单位脉冲响应
微积分讲座---Z3.13 单位脉冲响应的定义和求解
3.2 基本信号与基本响应
第三章 离散系统的时域分析
特征根为：
1 1, 2 3
所以：
h(k) [C1(1)k C2 (3)k ] (k)
代入初始值得：
h(0) C1 C2 3
h(1) C1 3C2 11
解得：
C1 1,C2 4
由于h(0), h(1)作为初始值代入，因而方程的解也满足
h(k)隐含的条件：
f(k)=δ(k) h(-1) = h(-2) = 0 (对二阶系统)
基本信号：单位脉冲序列δ(k) 基本响应：单位脉冲响应h(k)
2
3.2 基本信号与基本响应 2.求法
第三章 离散系统的时域分析
由于单位脉冲序列δ(k)仅在k=0处等于1，而在k>0时 为零，因而此时单位脉冲响应h(k)与系统的零输入响 应的函数形式相同。这样就把求解h(k)的问题转换为 求解齐次方程的问题。而k=0处的值h(0)可按零状态的 条件由差分方程确定。
右边加法器的输出为：
y(k) 3x(k) x(k 1)
4
3.2 基本信号与基本响应
第三章 离散系统的时域分析
y(k) 4y(k 1) 3y(k 2) 3 f (k) f (k 1)
h(k) 4h(k 1) 3h(k 2) 3 (k) (k 1) (1)
初始状态： h(1) h(2) 0
k=0和k=1。所以系统的单位脉冲响应为：
h(k) [1 4(3)k ] (k)
6
3.2 基本信号与基本响应
知识点Z3.13
第三章 离散系统的时域分析
单位脉冲响应的定义和求解
主要内容：
1. 单位脉冲响应的定义 2. 单位脉冲响应的求解
基本要求：
matlab单位脉冲响应曲线
一、概述Matlab是一款非常强大的科学计算软件，它可以用于信号处理、图像处理、控制系统设计等各种领域。
在信号处理中，单位脉冲响应曲线是一个非常重要的概念，它可以帮助我们分析系统的动态特性和性能。
本文将重点介绍如何使用Matlab来绘制单位脉冲响应曲线。
二、什么是单位脉冲响应曲线单位脉冲响应曲线是用来描述系统对单位脉冲输入信号的响应的曲线。
单位脉冲信号是一种特殊的离散信号，它在t=0时刻取值为1，其他时刻取值为0。
系统对单位脉冲信号的响应可以告诉我们系统的冲激响应，从而可以对系统的性能进行分析和评估。
三、如何使用Matlab绘制单位脉冲响应曲线1. 准备工作在使用Matlab进行单位脉冲响应曲线绘制之前，首先需要准备好信号处理工具箱。
信号处理工具箱是Matlab中用于信号处理相关操作的功能库，包含了大量的信号处理函数和工具，非常适合用来进行单位脉冲响应曲线的绘制和分析。
2. 信号处理系统的建模在进行单位脉冲响应曲线的绘制之前，首先需要对信号处理系统进行建模。
可以使用传递函数、状态空间模型或者差分方程等方式来描述信号处理系统的动态特性和响应规律。
3. 调用Matlab函数进行绘图在对信号处理系统进行建模后，可以使用Matlab提供的函数来进行单位脉冲响应曲线的绘制。
最常用的函数是impulse，它可以直接对信号处理系统的模型进行输入，并输出单位脉冲响应曲线。
4. 绘制曲线并分析通过调用impulse函数，并将信号处理系统的模型作为输入参数，可以得到单位脉冲响应曲线。
绘制出的曲线可以帮助我们分析系统的冲激响应，了解系统的动态特性和性能表现。
五、单位脉冲响应曲线在实际应用中的意义单位脉冲响应曲线不仅仅是在理论分析中有意义，实际工程中也有着重要的应用价值。
通过单位脉冲响应曲线的分析，可以帮助工程师更好地理解系统的动态特性，从而对系统进行优化和改进。
在控制系统设计中，可以通过单位脉冲响应曲线来评估系统的稳定性和动态响应速度，从而选择合适的控制策略和参数。
单位阶跃响应与单位脉冲响应
dn d tn
c(t )
a1
d n1 d t n1
c(t )
an 1
d dt
c(t )
anc(t )
b0
dm d tm
r (t ) b1
d m1 d t m1
r (t )
bm 1
d dt
r (t )
bmr (t )
微分方
齐次方程通解
特解
程的解
c(t) c1(t) c2 (t)
第三章
M
p
c(t p ) c() 100 % c()
振荡次数 N：
在调整时间ts内系统响应曲线的振荡次数。实测时， 可按响应曲线穿越稳态值次数的一半计数。
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第三章
➢评价系统准确性的性能指标
ISE
J
e2 (t)dt 0
o
t
R(s)
2A S3
当A=1/2时称为单位抛物线函数,其数学表达式为
r (t )
0 1 2
t
t0 t0
