福建省三明市第二中学2016-2017学年高二第二学期阶段(1)考试数学(理)试题(解析版)

三明二中2016-2017学年第二学期阶段（1）考试
高二数学（理）试题
（考试时间：2017年3月21日上午 8：00—10：00 ）
注意事项：
1.全卷共4页，1—4页为试题部分，另附一答题卡；全卷三大题22小题；满分150分；
2.答题前，考生务必先将答题卷上的年段、原班级、原座号、姓名、准考证号、考试座位号用黑色字迹签字笔填写清楚；
3.答案必须写在答题卡各题目指定区域内的相应位置上，不准使用铅笔和涂改液，不按以上要求作答的答案无效；
4.考生必须保持答题卡的整洁，不要装订、不要折叠、不要破损。

一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把它填在答案卷对应框内）
1. 若复数是纯虚数，则角的值为( )
A. B. C. 0 D.
【答案】A
【解析】因为是纯虚数，，又，故选.
2. 用反证法证明数学命题时，首先应该做出与命题结论相反的假设，否定“自然数中恰有一个偶数”时正确的反设为( )
A. 自然数都是奇数 C. 自然数至少有两个偶数
B. 自然数都是偶数 D. 自然数至少有两个偶数或都是奇数
【答案】D
【解析】用反证法法证明数学命题时，应先假设要证的题的反面成立，即要证的命题的否定成立，而命题："自然数中恰有一个偶数的否定为："自然数中至少有两个偶数或都是奇数”
3. 下面几种推理中是演绎推理的是（）
A. 猜想数列的通项公式为
B. 由“平面内垂直于同一直线的两直线平行”类比推出“空间中垂直于同一平面的两平面平行”
C. 因为是指数函数，所以函数经过定点
D. 由平面直角坐标系中圆的方程为，推测空间直角坐标系中球的方程为
【答案】C
【解析】由题意知，为归纳推理，为类比推理，因为指数函数都经过定点而
是指数函数，所以函数经过定点故满足三段论的结构特征，为演绎推理，综上所述，故选
4. 随机变量的概率分布规律为其中是常数，则的值为
( )
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】由题意，由所有概率的和为可得，
，故选.
5. 已知函数则（）
A. 4
B. 3
C. 2
D. 1
【答案】B
【解析】，，
，故选B.
6. 有30个完全相同的苹果，分给4个不同的小朋友，每个小朋友至少分得4个苹果，问有多少种不同的分配方案？( )
A. 680
B. 816
C. 1360
D. 1456
【答案】A
【解析】先给每个小朋友分三个苹果，剩余个苹果利用“隔板法”，个苹果有个空，插入三个“板”，共有680种方法，故有30个完全相同的苹果，分给4个不同的小朋友，每个小朋友至少分得4个苹果，问有多少种不同的分配方案680 种，故选A................
7. 10张奖券中有3张是有奖的，某人从中依次抽两张．则在第一次抽到中奖券的条件下，第二次也抽到中
奖券的概率为 ( )
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】因为已知第一次抽到了中奖券，所以剩下张奖券中有张有奖，因此第二次抽中的概率为,故选.
8. 由曲线，直线所围成的平面图形的面积为（）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】由，解得，解得，解得，所围成的平面图形的面积为，则
，，故选C.
9. 形如45132这样的数称为“波浪数”，即十位数字、千位数字均比与它们各自相邻的数字大，则由1，2，3，4，5可构成数字不重复的五位“波浪数”个数为( )
A. 20
B. 18
C. 16
D. 11 1 1
【答案】C
【解析】略
10. 如图所示：在杨辉三角中，斜线上方箭头所连的数组成一个齿形的数列：记这个数列前项和为，则
等于( )
A. 128
B. 144
C. 155
D. 164
【答案】D
【解析】由题干图知，数列中的首项是，第项是，第项是，第项是，第项是，第项是
，所以
，故选.
11. 现安排甲乙丙丁戊5名学生分别担任语文、数学、英语、物理、化学学科的科代表，要求甲不当语文科代表，乙不当数学科代表，若丙当物理科代表则丁必须当化学科代表，则不同的选法共有多少种( ) A. 53 B. 67 C. 85 D. 91
【答案】B
【解析】丙当物理课代表则丁必须当化学课代表，以丙进行分类第一类，当丙当物理课代表时，丁必须当化学课代表，再根据甲当数学课代表，乙戊可以当英语和语文中的任一课，有种，当甲不当数学课代表，甲只能当英语课代表，乙只能当语文课代表，戊当数学课代表，有种，共计种，第二类，当丙不当物理课代表时，分四类①丙为语文课代表时，乙只能从英语、物理和U学中选择一课，剩下的甲丁戊任意排给剩下的三
课，有种，②丙为数学课代表时，甲只能从英语、物理和化学课，剩下的乙丁戊任意排给剩下的三课，有种，③丙为英语课代表时，继续分类，甲当数学课代表时，其他三位同学任意当有
种，当甲不当数学课代表，甲只能从物理和化学课中选一课,乙只能从语文和甲选完后的剰下的一课中选一课，丁和戊做剰下的两课，有,共计种④丙为化学课代表时，同③的选法一样有种，根据分类计数原理得，不同的选法共有故选.
