高中物理 第三章 磁场 习题课 带电粒子在磁场或复合场中的运动学案 新人教版选修31

习题课：带电粒子在磁场或复合场中的运动
[学习目标] 1.掌握带电粒子在磁场中运动问题的分析方法，会分析带电粒子在有界磁场中的运动.2.会分析带电粒子在复合场中的运动问题.
一、带电粒子在有界磁场中的运动
1.带电粒子在有界磁场中的圆周运动的几种常见情形
(1)直线边界(进出磁场具有对称性，如图1所示)
图1
(2)平行边界(存在临界条件，如图2所示)
图2
(3)圆形边界(沿径向射入必沿径向射出，如图3所示)
图3
2.带电粒子在有界磁场中运动的临界问题
带电粒子在有界磁场中运动，往往出现临界条件，要注意找临界条件并挖掘隐含条件.
例1平面OM和平面ON之间的夹角为30°，其横截面(纸面)如图4所示，平面OM上方存在匀强磁场，磁感应强度大小为B，方向垂直于纸面向外.一带电粒子的质量为m，电荷量为
q (q >0).粒子沿纸面以大小为v 的速度从OM 上的某点向左上方射入磁场，速度与OM 成30°
角.已知该粒子在磁场中的运动轨迹与ON 只有一个交点，并从OM 上另一点射出磁场.不计重力.粒子离开磁场的出射点到两平面交线O 的距离为( )
图4
A.
mv 2qB B.3mv qB C.2mv qB D.4mv qB
答案 D
解析 带电粒子在磁场中做圆周运动的轨道半径为r ＝mv qB
.轨迹与ON 相切，画出粒子的运动轨迹如图所示，由于AD ＝2r sin 30°＝r ，故△AO ′D 为等边三角形，∠O ′DA ＝60°，而
∠MON ＝30°，则∠OCD ＝90°，故CO ′D 为一直线，OD ＝CD
sin 30°＝2CD ＝4r ＝4mv
qB
，故D
正确.
针对训练 如图5所示，PN 和MQ 两板平行且板间存在垂直纸面向里的匀强磁场，两板间距离及PN 和MQ 长均为d ，一带正电质子从PN 板的正中间O 点以速度v 0垂直射入磁场，为使质子能射出两板间，试求磁感应强度B 的大小.已知质子带电荷量为e ，质量为m .
图5
答案
4mv 05de ≤B ≤4mv 0
de
解析 由左手定则可知，质子向上偏转，所以质子能射出两板间的条件是：
B 较小时，质子从M 点射出(如图所示)，此时运动轨迹的圆心为O ′点，由
平面几何知识得
R 2＝d 2＋(R －12d )2，得R ＝54
d 质子在磁场中有ev 0B ＝mv 20
R
所以R ＝
mv 0eB ，即54d ＝mv 0eB 1，B 1＝4mv 0
5de
B 较大时，质子从N 点射出，此时质子运动了半个圆周，运动轨迹半径R ′＝d
4
.
所以14d ＝mv 0eB 2，即B 2＝4mv 0
de
，
综合上述两种情况，B 的大小为4mv 05de ≤B ≤4mv 0
de .
二、带电粒子在组合场中的运动
带电粒子在电场、磁场组合场中的运动是指粒子从电场到磁场、或从磁场到电场的运动.通常按时间的先后顺序分成若干个小过程，在每一运动过程中从粒子的受力性质、受力方向和速度方向的关系入手，分析粒子在电场中做什么运动，在磁场中做什么运动. 1.在电场中运动：
(1)若初速度v 0与电场线平行，粒子做匀变速直线运动； (2)若初速度v 0与电场线垂直，粒子做类平抛运动. 2.在磁场中运动：
(1)若初速度v 0与磁感线平行，粒子做匀速直线运动； (2)若初速度v 0与磁感线垂直，粒子做匀速圆周运动. 3.解决带电粒子在组合场中的运动问题，所需知识如下：
例2 在平面直角坐标系xOy 中，第Ⅰ象限存在沿y 轴负方向的匀强电场，第Ⅳ象限存在垂直于坐标平面向外的匀强磁场，磁感应强度为B .一质量为m 、电荷量为q 的带正电的粒子从
y 轴正半轴上的M 点以速度v 0垂直于y 轴射入电场，经x 轴上的N 点与x 轴正方向成θ＝60°
角射入磁场，最后从y 轴负半轴上的P 点垂直于y 轴射出磁场，如图6所示.不计粒子重力，求：
图6
(1)M 、N 两点间的电势差U MN ； (2)粒子在磁场中运动的轨道半径r ； (3)粒子从M 点运动到P 点的总时间t . 答案 (1)3mv 2
02q (2)2mv 0
qB
(3)
3＋2π
m
3qB
解析 粒子在电场中做类平抛运动，在磁场中做匀速圆周运动，两者的衔接点是N 点的速度. (1)设粒子过N 点时的速度为v ，有v 0
v
＝cos θ，v ＝2v 0.