R(s)
1 S3
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四．脉冲函数
r(t)
A
第三章
0
r (t )
A
t 0及t 0t
（平方误差积分）
ITSE
J
0
te2
(t
)dt
（时间乘平方误差的积分）
matlab 单位脉冲响应变为传递函数
一、概述在信号处理和系统控制领域，单位脉冲响应和传递函数是非常重要的概念。
单位脉冲响应描述了系统对一个单位脉冲输入的响应，而传递函数则描述了系统的输入输出关系。
在matlab中，可以通过一些简单的步骤将单位脉冲响应转换为传递函数。
本文将介绍如何在matlab中进行这一转换，并给出相关的实例。
二、单位脉冲响应的定义单位脉冲响应是线性时不变系统对一个单位脉冲输入的响应函数。
在时域中，单位脉冲信号被定义为δ(t)，其拉普拉斯变换为1。
单位脉冲响应h(t)描述了系统对一个单位脉冲输入信号的响应。
在离散时间下，单位脉冲信号δ[n]为在n=0时为1，其他时刻为0。
相应地，单位脉冲响应h[n]描述了系统对一个单位脉冲输入信号的离散时间响应。
三、传递函数的定义传递函数是描述系统输入输出关系的函数。
在连续时间下，传递函数H(s)是系统的输出信号Y(s)与输入信号X(s)的拉普拉斯变换之比。
在离散时间下，传递函数H(z)是系统的输出信号Y(z)与输入信号X(z)的Z变换之比。
传递函数描述了系统对不同频率信号的放大或衰减情况，以及相位延迟。
四、单位脉冲响应到传递函数的变换方法在matlab中，可以使用以下步骤将单位脉冲响应变换为传递函数。
1. 得到单位脉冲响应的表达式，如果是连续时间系统，则是h(t)，如果是离散时间系统，则是h[n]。
2. 对连续时间系统，需要对h(t)进行拉普拉斯变换。
对离散时间系统，需要对h[n]进行Z变换。
3. 将单位脉冲响应的变换结果表示为H(s)或H(z)。
五、matlab中的示例以下是一个简单的例子，演示如何在matlab中将单位脉冲响应变换为传递函数。
假设有一个离散时间系统，其单位脉冲响应为h[n] = [1, 2, 1]。
```matlab定义单位脉冲响应h = [1, 2, 1];进行Z变换H = ztrans(h)```运行以上matlab代码，得到传递函数H(z)的表达式。
六、结论本文介绍了单位脉冲响应和传递函数的概念，并在matlab中演示了如何将单位脉冲响应变换为传递函数的方法。
脉冲响应和单位脉冲响应
脉冲响应和单位脉冲响应脉冲响应（Impulse Response）和单位脉冲响应（Unit Impulse Response）是信号处理中常用的概念。
在本文中，我们将详细讨论这两个概念的含义、应用以及它们在信号处理中的作用。
脉冲响应函数通常用h(t)表示，其中t表示时间。
脉冲响应函数可以是连续时间的，也可以是离散时间的，分别对应于连续时间系统和离散时间系统。
脉冲响应函数描述了系统对单位脉冲信号的时域响应特性，包括振幅和相位的变化。
在信号处理中，脉冲响应函数是非常重要的，它可以用来计算系统对任意输入信号的响应。
通过将输入信号与脉冲响应函数进行卷积运算，可以得到系统的输出信号。
这个过程可以用数学公式表示为：y(t) = x(t) * h(t)其中，x(t)表示输入信号，y(t)表示输出信号，*表示卷积运算。
通过脉冲响应函数，我们可以了解系统对不同频率的输入信号的响应特性，从而分析系统的滤波性能和频率响应。
单位脉冲响应是脉冲响应的一种特殊情况，它是一个幅度为1、持续时间极短的单位脉冲信号。
单位脉冲响应函数通常用δ(t)表示，在连续时间系统中，δ(t)表示连续时间单位脉冲信号；在离散时间系统中，δ(n)表示离散时间单位脉冲信号。
单位脉冲响应函数描述了系统对单位脉冲信号的响应特性。
单位脉冲响应函数在信号处理中的应用非常广泛。
通过将输入信号与单位脉冲响应函数进行卷积运算，可以得到系统的输出信号。
由于单位脉冲信号是一个理想的信号，它包含了所有频率的成分，因此通过单位脉冲响应函数可以分析系统的频率响应，了解系统对不同频率的输入信号的响应特性。
在实际应用中，我们可以通过测量系统对单位脉冲信号的响应来获取系统的单位脉冲响应函数，然后利用该函数进行信号处理和滤波。
例如，在音频处理中，我们可以通过测量扬声器对单位脉冲信号的响应来获取扬声器的单位脉冲响应函数，然后利用该函数对音频信号进行滤波和增强。
除了脉冲响应和单位脉冲响应之外，还有一些相关的概念和方法，如频率响应、卷积运算等。
单位阶跃响应与单位脉冲响应
➢ 一阶系统的形式
C(s) 1 R(s) Ts 1
闭环极点(特征根)：-1/T
