2020年安徽蚌埠高三二模数学试卷(理科)

2020年安徽蚌埠高三二模数学试卷（理科）
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）
A.
B.
C.
D.
1.已知为虚数单位，复数满足，则（ ）．
A.
B.
C.
D.
2.已知集合，
，则
（ ）．
海水稻普通水稻
3.海水稻就是耐盐碱水稻，是一种介于野生稻和栽培稻之间的普遍生长在海边滩涂地区的水稻，具有抗旱、抗涝、抗病虫害、抗倒伏、抗盐碱等特点．近年来，我国的海水稻研究取得了阶段性成果，目前已开展了全国大范围试种．某农业科学研究所分别抽取了试验田中的海水稻以及对照田中的普通水稻各株，测量了它们的根系深度（单位：
），得到了如下的茎叶图，其中两竖线之间表示根系深度的十
位数，两边分别是海水稻和普通水稻根系深度的个位数，则下列结论中的是（ ）．
A.海水稻根系深度的中位数是
B.普通水稻根系深度的众数是
C.海水稻根系深度的平均数大于普通水稻根系深度的平均数
D.普通水稻根系深度的方差小于海水稻根系深度的方差
不.正.确.
A.
B.
C. D.
4.在棱长为的正方体内随机抽取一点，则该点恰好在以为球心，半径的球
的内部的概率是（ ）．5.已知，，则（ ）．
A.B.
C.
D.
6.
已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（ ）．
正视图
俯视图
左视图
A.B.C.
D.
7.过抛物线
的焦点的直线与抛物线相交于，两点，其中点位于第一象限．若
，则直线
的斜率为（ ）．
A.B.C.
D.
8.函数
的图象大致为（ ）．
A.
B.
C.
D.
9.已知函数，，则的值域为（ ）．
A.
B.
C.
D.
10.一副三角板由一块有一个内角为的直角三角形和一块等腰直角三角形组成，如图所示，
，，，．现将两块三角板拼接在一起，取中点与
中点，则下列直线与平面所成的角不为定值的是（ ）．
A.
B.
C.
D.
11.已知函数，有下列四个结论：
①函数的值域为
②函数的最小正周期为
③函数在上单调递增
④函数的图象的一条对称轴为
其中正确的结论是（ ）．
A.②③
B.②④
C.①④
D.①②
12.已知函数，若在处取得极值，且，
恒成立，则实数的最大值为（ ）．
A.
B.
C.
D.
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
13.已知实数，满足，则目标函数的最大值为 ．
14.在的展开式中，只有第项的二项式系数最大，则展开式中的系数为 ．
15.若，是双曲线 的左，右焦点，过左焦点的直线与双曲线
的左、右两支分别交于，两点，若，则双曲线的离心率
是 ．
16.某小区欲利用一块直角三角形空地（如图）建一个正三角形（如图）健身器材休闲场地，经测量，，．若正三角形的顶点在的三条
边界线上，则该健身器材休闲场地面积的最小值为 ．
三、解答题（本大题共5小题，每小题12分，共60分）
（1）（2）17.若数列的前项和满足对任意的正整数，均有
．
求数列的通项公式
．
令
，求数列
的前项和
．
（1）（2）18.如图，四边形为矩形，，，为线段上的动
点．
若为线段的中点，求证：
平面．
若三棱锥的体积记为
，四棱锥
的体积记为
，当
时，求二
面角
的余弦值．
（1）（2）19.某饼屋进行为期天的五周年店庆活动，现策划两项有奖促销活动，活动一：店庆期间每位顾客一次性消费满
元，可得
元代金券一张；活动二：活动期间每位顾客每天有一次机会获得一个一元或
两元红包．根据前一年该店的销售情况，统计了位顾客一次性消费的金额数（元），频数分布表如
下图所示：
一次性消费金额数
人数
以这
位顾客一次消费金额数的频率分布代替每位顾客一次消费金额数的概率分布．
预计该店每天的客流量为
人次，求这次店庆期间，商家每天送出代金券金额数的期望．
假设顾客获得一元或两元红包的可能性相等，商家在店庆活动结束后会公布幸运数字，连续天参加返红包的顾客，如果红包金额总数与幸运数字一致，则可再获得元的“店庆幸运红包”一个．若公布的幸运数字是“”，求店庆期间一位连续
天消费的顾客获得红包金额总数的期望．
（1）20.已知椭圆
一个顶点的坐标为
，且离心率，，是其
左，右顶点．过点的直线与轴垂直，点在直线
上，
为
的中点．设是椭圆上异于椭圆顶点的一点，
轴，
为垂足，射线
与直线交与点
，且
．
求椭圆的标准方程．
【答案】
解析:
∵
．
故选．
解析:
集合，
，
或，
则．
（2）若，求的值．
（1）
（2）
21.已知函数在区间内存在零点．
求的范围．
设，，是的两个零点，求证：．
四、选做题（本大题共2小题，选做1题，共10分）
（1）
（2）
22.在直角坐标系中，以原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线，过点的直线（为参数）与曲线相交于，两点．
求曲线的直角坐标方程和直线的普通方程．
若，求实数的取值范围．
（1）
（2）
23.已知函数．
求不等式的解集．
若，使得不等式成立，求实数的最大值．
A
1.
B
2.
故选．解析:
∵正方体棱长为，∴
，
以为球心，
为半径的球的体积为
,
其与正方体重合部分的体积，
∴概率．
故选．解析:∵
，
，，
，
．故选．解析:
如图该几何体为圆柱切去了
，
D 3.D 4.C 5.C 6.