粒子从M 点运动到N 点的过程，有qU MN ＝12mv 2－12mv 20，所以U MN ＝3mv 2
02q
.
(2)如图所示，粒子在磁场中以O ′为圆心做匀速圆周运动，半径为O ′N ，有qvB ＝mv 2
r ，所
以r ＝mv qB
＝2mv 0
qB
.
(3)由几何关系得ON ＝r sin θ，设粒子在电场中运动的时间为t 1，有ON ＝v 0t 1，所以t 1＝ON
v 0
＝
r sin θv 0＝2m sin θqB ＝3m qB .粒子在磁场中做匀速圆周运动的周期T ＝2πm
qB
，设粒子在磁场中运动的时间为t 2，有t 2＝π－θ
2πT ＝π－
π32π·2πm qB ＝2πm 3qB .所以t ＝t 1＋t 2＝
3＋2π
m
3qB
.
三、带电粒子在叠加场中的运动
带电粒子在叠加场中的运动一般有两种情况：
(1)直线运动：如果带电粒子在叠加场中做直线运动，一定是做匀速直线运动，合力为零. (2)圆周运动：如果带电粒子在叠加场中做圆周运动，一定是做匀速圆周运动，重力和电场力的合力为零，洛伦兹力提供向心力.
例3 如图7所示，在地面附近有一个范围足够大的相互正交的匀强电场和匀强磁场.匀强磁场的磁感应强度为B ，方向水平并垂直纸面向外，一质量为m 、带电荷量为－q 的带电微粒在此区域恰好做速度大小为v 的匀速圆周运动.(重力加速度为g )
图7
(1)求此区域内电场强度的大小和方向；
(2)若某时刻微粒运动到场中距地面高度为H 的P 点，速度与水平方向成45°角，如图所示.则该微粒至少需要经过多长时间才能运动到距地面最高点？最高点距地面多高？
答案 (1)mg q 方向竖直向下 (2)3πm
4qB H ＋
＋2
mv
2qB
解析 (1) 要满足带负电微粒做匀速圆周运动，则：
qE ＝mg 得E ＝mg
q
，方向竖直向下.
(2)如图所示，
当微粒第一次运动到最高点时，α＝135°， 则t ＝α2πT ＝135°360°T ＝3T 8
T ＝
2πm qB
所以：t ＝3πm 4qB ，因微粒做匀速圆周运动，qvB ＝m v
2
R ，
则R ＝mv qB
，故最高点距地面的高度为：
H 1＝R ＋R sin 45°＋H ＝H ＋
2＋2mv
2qB
.
1.半径为r 的圆形空间内，存在着垂直于纸面向里的匀强磁场，一个带电粒子(不计重力)从
A 点以速度v 0垂直磁场方向射入磁场中，并从
B 点射出.∠AOB ＝120°，如图8所示，则该带
电粒子在磁场中运动的时间为( )
图8
A.
2πr 3v 0 B.23πr 3v 0 C.πr 3v 0 D.3πr
3v 0
答案 D
2.(多选)如图9所示，左、右边界分别为PP ′、QQ ′的匀强磁场的宽度为d ，磁感应强度大小为B ，方向垂直纸面向里.一个质量为m 、电荷量为q 的带电粒子，沿图示方向以速度v 0垂直射入磁场.欲使粒子不能从边界QQ ′射出，粒子入射速度v 0的最大值可能是( )
图9
A.Bqd m
B.
＋2Bqd
m
C.
－2
Bqd
m
D.
2Bqd
2m
答案 BC
解析 粒子射入磁场后做匀速圆周运动，由r ＝
mv 0
qB
知，粒子的入射速度v 0越大，r 越大，当粒子的径迹和边界QQ ′相切时，粒子刚好不从QQ ′射出，此时其入射速度v 0应为最大.若粒子带正电，其运动轨迹如图(a)所示(此时圆心为O 点)，容易看出R 1sin 45°＋d ＝R 1，将R 1＝
mv 0
qB
代入上式得v 0＝
＋2Bqd
m
，B项正确.若粒子带负电，其运动轨迹如图(b)所示(此时圆心为O′点)，容易看出R 2＋R2cos 45°＝d，将R2＝
mv0
qB
代入上式得v0＝
－2Bqd
m
，C项正确.
