图形理论——精选推荐

第一章 圖形理論
圖形理論有明確的起始點，由瑞士數學家尤拉(Leonhard Euler, 1707-1783)於1736年發表的論文開始。

其研究的主要論點，乃在於解決當時的熱門問題，即有名K önigsgerg 的七橋問題。

1.1 定義與例題
定義1.1：
令 V 為非空集合，且E V V ⊆⨯. 序對(),V E 稱為(V 上)有向圖(directed
graph or digraph)，其中 V 為頂點(vertex)或節點(node)的集合，E 為邊(edge)的集合。

我們記(),G V E =表示此圖形。

圖1.1為{}, , , , V a b c d e =上有向圖的例子，其中
()()()(){}, , , , , , , E a a a b a d b c =。

邊的方向由邊上的有向箭頭表示，如圖所示對任意邊，如(), b c ，我們說此邊接合(incident)頂點, b c ；稱b 鄰接至(adjacent to) c ；或c 鄰接自(adjacent from) b 。

此外， b 稱為邊的原點(origin)或源點(source)， c 稱為終點(terminus or terminating vertex)。

邊(), a a 為一個迴圈(loop)， 且頂點
e 不與任何邊接合，稱為孤立點(isolated)。

若不考慮邊的方向，此圖稱為無向圖(undirected)。

定義1.2：
令, x y 為無向圖(), G V E =的頂點(不一定相異)。

G 中的X Y -路(x y -
walk)是指選自G 的頂點及邊的有限交錯序列。

01122311,,,,,,...,,,,n n n n x x e x e x e e x e x y --==
其中由頂點 1x 開始，終止於頂點
y ，n 個邊{}1,,1i i i e x x i n
-=≤≤
路的長度(length)是指該條路的邊數n 。

(當0n =，表示無邊，即x y =，
稱該路為無聊(trivial)，這些路未給予重視。

)
任意滿足
x y =的x y -路稱為閉路(closed walk)，否則，稱為開路(open)。

定義1.3：
考慮無向圖(),G V E = 上的任意x y -路。

(a) 若x y -路無任何重覆的邊，則(邊及頂點)形成一條x y -路線(trail)。

閉
x x -路線稱為迴路(circuit)。

(b) 如果x y -
路無任何頂點出現一次以上，稱為x y -路徑(path)。

環路(cycle)
一詞是用來表示一條閉x x -路徑。

注意：
處理迴路問題，我們通常限制至少有一邊，只有一邊的迴路，稱為迴圈(這種圖形不再是無迴圈)。

含有兩個邊的迴路出現在多重圖內，不久我們將定
義這項觀念。

“環路”一詞意謂至少有三個邊(在圖內)。

對有向圖而言，我們使用形容詞“有向”，例如有向路(directed walk)，有向
路徑(directed paths)，及有向環路(directed cycles)。

定理1.1：
設(),G V E = 為無向圖，其中,,a b V a b ∈≠ 。

若存在一條由a 至b
的路線(在G 中)，則存在一條由a 至b 的路徑(在G 中)。

定義1.4：
令(),G V E = 為無向圖，我們稱G 為連通圖(connected)意指G 中任何
兩相異頂點間存在一條路徑。

令(),G V E = 為有向圖，其相關的無向圖是由有向圖G 省略其邊的方
向而得。

若其相關的無向圖為連通，則認為G 為連通。

若在圖形不為連通圖則稱為不連通圖(disconnected)。

例1.1：
圖1.2為{},,,,,,V a b c d e f g = 上的無向圖。

此圖不為連通，因為由
a 至e 沒有路徑。

然而，此圖分成的兩個部份均為連通，且這些部分稱為此
圖形的分圖(components)。

因此，圖形為連通若且唯若它僅有一個分圖。

定義1.5：
任何圖形(),G V E = ，G 的分圖數目記作()G κ。

定義1.6：
圖形(),G V E = 稱為多重圖(multigraph)意指對某些, a b V ，
a b ≠，存在兩個或更多如
(a)(), a b (對有向圖) 或
(b) {}, a b (對無向圖)的邊。

f
g
e
圖1.2
圖1.3係有向多重圖的例子，因為由a 至b 有三個邊，我們稱邊()
, a b 有重數(multiplicity) 3，邊(), b c 及(), d e 為重數2。

1.2子圖，補圖與同構圖
定義1.7：
若(),G V E = 為圖形(有向或無向)，則()111, G V E =稱為G 的子圖
(subgraph)若1V V φ≠⊆且1E E ⊆，其中1E 的每個邊是由1V 的頂點所結合。

定義1.8：
令(),G V E = 為一圖形(有向或無向)，若U V φ≠⊆，由U 誘導出G 的
子圖(subgraph of G induced by U )意指子圖其頂點在U 內而且(自G )所有邊具有下列形式之一：
(a)(),,, x y x y U ∈ (當G 為有向圖) 或
(b) {},,, x y x y U ∈ (當G 為無向圖)
我們將這種子圖記作U 。

圖形(),G V E = 的子圖'G 稱為誘導子圖(induced subgraph)，意指存
在 U V φ≠⊆滿足'G =。

定義1.9：
令v 是有向圖或無向圖(),G V E = 的某頂點，記作G v -的子圖表示頂
點集{}1V V v =-且邊集1E E ⊆，其中1E 包含E 中所有邊，除那些接合頂點 v 的邊外。

