高三数学第三次模拟考试试题文1

卜人入州八九几市潮王学校HY 第二高级2021届高三数学第三次模拟考试试题文
本卷须知： 1.
2.答复选择题时，选出每一小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目之答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，
再选涂其他答案标号。

答复非选择题时，将答案写在答题卡上。

写在套本套试卷上无效。

3.在在考试完毕之后以后，监考人员将答题卡收回。

一、选择题〔本大题一一共12小题，每一小题5分，一共60分，在每一小题列出的四个选项里面，选出符合题目要求的一项．〕
R,集合2{|20}A x x x =+-<,2
{|0}B x x x =-+<那么()R A B ⋃=()
A.(,2)[1,)-∞-⋃+∞
B.(,0](1,)-∞⋃+∞
C.(2,1]-
D.(1,1]-
2.(1i)(2i)z =+-,那么2
z =()
A.2i +
B.3i +
3.某校为了理解学生的课外阅读情况,随机调查了50名学生,得到他们在某一天各自课外阅读所用时间是的数据,结果用如下列图的条形统计图表示,根据条形统计图可得这50名学生这一天平均每人的课外阅读时间是为() hhhh
4.的正方
形，该几何体的外表积为()
A.2+4D.6
5.执行如图的程序框图，输出的c 的值是()
〔4题图〕〔5题图〕
n S 为等比数列{}n a 的前n 项和，假设2389a a =
，5163
a =，那么〔〕 A ．23n
n a =
B ．1
3
n n a -=
C ．31
2n n S -=
D ．21
3
n n S -=
ln ||
cos x y x x x
=+
的局部图象大致为() A. B.
C. D.
直线240x y -+=平行的曲线2
2y x =的切线方程是()
A.4230x y -+=
B.4230x y --=
C.4210x y -+=
D.4210x y --=
9.0.6log 0.3a =，0.60.3b =，0.30.6c =，那么() A.a b c <<
B.a c b <<
C.c a b <<
D.b c a <<
10.如图,,,A B C 是双曲线22
221(0,0)x y a b a b
-=>>上的三个点,AB 经过坐标原点,O AC 经过双曲线的右
焦点F ,假设BF AC ⊥,且2||||AF CF =,那么该双曲线的离心率是()
A.
5
3
17 17 D.
94
11.()()()ln ,f x x g x f x mx ==-恰有三个零点，那么实数m 的取值范围是()
A.10,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭
B.12,
e e ⎛⎫
⎪⎝⎭
C.()0,1
D.1,e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭
()()(sin 00π)f x x ωωϕϕ=+><<,的局部图象如下列图，关于函数()f x 有下述四个结论:①3π
4
ϕ=
②
12f ⎛⎫
⎪⎭
= ⎝51,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，)(f x 的最小值为1-；④()f x 在117,44⎡⎤--⎢⎥⎣⎦上单调递增.其中所有正
确结论的序号是() A.①②④
B.②④
C.①②
D.①②③④
二、填空题〔每一小题4分，总分值是20分，将答案填在答题纸上〕 向量(2,),(4,2)m x n ==-,且()m m n ⊥-,那么实数x =__________. “2210x x ax ∀∈-+>R ,a 的取值范围是.
:30l mx y m ++-=与圆2212x y +=交于,A B 两点,过,A B 分别作l 的垂线与x 轴交于,C D
两点,假设
AB =那么CD =__________.
ABC △中，内角A B C ,,所对的边分别是a b c ,,，且()sin cos
2cos sin 22A A C C =-，3
cos ,45
A a ==，那么ABC △的面积为.
三、解答题解(容许写出文字说明、证明过程或者演算步骤．第17〜21题为必考题，每个试题考生都必须答题．第22、23题为选考题，考生根据要求答题) 〔一〕必考题
17.〔本小题总分值是12分〕等比数列{}n a 的前n 项和为*234(N ),2,,4n
S
n S S S ∈-成等差数列,且2341
216
a a a ++=
. (1)求数列{}n a 的通项公式;
(2)假设
2(2)log
n
a n
b n =-+,求数列1n b
⎧⎫
⎨⎬⎩⎭
的前n 项和n T .