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➢一阶系统的单位阶跃响应
R(s) 1 s
C(s) 1 1 1 T Ts 1 s s Ts 1
第三章
1t
c(t) 1 e T
R(s)
1 s2
C(s)
1 Ts 1
1 s2
1T T s2 s s 1
T
1t
c(t) t T Te T
t0
第三章
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自动控制理论
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第三章
性质： 1）经过足够长的时间 (≥4T)，输出增长速率近 似与输入相同； 2）输出相对于输入滞后 时间T； 3）稳态误差=T。
o
t
R(s)
2A S3
当A=1/2时称为单位抛物线函数,其数学表达式为
r (t )
0 1 2
t
t0 t0
R(s)
1 S3
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四．脉冲函数
r(t)
A
第三章
0
r (t )
A
t 0及t 0t
稳定边界
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n ：无阻尼自然频率
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临界阻尼：=1
C(s) R(s)
离散时间LTI系统的单位脉冲响应
（1) 确定h[k]的形式
特征方程为 特征根为
r 2 3r 2 0 r1 1, r2 2
h[k ] C1 (1) k C 2 (2) k , k 0
2. 单位脉冲响应的求解
离散时间LTI系统的单位脉冲响应
谢 谢
本课程所引用的一些素材为主讲老师多年的教学积累，来
源于多种媒体及同事、同行、朋友的交流，难以一一注明出处， 特此说明并表示感谢！
解：h[k]满足方程 h[k ] 3h[k 1] 2h[k 2] d [k ] (3) 确定齐次解的待定系数 代入初始条件
h[0] C1 C2 1, h[1] C1 2C2 3
C1=－1，C2= 2
h[k ] [(1) k 2(2) k ]u[k ]
h [k]
1. 单位脉冲响应的定义
若描述离散时间LTI系统的常系数线性差分方程为
a y[k i] b x[k j ]
i 0 i j 0 j
n
m
则离散时间LTI系统的单位脉冲响应h[k]应满足
i 0
n
ai h[k i] b jd [k j ]
j 0
m
2. 单位脉冲响应的求解
[例] 某离散因果LTI系统的差分方程为 y[k ] 3 y[k 1] 2 y[k 2] x[k ] 求系统的单位脉冲响应h[k]。
选择初始条件基本原则是必须将d[k]的作用体现在初始条件中 解：h[k]满足方程 h[k ] 3h[k 1] 2h[k 2] d [k ] (2) 求等效初始条件 对于因果系统有h[－1] = h[－2] = 0，代入上面方程可推出 h[0] d [0] 3h[1] 2h[2] 1
离散系统单位脉冲响应的物理含义
脉冲响应指的是：在一个输入上施加一个脉冲函数引起的时间响应。
单位脉冲响应(Unit impulse response)系统对单位脉冲输入的响应。
也称作记忆函数。
脉冲响应确定一个线性系统的特性，包含有与频率域中的传输函数相同的信息，而传输函数是脉冲响应的拉普拉斯变换。
线性系统的输出由系统的输入与它的脉冲响应的卷积给出。
单位脉冲响应是指一个无穷大的瞬时冲激，并且由于其在时间轴上的积分为1，而t又趋向于零，所以单位脉冲响应的大小应该是无穷大，但是要知道的是，无穷大量也有大小比较，所以单位脉冲响应可以用一个系数对之进行量度。
扩展资料
1、系统动态性能分析
动态性能是系统性能的一个十分重要的指标，通常用阶跃信号作用来测定系统的动态性能。
一般认为，阶跃信号对于系统来说是十分严峻的工作状态，因为阶跃信号中存在跃断点（不连续点）。
针对零初始状态系统在单位阶跃输入下的响应情况，定义了一系列动态性能指标，用以评判系统的动态性能，如超调量、衰减比、上升时间、调节时间、峰值时间等等。
2、建立系统响应模型
对于典型的输入信号，如冲激信号、阶跃信号、斜坡信号等，都建立有响应模型（在此即单位阶跃响应模型）。
根据模型，可以快速判断出实际系统的动态性能指标参数，只需要代入实际系统的相关测量参数，就可以定量分析其性能指标。
已知系统函数求单位脉冲响应
已知系统函数求单位脉冲响应在信号与系统中，我们经常需要求解系统的单位脉冲响应。