同理，若 e 是有向圖或無向圖(),G V E = 的某邊，G 的子圖G e -表
示邊集{}1E E e =-，且頂點集不變(即1V V =)
定義1.10：
令V 為n 個頂點的集合。

V 上的完全圖(complete graph)，記為n K ，
意指無迴圈無向圖，其中對任意 a ，b V ∈，a b ≠，恰存在一邊
{},a b 。

定義1.11：
令G 為含n 個頂點的無迴圈無向量，G 的補圖(complement)記為
G ，意指n K 的子圖，其中包含G 的n 個頂點及所有不屬於G 的邊(若n G K =，G 為包含n 個頂點且沒有邊。

此種圖稱為零圖(null graph)。

)
定義1.12：
令()111, G V E =且()222, G V E =為兩個無向圖。

函數12:f V V →稱為
圖同構(graph isomorphism)意指
(a)f 為一對一且映成 且
(b)對所有a ，1b V ∈，{}1,a b E ∈若且為若()(){}2,f a f b E ∈。

當存在此函數
時，1G 與2G 稱為同構圖(isomorphic graphs)。

1.3頂點次數：尤拉路線與迴路
定義1.13：
令G 為無向圖或多重圖。

對G 的任高頂點v ，v 的次數(degree of v )是指G 中與v 接合的邊數目，記為()deg v 。

定理1.2：
若(), G V E =為無向圖或多重圖，則()deg 2v V v E
∈=∑
系理1.1：
對任意無向圖或多重圖，奇次數的頂點數位偶數。

例1.2：
一無向圖(或多重圖)滿足每個頂點有相同的次數稱為正則(regular)
圖。

定義1.14：
令(), G V E =為無向圖或多重圖，G 稱為具尤拉迴路(Euler circuit)
意指存在G 的迴路使通過每個v V ∈且圖形的每個邊恰行過一次。

若G 中存在a 至b 的路線，使通過每個v V ∈且圖形的每個邊恰行過一次，則此路線稱為尤拉路線(Euler trail)。

定理1.3：
令(), G V E =為無向圖或多重圖，則G 具有尤拉迴路，若且唯若G 為
連通且G 的每個頂點均為偶次數。

系理1.2：
若G 為無向圖或多重圖，我們能造出G 的尤拉路線若且為若G 為連
通且僅有兩個頂點為奇次數。

定義1.15：
令(), G V E =為無向圖或多重圖，任給v V
∈
(a) G 中接合入v 的邊數稱為v 入次數(incoming or in degree of u )，記作
()deg v -。

(b) G 中接合自v 的邊數稱為v 出次數(outgoing or out degree of u )，記作
()deg v +。

特別當有向圖或多重圖含有一個以上的迴圈時，在已知頂點的迴圈處，
()deg v -與()deg v +均各計算1次。

定理1.4：
令(), G V E =為有向圖或多重圖，圖形G 具有一條有向尤拉迴路若且
唯若G 為連通且()()deg deg v v -+=，對所有v V ∈。

1.4 平面圖
定義1.16：
圖形G 稱為平面圖(planar)意指G 可繪於平面上使G 的
邊只相交於頂點。

定義1.17：
圖形(), G V E =稱為偶圖(bipartite)意指12V V V =⋃，
12V V ⋂≠∅，且G 的每一邊{},a b 的頂點a ，b 其中之一屬於1V 而另一頂點屬於2V ，當1V m =，2V n =，若1V 的每一個頂點與2V 的各頂點均有連接，則稱完全偶圖(complete bipartite graph)，記為,m n K 。

定義1.18：
令(), G V E =為無迴圈的無向圖，其中E ≠∅。

若從G 去掉一邊
{},e u w =再加入邊{},u v ，{},v w 至G e -，其中v V ≠，如此稱為G 的基本畫分(elementary subdivision)。

無迴圈的無向圖()111, G V E =及()222, G V E =稱為同胚
(homeomorphic)。

意指兩者為同構或兩者均可經一連串基本畫分而得同一
無迴圈的無向圖H 。

定理1.5：(Kuratowski 定理)
圖形為非平面圖若且唯若其包含一子圖與5K 或3,3K 同胚。

例1.3：
圖1.4(a)為有名的圖形稱為Petersen 圖(Petersen graph)，(b)部份是與3,3
K 同胚的Petersen 圖的子圖。

定理1.6：
令(), G V E =為連通的平面圖，V v =及E e =。

令r 為由G 所決定
平面上區域的個數；其中範圍無限的區域稱為無限區域(the infinite region)。

則2v e r -+=。

系理1.3：
圖1.4
令(), G V E =為無迴圈的連通平面圖，V v =，2E e =>，及r 區域，
則32r e ≤且36
e v ≤-
最後我們將討論平面圖的對偶(dual)圖形，此概念也適用於具迴圈的平面圖與平面多重圖。

欲造出平面圖或多重圖G 的對偶圖，其中{},,,,,V a b c d e f =，對圖形決定的每個區域內放置一點(頂點)，包括無限區域亦是。

對二個區域的共邊，繪出連接區域內頂點的各邊，圖1.5(b) d G 為圖形(), G V E =的一個對偶圖。

定義1.19：
令(), G V E =為無向圖或多重圖，E 的子集合'E 稱為G 的一個割集
(cut-set)意指由G 中移除'E 中的邊(不是頂點)，則有()()'G G κκ<，其中
圖1.5
()()',' G V E E =-；但當(由E )移去'E 的任何真子集''E 時，則有
()()''G G κκ<，其中()",'' G V E E =-。

