曲边梯形的面积、汽车行驶的路程 课件

C.ti－n 1，tni
D.ti－n 2，ti－n 1
【解析】 每个小区间长度为nt ，故第 i－1 个区间的左端点为 0＋(i－2)×nt ＝
ti－n 2，右端点为ti－n 2＋nt ＝ti－n 1.
【答案】 D
(4)取极限
当分割无限变细，即 Δx 趋向于 0 时，n 趋向于∞，
此时－16n12－1趋向于 S.从而有
S＝lim n→∞
－16n12－1＝16.
所以由直线 x＝0，x＝1，y＝0 和曲线 y＝x(x－1)围成的图形面积为16.
由极限法求曲边梯形的面积的步骤 第一步：分割．在区间[a，b]中等间隔地插入 n－1 个分点，将其等分成 n 个小区间[xi－1，xi](i＝1,2，…，n)，小区间的长度 Δxi＝xi－xi－1. 第二步：近似代替．“以直代曲”，用矩形的面积近似代替小曲边梯形的 面积，求出小曲边梯形面积的近似值． 第三步：求和．将 n 个小矩形的面积进行求和得 Sn. 第四步：取极限．当 n→∞时，Sn→S，S 即为所求．
(3)求和
小曲边梯形的面积和
n
n
n
Sn＝ ΔSi≈ ΔSi′＝
i＝1
i＝1
i＝1
n n＋i－1n＋i
＝nnn＋1＋n＋1nn＋2＋…＋n＋n－n1n＋n ＝n1n－n＋1 1＋n＋1 1－n＋1 2＋…＋n＋1n－1－n＋1 n ＝n1n－21n＝12. 从而得到 S 的近似值 S≈Sn＝12.
[再练一题] 1．求由直线 x＝1，x＝2，y＝0 及曲线 y＝x12围成的图形的面积 S.
【解】 (1)分割 在区间[1,2]上等间隔地插入 n－1 个点，将它等分成 n 个小区间：1，n＋n 1， n＋n 1，n＋n 2，…，n＋nn－1，2， 记第 i 个区间为n＋ni－1，n＋n i(i＝1,2，…，n)，其长度为 Δx＝n＋n i－n＋ni－1 ＝1n.
(4)取极限 可以看到，当 n 趋向于无穷大，即 Δt 趋向于 0 时， sn＝－831＋1n1＋21n＋10 趋向于 S，从而有
s＝lni→m∞sn＝lni→m∞i＝n1v2ni·2n
＝lim n→∞
－831＋1n1＋21n＋10
＝－83＋10＝232.
求变速直线运动路程的方法 求变速直线运动路程的问题，方法和步骤类似于求曲边梯形的面积，用“以 直代曲”“逼近”的思想求解．求解过程为：分割、近似代替、求和、取极限．应 特别注意变速直线运动的时间区间．
分别过上述 n－1 个分点作 x 轴的垂线，把曲边梯形分成 n 个小曲边梯形(如
n
图)，它们的面积分别记作：ΔS1，ΔS2，…，ΔSn，则小曲边梯形面积的和为 S＝Δ
i＝1
Si，Leabharlann (2)近似代替 记 f(x)＝x12.当 n 很大，即 Δx 很小时，在区间n＋ni－1，n＋n i上，可以认为 f(x) ＝x12的值变化很小，近似地等于一个常数，不妨认为它等于 f n＋ni－1·n＋n i. 从图形上看，就是用平行于 x 轴的直线段近似地代替小曲边梯形的曲边．这 样，在区间n＋ni－1，n＋n i上，用小矩形面积 ΔSi′近似地代替 ΔSi，即在局部小范 围内“以直代曲”，则有 ΔSi≈ΔSi′＝f n＋ni－1·n＋n iΔx ＝n＋i－n12n＋i·1n＝n＋i－n1n＋i(i＝1,2，…，n)．
(4)取极限 分别将区间[1,2]等分成 8,16,20，…等份时，Sn 越来越趋向于 S，从而有 S＝ lni→m∞Sn＝12. 所以由直线 x＝1，x＝2，y＝0 及曲线 y＝x12围成的图形的面积 S 为12.