单位脉冲响应是指，当输入信号为单位脉冲函数（即一个时间上的单位冲激）时，系统输出的响应函数。
单位脉冲函数可以表示为：$$\delta(t)=\begin{cases}0 & t<0 \\\infty & t=0 \\0 & t>0 \\\end{cases}$$$$x(t)=\delta(t)$$而对于一个线性时不变系统，其输出可以表示为输入信号和系统单位脉冲响应的卷积形式：因此，我们需要知道系统的单位脉冲响应$h(t)$才能求解输出信号$y(t)$。
现在，我们已知系统的传递函数，如何求解$h(t)$呢？有以下三种方法：1. 直接查表法对于某些常见的系统，如一阶低通滤波器、二阶带通滤波器等，其单位脉冲响应可以通过表格得到，因此使用直接查表法即可。
2. 法式求解法对于一般的系统，我们可以通过传递函数的拉普拉斯变换公式得到系统的单位脉冲响应。
具体来说，令传递函数为$H(s)$，则其拉普拉斯变换为：$$H(s)=\frac{Y(s)}{X(s)}$$此时，由于输入信号为单位脉冲函数$x(t)=\delta(t)$，因此有：$$X(s)=1$$因此，得到单位脉冲响应的拉普拉斯变换为：接着，我们可以通过拉普拉斯反变换得到$h(t)$：需要注意的是，这种方法只适用于系统传递函数存在的情况。
如果传递函数不存在，则需要使用第三种方法。
3. 时域响应求解法对于某些系统，其单位脉冲响应可以通过时域求解方法得到，例如一阶线性微分方程、RC电路等。
对于一般的系统，我们可以将系统分解为一些易于求解的子系统，例如串联的线性时不变系统可以分解为一系列一阶系统，从而利用时域方法求解每个子系统的单位脉冲响应，最终得到整个系统的单位脉冲响应。
总之，对于求解系统的单位脉冲响应，我们可以采用直接查表法、法式求解法和时域响应求解法等方法，根据具体情况选择相应的方法进行求解。
一阶系统的单位脉冲响应实验遇到的问题及方法
一阶系统的单位脉冲响应实验遇到的问题及方法一阶系统的单位脉冲响应实验是一种常见的实验方法,用于研究一阶系统的特性。
在进行一阶系统的单位脉冲响应实验时,可能会遇到一些问题,包括:
1. 系统参数的确定:确定一阶系统的参数,例如输入阻抗、带宽等,对于准确地计算单位脉冲响应非常重要。
2. 系统模型的建立:建立一阶系统的数学模型,包括边界条件、初始条件等,对于准确地计算单位脉冲响应也非常重要。
3. 实验参数的选择:选择合适的实验参数,例如电压幅度、频率、持续时间等,对于准确地计算单位脉冲响应也非常重要。
4. 误差的来源:在实验中,可能会存在误差,例如电压幅度的误差、频率的误差等,这些误差可能会影响准确地计算单位脉冲响应。
为了解决这些问题,可以使用以下方法:
1. 系统参数的确定:可以使用系统仿真方法,例如有限元分析或边界元分析等方法,来确定一阶系统的参数。
2. 系统模型的建立:可以使用数学模型建立方法,例如最小二乘法或谱方法等,来建立一阶系统的数学模型。
3. 实验参数的选择:可以使用随机化实验方法,例如蒙特卡罗方法等,来选择合适的实验参数。
4. 误差的来源:可以使用误差估计方法,例如最大似然估计或贝叶斯估计等,来估计实验误差。
通过这些方法,可以准确地计算一阶系统的单位脉冲响应,并得到可靠的实验结果。
此外,还可以将实验结果与系统模型进行比较,以进一步理解一阶系统的
性能和特性。
脉冲响应和单位脉冲响应
脉冲响应和单位脉冲响应脉冲响应和单位脉冲响应是信号处理中常涉及到的两个概念，对于理解系统的特性和数字信号的处理有着至关重要的作用。
一、脉冲响应脉冲响应是指系统对于单位脉冲信号的响应，也就是单位脉冲信号通过系统后得到的输出信号。
该概念常用于分析线性、时不变（LTI）系统的特性，也是系统函数中的一个重要指标。
1.1 LTI系统在讨论脉冲响应之前，需要先了解LTI系统的基本概念。
LTI系统即线性、时不变系统，指的是系统的输出与系统的激励信号之间满足线性性和时不变性的关系。
在某个时刻，输入信号经过LTI系统后得到的输出信号是由输入信号过去某段时间的加权和决定的，其权值决定于系统的特性，即系统的脉冲响应。
1.2 脉冲响应的计算方法脉冲响应的计算方法有多种，一般采用脉冲响应函数或时域频率相应函数进行计算，其中脉冲响应函数是指系统对于单位脉冲信号的响应，通常表示为h(t)。
该函数的计算公式为：h(t)=y(t) / δ(t)其中y(t)为系统对于输入为δ(t)的响应，δ(t)表示单位脉冲信号，为一个高度为1，宽度为无限小的脉冲。
1.3 脉冲响应的特性脉冲响应是LTI系统的特征之一，其性质主要有以下几个方面：- 线性性：脉冲响应是线性系统的特征之一，表示为h(t)=a1h1(t)+a2h2(t)，其中a1和a2是系统的系数，h1(t)和h2(t)是两个不同的脉冲响应函数。