1.5漢氏路徑與環路
1859年愛爾蘭數學家漢密爾頓(Sir William Hamilton,1805-1865)發展一種
遊戲賣給玩具製造商Dublin 。

此遊戲由木造的正十二面體與標示著名城市名字的20個頂點組成。

遊戲的目標是沿著立方體的邊找一條環路使得每個城市恰經過
一次。

圖1.6為柏拉圖立方體的平面圖；上述環路以粗線邊表示，此說明導出下述定義。

定義1.20：
若(), G V E =為圖形或多重圖，我們稱G 具有漢氏環路
(Hamilton
圖1.6
cycle)意指G 存在一個環路包含V 的每個頂點。

漢氏路徑(Hamilton path )意指G 中包含每個頂點的路徑。

漢氏環路(路徑)是設計恰經過圖形的每個頂點各一次；尤拉迴路(路線)洽通
過圖形的每一邊各一次。

我們現在轉到漢氏路徑的一些深入結果。

第一個結果由L. Redei 於1934年提出。

定理1.7：
令*n K 為完全有向圖形，亦即，*n K 具n 頂點且對任意相異頂點,x y ，
*
n
K 至少存在一邊(),x y 或(),y x 。

此類圖形(通稱競賽圖(tournament))恆含有一條(有向)漢氏路徑。

定理1.8：
G 為無迴圈圖形，V n =，若()()deg deg 1x y n +≥-，對所有
,x y V ∈，x y ≠，則G 具有漢氏路徑。

系理1.4：
令G 為含n 頂點的無迴圈圖形。

對所有v V ∈，若()()d e g 12v n ≥-
，則G 具有漢氏路徑。

定理1.9：
令G 為無迴圈的無向圖，其中3V n =≥，若()()deg deg x y n +≥。

對所有非相鄰,x y V ∈，則G 含有一條漢氏環路。

尋找一個圖形的漢氏環路的問題與旅行推銷員問題(traveling salesman problem)有關連。

旅行推銷員離開其住處，在返回之前到幾個特定地區拜訪，其目標是尋找一條最有效率的行程(可能是最短距離或最低費用)。

本問題可使用尋找標記(諸邊上記有相關的距離或費用)圖形最有效漢氏環路的模型。

1.6圖形著色與著色多項式
定義1.21：
若(), G V E =為無向圖，當對G 的頂點著色時，使{},a b 為G 的邊
時，則,a b 著不同顏色，此種著色法稱G 的正當著色(proper coloring)。

(因此鄰接的頂點有不同顏色。

)對G 當著色所需最小的顏色數目稱為G 的色數(chromatic number)記為()G χ。

大約1850年間，Francis Guthrie(1831-1899)在表示如何在英格蘭地圖上僅用
四個顏色著分國家之後開始此一般性問題的研究。

不久他指出”四色問題”給其胞弟Frederick 。

當時Frederick Guthrie 是Augustus DeMorgan(1806-1871)的學生，後來笛氏曾與William Hamilton(1805-1865)討論此問題(於1852年)。

但漢氏對此問題不感興趣，此問題沉寂了25年。

後來於1878年，科學委員會經由Arthur Cayley(1821-1895)於倫敦數學協會會議發表論文知道此問題。

於1879年，Cayley 於Proceeding of the Royal Geographical Society 第一冊描述此問題。

不久後，英國數學家Sir Alfred Kempe(1849-1922)修正此一證明，但十年後仍被發現有疑問。

由1890年，另一英國數學家Percy John Heawood(1861-1955)發現Kempe 研究的錯誤。

直到1976年Kenneth Appel 與Wolfgang Haken 最後解決此問題之前，此問題能然無解。

他們的證明是利用複雜的電腦分析1936個(簡化的)結構。

平面地圖的正當著色僅需四種顏色，但對非平面圖形頂點的正當著色則需四種以上的顏色。

我們由很小的例題開始，然後由G 較小子圖找出求()G χ的方法。

我們將求得G 的所謂著色多項式，並研究如何用來求()G χ。

令G 為無向圖，且令λ為正整數表示G 頂點正當著色能使用的顏色數目。

我們的目標是尋找對變數λ的多項式(),P G λ，其能指出至多使用λ色對G 頂點正當著色有多少不同的方法。

令(), G V E =為無向圖。

對{},e a b E =∈由G 刪去e ，未刪去頂點a 與b ，令所得的子圖為e G ；亦即，e G G e =-如1.2節定義。

將e G 重疊頂點a 與b 所得的
第二個子圖記為'e G 。

定理1.10：著色多項式分解定理(Decomposition Theorem for
Chromatic Polynomials)
若(), G V E =為連通圖且e E ∈則
()()(),,',e e P G P G P G λλλ=+
定理1.11：
對任意圖形G ，(),P G λ的常數項為0。