18.〔本小题总分值是12分〕在三棱锥S ABC -中,底面是边长为S 在底面ABC 上的射影O 恰是BC 的中点,侧棱SA 和底面成45︒角．
(1)假设D 为侧棱SA 上一点，当
SD DA
为何值时，BD AC ⊥；
(2)求二面角S AC B --的余弦值大小．
19.〔本小题总分值是12分〕某区政府组织了以“HY ，牢记使命〞为主题的教育活动，为统计全区HY 员HY 一周参与主题教育活动的时间是，从全区的HY 员HY 中随机抽取n 名，获得了他们一周参与主题教育活动时
间是(单位:h)的频率分布直方图如下列图，参与主题教育活动时间是在(1216,］内的人数为92.(1)求n 的值.
(2)以每组数据所在区间的中点值作为本组的代表，估算这些HY 员HY 参与主题教育活动时间是的平均值以及中位数(中位数准确到0.01).
(3)假设方案对参与主题教育活动时间是在(1624,］内的HY 员HY 给予奖励，且在16,20,20((,24］］内的分别
评为二等奖和一等奖，那么按照分层抽样的方法从获得一、二等奖的HY 员HY 中选取5人参加社区义务宣讲活动，再从这5人中随机抽取2人作为主宣讲人，求这2人均是二等奖的概率.
20.〔本小题总分值是12分〕焦点在x 轴上的椭圆22
2
2:1x y C a b
+=经过点(，椭圆C ．1F ，2F 是椭圆的左、右焦点，P 为椭圆上任意点．
〔1〕求椭圆的HY 方程；
〔2〕假设点M 为2OF 的中点〔O 为坐标原点〕，过M 且平行于OP 的直线l 交椭圆C 于A ，B 两点，是否存在实数λ，使得2
||||OP MA MB λ=⋅；假设存在，恳求出λ的值，假设不存在，请说明理由．
21.〔本小题总分值是12分〕函数
()()221
()ln 1R 2
f x a x a x ax a =-++∈.
〔1〕讨论()f x 的单调性
〔2〕假设()0f x x +>对1x >恒成立，求a 的取值范围
〔二〕选考题(请考生在第22、23题中任选一题答题，假设多做，那么按所做的第一题计分.) 22.在平面直角坐标系中，以坐标原点为极点，以x 轴正半轴为极轴，建立极坐标系，点
A 的极坐标为
4π⎫⎪⎭，直线l 的极坐标方程为cos 4a ρπ⎛
⎫θ-= ⎪⎝⎭，且l 过点A ，曲线1C 的参数方程为2cos x y θθ=⎧⎪⎨=⎪⎩
〔θ
为参数〕.
(1).求曲线1C 上的点到直线l 的间隔的最大值；
(2).过点()1,1B -与直线l 平行的直线1l 与曲线1C 交于,M N 两点，求BM BN ⋅的值 23.()22f x ax x =--+.
〔1〕在2a =时，解不等式()1f x ≤；
〔2〕假设关于x 的不等式4()4f x -≤≤对x R ∈恒成立，务实数a 的取值范围.
二高二零二零—二零二壹高三第三次模拟考试
数学(文)参考答案
1.答案：C
解析：由题意知(2,1),(,0)(1,)A B =-=-∞⋃+∞所以[0,1]R
B =,所以()(2,1]R A B ⋃=-
2.答案：D
解析：|||1i ||2i |z =+-=所以22||10z ==,选D.
3.答案：B
解析：平均每人的课外阅读时间是为5210(1 1.5)200.5
0.9(h)50
⨯+⨯++⨯=.
