同，开口方向相反，即a＝
设抛物线L1顶点为D1，则D1与D（﹣2，）关于点M中心对称
∴M（m，0）为DD1中点
∴＝m，＝0
∴D1（2m+2，﹣）
∴抛物线L1的顶点式为y＝（x﹣2m﹣2）2﹣
①∵抛物线L1经过原点
∴（0﹣2m﹣2）2﹣＝0
解得：m1＝﹣，m2＝
∴m的值为﹣或
②存在以BD为边，以B，D，C，E为顶点的正方形．
如图，假设点M、N在第一象限内，且四边形BDMN为正方形
过点D作DP⊥x轴于点P，作DR⊥y轴，过点M作MR⊥DR于点R，过点N作NQ⊥x 轴于点Q
∴BP＝1﹣（﹣2）＝3，DP＝，∠DPB＝∠DRM＝∠BQN＝90°
∵四边形BDMN是正方形
∴∠MDB＝∠DBN＝90°，DM＝DB＝BN
∴∠PDB+∠PBD＝∠PBD+∠QBN＝90°
∴∠PDB＝∠QBN
在△PBD与△QNB中
∴△PBD≌△QNB（AAS）
∴BQ＝PD＝，QN＝PB＝3
∴x N＝1+，即N（，3）
同理可证：△PBD≌△RMD
∴DR＝PD＝，RM＝PB＝3
∴M（，）
i）若点C在点M位置且在抛物线L1上，则（﹣2m﹣2）2﹣＝
解得：m1＝+，m2＝﹣
∴y＝（x﹣2﹣）2﹣或y＝（x+2﹣）2﹣
ii）若点C在点N位置且在抛物线L1上，则（﹣2m﹣2）2﹣＝3
解得：m1＝，m2＝
∴y＝（x﹣﹣）2﹣或y＝（x+﹣）2﹣
综上所述，此时抛物线L1的表达式为y＝（x﹣2﹣）2﹣或y＝（x+2﹣）2﹣或y＝（x﹣﹣）2﹣或y＝（x+﹣）2﹣
点评：本题考查了二次函数的图象与性质，解一元二次方程，旋转的性质，中点坐标公式，正方形的性质，全等三角形的判定和性质．解题关键是在无图的情况下运用函数图象和旋转性质解题，抓住抛物线在旋转过程中特殊点（顶点）的变换特点．
6．分析：（1）根据题意求得点A、B、C、E的坐标，进而求得直线l1和直线AC解析式．过点P作x轴垂线PG交AC于点H，设点P横坐标为t，即能用t表示P、H的坐标进而表示PH的长．由S△APC＝S△APH+S△CPH＝PH•AG+PH•OG＝PH•OA＝2PH得到关于t的二次函数，即求得t为何值时△APC面积最大，求得此时点P坐标．把点P向上平移MN的长，易证四边形PMNP'是平行四边形，故有PM＝P'N．在直线l1的上方以EN为斜边作等腰Rt△NEQ，则有NQ＝EN．所以PM+MN+EN＝P'N+MN+NQ，其中MN的长为定值，易得当点P'、N、Q在同一直线上时，线段和的值最小．又点N 是动点，NQ⊥EQ，由垂线段最短可知过点P'作EQ的垂线段P'R时，P'N+NQ＝P'R最短．求直线EQ、P'R解析式，联立方程组即求得点R坐标，进而求得P'R的长．
（2）先求得C，D，F的坐标，可得△CDF是等腰直角三角形，当△CDF绕F逆时针旋转45°再沿直线PD平移可得△F′C″D″，根据以O，C″，D″，K为顶点的四边形为菱形，可得OK∥C″D″，PD⊥C″D″，OK⊥PD，OK＝2，即可求得K的坐标，当△CDF绕F顺时针旋转45°再沿直线PD平移可得△F′C″D″，根据以O，C″，D″，K为顶点的四边形为菱形，可得OK⊥PD，OK＝2+2，即可求得K的坐标．
解：（1）如图1，过点P作PG⊥x轴于点G，交AC于点H，在PG上截取PP'＝MN，连接P'N，