定理1.12：
令(), G V E =且0E >，則(),P G λ的係數和為0。

定理1.13：
令(), G V E =，且,a b V ∈但{},a b e E =∉，由G 加入邊{},e a b =所得
的圖形記為e G +。

重疊G 的頂點a 及b 可得G 的子圖e G ++。

在此情形下()()(),,,e e P G P G P G λλλ+++=+。

定理1.14：
令G 為無向圖且有子圖12,G G 。

若12G G G =⋃且12n G G K ⋂=則
()()()()
12,,, n P G P G P G λλλ=⎡⎤⎣⎦
第二章 樹形
2.1 定義，性質與例題
定義2.1：
令(), G V E =為無迴圈無向圖。

G 稱為樹形(tree)意指G 為連通的且
不含任何環路。

在圖2.1中，圖形1G 為樹形，但圖形2G 則不是，因為它具環路{},a b ，
{},b c ，{},c a 。

圖形3G 不為連通，所以不為樹形，然而，3G 的每個分圖
均為樹形，稱3G 為樹林(forest)。

圖2.1可看到1G 為2G 的子圖，其中1G 包含所有2G 的頂點且1G 為樹
形。

此情況下1G 稱為2G 的生成樹(spanning tree)。

我們將生成樹想成圖形
有最小連通性及維持頂點連在一起的最小骨架。

定理2.1：
若,a b 為樹形T 的頂點，則存在一條唯一路徑連接這兩頂點。

定理2.2：
若(), G V E =為無向圖，則G 為連通圖若且唯若G 具有生成樹。

定理2.3：
任意樹形(),T V E =，1V E =+。

定理2.4：
對任意樹形(),T V E =，若2V ≥則T 至少有兩個懸點。

定理2.5：
對無迴圈無向圖(),G V E =下列敘述為等價。

(a) G 為樹形。

(b) G 為連通圖但由G 移任意邊將使G 變成不連通的兩個樹形子圖。

圖2.1
(c) G 不含環路且1V E =+。

(d) G 為連通且1V E =+；及
(e) G 不含環路且,a b V ∈，{},a b E ∉，將G 加入邊{},a b 後圖形具有環路。

2.2 有根樹
定義2.2：
若G 為有向圖，G 稱為有向樹(directed tree)意指相關於G 的無向圖為
樹形。

當G 為有向樹，G 稱為有根樹(rooted tree)意指存在唯一頂點r ，稱為根(root)，G 中其入次數-0deg ()r =，且所有其他頂點v 的入次數-deg ()r 為
1。

定義2.3：
令(),T V E =為含有根r 的有根樹。

若T 沒有其他頂點，則此根本身即
構成T 的前序及後序行程(preorder, and postorder traversal) 。

若1V >，令
123,,,, k T T T T ⋅⋅⋅⋅⋅⋅表示我們由左至右行經的T 的子樹(例如圖2.1)
定義2.4：
令(),T V E =為二元有根樹且頂點r 為根。

1. 若1V =，則頂點組成了T 的內序形程(inorder traversal)。

2.當1V >，令L T 及R T 分別表示T 的左及右子樹，T 的內序形程先內序造訪
L T 頂點，再造訪根r ，然後再依內序造訪R T 的頂點。

定義2.5：
若(),T V E =為有根樹且m Z +∈。

我們稱T 為m 元樹(m-ary tree)意指對
所有v V ∈，deg ()r m +≤當2m =時，樹形稱為二元樹(binary tree)。

若deg ()0r +=或m ，n V ∀∈，則稱T 為完全m 元樹(complete m-ary tree)
當2m =時，稱之為完全二元樹(complete binary tree)。

定理2.6：
令(),T V E =為m 元樹且V n =。

若T 具l 葉子與i 個內頂點，則
r
k T
3T 2T 1T
圖2.1
(a)1a mi =+；
(b)()11l m i =-+；
(c)()()()111i l m n =--=-。

定義2.6：
若(),T V E =為有根樹且h 表示T 的葉子遍及的最大層數，則稱T 的高度(height) h 。

高度h 的有根樹T 稱為均衡樹(balanced)意指T 的每一葉層
數為h 或1h -。

定理2.7：
令(),T V E =為高度h 的m 元樹。

若T 有l 葉子，則h l m <，且
log m h l ≥⎡⎤⎢⎥。

系理2.1：
令T 為完全m 元樹且有l 葉子且高度h 。

若T 為均衡樹，則
log m h l =⎡⎤⎢⎥。

2.3樹形與排序
引理2.1：
令1L 與2L 為兩個已排序的遞增串列，其中i L 包含i n 個元素，
1,2 i =。

則1L 與2L 合併為一個遞增串列L 至多需比較121n n +-次。

2.4權重數與前置碼
定義2.7：
二元序列(表示一組符號)的集合P稱為前置碼(prefix code)，意指P 中的序列均不為P中其他序列的前置。

定義2.8：
若T為高度h的完全二元樹，若T的所有葉子均位於第h層，則稱T 為完全二元樹(full binary tree)。

引理2.2：
若T 為n 個權重12n ωωω≤⋅⋅⋅≤的最佳樹，則存在一最佳樹'T 其中權
重1ω與2ω的葉子為兄弟。

定理2.8：
令T 為權重123,,, n ωωωω+⋅⋅⋅的最佳樹，其中123n ωωωω≤≤≤⋅⋅⋅≤。

於權重12ωω+的葉子上，放置高度1的二元樹，並指派權重12, ωω給其子
(葉)。

造出新的二元樹1T 則為權重123,,,, n ωωωω⋅⋅⋅的最佳樹。

2.5偶連通分圖與關節點
定義2.9：
在無迴圈無向圖(),G V E =的頂點v 稱為關節點(articulation point)，
意指()()G v G κκ->；亦即，子圖G v -比原來圖形G 有較多的分圖。