由三视图可知，此几何体高为，底面半径为，
，
故选．解析:
如图所示，过作
准线，过作
准线．
x
y
O
∵，∴可设
=1，则
．
由抛物线性质可得：
，
，
则，
，
在
中，
，
，
故直线的斜率为
．
故选．解析:函数，需使函数有意义，需满足
，
解得，
所以函数
定义域为
，
表
C 7.
D 8.
∵，
∴函数为奇函数，则、错误，
由当时，
，且
，
则，故错误，正确．
故选：．解析:函数 ，
由
，
，
，
故的值域为
．
故选．解析:
，
是
的中点，，
在
中，是的中点，是
的中点，
，，
B 9.B 10.
，，
，
平面，
、在平面的投影为．
对于:连接
，在平面的投影为，与平面
的所成角
，
始终为定值．故正确．
对于:同理，
与平面
的所成角为
，
为定值，故正确．
对于:
在平面的投影为，
是
与平面
的所成角，
为定值．故正确．
故答案选：．解析:① ∵，
，
若，且，则，，∴
，又，
，∴不成立；又若，
，则，
，
∴
，B 11.
∴即满足，
此时，故①错误；②当时，，
∴；当时，，
∴；当时，
，
∴，
∴的最小正周期为
，故②正确；
③∵
在
上无单调性，在上单调递增，在
上单调递减，且周期为
，
∴在
上不单调递增，故③错误；④当代入
得，
又为最小值，
∴
的一条对称轴为
，故④正确；
综上所述，②、④正确．故选．解析:
，
，
∵在
处取得极值，
∴，
即
，
，
，
对，恒成立，
对
，
恒成立，
D 12.
，
，
令，
，
令，，
在上单调递减，
在上单调递增，
，
要使，恒成立，
则，
则，故的最大值为．
13.
解析:
实数，满足，
作出二元一次不等式组所表示的平面区域，即可行域，
如图所示所在区域为可行域，
目标函数变形为，斜率为，
随变化的一族平行直线与直线经过可行域中点时有最大值，解方程组，
解得点坐标为，
，
所以最大值为．
14.
解析:
展开式只有第项的二项式系数最大，
，
解得：，
则．
展开式通项为：
令，解得：，
则
,
所以其展开式中的系数为．
15.
解析:
∵，
∴可设，，，
∵，
∴．
由双曲线的性质得：
，
即，
解得，，
∴， ，在中,
．
16.
解析:
∵，，，
∴，，
设正三角形边长为，，
而，
∴
，
，
，
在中，，，
在中，由正弦定理得：
（1）
（2），
∴，
∴，∴，
∴
，
其中，，∵，
∴．
解析:，
∴．当时，
，
∴，
即，
∴
是首项为，公比为的等比数列，
其通项为
．因为
，
所以，
∴
．
（1）．（2），
．
17.（1）证明见解析．（2）
18.
（1）（2）解析:连接
，
，
记它们的交点为，连接，
因为四边形为矩形，
∴为
中点，
又为线段
的中点，
∴，而平面，平面，
∴
平面
．
∵矩形
，
∴，
又，
∴
，
，
∴平面
，
设，
取中点，因为是等边三角形，∴，又因为平面，
∴
，
，
∴平面，且，
设三棱锥的高为，则
，
．
（1）（2）∴，
由，得，
解得
，
由题意，
如图以点为坐标原点建立空间直角坐标系，
则，，，，
∴，∴，
易知平面的一个法向量为，
设平面的法向量为
，则．
令
则得平面的一个法向量，
，
因为二面角为锐角二面角，所以二面角
的余弦值为
．
解析:
依题意，顾客一次消费满足元的概率为，
记商家每天送出代金券金额数为，则
，
∴商家每天送出代金券金额数的期望为
元．
记店庆期间一位连续天消费的顾客获得红包金额总数为，
（1）元．（2）元．
19.
（1）（2）则的可取值为，，，，，，
且
，，，，，
，
∴
，
店庆期间一位连续天消费的顾客获得红包金额总数的期望为
元．
解析:
设椭圆的半焦距为，由题意知
，
且，
解得
，
∴所求椭圆方程为
．设
，
，则由题意，
，∵，∴，．
∴直线的方程为，在直线上，
∴，∴，∵，
∴，
∴，
∴∴，
∵
，
（1）．
（2）．
20.
（1）（2）∴，
∴，
由于，，
∴
．解析:
由题意，方程
在区间有解，
即方程在区间
有解，设函数，即在区间
存在零点．因为，
①若
，则，
，
成立，
在区间
单调递增，
，
，
，
所以在区间存在零点；
②若，则
，
在内单调递减，且，所以在区间
无零点；③若，则，
，
当时，，，
故
在区间
无零点；
综上所述，
．
由（）可知，
时，
在区间单调递减，在区间单调递增，
且在区间
存在一个零点；又，
，
所以在区间也存在一个零点，从而，所以
，不等式得证．
（1）
．
（2）证明见解析．21.
（1）（2）（1）
（2）
解析:
根据题意
，即
，即
，
从而曲线的直角坐标方程为，
即，
又
，
消去参数可得直线的普通方程为:
．
根据题意，得圆心
到直线的距离，
即
，解得
，
所以实数的取值范围为
．
解析:，
当 时，
，解得；当时，，不成立；
当
时，
，解得
．
综上可知，不等式
的解集为
．，使得不等式
成立，
即
，所以
在
时有解，
当
时，
，
，
所以
．
（1）曲线的直角坐标方程为，直线的普通方程为．
（2）．
22.（1）．
（2）．23.，。