汽车以速度 v 做匀速直线运动时，经过时间 t 的路程 s＝vt.如果汽 车做变速直线运动，在时刻 t 的速度 v(t)＝－t2＋5(单位：km/h)，问它在 0≤t≤2(单 位：h)这段时间内的路程 s(单位：km)是多少？
i＝1
n
n
④取极限：S＝lni→m∞i＝1f(ξi)Δx＝lni→m∞i＝1
b－n af(ξi)．
求由抛物线 y＝2x2 与直线 x＝0，x＝t(t>0)，y＝0 所围成的曲边梯
形的面积时，将区间[0，t]等分成 n 个小区间，则第 i－1 个区间为( )
A.i－n 1，ni
B.ni ，i＋n 1
(2)近似代替：在每个小区间上以匀速运动的路程近似代替变速运动的路程． 在i－n 1t，int上任取一时刻 ξi(i＝1,2，…，n)，可取 ξi 使 v(ξi)＝gi－n 1t 近似 代替第 i 个小区间上的速度，因此在每个小区间上自由落体 Δt＝nt 内所经过的距 离可近似表示为 Δsi≈g·i－n 1t·nt (i＝1,2，…，n)．
曲边梯形的面积 汽车行驶的路程
完成下列问题． 1．连续函数 如果函数 y＝f(x)在某个区间 I 上的图象是一条____________的曲线，那么就 把它称为区间 I 上的连续函数．
2．曲边梯形的面积 (1)曲边梯形 由直线 x＝a，x＝b(a≠b)，y＝0 和曲线 y＝f(x)____________称为曲边梯形(如 图 1-5-1①)．
探究 2 求曲边梯形的面积与求变速直线运动的路程有哪些共同点？
【提示】 (1)求曲边梯形的面积与求变速直线运动的路程的共同本质是 “以直代曲”、“以不变代变”的思想方法．
(2)求解的方法步骤相同 ①分割：将区间[a，b]n 等分； ②近似代替：取点 ξi∈[xi－1，xi]；
n
③求和： f(ξi)Δx；
【精彩点拨】 把变速直线运动的路程问题化归为匀速直线运动的路程问 题，通过分割、近似代替、求和、取极限四步解决．
【自主解答】 (1)分割 在区间[0,2]上等间隔地插入 n－1 个点，将区间等分成 n 个小区间： 0，2n，2n，4n，…，2nn－1，2nn. 记第 i 个区间为2i－n 1，2ni(i＝1,2，…，n)， 其长度为 Δt＝2ni－2i－n 1＝2n. 把汽车在上述时间段内行驶的路程分别记作：
(3)求和 因为每一个小矩形的面积都可以作为相应小曲边梯形面积的近似值，所以 n 个小矩形面积的和就是曲边梯形面积 S 的近似值，即
n
n
n
S＝ ΔSi≈－ f(ξi)Δx＝
i＝1
i＝1
i＝1
－i－n 1i－n 1－1·1n
＝－n13[02＋12＋22＋…＋(n－1)2]＋n12[0＋1＋2＋…＋(n－1)] ＝－n13·16n(n－1)(2n－1)＋n12·nn2－1＝－－n62n＋2 1＝－16n12－1.
(2)求曲边梯形面积的方法与步骤 ①分割：把区间[a，b]分成许多小区间 ，进而把曲边梯形拆分为一些 ________(如图 1-5-1②)； ②近似代替：对每个小曲边梯形“____________”，即用________的面积 近似代替小曲边梯形的面积，得到每个小曲边梯形面积的______； ③求和：把以近似代替得到的每个小曲边梯形面积的近似值______； ④取极限：当小曲边梯形的个数趋向无穷时，各小曲边梯形的面积之和趋 向一个________，即为曲边梯形的面积．
①
②
图 1-5-1
【答案】 1.连续不断 2.(1)所围成的图形 (2)小曲边梯形 以直代曲 矩 形 近似值 求和 定值
教材整理 2 汽车行驶的路程
如果物体做变速直线运动，速度函数为 v＝v(t)，那么它在时间 t 所在的区间 [a，b]内的路程(或位移)也可以运用①______；②________；③______；④________ 的方法求得．
n
(3)求和：sn＝ Δsi
i＝1
＝i＝n1g·i－n 1·t·nt
＝gnt22[0＋1＋2＋…＋(n－1)] ＝12gt21－1n.