無關節點的圖形稱為偶連通(biconnected)。

一圖形的偶連通分圖(biconnected component)系指極大偶連通子圖
------表示一偶連通子圖不是較大的偶連通子圖的子圖。

引理2.3：
令(),G V E =為無迴圈的連通無向圖，其中(),'T V E =為G 的先深
生成樹。

若{}, a b E ∈但{},' a b E ∉，則a 為b 的祖先或後代。

第三章 最佳化與配對
3.1 Dijkstra 最短路徑演算法
3.2 最小生成樹：Kruskal 與Prim 演算法
定理3.1：
令(),G V E = 為權重連通無向圖。

任意由Kruskal 演算法所得的結果為G 的一個最佳生成樹。

定理3.2：
令(),G V E =為權重連通的無向圖。

由任意Prim 演算法所產生的結果
為G 的一個最佳生成樹。

3.3 運輸網路：最大流量最小割值定理
定義3.1：
令(),N V E =為無迴圈連通的無向圖，則N 稱為網路(network)或運輸
網路(transport network)，意指滿足下列條件：
(a) 存在唯一頂點a V ∈，其中a 的入度數deg ()a -等於0。

此頂點稱為源點
(source)。

(b) 存在唯一頂點z V ∈，其中z 的出度數deg ()z +等於0。

稱z 為匯點(sink)。

(c) 圖形N 為權重圖，所以存在一函數由E 至一組非負實數，指派各邊
{},e v w E =∈有一個容量(capacity)，記為()(),c e c v w =。

定義3.2：
若(),N V E =為運輸網路，由E 至非負實數的函數f 稱為N 的流量 (flow )函數意指
(a) 對每條邊()(), e E f e c e ∈≤；且
(b) 對任意v V ∈除了源點a 或匯點z ，()(),,w V w V f w v f v w ∈∈=∑∑。

(若
不存在(),v w ，則(),0f v w =)。

定義3.3：
令f 為運輸網路(),N V E =的流量函數
(a) 網路的邊e 稱為飽和(saturated)意指()() f e c e =。

當()() f e c e <該邊稱為
不飽和(unsaturated)。

(b) 若a 為N 的源點，則()(),val v V f f a v ∈=∑稱為f 的流量值(value of
flow)。

定義3.4：
若(),N V E =為運輸網路且C 為相關於N 之無向圖的割集，則C 稱為
割(cut)或a z -割(a z -cut)，意指由網路移去C 中的邊可使a 與z 分離。

定理3.3：
令f 為網路(),N V E =的流量。

若()
,C P P =為N 的任一割，則()val f
不超過()
,c P P =。

系理3.1：
若f 為網路(),N V E =的流量，則由源點a 流出的值等於流入匯點z 的值。

定理3.4：最大流量最小割值定理(The Max-Flow Min-Cut Theorem)
對運輸網路(),N V E =所能達到的最大流量等於網路所有割中的最小
容量。