以NE为斜边在直线NE上方作等腰Rt△NEQ，过点P'作P'R⊥EQ于点R
∵x＝0时，y＝x2+x﹣4＝﹣4
∴C（0，﹣4）
∵y＝0时，x2+x﹣4＝0
解得：x1＝﹣4，x2＝2
∴A（﹣4，0），B（2，0）
∴直线AC解析式为y＝﹣x﹣4
∵抛物线上的点E的横坐标为3
∴y E＝×32+3﹣4＝
∴E（3，），直线l1：y＝
∵点M在x轴上，点N在直线l1上，MN⊥x轴
∴PP'＝MN＝
设抛物线上的点P（t，t2+t﹣4）（﹣4＜t＜0）
∴H（t，﹣t﹣4）
∴PH＝﹣t﹣4﹣（t2+t﹣4）＝﹣t2﹣2t
∴S△APC＝S△APH+S△CPH＝PH•AG+PH•OG＝PH•OA＝2PH＝﹣t2﹣4t ∴当t＝﹣＝﹣2时，S△APC最大
∴y P＝t2+t﹣4＝2﹣2﹣4＝﹣4，y P'＝y P+
∴P（﹣2，﹣4），P'（﹣2，﹣）
∵PP'＝MN，PP'∥MN
∴四边形PMNP'是平行四边形
∴PM＝P'N
∵等腰Rt△NEQ中，NE为斜边
∴∠NEQ＝∠ENQ＝45°，NQ⊥EQ
∴NQ＝EN
∴PM+MN+EN＝P'N+PP'+NQ＝+P'N+NQ
百度文库精品文档∵当点P'、N、Q在同一直线上时，P'N+NQ＝P'R最小
∴PM+MN+EN＝+P'R
设直线EQ解析式为y＝﹣x+a
∴﹣3+a＝解得：a＝
∴直线EQ：y＝﹣x+
设直线P'R解析式为y＝x+b
∴﹣2+b＝﹣解得：b＝
∴直线P'R：y＝x+
∵解得：
∴R（，4）
∴P'R＝
∴PM+MN+EN最小值为
（2）∵PD⊥AC，P（﹣2，﹣4），
∴直线PD解析式为：y＝x﹣2，
∴D（0，﹣2），F（﹣1，﹣3），
∴CD＝2，DF＝CF＝，△CDF是等腰直角三角形，
如图2，把△DFC绕顶点F逆时针旋转45°，得到△D'FC'，∴C′（，﹣3），D′（﹣1，﹣3）
把△D'FC'沿直线PD平移至△D″F′C″，连接D′D″，C′C″
则直线C′C″解析式为y＝x﹣2﹣，直线D′D″解析式为y＝x+﹣2，显然OC″≥+1＞2＝C″D″
∴以O，C″，D″，K为顶点的四边形为菱形，OC″不可能为边，只能以OD″、C″D″为邻边构成菱形
∴OD″＝C″D″＝OK＝2，
∵OK∥C″D″，PD⊥C″D″
∴OK⊥PD
∴K1（，﹣），
如图3，把△DFC绕顶点F顺时针旋转45°，得到△D'FC'，∴C′（﹣1，﹣3﹣），D′（﹣1，﹣﹣3）
把△D'FC'沿直线PD平移至△D″F′C″，连接D′D″，C′C″，
显然，C″D″∥PD，OC″≥+1＞C″D″，OD″≥+1＞C″D″，
∴以O，C″，D″，K为顶点的四边形为菱形，C″D″只能为对角线，
∴K2（2+，﹣2﹣）．
综上所述，点K的坐标为：K1（，﹣），K2（2+，﹣2﹣）．
点评：本题考查了二次函数的图象和性质，二次函数最值应用，线段和最小值问题，待定系数法求函数解析式，平移、旋转等几何变换，等腰直角三角形性质，菱形性质等知识点，涉及知识面较广，综合性很强，难度较大，是一道关于二次函数的综合题、压轴题，要求学生能够掌握并运用数学知识分析和解决问题．