3.如图10所示，有理想边界的匀强磁场方向垂直纸面向外，磁感应强度大小为B，某带电粒子的比荷(电荷量与质量之比)大小为k，由静止开始经电压为U的电场加速后，从O点垂直射入磁场，又从P点穿出磁场.下列说法正确的是(不计粒子所受重力)( )
图10
A.如果只增加U，粒子可以从dP之间某位置穿出磁场
B.如果只减小B，粒子可以从ab边某位置穿出磁场
C.如果既减小U又增加B，粒子可以从bc边某位置穿出磁场
D.如果只增加k，粒子可以从dP之间某位置穿出磁场
答案 D
解析由已知可得qU＝
1
2
mv2，k＝
q
m
，r＝
mv
qB
，解得r＝
2kU
kB
.对于选项A，只增加U，r增大，粒子不可能从dP之间某位置穿出磁场.对于选项B，粒子电性不变，不可能向上偏转从ab边某位置穿出磁场.对于选项C，既减小U又增加B，r减小，粒子不可能从bc边某位置穿出磁场.对于选项D，只增加k，r减小，粒子可以从dP之间某位置穿出磁场.
4.如图11，在第一象限存在匀强磁场，磁感应强度方向垂直于纸面(xOy平面)向外；在第四象限存在匀强电场，方向沿x轴负向.在y轴正半轴上某点以与x轴正向平行、大小为v0的速度发射出一带正电荷的粒子，该粒子在(d,0)点垂直于x轴的方向进入电场.不计重力.若该粒子离开电场时速度方向与y轴负方向的夹角为θ，求：
图11
(1)电场强度大小与磁感应强度大小的比值； (2)该粒子在电场中运动的时间. 答案 (1)12v 0tan 2
θ (2)2d v 0tan θ
解析 (1)如图，粒子进入磁场后做匀速圆周运动.设磁感应强度的大小为
B ，粒子质量与所带电荷量分别为m 和q ，圆周运动的半径为R 0.由牛顿第
二定律得
qv 0B ＝mv 2
0R 0
① 由题给条件和几何关系可知R 0＝d
②
设电场强度大小为E ，粒子进入电场后沿x 轴负方向的加速度大小为a x ，在电场中运动的时间为t ，离开电场时沿x 轴负方向的速度大小为v x ，由牛顿运动定律及运动学公式得
Eq ＝ma x
③ v x ＝a x t ④ v x
2
t ＝d
⑤
由于粒子在电场中做类平抛运动(如图)，有 tan θ＝v x v 0
⑥
联立①②③④⑤⑥式得
E B ＝12
v 0tan 2
θ. ⑦
(2)联立⑤⑥式得 t ＝2d v 0tan θ
. ⑧
一、选择题(1～5题为单选题，6～10题为多选题)
1.如图1所示，比荷为e m
的电子垂直射入宽度为d 、磁感应强度为B 的匀强磁场区域，则电子
能从右边界射出这个区域，至少应具有的初速度大小为(
)
图1
A.2eBd
m
B.eBd m
C.eBd 2m
D.
2eBd
m
答案 B
解析 要使电子能从右边界射出这个区域，则有R ≥d ，根据洛伦兹力提供向心力，可得R ＝mv
Bq
≥d ，则至少应具有的初速度大小为v ＝
eBd
m
，B 正确. 2.如图2所示，在第一象限内有垂直纸面向里的匀强磁场，一对正、负电子分别以相同速度沿与x
轴成30°角从原点射入磁场，则正、负电子在磁场中运动时间之比为( )
图2
A.1∶2
B.2∶1
C.1∶ 3
D.1∶1
答案 B
解析 如图所示，粗略地画出正、负电子在第一象限内的匀强磁场中的运动轨迹.由几何关系知，正电子轨迹对应的圆心角为120°，运动时间为t 1＝T 1
3，其中T 1为正电子运动的周期，由T ＝2πr v 及qvB ＝mv
2
r
知T 1＝
2πm eB ；同理，负电子在磁场中运动的周期T 2＝T 1＝2πm eB
，但由几何关系知负电子在磁场中转
过的圆心角为60°，故在磁场中运动的时间t 2＝T 2
6
.所以正、负电子在磁场中运动的时间之
比为t 1t 2＝T 1
3T 26
＝2
1
，故B 选项正确.