4.答案：B
解析：根据几何体的三视图，转换为几何体为：
由于正视图和侧视图为全等的等腰直角三角形,
故：底面的对角线长为2. 所以四棱锥的高为
1
212
⋅=，
故：四棱锥的侧面高为h ==，
那么四棱锥的外表积为142222S =⋅⋅+= 5.答案：D
解析：第一次执行，4542c a b k ====,,,；第二次执行，1413c a b k =-==-=,,,； 第三次执行，5154c a b k =-=-=-=,,,；第四次执行，4545c a b k =-=-=-=,,,； 第五次执行，1416c a b k ==-==,,,；第六次执行，5157c a b k
====,,,；
第七次执行，454,8c a b k ====,,；…故该循环具有周期性，且周期为6，那么输出的c 的值是4-.应选D. 6.答案：D
解析：设公比为q ，有231418,916,3a q a q ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩
解得11,32,a q ⎧=⎪⎨⎪=⎩那么1(12)213123n n n S --==-． 7.答案：A
解析：易知函数ln ||
cos x y x x x
=+为奇函数,所以其图象关于原点对称.又当πx =时,ln |π|ln π
πcos ππ0ππ
y =+=-+<,所以结合各选项可知,选A. 8.答案：D
解析：设00(,)P x y 为切点,那么切线的斜率为00'|42x x y x ===,解得012x =,所以切点P 的坐标为11
(,)22
.故切线方程为11
2()22
y x -=-,即4210x y --=,应选D. 9.答案：D
解析：0.60.6log 0.3log 0.61a =>=.因为0.3x
y =是减函数，所以0.60.30.30.3b =<. 因为0.3
y x
=在(0)+∞,上单调递增，所以0.30.30.60.3c =>.
因此易知0.3
0.30.60.6log 0.310.60.30.30>>>>>，所以b c a <<.应选D.
10.答案：B
解析：设双曲线的左焦点为'F ,连接',','AF BF CF ,那么由||||OA OB =,|||'|OF OF =,BF AC ⊥知四边形
'AFBF 为矩形,设||AF m =,那么|'|2AF m a =+,||||2||3AC AF AF m =+=,||2||2FC AF m ==,
那么|'|||222F C FC a m a =+=+,那么在Rt 'AF C △中,222
|'||'|||F C AF AC =+,即
222(22)(2)(3)m a m a m +=++,解得2
3
m a =
.在Rt 'AF F △中,222|'||'|||F F AF AF =+,即2
2
2
4(2)c m a m =++,即2
2
2224(2)()33c a a a =++,整理得22179c a =,所以双曲线的离心率173
c e a ==
,应选B. 11.答案：A
解析：在同一坐标系内画出()y f x =，
y mx =的图象如图．过点()0,0O 作ln y x =的切线，设切点为
()00,ln x x
切线的斜率01k x =
切线方程为()000
1
ln y x x x x -=
-， 点()0,0O 在切线上，()000
1
ln x x x -=
-∴， 01e,k=e x =∴要使()()g x f x mx =-恰有三个零点，那么1
0e
m <<，
应选：A ．
12.答案：C
解析：根据题意，得函数()f x 的最小正周期2π
51244T ω⎛⎫
⎪⎝=⨯-⎭
=，所以πω=， 又易知
11π2π4k k ω
ϕ+=+∈Z ，，所以113
π2π4
k k ϕ=+∈Z ，， 又0πϕ<<，所以3π4ϕ=
，所以()3πsin π4f x x ⎛
⎫ ⎪⎝
+⎭=，①正确
1π3πsin 224f ⎛⎫⎛⎫
=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭3π2cos 42
==，所以②正确；
当51,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，3π7π13ππ,444x ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦
，3πsin 4πx ⎡⎤
⎛
⎫+∈⎢⎥ ⎪⎝⎭⎣⎦
，()f x
的最小值为，所以③不正确。

令π3ππ2ππ2π242k x k k -
+≤+≤+∈Z ，，解得51
2244k x k k -+≤≤-+∈Z ,，所以()f x 的单调递增区间为512,2,44k k k ⎡⎤-+-+∈⎢⎥⎣⎦Z ，当1k =-时()f x 的单调递增区间为139,44⎡⎤
--⎢⎥⎣⎦
，所以④不正
确应选C
13.
答案：1-解析：由可得(2,2)m n x -=-+. 由()m m n ⊥-,得()0m m n ⋅-=, 即2240x x +-=,
解得1x =-
14.答案：[)1
(1-∞-⋃+∞,］, “2210x x ax ∀∈-+>R , “2
00210x x ax ∃∈-+≤R,
所以2440a ∆=-≥，解得1a ≤-或者a ≥a 的取值范围为[)1
(1-∞-⋃+∞,］,. 15.答案：4
解析：设圆心到直线:30l mx y m +
+=的间隔为d,
那么弦长||AB ==
得3d =,
3=,
解得3
m =-
,
那么直线:60l x +=,数形结合可得4cos30AB
CD =
=︒
.