7．分析：（1）待定系数法求直线BC解析式，设点P横坐标为m，用含m的代数式表示PQ，再根据PH与PQ的关系得到PH最大时，m的值，将△PMB绕点B顺时针旋转120°得△P′M′B，连接MM′，过点P′作P′R⊥x轴于点R，线段AP′即为AM+BM+PM 的最小值．
（2）C′、N、B、S为顶点的四边形是矩形可以根据C′B分别作为矩形对角线或边分类进行讨论：①当C′B为矩形对角线；②当C′B为矩形的边，C′B⊥C′N时；③当C′B为矩形的边，C′B⊥BN时．先求出点N坐标后再根据平移规律求S坐标．
解：（1）在抛物线y＝﹣x2+x﹣4中，令x＝0，得y＝﹣4，∴C（0，﹣4）
令y＝0，得＝﹣x2+x﹣4＝0，解得：x1＝，x2＝4，∴A（，0），B（4，0），
∴BC＝＝8
如图1，过点P作PQ⊥x轴于点E交BC于点Q，则PQ∥y轴，
∴∠PQH＝∠BCO
∵PH⊥BC
∴∠PHQ＝∠BOC＝90°
∴△PQH∽△BCO
∴＝＝＝，∴PH＝PQ
设直线BC解析式为y＝kx+b，将B（4，0），C（0，﹣4）代入得，解得
∴直线BC解析式为y＝x﹣4，
设P（m，+m﹣4），Q（m，m﹣4），则PQ＝+m
∵＜0，0＜m＜4
∴当m＝2时，PQ有最大值，此时PH＝PQ有最大值，∴P（2，2），
将△PMB绕点B顺时针旋转120°得△P′M′B，连接MM′，过点P′作P′R⊥x轴于点R，
∵tan∠PBE＝＝＝，∴∠PBE＝30°
∴∠P′BR＝180°﹣120°﹣30°＝30°，P′B＝PB＝4
则P′（6，2），AP′＝＝，
∴AM+BM+PM＝AM+MM′+PM≥AP′＝；
（2）存在．如图2，设N（，n），
∵D（0，﹣2），∴AD＝＝
∴抛物线y＝﹣x2+x﹣4沿射线AD方向平移个单位实际是向左平移个单位，向下平移2个单位，
∴C′（﹣，﹣6），新抛物线y′＝，
①当C′B为矩形对角线，点N在C′B下方时，易求直线C′B解析式为y＝x﹣，∴矩形对角线交点坐标为（，﹣3）
∵NS＝C′B＝∴N1（，﹣3﹣），S1（，﹣3+），
N2（，﹣3+），S2（，﹣3﹣），
②当C′B为矩形的边，C′B⊥C′N时，由C′N2+C′B2＝BN2可得：
+（﹣6﹣n）2++（﹣6﹣0）2＝+（0﹣n）2
解得：n＝﹣∴N3（，﹣），
∵C′N∥BS
∴S3（，）
③当C′B为矩形的边，C′B⊥BN时，由BN2+C′B2＝C′N2可得：
+（n﹣0）2++（﹣6﹣0）2＝+（﹣6﹣n）
2，解得：n＝
∴N4（，）
∵BN∥C′S
∴S4（，）；
综上所述，点S的坐标为：S1（，﹣3+），S2（，﹣3﹣），S3（，），S4（，）；
点评：本题考查了二次函数的图象和性质，应用二次函数最值求线段最大值，求线段和最小值，矩形性质，勾股定理，待定系数法求函数解析式等；涉及知识点多，综合性很强，有一定难度，第（1）题解题关键是能作出线段BM，第（2）题要注意分类讨论．8．分析：（1）根据题目中的规定易得结论；
（2）根据定义求出y﹣x是关于x的二次函数，然后利用二次函数的性质求出结论；（3）先求得抛物线与y轴的交点C（0，c），则点B的坐标为（﹣c，0），把点B的坐标代入二次函数解析式得到b＝1﹣c，再将b＝1﹣c代回二次函数解析式，求出特征值y﹣x的代数式，然后由坐标值为﹣1求出c的值，继而求出b的值，即可求出二次函数解析式；