3.如图3，空间某一区域内存在着相互垂直的匀强电场和匀强磁场，一个带电粒子以某一初速度由A 点进入这个区域沿直线运动，从C 点离开此区域；如果这个区域只有电场，则粒子从B 点离开场区；如果这个区域只有磁场，则粒子从D 点离开场区；设粒子在上述三种情况下，从A 到B 点、A 到C 点和A 到D 点所用的时间分别是t 1、t 2和t 3，比较t 1、t 2和t 3的大小，则有(粒子重力忽略不计)( )
图3
A.t 1＝t 2＝t 3
B.t 2＜t 1＜t 3
C.t 1＝t 2＜t 3
D.t 1＝t 3＞t 2
答案 C
解析 在复合场中沿直线运动时，带电粒子速度大小和方向都不变；只有电场时，粒子沿初速度方向的分速度不变，故t 1＝t 2.只有磁场时，粒子做匀速圆周运动，速度大小不变，方向时刻改变，运动轨迹变长，时间变长，故t 1＝t 2＜t 3，C 正确.
4.一圆筒处于磁感应强度大小为B 的匀强磁场中，磁场方向与筒的轴平行，筒的横截面如图4所示.图中直径MN 的两端分别开有小孔，筒绕其中心轴以角速度ω顺时针转动.在该截面内，一带电粒子从小孔M 射入筒内，射入时的运动方向与MN 成30°角.当筒转过90°时，该粒子恰好从小孔N 飞出圆筒.不计重力.若粒子在筒内未与筒壁发生碰撞，则带电粒子的比荷为( )
图4
A.ω3B
B.ω2B
C.ωB
D.2ωB 答案 A
解析 画出粒子的运动轨迹如图所示，由洛伦兹力提供向心力得，qvB ＝m v 2r ，又T ＝2πr v
，
联立得T ＝2πm
qB
由几何知识可得，轨迹的圆心角为θ＝π6，在磁场中运动时间t ＝θ
2πT ，粒子运动和圆筒运
动具有等时性，则θ2πT ＝π
2ω，解得q m ＝ω
3B
，故选项A 正确.
5.如图5所示，正六边形abcdef 区域内有垂直于纸面的匀强磁场.一带正电的粒子从f 点沿
fd 方向射入磁场区域，当速度大小为v b 时，从b 点离开磁场，在磁场中运动的时间为t b ，当
速度大小为v c 时，从c 点离开磁场，在磁场中运动的时间为t c ，不计粒子重力.则(
)
图5
A.v b ∶v c ＝1∶2，t b ∶t c ＝2∶1
B.v b ∶v c ＝2∶1，t b ∶t c ＝1∶2
C.v b ∶v c ＝2∶1，t b ∶t c ＝2∶1
D.v b ∶v c ＝1∶2，t b ∶t c ＝1∶2 答案 A
解析 带正电粒子在匀强磁场中做匀速圆周运动，洛伦兹力提供向心力，运动轨迹如图所示，由几何关系得，r c ＝2r b ，θb ＝120°，θc ＝
60°，由qvB ＝m v 2r 得，v ＝qBr m ，则v b ∶v c ＝r b ∶r c ＝1∶2, 又由T ＝2πm
qB ，
t ＝
θ
2π
T 和θb ＝2θc 得t b ∶t c ＝2∶1，故选项A 正确，B 、C 、D 错误. 6.如图6所示，两个横截面分别为圆形和正方形、磁感应强度相同的匀强磁场，圆形的直径
D 等于正方形的边长，两个电子以相同的速度分别飞入两个磁场区域，速度方向均与磁场方
向垂直，进入圆形区域的电子速度方向对准了圆心，进入正方形区域的电子是沿一边的中心
且垂直于边界线进入的，则( )
图6
A.两电子在磁场中运动的半径一定相同
B.两电子在磁场中运动的时间有可能相同
C.进入圆形区域的电子一定先飞离磁场
D.进入圆形区域的电子一定不会后飞离磁场
答案ABD
7.一个带电微粒在如图7所示的正交匀强电场和匀强磁场中的竖直平面内做匀速圆周运动，重力不可忽略，已知轨迹圆的半径为r，电场强度的大小为E，磁感应强度的大小为B，重力加速度为g，则( )
图7