(4)取极限：S＝lim n→∞
12gt21－1n＝12gt2.
探究 1 求曲边梯形面积时，能否直接对整个曲边梯形进行“以直代曲”
呢？怎样才能减小误差？
【提示】 不能直接对整个曲边梯形进行“以直代曲”，否则误差太大， 为了减小近似代替的误差，需要先分割再分别对每个小曲边梯形“以直代曲”， 而且分割的曲边梯形数目越多，得到面积的误差越小．
【答案】 分割 近似代替 求和 取极限
求由直线 x＝0，x＝1，y＝0 和曲线 y＝x(x－1)围成的图形面积． 【精彩点拨】 按分割、近似代替、求和、取极限四个步骤进行求解．
【自主解答】 (1)分割 将曲边梯形分割成 n 个小曲边梯形，用分点1n，2n，…，n－n 1把区间[0,1]等分 成 n 个小区间： 0，1n，1n，2n，…，i－n 1，ni ，…，n－n 1，nn， 简写作i－n 1，ni (i＝1,2，…，n)． 每个小区间的长度为 Δx＝ni －i－n 1＝1n.过各分点作 x 轴的垂线，把曲边梯形 分成 n 个小曲边梯形，它们的面积分别记作：ΔS1，ΔS2，…，ΔSi，…，ΔSn.
(2)近似代替 用小矩形面积近似代替小曲边梯形面积，在小区间i－n 1，ni 上任取一点 ξi(i ＝1,2，…，n)，为了计算方便，取 ξi 为小区间的左端点，用 f(ξi)的相反数－f(ξi) ＝－i－n 1i－n 1－1为其一边长，以小区间长度 Δx＝1n为另一边长的小矩形对应 的面积近似代替第 i 个小曲边梯形面积，可以近似地表示为 ΔSi≈－f(ξi)Δx＝－i－n 1i－n 1－1·1n(i＝1,2，…，n)．
n
Δs1，Δs2，…，Δsn，显然，s＝ Δsi.
i＝1
(2)近似代替
当 n 很大，即 Δt 很小时，在区间2i－n 1，2ni上，函数 v(t)＝－t2＋5 的值变
化很小，近似地等于一个常数，不妨认为它近似地等于右端点处的函数值 v2ni＝
－2ni2＋5.在每一个小时间段内“以匀速代变速”，则有 Δsi≈Δs′i＝v2ni·Δt
＝－2ni2＋5·2n
＝－4ni22·2n＋1n0(i＝1,2，…，n)．
(*)
(3)求和
由(*)得，sn＝i＝n1Δs′i＝i＝n1v2ni·Δt
n
＝
i＝1
－4ni22·2n＋1n0＝－n83i＝n1i2＋10
＝－n83·nn＋162n＋1＋10 ＝－831＋1n1＋21n＋10. 从而得到路程 s 的近似值 s≈sn＝－831＋1n1＋21n＋10.
[再练一题] 2．用定积分定义求物体自由落体的下落距离．已知自由落体的运动速度 v ＝gt，求在时间区间[0，t]内物体下落的距离．
【解】 (1)分割：将时间区间[0，t]分成 n 等份． 把时间[0，t]分成 n 个小区间i－n 1t，int(i＝1,2，…，n)， 每个小区间表示的时间段 Δt＝int－i－n 1t＝nt ，在各小区间物体下落的距离记 作 Δsi(i＝1,2，…，n)．