系理3.2：
令(),N V E =為運輸網路，其中對每個e E ∈，()c e 為正整數，則N 有
最大流量f ，其中對任意邊e 均使()f e 為非負整數。

3.4配對理論
定義3.5：
令(),G V E =為偶圖其中V 分割成X Y ⋃。

(E 的各邊形式為{},x y ，
x X ∈且y Y ∈)。

(a)G 的配對(matching)指E 的子集使得任意兩邊均不共用X 或Y 的頂點。

(b)X 至Y 的完全配對(complete matching)指G 的一配對滿足每個x X ∈的為某邊的端點。

定理3.5：
令(),G V E =為偶圖其中V 分割成X Y ⋃。

X 至Y 的完全配對存在若
且唯若對X 的任一子集A ，()A R A ≤，其中()R A 為Y 的子集由鄰接至A 中頂點的那些頂點所組成。

系理3.3：
令(),G V E =為偶圖且V 分割成X Y ⋃。

若存在一個k Z +∈，對所有頂
點x X ∈及y Y ∈，()()deg deg x k y ≥≥，則G 存在由X 至Y 的完全配對。

定義3.6：
若(),G V E =為偶圖且V 分割成X Y ⋃，G 的最大配對(Maximal
Matching)指X 有最多頂點與Y 的頂點所構成的配對。

定義3.7：
令(),G V E =為偶圖，其中V 分割成X Y ⋃。

若A X ⊆，則
()()A A R A δ=-稱為A 的虧數(deficiency of A )。

圖形G 的虧數(deficiency of graph G )，記為()G δ，定義成()(){}max G A A X δδ=⊆。

定理3.6：
令(),G V E =為偶圖且V 分割成X Y ⋃，X 的頂點能與Y 的頂點配對
的最大數目為()X G δ-。

此外，存在大小()X G δ-個配對。

第四章0
群、寫碼理論及Polya 計數法
4.1定義、例題及基本性質
定義4.1：
若G 為非空集合。

為G 上的二元運算，則(), G 稱為群(group)。

1., a b G ∀∈，a b G ∈ ( 下G 的封閉性)
2. ,, a b c G ∀∈，()()a b c a b c = 。

(結合性)
3.存在e G ∈，使得, a e e a a a G ==∀∈ 。

(單位元素的存在性)
4.對每個a G ∈存在一元素b G ∈使得a b b a e == 。

(反元素的存在性)。

此外，若對所有,a b G ∈，a b b a = ，則G 稱為交換群或亞伯群(commutative,or abelian group)。

定義4.2：
當G 為有限群，G 元素的個數稱為G 的階數(order)且記為G 。

定理4.1：
任意群G
(a) G 的單位元素為唯一。

(b) G 的每個元素均有唯一的反元素。

(c) 若,,a b c G ∈且ab ac =，則b c =。

(d) 若,,a b c G ∈且ba ca =，則b c =。

(e) G 為交換若且唯若()2
22ab a b =，, a b G ∀∈。

定義4.3：
令G 為群且H G ∅≠⊆。

若H 在G 的二元運算下為群。

我們稱H 為G
的子群(subgroup)。

定理4.2：
若H 為G 的非空子集。

則H 為G 的子群若且唯若
(a) 對所有,a b H ∈，1ab H -∈，1b H -∈；且
(b) 所有。

a H ∈，1b H -∈。

定理4.3：
若G 為群且H G ∅≠⊆，其中H 為有限(finite)，則H 為G 的子群若
且唯若H 在G 的二元運算下具封閉性。

定理4.4：
令(), G 及(),* H 為群，定義G H ⨯上的二元運算。

定為
()()()11221212,,, g h g h g g h h = 。

則(), G H ⨯ 為一群，稱G 與H 的直積
(direct product)。

4.2 同態，同構與循環群
定義4.4：
若(), G ，(),* H 均為群，且:f G H →，稱f 為群同態(group
homomorp hism)，意指對所有,a b G ∈，()()()
*f a b f a f b =
定理4.5：
令(), G ，(),* H 均為群，其單位元素分別為,G H e e ，若
:f G H →為同態，則
(a)()G H f e e =。

(b)()()11f a f a --=⎡⎤⎣⎦對任意a D
∈
(c)()()n
n f a f a =⎡⎤⎣⎦對所有a G ∈及所有n ∈
(d)對G 的任意子群S ，()f S 為H 的子群。

定義4.5
若()():,,* f G H → 為同態，若f 為一對一且映成，我們稱f 為同構
(isomorphism)。

這時，G ，H 稱為同構群(iso morp hic gro up )。

定義4.6：
群G 為循環群(cyclic)意指存在一元素x G ∈，滿足對所有a G ∈，存
在n ∈ 使得n a x =。

定義4.7：
若G 為一群且a G ∈，a 的階數(order of a )意指a ，記為()a O 。

(若
a 為無限，稱a 具無限階數。

)
定理4.6：
若a G ∈且()a n =O ，若k ∈ 且k a e =，則n k 。

定理4.7：
令G 為一循環群。

(a) 若G 為無限，則G 與(),+ 同構。

(b) 若G n =，則G 與(),n + 同構。

定理4.8：
任意循環群的子群仍為循環群。

4.3 陪集與Lagrange 定理
定義4.8：
設H 為G 的子群，則對任意a G ∈，集合{}aH ah h H =∈稱為H 在G
內的左陪集(left coset)。

{}Ha ha h H =∈則稱為右陪集(right coset)。

引理4.1：
設H 為有限群G 的子群，則對任意,a b G ∈，
(a)aH H =；且
(b)aH bH =或aH bH ⋃=∅。

定理4.9：Lagrange 定理(Lagrange ’s Theorem)
若G 為階數n 的群，且H 為階數m 的子群，則m 整除n 。

系理4.1：
若G 為有限群且a G ∈，則()a O 整除G 。

系理4.2：
任意質數街的群均為循環群。

4.4 寫碼理論簡介
定理4.10：
令2n c ∈ 。

經由二元對稱到傳送c 使不正確傳送的機率為p ，
(a) 接收r c e =+，此處e 為包含k 個1及()n k -個0的特定(particular)錯誤
模型，其機率為()
1n k
k p p --。

(b) 傳送中產生k 個錯誤的機率為()()
1n k
n k
k p p --。

4.5 Hamming 度量
定義4.9：
對任意元素122
n n x x x x =⋅⋅⋅∈ ，n +
∈ ，x 的權重(weight)，記為()wt x ，指x 的分元i x 的數目，1i n ≤≤，其中1i x =。

若2n y ∈ ，x 與y 之間的距離(distance)，記為(),d x y ，指i i x y ≠的分元的數目，1i n ≤≤。

引理4.2：
對任意2,n x y ∈ ，()()()wt wt wt x y x y +≤+。

定理4.11：
對所有2,,n x y z ∈ ，距離函數d 定義於22n n
⨯ 上，滿足
(a)(),0
d x y ≥
(b)(),0d x y x y =⇔=
(c)()()
,,d x y d y x =
(d)()()()
,,,d x z d x y d y z ≤+
定義4.10：
對,n k +∈ ，2
n x ∈ ，半徑k 中心x 的球(sphere)定義為()(){}
2,,n S x k y d x y k =∈≤ 。

定理4.12：
令:E W C →為編碼函數，其中訊息集2m W ⊆ 且碼語集
()2n E W C =⊆ ，m n ≤。

對k +
∈ ，我們能偵查權重k ≤的傳送錯誤若且唯
若碼語之間的最小距離至少為1k +。

定理4.13：
設E ，W ，C 如定理4.12所定義，且k +∈ ，我們可造解碼函數
2:n D W → 使更正權重
k ≤的所有傳送錯誤若且唯若碼語]之間的最小距離至少為21k +。