16.答案：6
解析：由题设得，()2
2sin cos
22cos sin cos 222
A A A C C =-， 所以()()sin 1cos 2cos sin C A C A +=-，sin sin cos 2sin cos sin C C A A C A +=-， 所以sin sin cos cos sin 2sin C C A C A A ++=，()sin sin 2sin C C A A ++=.
所以sin sin 2sin C B A +=，即2c b a +=.又3
cos 5
A =
，4a =，8c b +=， 所以22242cos b c bc A -+-()2
22cos b c bc bc A =+--，所以15bc =， 所以ABC △的面积114
sin 356225
S bc A =
=⨯⨯⨯=. 17.答案：(1)设等比数列{}n a 的公比为q ， 由2342,,4S S S -成等差数列知，324224S S S =-+， 所以432a a =-，即12
q =-. 又2341216a a a ++=
，所以23
1111216a q a q a q ++=，所以112
a =-， 所以等差数列{}n a 的通项公式1
()2
n
n a =-. (2)由(1)知1
()2
2(2)log (2)n
n b n n n =-+=+，
所以
11111()(2)22
n b n n n n ==-++ 所以数列1n b ⎧⎫
⎨
⎬⎩⎭
的前n 项和： 所以数列1n b ⎧⎫
⎨
⎬⎩⎭
的前n 项和32342(1)(2)n
n T n n +=-++.
18.答案：以O 点为原点,OC 为x 轴,OA 为y 轴,OS 为z 轴建立空间直角坐标系．因为ABC ∆是边长为的正三角形，又SO 与底面所成角为45︒，所以45SAO ∠=︒，所以3SO AO ==．
所以()()()0,0,00,3,00,0,3)(0)O C A S B ，，，，．
〔1〕设AD a =，那么0,3()D -
，所以3,3BD ⎛⎫= ⎪⎭
，(
)
3,3,0AC =
-．假
设BD AC ⊥，那么3330BD AC ⎛⎫⋅=-= ⎪⎝⎭，
解得a =，而AS =SD =，
所以
12
22SD DA ==．
(2)因为()(
)
0,3,3,3,3,0AS AC =-=
-
设平面ACS 的法向量为()1,,n x y z =,
那么(
)
)
()()21,,3,030,,0,3,3330
AC x y z y AS x y z y n n z ⎧⋅=⋅-=-=⎪⎨⎪⋅=⋅-=-+=⎩
令1z =
，那么x 1y =
，所以)
1m =
而平面ABC 的法向量为()20,0,1n =,
所以
12cos ,n n <≥
=
， 又显然所求二面角的平面角为锐角， .
19.答案：(1)由可得，()0.250.02500.04750.05000.01250.1150a =-+++=. 那么0.1150492n ⨯⨯=，得92
2000.11504
n ==⨯.
(2)
这
些
HY
员
HY
参
与
主
题
教
育
活
动
时
间
是
的
平
均
值
为
60.0250100.0475140.1150180.0500220.0125413.()64⨯+⨯+⨯+⨯+⨯⨯=
设中位数为x ，那么()0.050040.01254160.11500.5x ⨯+⨯+-⨯=，得13.83x ≈.
(3)按照分层抽样的方法从(]1620,内选取的人数为0.050
540.05000.0125
⨯=+，
从(]2024,
内选取的人数为0.0125
510.05000.0125
⨯=+.
记二等奖的4人分别为a b c d ,,,，一等奖的1人为A ，事件E 为“从这5人中抽取2人作为主宣讲人，且这2人均是二等奖〞.
从这5人中随机抽取2人的根本领件为()(),()()()a b a c a d a A b c ,,
,,,,,,，()()(,(),),)(b d b A c d c A d A ,,,,,,，一共10种，
其中2人均是二等奖的情况有,,,()(),(,)a b a c a d ，()()()b c b d c d ,,
,,,，一共6种， 由古典概型的概率计算公式得()63105
P E =
=.