（4）先求出“坐标差”为2的一次函数的解析式为y＝x+2，由二次函数y＝﹣x2+px+q 的图象的顶点在直线y＝x+2上，用顶点式可设二次函数为y＝﹣（x﹣m）2+m+2．在两种情况下二次函数的图象与矩形只有三个交点：①抛物线顶点在直线y＝x+2与FE的交点上时（如图①）；②抛物线右侧部分经过点E时（如图②）．然后分别把（1，3）、（7，3）分别代入y＝﹣（x﹣m）2+m+2，解得m的值，即可求出二次函数解析式，继而求出其特征值．
解：（1）6﹣2＝4，
∵A（2，6），
∴“坐标差”为4，
故答案为：4；
（2）解：y﹣x＝﹣x2+5x+4﹣x＝﹣x2+4x+4＝﹣（x﹣2）2+8，
特征值是8；
（3）解：由题意，得点C的为（0，c），
∵点B与点C的“坐标差”相等，
∴B（﹣c.0），把B（﹣c，0）代入y＝﹣x2+bx+c，得：
0＝﹣（﹣c）2+b×（﹣c）+c，
∴b＝1﹣c，
∴y＝﹣x2+（1﹣c）x+c，
∵二次函数y＝﹣x2+（1﹣c）x+c的“特征值”为﹣1．
∴y﹣x＝﹣x2+（1﹣c）x+c﹣x＝﹣x2﹣cx+c，
∴＝﹣1，
∴c＝﹣2，∴b＝3，
∴二次函数的解析式为y＝﹣x2+3x﹣2；
（4）解：“坐标差”为2的一次函数为y＝x+2，
∵二次函数y＝﹣x2+px+q的图象的顶点在直线y＝x+2上，
∴设二次函数为y＝﹣（x﹣m）2+m+2，二次函数的图象与矩形有三个交点，如图①、②，
把（1，3）代入y＝﹣（x﹣m）2+m+2，得3＝﹣（1﹣x）2+m+2，
解得m1＝1，m2＝2（合去），
∴二次函数的表达式为y＝﹣（x﹣1）2+3，
∴y﹣x＝﹣（x﹣1）2+3﹣x＝﹣x2+x+2＝﹣（x﹣）2+，特征值是；
把（7，3）代入y＝﹣（x﹣m）2+m+2，得3＝﹣（7﹣m）2+m+2，
解得m1＝5，m2＝10（舍去），
二次函数的表达式为：y＝﹣（x﹣5）2+7，
∴y﹣x＝﹣（x﹣5）2+7﹣x＝﹣x2+9x﹣18＝﹣（x﹣）2+，特征值是
点评：本题考查二次函数综合题、“坐标差”，“特征值”的定义、圆的有关知识，解题的关键是理解题意，学会利用参数解决问题，学会构建函数解决最值问题，属于中考压轴题．
9．分析：（1）设抛物线的解析式为y＝ax2+bx+c，将A，B，C三点的坐标代入可得方程组，
解方程组可求出a，b，c的值，即可得到抛物线的解析式；
（2）当BP平行且等于AC时，四边形ACBP为菱形，故在平面直角坐标系xOy中存在一点P（5，3），使得以点A、B、C、P为顶点的四边形为菱形．
解：（1）设抛物线的解析式为y＝ax2+bx+c，
∵A（1，0），B（0，3），C（﹣4，0），
∴
解得：，
∴经过A、B、C三点的抛物线的解析式为；
（2）在平面直角坐标系xOy中存在一点P，使得以点A、B、C、P为顶点的四边形为菱形，理由如下：
∵OB＝3，OC＝4，OA＝1，
∴BC＝AC＝5，
当BP平行且等于AC时，四边形ACBP为菱形，
∴BP＝AC＝5，且点P到x轴的距离等于OB，
∴点P的坐标为（5，3），
当点P在第二、三象限时，以点A、B、C、P为顶点的四边形只能是平行四边形，不是菱形，。