A.该微粒带正电
B.带电微粒沿逆时针旋转
C.带电微粒沿顺时针旋转
D.微粒做圆周运动的速度为gBr E
答案BD
解析带电微粒在重力场、匀强电场和匀强磁场中做匀速圆周运动，可知，带电微粒受到的重力和电场力是一对平衡力，重力竖直向下，所以电场力竖直向上，与电场方向相反，故可知该微粒带负电，A错误；磁场方向向外，洛伦兹力的方向始终指向圆心，由左手定则可判断微粒的旋转方向为逆时针(四指所指的方向与带负电的微粒的运动方向相反)，B正确，C 错误；由微粒做匀速圆周运动，知电场力和重力大小相等，得：mg＝qE ①
带电微粒在洛伦兹力的作用下做匀速圆周运动的半径为： r ＝mv qB
②
联立①②得：v ＝
gBr
E
，D 正确. 8.如图8所示，空间存在竖直向下的匀强电场和垂直纸面向外的匀强磁场，一带电液滴从静止开始自A 沿曲线ACB 运动，到达B 点时速度为零，C 点是运动的最低点，阻力不计，以下说法中正确的是( )
图8
A.液滴一定带负电
B.液滴在C 点时动能最大
C.液滴从A 运动到C 的过程中机械能守恒
D.液滴将由B 点返回A 点 答案 AB
解析 由轨迹走向可知液滴一定带负电.洛伦兹力不做功，液滴由A 到C ，克服电场力做功，所以从A 运动到C 过程中机械能不守恒，由于重力大于电场力，所以由动能定理知，液滴在
C 点时动能最大.液滴到达B 处后，向右重复类似于A →C →B 的运动，不能再由B 点返回A 点.
故选A 、B.
9.如图9所示，A 板发出的电子(重力不计)经加速后，水平射入水平放置的两平行金属板M 、
N 间，M 、N 之间有垂直纸面向里的匀强磁场，电子通过磁场后最终打在荧光屏P 上，关于电
子的运动，下列说法中正确的是( )
图9
A.当滑动触头向右移动时，电子打在荧光屏的位置上升
B.当滑动触头向右移动时，电子通过磁场区域所用时间不变
C.若磁场的磁感应强度增大，则电子打在荧光屏上的速度大小不变
D.若磁场的磁感应强度增大，则电子打在荧光屏上的速度变大
答案AC
解析当滑动触头向右移动时，电场的加速电压增大，加速后电子动能增大，进入磁场时的初速度增大，向下偏转程度变小，打在荧光屏的位置上升；在磁场中运动对应的圆心角变小，运动时间变短，选项A正确，B错误；磁感应强度增大，电子在磁场中运动速度大小不变，打在荧光屏上的速度大小不变，选项C正确，D错误.
10.如图10所示，实线表示在竖直平面内的电场线，电场线与水平方向成α角，水平方向的匀强磁场与电场正交，有一带电液滴沿虚线L斜向上做直线运动，L与水平方向成β角，且α＞β，则下列说法中正确的是( )
图10
A.液滴一定做匀减速直线运动
B.液滴一定做匀加速直线运动
C.电场方向一定斜向上
D.液滴一定带正电
答案CD
解析带电液滴受竖直向下的重力G、沿电场线方向的电场力F、垂直于速度方向的洛伦兹力F洛，这三个力的合力不可能一直沿带电液滴的速度方向，因此这三个力的合力一定为零，带电液滴做匀速直线运动，不可能做匀变速直线运动，故选项A、B错误.当带电液滴带正电，且电场线方向斜向上时，带电液滴受竖直向下的重力、沿电场线向上的电场力、垂直于速度方向斜向左上方的洛伦兹力作用，这三个力的合力可能为零，带电液滴沿虚线L做匀速直线运动.如果带电液滴带负电或电场线方向斜向下时，带电液滴所受合力不为零，不可能沿直线运动，故选项C、D正确.
二、非选择题
11.在以坐标原点O为圆心、半径为r的圆形区域内，存在磁感应强度大小为B、方向垂直于纸面向里的匀强磁场，如图11所示.一个不计重力的带电粒子从磁场边界与x轴的交点A处以速度v沿－x方向射入磁场，它恰好从磁场边界与y轴的交点C处沿＋y方向飞出.