4.6 同位檢查與生成矩陣
4.7 群碼：應用陪集領導語解碼法
定義4.11：
令22:m n
E → 為編碼函數。

碼()2m C E = 稱為群碼(group code)指C 為2n 的子群。

定理4.14：
群碼內碼語間的最小距離為碼內非零元素之最小權重。

定理4.15：
22:m n
E → 為編碼函數，係由生成矩陣
G 或相關的同位檢查矩陣H 所定義。

則()2m G E = 為群碼。

定理4.16：
已知同位檢查矩陣H ，令2n C ⊆ 為群碼，且令122,n r r ∈ 。

對C 於2
n
上的陪集表，1r 及2r 屬於C 的同一陪集若且唯若()()12tr tr
H r H r = 。

定理4.17：
用陪集領語解碼法時，若2
n r ∈ 為接收語且r 被解碼為碼語*
c (由此解碼可得到其訊息)，則()()*,,
d c r d c r ≤，對所有碼語c 。

4.8 Hamming 矩陣
4.9 計數與等價：Burnside 定理
定理4.18：Burnside 定理
令S 為配置集，排列群G 作用其上。

由G 作用分割S 成等價類的個
數為
()*1
G
G πψπ∈∑ 其中()*ψπ為S 內經*π固定的配置數目。

4.10 循環指標
定理4.19：
令S 表示被排列群G 所作用的配置集合。

(G 為所有{}1,2,n ⋅⋅⋅排列
形成群n S 的子群，且G 的循環指標()123,,,,G n P x x x x ⋅⋅⋅為()(1G G π∈∑π的循環結構式
)。

)於是S 中非等價m -配色的個數則為(),,,,G P m m m m ⋅⋅⋅。

4.11 式樣目錄：Polya 計數方法
定理4.20：Polya 計數方法(Polya ’s Method of Enumeration)
令S 為排列群G 可作用其上的配置集合，其中G 為n S 的子群且具循
環指標()12.,G n P x x x ⋅⋅⋅。

則S 中非等價m -配色樣式目錄的生成函數為
2
111,,,m m m
n G i i i i i i P c c c ===⎛⎫⋅⋅⋅ ⎪⎝⎭
∑∑∑
其中12,,,m c c c ⋅⋅⋅表示m 種可用的顏色。

第五章 有限體與組合設計
5.1 多項式環
定義5.1：
給一環(),, R + ，令()110110n n n n f x a x a x a x a x --=++⋅⋅⋅++其中
i a R ∈，0i n ≤≤此形式的表示式稱為含未定元x 佈於R 的多項式(polynomial in the indeterminate x over R )。

定理5.1：
已知一環R ，令[]R x 表示含未定元x 且係數屬於R 之所有多項式的集
合。

於上述等式(1)及(2)所給的加法與乘法運算如下，[](),, R x + 稱為佈於R 上的多項式環(polynomial ring or ring of polynomial over R )。

系理5.1：
令[]R x 為多項式環。

(a) 若R 為交換環，則[]R x 亦為交換環。

(b) 若R 為具單位元的環，則[]R x 亦為具單位元的環。

(c) []R x 為整環若且唯若R 為整環。

定理5.2：
令(),, R + 為具單位元u 的交換環。

則R 為整環若且唯若對所有
()()[],f x g x R x ∈，
degree ()()f x g x =degree ()f x +degree ()
g x
定義5.2：
令()[]f x R x ∈且r R ∈。

若()f r z =，則稱r 為多項式的根(root)
定義5.3：
令F 為一體。

對()()[],f x g x F x ∈，()f x 稱為()g x 的因式(divisor, or
factor)。

意指存在()[]h x F x ∈使()()()f x h x g x =。

於此情形下我們亦說
()f x 整除(divide)()g x 且()g x 為()f x 的倍式(multip le)。

定理5.3：(除法法則)
令()()[],f x g x F x ∈且()0f x ≠，即0多項式。

存在唯一多項式
()()[],q x r x F x ∈使得()()()()g x q x f x r x =+，其中()0r x =或
degree ()r x <degree ()f x 。

定理5.4：餘式定理(The Remainder Theorem)
對()[]f x F x ∈且a F ∈，()f x 除以x a -的餘式為()f a 。

定理5.5：因式定理(The Factor Theorem)
若()[]f x F x ∈且a F ∈，則x a -為()f x 的因式若且唯若a 為()f x 的
根。

定理5.6：
若()[]f x F x ∈為1n ≥次，則()f x 於F 中至多有n 個相異根。

5.2 不可約多項式：有限體
定義5.4：
令()[]f x F x ∈，F 為體且degree ()2f x ≥。

我們稱(佈於F )()f x 為
可約(reducible)意指存在()()[],g x h x F x ∈，其中()()()f x g x h x =且
degree ()(),1g x h x ≥。