- 时不变性：脉冲响应是时不变系统的特征之一，意味着随着时间的变化，脉冲响应函数始终不变。
- 因果性：脉冲响应具有因果性，即为t<0时脉冲响应为0，t>0时脉冲响应为非0值。
- 稳定性：脉冲响应具有稳定性，即系统对于有界、稳定输入信号的响应也是有界、稳定的。
二、单位脉冲响应单位脉冲响应是指系统对于以1为幅度、以δ(t)为脉冲宽度的信号进行响应，也就是对于单位脉冲信号的归一化响应。
与脉冲响应相似，单位脉冲响应同样是用来描述系统特性的指标，但单位脉冲响应更加直观、易于分析。
已知阶跃响应求单位脉冲响应
已知阶跃响应求单位脉冲响应引言在信号处理和系统控制的领域中，单位脉冲响应（impulse response）和阶跃响应（step response）是两个常用的概念。
单位脉冲响应是指在系统输入信号为单位脉冲函数时，输出信号的响应。
阶跃响应则是指在系统输入信号为阶跃函数时，输出信号的响应。
本文将详细探讨当已知阶跃响应时，如何求解单位脉冲响应的方法。
1. 单位脉冲响应与阶跃响应的关系单位脉冲响应和阶跃响应之间存在着一种重要的数学关系：单位脉冲函数是阶跃函数的导数。
这使得我们可以通过求解阶跃响应来获取单位脉冲响应。
2. 求解思路为了求解单位脉冲响应，我们可以按照以下步骤进行： 1. 记录系统的阶跃响应。
2. 对阶跃响应进行求导，得到单位脉冲响应。
3. 具体步骤接下来，我们将详细介绍每一步的具体操作。
3.1 记录系统的阶跃响应首先，我们需要记录系统的阶跃响应。
阶跃响应是指在系统输入信号为阶跃函数时，输出信号的响应。
可以通过实验或者数学建模的方式获取系统的阶跃响应。
3.2 对阶跃响应进行求导获得系统的阶跃响应之后，我们需要对其进行求导，以得到单位脉冲响应。
由于单位脉冲函数是阶跃函数的导数，因此我们只需要对阶跃响应进行求导即可。
3.3 求解结果验证在完成对阶跃响应的求导之后，我们可以对结果进行验证。
将求导得到的单位脉冲响应与实际系统中的单位脉冲响应进行比较，以确保求解的正确性。
4. 实例演示为了更好地理解以上方法，我们来看一个具体的例子。
假设有一个线性时不变系统，其阶跃响应为：h(t) = 3e^(-2t)u(t)其中，u(t)表示阶跃函数。
我们可以将阶跃响应进行求导得到单位脉冲响应：h'(t) = -6e^(-2t)u(t) + 3δ(t)其中，δ(t)表示单位脉冲函数。
通过比较求解得到的单位脉冲响应与系统的实际单位脉冲响应进行对比，我们可以验证求解的准确性。
结论通过本文的讨论，我们了解到了如何根据已知的阶跃响应来求解单位脉冲响应。
欠阻尼二阶系统单位脉冲响应
欠阻尼二阶系统单位脉冲响应在控制系统中，单位脉冲响应是指系统在单位脉冲输入信号作用下的输出响应。
欠阻尼二阶系统是指系统的阻尼比小于1，这意味着系统的振荡会随着时间的推移而持续衰减。
单位脉冲响应可以反映系统的动态特性，包括系统的稳定性、超调量和响应速度等。
在单位脉冲输入信号作用下，欠阻尼二阶系统的响应呈现出一系列特征。
首先是系统的超调量。
超调量是指系统输出信号达到峰值时超过稳定状态的幅值差值。
在欠阻尼系统中，超调量较大，这意味着系统会产生较大的振荡。
其次是系统的振荡频率。
振荡频率是指系统输出信号振荡的频率。
在欠阻尼系统中，振荡频率与系统的固有频率相关。
系统的固有频率是指系统在没有输入信号的情况下自然振荡的频率。
当单位脉冲信号作用于欠阻尼系统时，系统会以其固有频率进行振荡。
欠阻尼二阶系统的单位脉冲响应还会受到其他因素的影响，如系统的阻尼比和质量。
阻尼比越小，振荡越明显；质量越大，振荡越平缓。
这些因素会共同影响系统的响应特性。
在实际应用中，单位脉冲响应可以用于系统的参数估计和故障诊断。
通过分析单位脉冲响应，可以获取系统的动态特性，从而对系统进行建模和优化。
此外，单位脉冲响应还可以用于判断系统的稳定性和抗干扰能力，为系统的设计和控制提供依据。
总结一下，欠阻尼二阶系统的单位脉冲响应是研究系统特性的重要指标之一。
通过分析单位脉冲响应，我们可以了解系统的超调量、振荡频率等特征，为系统的建模和优化提供依据。
同时，单位脉冲响应还可以用于系统的参数估计和故障诊断。
希望通过本文的介绍，读者对欠阻尼二阶系统的单位脉冲响应有更深入的了解。
传递函数 单位脉冲响应
传递函数单位脉冲响应单位脉冲响应是指系统对于单位脉冲信号的响应情况。
在信号处理和系统控制中，单位脉冲响应是一种重要的概念，它能够描述系统对于输入信号的反应情况，对于系统的特性分析和设计具有重要的意义。