图11
(1)请判断该粒子带何种电荷，并求出其比荷q m
；
(2)若磁场的方向和所在空间范围不变，而磁感应强度的大小变为B ′，该粒子仍从A 处以相同的速度射入磁场，但飞出磁场时的速度方向相对于入射方向改变了60°角，求磁感应强度
B ′多大？此次粒子在磁场中运动所用时间t 是多少？
答案 (1)负电荷
v Br (2)33B 3πr
3v
解析 (1)由粒子的运动轨迹(如图)，利用左手定则可知，该粒子带
负电荷.
粒子由A 点射入，由C 点飞出，其速度方向改变了90°，则粒子轨迹半径R ＝r ，
又qvB ＝m v 2
r
，
则粒子的比荷q m ＝
v
Br
. (2)设粒子从D 点飞出磁场，速度方向改变了60°角，故AD 弧所对圆心角为60°，粒子做圆周运动的半径R ′＝
r
tan 30°＝ 3r ，又R ′＝mv qB ′，所以B ′＝3
3
B ，粒子在磁场中运动所
用时间t ＝16T ＝16×2πR ′v ＝3πr
3v
.
12.如图12所示为质谱仪的原理图，M 为粒子加速器，电压为U 1＝5 000 V ；N 为速度选择器，磁场与电场正交，磁感应强度为B 1＝0.2 T ，板间距离为d ＝0.06 m ；P 为一个边长为l 的正方形abcd 的磁场区，磁感应强度为B 2＝0.1 T ，方向垂直纸面向外，其中dc 的中点s 处开有小孔，外侧紧贴dc 放置一块荧光屏.今有一比荷为q
m
＝108
C/kg 的正离子从静止开始经加速后，恰好通过速度选择器，从a 孔以平行于ab 方向进入abcd 磁场区，正离子刚好经过小孔s 打在荧光屏上.求：
图12
(1)粒子离开加速器时的速度v ； (2)速度选择器的电压U 2； (3)正方形abcd 的边长l .
答案 (1)106
m/s (2)1.2×104
V (3)0.16 m 解析 (1)粒子加速过程qU 1＝12mv 2
粒子离开加速器时的速度v ＝
2qU 1
m
＝106
m/s.
(2)在速度选择器中的运动过程：qvB 1＝qE ，E ＝U 2d
速度选择器的电压U 2＝B 1vd ＝1.2×104
V. (3)粒子在磁场区域做匀速圆周运动
qvB 2＝mv 2r ，r ＝mv
qB 2
＝0.1 m
由几何关系得r 2
＝(l －r )2
＋l 2
4
解得：l ＝8
5
r ＝0.16 m.
13.如图13所示xOy 坐标系，在第二象限内有水平向右的匀强电场，在第一、第四象限内分别存在匀强磁场，磁感应强度大小相等，方向如图所示.现有一个质量为m 、电量为＋q 的带电粒子在该平面内从x 轴上的P 点，以垂直于x 轴的初速度v 0进入匀强电场，恰好经过y 轴上的Q 点且与y 轴成45°角射出电场，再经过一段时间又恰好垂直于x 轴进入第四象限的磁场.已知OP 之间的距离为d (不计粒子的重力).求：
图13
(1)O 点到Q 点的距离； (2)磁感应强度B 的大小；
(3)带电粒子自进入电场至在磁场中第二次经过x 轴所用的时间. 答案 (1)2d (2)mv 0
2qd
(3)
π＋d
2v 0
解析 (1)设Q 点的纵坐标为h ，到达Q 点的水平分速度为v x ，P 到Q 受到恒定的电场力与初速度垂直，为类平抛运动，则由类平抛运动的规律可知 竖直方向匀速直线运动，h ＝v 0t 1
水平方向匀加速直线运动的平均速度v ＝0＋v x
2，
则d ＝
v x t 1
2
根据速度的矢量合成tan 45°＝v x v 0
，解得h ＝2d .
(2)粒子运动轨迹如图所示，由几何知识可得，粒子在磁场中的运动半径R ＝22d
由牛顿第二定律qvB ＝m v 2R ，解得R ＝mv
qB
由(1)可知v ＝v 0
cos 45°＝2v 0
联立解得B ＝mv 0
2qd
.
(3)在电场中的运动时间为t 1＝2d
v 0
在磁场中，由运动学公式T ＝2πR
v
在第一象限中的运动时间为t 2＝135°360°·T ＝38T
在第四象限内的运动时间为t 3＝T
2
带电粒子自进入电场至在磁场中第二次经过x 轴所用的时间为t ＝t 1＋t 2＋t 3＝
π＋d
2v 0
.。