若()f x 不是可約則稱為不可約(irreducible)或質式
(prime)。

定理5.7：
對[]F x 的多項式
(a) 任意1≤次的非零多項式均為不可約。

(b) 若()[]f x F x ∈且degree ()2f x =或3，則()f x 為可約若且為若()f x 於
F 中有根。

定義5.5：
多項式()()f x F x ∈為首一(monic)意指其領導系數為1，即F 的單位
元。

定義5.6：
若()()[],f x g x F x ∈，則()()h x F x ∈為()(),f x g x 的最大公因數
(greatest common divisor)，意指
(a) 若()h x 均整除()(),f x g x ，而且
(b) 若()[]k x F x ∈且()k x 均整除()(),f x g x ，則()k x 整除()h x 。

定理5.8：
令()()[],f x g x F x ∈，其中()(),f x g x 至少有一個不為零的多項式。

則可寫成()(),f x g x 之線性組合------亦即，
()()()()()()[],, s x f x t x g x s x t x F x +∈-------的任意最小次數多項式即為()(),f x g x 的最大公因式。

若我們要求g.c.d 為首一多項式，則其將為唯一。

定理5.9：多項式歐基里德算則(Euclidean Algorithm for Polynomials)
令()()[],f x g x F x ∈，其中degree ()f x ≤degree ()g x 且()0f x ≠。

應
用除法算則可寫成
()()()()g x q x f x r x =+， degree ()r x <degree ()
f x
()()()()11f x q x r x r x =+， degree ()1r x <degree ()
r x
()()()()212r x q x r x r x =+， degree ()2r x <degree ()
1r x
⋅ ⋅
⋅ ⋅ ⋅ ⋅
()()()()21k k k k r x q x r x r x --=+ degree ()k r x <degree ()
1k r x -
()()()()111k k k k r x q x r x r x -++=+ ()10k r x +=
則最後非零餘式()k r x 即為()(),f x g x 最大公因式的常數倍數。

(將()k r x 乘以領導係數的反元素，可得所謂唯一最大公因式的首一多項式。

)
定義5.7：
若()()[],f x g x F x ∈且其g.c.d 為1，則()f x 與()g x 稱為互質(relatively
prime)。

定理5.10：
令()[](),0 s x F x s x ∈≠。

定義[]F x 上的關係ℜ為()()f x g x ℜ表示
()()()()()[], f x g x t x s x t x F x -=∈------亦即()s x 整除()()f x g x -。

則ℜ為[]F x 上的等價關係。

定理5.11：
令()s x 為[]F x 的非零多項式。

(a) 於下列運算下，同餘模()s x 關係的等價類形成具單位元的交換環，
()()()()()()()()()()
, f x g x f x g x f x g x f x g x r x +=+==⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦ 其中()r x 為()()f x g x 除以()s x 的餘式。

此環記為[]())F x s x 。

(b) 若()s x 於[]F x 中不可約，則[]())F x s x 為一體。

(c) 若F q =且degree ()s x n =，則[]()()F x s x 有n q 個元素。

定義5.8：
令(),, R + 為一環。

若存在最小正整數n 使得對所有r R ∈，nr z =(R
的零元素)，稱R 具有特徵值n (characteristic n )，記為()char R n =。

若不存在這種整數，稱R 的特徵數為0。

定理5.12：
令(),, F + 為一體。

若()0char F >，則()char F 必為質數。

定理5.13：
任意有限體F 有階數t p ，其中p 為質數且t +∈ 。

5.3 拉丁方陣
定義5.9：
n n ⨯階拉丁方陣(Latin square)意指通常為符號1,2,3,n ⋅⋅⋅的方形陣
列，其中每個符號於陣列的每一列及每一行恰出現一次。

定義5.10：
令()1ij L a =，()2ij L b =為兩個n n ⨯階拉丁方陣，其中1,i j n ≤≤且每個
{},1,2,3,,ij ij a b n ∈⋅⋅⋅。

若2n 個序對(),ij ij a b 均相異，1,i j n ≤≤，則12,L L 為一對正交拉丁方陣(orthogonal Latin squares)。

定義5.11：
若L 為n n ⨯階拉丁方陣，稱L 為標準型(standard form)意指其第一列為1,2,3,n ⋅⋅⋅。

定理5.14：
令12,L L 為正交對的n n ⨯階拉丁方陣。

若12,L L 的標準型為**12,L L ，
則**12,L L 為正交。

定理5.15：
若n +∈ ，2n >，則最多有1n -個n n ⨯階拉丁方陣彼此互為正交對。

定理5.16：
若n +∈ ，2n >。

若p 為質數且, t n p t +=∈ ，則存在1n -個n n ⨯ 階拉丁方陣彼此正交。

5.4 有幾何與仿射平面
定義5.12：
令P 為有限點集合，且L 為P 的一組子集合，稱為直線。

於集合P
與L 上的有限仿射平面(finite affine plane)意指滿足下列條件的有限結構。

A1) P 上的兩個相異點只屬於L 的一條直線上；亦即，僅位於一直線上。

A2)對任意L ∈ 且P ∈P 其中P ∉ ，存在唯一直線'L ∈ ，其中'P ∈ 且,'
沒有共同點。

A3) P 中有四個點，其中任意三點均不共線。

定理5.17：
若F 為有限體，前面所描述基於點集合P 與直線集合L 的系統乃為
一仿射平面記為()AP F 。

定理5.18：
令()F GF n =，其中3,t n n p ≥=，p 為質數。

由()AP F 的1n -個平
行類，其中斜率不為0亦不為無限大，所產生的拉丁方陣均兩兩正交。

5.5 區組設計與射影平面。