在信号处理和系统控制领域中，我们经常遇到各种各样的信号，如正弦信号、方波信号、脉冲信号等。
这些信号在系统中传递时，会受到系统自身的特性影响，从而产生不同的响应。
单位脉冲响应就是一种用来描述系统对于单位脉冲信号的响应情况的方法。
单位脉冲信号是一种理想化的信号，其幅度为1，宽度为0，持续时间为无穷小。
在数学上，单位脉冲信号可以用冲激函数来表示，通常用δ(t)表示。
单位脉冲信号在时间域上的图像是一个脉冲，幅度为1，宽度为无穷小。
在系统分析和设计中，我们常常需要知道系统对于单位脉冲信号的响应情况。
这是因为单位脉冲信号具有特殊的性质，它包含了所有频率的正弦信号的线性组合。
通过对系统的单位脉冲响应进行分析，我们可以了解系统在不同频率下的响应情况，从而判断系统的稳定性和性能。
单位脉冲响应可以通过系统的冲激响应函数来表示，通常用h(t)表示。
冲激响应函数描述了系统对于单位脉冲信号的响应情况。
对于线性时不变系统，单位脉冲响应和冲激响应函数是等价的。
单位脉冲响应可以通过实验或数学计算来获取。
在实验中，我们可以输入单位脉冲信号到系统中，然后测量系统的输出信号，通过对输入输出信号进行比较，可以得到系统的单位脉冲响应。
在数学计算中，我们可以通过系统的微分方程或差分方程来求解单位脉冲响应。
单位脉冲响应具有一些重要的性质。
首先，单位脉冲响应是系统的固有属性，不依赖于输入信号。
这意味着，只要系统的结构不变，单位脉冲响应就不会改变。
其次，单位脉冲响应可以用来描述系统的时域特性和频域特性。
通过对单位脉冲响应进行傅里叶变换，可以得到系统的频率响应函数，从而了解系统在不同频率下的响应情况。
单位脉冲响应在信号处理和系统控制中具有广泛的应用。
微积分讲座---Z3.13 单位脉冲响应的定义和求解
2
3.2 基本信号与基本响应 2.求法
第三章 离散系统的时域分析
由于单位脉冲序列δ(k)仅在k=0处等于1，而在k>0时 为零，因而此时单位脉冲响应h(k)与系统的零输入响 应的函数形式相同。这样就把求解h(k)的问题转换为 求解齐次方程的问题。而k=0处的值h(0)可按零状态的 条件由差分方程确定。
右边加法器的输出为：
y(k) 3x(k) x(k 1)
4
3.2 基本信号与基本响应
第三章 离散系统的时域分析
y(k) 4y(k 1) 3y(k 2) 3 f (k) f (k 1)
h(k) 4h(k 1) 3h(k 2) 3 (k) (k 1) (1)
初始状态： h(1) h(2) 0
5
3.2 基本信号与基本响应
第三章 离散系统的时域分析
特征根为：
1 1, 2 3
所 (k)
代入初始值得：
h(0) C1 C2 3
h(1) C1 3C2 11
解得：
C1 1,C2 4
由于h(0), h(1)作为初始值代入，因而方程的解也满足
由(1)得：h(k) 4h(k 1) 3h(k 2) 3 (k) (k 1)
迭代得初始值：
h(0) 4h(1) 3h(2) 3 3 h(1) 4h(0) 3h(1) 1 11
k≥2时，(1)式的单位脉冲响应化为齐次方程：
h(k) 4h(k 1) 3h(k 2) 0 (2)
由于单位脉冲序列k仅在k0处等于1而在k0时为零因而此时单位脉冲响应hk与系统的零输入响应的函数形式相同
3.2 基本信号与基本响应
知识点Z3.13
第三章 离散系统的时域分析
单位脉冲响应的定义和求解
单位脉冲响应与单位脉冲序列之间的关系
单位脉冲响应与单位脉冲序列之间的关系在数字信号处理中，单位脉冲响应（Unit Impulse Response，UIR）和单位脉冲序列（Unit Impulse Sequence，UIS）是两个常见的概念。
单位脉冲响应指的是一个线性时不变系统（Linear Time-Invariant System，LTI System）对于一个单位脉冲输入信号所产生的输出响应。
单位脉冲序列则是由若干个单位脉冲信号组成的序列，称为Kronecker delta序列。
首先，我们假设一个LTI系统的单位脉冲响应为$h_n$，输入的单位脉冲序列为$\delta_n$。
由定义可知，单位脉冲序列只在$n=0$时为1，其他位置为0，因此可以写成$\delta_n=\sum_{k=-\infty}^{\infty}\delta_{n,k}$的形式，其中$\delta_{n,k}$表示当$k=n$时为1，其他位置为0。
那么，当输入信号为单位脉冲序列$\delta_n$时，输出信号将为：$$ y_n=\sum_{k=-\infty}^{\infty}h_{n-k}\cdot\delta_{n,k} $$这里，$h_{n-k}$表示对于输入的单位脉冲信号在时刻$k$时的响应，相当于将$h_n$推迟$k$个单位时间。