20.答案：〔1
〕由可得22222
421
2a b c e a a b c ⎧+=⎪⎪⎪==⎨⎪=+⎪⎪⎩
，解得a =2b c ==， 所以椭圆C 的HY 方程为22
184
x y +=． 〔2〕假设直线的斜率不存在时，||2OP =
，||||MA MB == 所以77||||428
MA MB λλ==⇒=； 当斜率存在时，设直线l 的方程为(1)y k x =-，()11,A x y ，()22,B x y ．
联立直线l 与椭圆方程22
(1)184y k x x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩，消去y ，得()
2222214280k x k x k +-+-=， 所以2
12221224212821k x x k k x x k ⎧+=⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩
． 因为//OP l ，设直线OP 的方程为y kx =，
联立直线OP 与椭圆方程22
184y kx x y =⎧⎪⎨+=⎪⎩，消去y ，得()
22218k x +=，解得22821x k =+． ∴()222228
||121OP x y k k =+=++，
1||1MA =-，
同理2||1MB -，()()()
212||||111MA MB k x x ⋅=+--， 因为()()()1212122711121x x x x x x k -⋅-=--++=
⎡⎤⎣⎦+， ()
227
||||121MA MB k k ⋅=++，故27||||8OP MA MB =⋅，存在78λ=满足条件， 综上可得，存在78
λ=满足条件．
21.答案：〔1〕()()()21()10ax x a a f x a ax x x x
--'=--+=>， 当0a ≤时()0,()f x f x '<单调减区间为()0,+∞，没有增区间，
当01a <<时，当1,()0a x f x a '<<
<；当10,()0x a x f x a
'<<>>或. ∴()f x 单调增区间为()0,a 与1,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭，单调减区间1,a a ⎛⎫ ⎪⎝⎭. 当1a =时，()0f x '≥对0x >成立，()f x 单调增区间为()0,+∞，没有减区间.
当1a >时，当
1,()0x a f x a '<<<；当10x x a a
<<>或时()0f x '>. ∴()f x 单调增区间为10,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭与(),a +∞，单调减区间为1,a a ⎛⎫ ⎪⎝⎭. 〔2〕()0f x x +>即221ln 02
a x a x ax -+>， 当0a >时ln x 21ln 10,22
x ax x a x x +><+， 令()ln 1,12x g x x x x =+≥那么()2
22
ln 122ln 22x x x g x x x -+'=+=， 令()222ln h x x x =-+那么()22h x x x
'=-，当()0h x '≥，()h x 是增函数，()()130h x h ≥=>， ∴()0g x '>.
∴1x ≥时，()g x 是增函数，()g x 最小值为()111,022g a =
<≤∴. 当0a =时，显然()0f x x +>不成立，
当0a <时，由()g x 最小值为
12知，()a g x >不成立， 综上a 的取值范围是10,2⎛⎤ ⎥⎝⎦
22.答案：(1).由直线l 过点A ππ44a ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，故a =那么易得直线l 的直角坐标方程为20x y +-=.
曲线1C 上的点到直线l 的间隔d =，其中sin ϕ=，
cos ϕ=max d ==
(2).由(1)知直线l 的倾斜角为3π4，那么直线1l 的参数方程为31cos π431+sin π4
x t y t ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩〔t 为参数〕又易知曲线1C 的普通方程为22
143
x y +=，把直线1l 的参数方程代入曲线1C
的普通方程可得27502t +-=， ∴12107t t =-，根据参数t 的几何意义可知12107
BM BN t t ⋅== 23.答案：〔1〕在2a =时，2221x x --+≤.在1x ≥时，(22)(2)1x x --+≤， ∴15x ≤≤；在2x ≤-时，(22)(2)1x x --++≤，3x ≥，∴x 无解；
在21x -≤≤时，(22)(2)1x x ---+≤，13x ≥-，∴113x -≤≤. 综上可知：不等式()1f x ≤的解集为1{|5}3
x x -≤≤. 〔2〕∵224x ax +--≤恒成立，而22(1)x ax a x +--≤+， 或者22(1)4x ax a x +--≤-+，故只需(1)4a x +≤恒成立，或者(1)44a x -+≤恒成立， ∴1a =-或者1a =.∴a 的取值为1或者-1.。