而$\delta_{n,k}$表示在时刻$k$时输入的单位脉冲信号。
利用单位冲击响应的定义，我们可以将$h_{n-k}$表示为：这样，上式就可以写成：由此可见，当输入信号为单位脉冲序列时，输出信号就是单位脉冲响应的序列。
这个序列包含了系统对于每个时间点的响应，因此可以反映出系统的时域特性。
同时，这个序列也可以用于系统的卷积计算，即将输入信号和单位脉冲响应的序列卷积，得到输出信号。
滤波器系数、单位脉冲响应、频率响应等概念笔记
滤波器系数、单位脉冲响应、频率响应等概念笔记
单位脉冲响应：单位脉冲和滤波器系数的卷积。
对于FIR滤波器来说，单位脉冲响应就是滤波器系数。
对于IIR滤波器，应该是需要⽤matlab中的filter函数，得到单位脉冲响应。
频率响应：幅度和相位随频率的变化关系。
具体地，幅度随频率的变化关系称为幅频响应；相位随频率的变化关系称为相频相应。
单位脉冲响应经过FFT变换后会得到频率和对应的h(z)，h(z)是⼀个复数值，其中绝对值为幅度，⾓度为相位。
例：使⽤freqz得到FIR滤波器的频响
[hz,fre]=freqz(b_fir,1,Ns,'whole',fs);
figure
plot(fre,abs(hz))
title('幅频响应')
figure
plot(fre,unwrap(angle(hz))) % unwrap为解卷积函数，画出的是连续相位
title('相频响应')
下图是
b_fir=[0.8,0.3,0.1,0.1] 对应的频响。
注意到FIR的相位是线性的。
PS：freqz本质上也是FFT。
3_10离散时间LTI系统的单位脉冲响应
此方法称为等效初始条件法
2. 单位脉冲响应的求解
[例] 某离散因果LTI系统的差分方程为 y[k] 3y[k 1] 2y[k 2] x[k] 求系统的单位脉冲响应h[k]。
解：h[k]满足方程 h[k] 3h[k 1] 2h[k 2] d[k] （1) 确定h[k]的形式 特征方程为 r 2 3r 2 0 特征根为 r1 1, r2 2
(2) 求等效初始条件 对于因果系统有h[－1] = h[－2] = 0，代入上面方程可推出
h[0] d[0] 3h[1] 2h[2] 1
h[1] d [1] 3h[0] 2h[1] 3
二阶系统需要两个初始条件，可以选择h[0]和h[1]
2. 单位脉冲响应的求解
C1=－1，C2= 2
h[k ] [(1)k 2(2)k ]u[k ]
[例] 某离散因果LTI系统的差分方程为 y[k] 3y[k 1] 2y[k 2] x[k] 求系统的单位脉冲响应h[k]。
解：h[k]满足方程 h[k] 3h[k 1] 2h[k 2] d[k] (3) 确定齐次解的待定系数 代入初始条件
h[0] C1 C2 1, h[1] C1 2C2 3
h[k ] C1 (1) k C2 (2) k , k 0
2. 单位脉冲响应的求解
[例] 某离散因果LTI系统的差分方程为 y[k] 3y[k 1] 2y[k 2] x[k] 求系统的单位脉冲响应h[k]。
✓选择初始条件基本原则是必须将d[k]的作用体现在初始条件中 解：h[k]满足方程 h[k] 3h[k 1] 2h[k 2] d[k]
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单位阶跃响应1——单纯惯性型
y(t)
1
0.9 y( )
误差带Δ=5%
1.05 y( )
0.95 y( )
ess
0.1 y( )
0
tr ts
ess:稳态误差 tr:上升时间 ts:调节时间
t
15
单位阶跃响应2——衰减振荡型
y(t)
误差带Δ=5%
超调量
1
y( )
0
tr
tp
ess:稳态误差 tr:上升时间 tp:峰值时间
R(s)
Y(s)
G(s)
S平面 j
以下设 K=1 ，T>0
T<0时G的极点位置？
P=-1/T 0
T>0时G的极点分布
17
一阶系统的典型响应
（1）单位阶跃响应
R( s ) 1 s
r(t) 系统 y(t) R(s) G(s) Y(s)
Y ( s ) G( s ) R( s ) 1 1 1 T Ts 1 s s Ts 1
A
A 为常数
0
t
A=1 时 单位阶跃信号，常表示为
r(t) = 1( t )
一般情况下可表示为 r(t) = A×1( t )
对应的拉氏变换为
R(t) = A / s
5
② 斜坡（速度）信号
r(t)
r( t ) At 1( t )
R(s) = A / s2
A=1 时 单位斜坡信号
0
t
对上式进行拉氏反变换得
t
y(t) 1 e T , t 0
T<0时， y(t)？
稳态分量
暂态分量
K≠1 时， y(t)=？
18
0.9 0.1
暂态性能指标：ts= 3T（Δ=5% ）, tr=2.2T, σp= 0
稳态指标：ess= 0
ts= 4T（Δ=2% ）
特点：T↓（极点与虚轴的距离↑） 快速性↑
本章主要内容
1. 对自动控制系统的基本要求 2. 几种典型输入信号及响应之间的关系 3. 控制系统的暂态响应特性 4. 控制系统的稳定性 5. 控制系统的稳态误差
1
3.1 对自动控制系统的基本要求
稳定性
re
u
y
控制器
对象
受扰后能恢复平衡，
跟踪输入信号时不 振荡或发散
稳态响应性能
跟踪精度高或稳态误差小
11
阶跃响应 脉冲响应的积分 即 斜坡响应 阶跃响应的积分
抛物线响应 斜坡响应的积分
脉冲响应=阶跃响应的微分
或 阶跃响应=斜坡响应的微分 斜坡响应=抛物线响应的微分
注：最常用的是单位阶跃响应
r(t)
y(t)
系统
12
3.3 控制系统的暂态响应特性
单位阶跃响应与性能指标 一阶系统的暂态响应特性 二阶规范型系统的暂态响应特性 零点对二阶系统暂态响应的影响 高阶系统的暂态响应
1(
t
t
)
1
t
2
2
1 s
Y2 ( s )
1 s 2
Y3 ( s )
1 s3
Y4 ( s )
Y2(s)
1 s Y1(
s
),
Y3(s)
1 s Y2 (
s
),
Y4(s)
1 s Y3 (
s
);
或 Y1(s) sY2 ( s ), Y2(s) sY3 ( s ), Y3(s) sY4 ( s )
13
3.3.1 单位阶跃响应与性能指标
性能指标：优化类， 非优化类
如 e2 ( t )dt , t1 u2 ( t )dt
0
0
响应曲线的特性
优化需要较多的数学 r e
u
y
分析和计算，而基于
控制器
对象
响应曲线特性的非优
检测
化问题则更为直观。
反馈控制系统
本章讨论非优化的暂态和稳态指标。
14
典型响应：系统在零初始状态下，在典型输入 信号作用下的响应。如：单位脉冲响应、单位 阶跃响应、单位斜坡响应、单位抛物线响应。
r(t)
y(t)
系统
10
r(t) 系统 y(t) R(s) G(s) Y(s)
4种典型响应之间的关系
R(s)
Y(s)
( t )
1
Y1 ( s )
r(t)
动态（暂态）响应性能
检测
反馈控制系统
可概括为 稳（稳定、平稳）、 快、准。
（跟踪、抗扰）响应的快速性、平稳性好
2
典型跟踪响应：
期望值
y
time 3
典型抗扰响应：
期望值
加扰动
y time
4
3.2 几种典型输入信号及响应之间的关系
① 阶跃信号
r(t)
A, t 0 r(t) 0 , t 0
,
R(s) = A
r( t )dt A
矩形 脉冲
t
A=1时 单位脉冲函数，记作δ(t)
7
⑤ 正弦信号
r(
t
)
A 0,
sin( t
t0
),
t0
A为振幅，ω为角频率，φ为初始相角。
s sin cos
R( s )
s2 2 0 R( s )
ts:调节时间
1.05 y( )
ess
0.95 y( )
超调量:
σp(%)
y(t p ) y() 100% y()
t
ts
16
3.3.2 一阶系统的暂态响应特性
数学模型为 T dy( t ) y( t ) Kr( t ) dt
r(t)
y(t)
系统
Y( s ) K G( s ) R( s ) Ts 1
19
（2）一阶系统的单位脉冲响应
y( t )
d（单位阶跃响应）
1 t e T,
t0
dt
T
变化趋势与阶跃响应一致
20
（3）一阶系统的单位斜坡响应
y( t ) t (阶跃响应)dt 0 t (t T) TeT 稳态分量 暂态分量
出现稳态误差(ess=T) 变化趋势同样与阶跃响应一致
③ 抛物线（加速度）信号 r(t)
r(t) 1 At 2 1(t) 2
R(s) = A / s3
0
t
A=1 时 单位抛物线信号
6
④ 脉冲信号
r(t)
A
A/ , 0 t r( t ) 0 , t 0 或 t
0
令ε→0，即得脉冲信号的数学表达式为
ห้องสมุดไป่ตู้
, t 0 r( t ) 0 , t 0
s2 2
8
4 种典型输入信号之间的关系
微 对抛物线信号微分 = 斜坡信号
分 关
对斜坡信号微分 = 阶跃信号
系 对阶跃信号微分 = 脉冲信号
积 对脉冲信号积分 = 阶跃信号
分 关
对阶跃信号积分 = 斜坡信号
系 对斜坡信号积分 = 抛物线信号
9
典型初始条件与典型响应
典型初始条件：零状态，即 在t=0时 系统的输 入及输出以及各阶导数均为零。即在外作用施 加之前系统是静止的。
21
反馈控制系统分析例（一阶）