【方法点睛】本题主要考查分类计数原理与分步计数原理及排列组合的应用，属于难题.有关排列组合的综合问题，往往是两个原理及排列组合问题交叉应用才能解决问题，解答这类问题理解题意很关键，一定多读题才能挖掘出隐含条件.解题过程中要首先分清“是分类还是分步”、“是排列还是组合”，在应用分类计数加法原理讨论时，既不能重复交叉讨论又不能遗漏，这样才能提高准确率.
12. 设函数的定义域为，若对于且，恒有，称点为函
数图象的对称中心. 利用函数的对称中心，可得
= ( )
A. -4031
B. 4031
C. -8062
D. 8062
【答案】A
【解析】因为,而“若对于且
，恒有，称点为函数图象的对称中心”，所以的图象关于
对称，-4031 ，故选A.
二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
13. 若某人每次射击击中目标的概率均为，此人连续射击三次，至少有两次击中目标的概率为_____
【答案】
【解析】恰有两次击中目标的概率为恰有三次击中目标的概率为，至少有两次击中目标的概率为，故答案为.
14. 若
则 _______
【答案】
【解析】在中，令得
，令得，，二式相减得
，所以，故答案为.
【方法点晴】本题主要考查二项展开式定理的通项与系数，属于简单题. 二项展开式定理的问题也是高考命题热点之一，关于二项式定理的命题方向比较明确，主要从以下几个方面命题：（1）考查二项展开式的通项公式；（可以考查某一项，也可考查某一项的系数）（2）考查各项系数和和各项的二项式系数和；（3）二项展开式定理的应用.
15. 已知复数，且满足，则的取值范围为________
【答案】
【解析】由得，，设，则
，，的取值范围为，故大案为.
【方法点睛】本题主要考复数的几何意义以及辅助角公式的应用，属于中档题.利用该公式
() 可以求出:①的周期;②单调区间（利用正弦函数的单调区间可通过解不等式求得）；③值域（）；④对称轴及对称中心（由
可得对称轴方程，由可得对称中心横坐标
16. 已知数组：，，，，，记该数组为：
则= ________
【答案】
【解析】观察知，第一个括号内有一项，第二个括号内有两项…第个括号内有项，前个括号共有项，
时共有项，所以是第个括号里的倒数第项，，，，，，
可得，故答案为.
【方法点睛】本题通过观察几组不等式，归纳出一般规律来考察归纳推理，属于中档题.归纳推理的一般步骤: 一、通过观察个别情况发现某些相同的性质. 二、从已知的相同性质中推出一个明确表述的一般性命题(猜想）. 常见的归纳推理分为数的归纳和形的归纳两类：(1) 数的归纳包括数的归纳和式子的归纳，解决此类问题时，需要细心观察，寻求相邻项及项与序号之间的关系，同时还要联系相关的知识，如等差数列、等比数列等；(2) 形的归纳主要包括图形数目的归纳和图形变化规律的归纳.
三、解答题：（本大题共6小题，共70分，必须写出关键步骤，只有答案没有过程的一律不给分）
17. 为了解甲、乙两个班级某次考试的数学成绩（单位：分），从甲、乙两个班级中分别随机抽取5名学生的成绩作样本，如图是样本的茎叶图．规定：成绩不低于120分时为优秀成绩．
(1)从甲班的样本中有放回的随机抽取2 个数据，求其中只有一个优秀成绩的概率；
(2)从甲、乙两个班级的样本中分别抽取2名同学的成绩，记获优秀成绩的人数为，求的分布列和数学期
望．
【答案】(1) （2）见解析.
【解析】试题分析:(1 )由茎叶图知甲班样本的个数据甲优秀成绩有个，非优秀成绩有个，由此能求出
从甲班的样本中有放回的随机抽取个数据，其中只有一个优秀成绩的概率;(2)由茎叶图知甲班样本的个数据中优秀成绩有个，非优秀成绩有个，乙班样本的个数据
中优秀成绩有个，非优秀成绩有个，的可能取值为分别求出相应的概率，由此能求出的分布列. 试题解析：(1)设事件A表示“从甲班的样本中有放回的随机抽取2个数据，其中只
有一个优秀成绩”
（2）的所有可能取值为0，1，2，3
，
……8分
的分布列为
所以的数学期望为
18. 已知的展开式中第5项的系数与第3项的系数的比是10:1.
(1)求展开式中各项系数的和；
(2)求展开式中含的项；
(3)求展开式中系数的绝对值最大的项.
【答案】(1)1;(2);(3)
【解析】试题分析：通过展开式中第五项的系数与第三项的系数的比是得到值，(1)令即可得结
果；（2）由，解出即可得结果；（3），从而可得结果.
试题解析：因为展开式的通项是
19. 已知且求证：
【答案】见解析.
【解析】试题分析：考虑到要证式的左边含有根号，因此变用柯西不等式，从而有，由此可证结论．
试题解析：由柯西不等式得，
∴.
考点：柯西不等式．
【名师点睛】二维形式的柯西不等式：若a，b，c，d都是实数，则(a2＋b2)(c2＋d2)≥(ac＋bd)2，当且仅当ad ＝bc时，等号成立．
20. 仔细观察下面的不等式，寻找规律，合理猜想出第n个不等式，并用数学归纳法证明你的猜想．
【答案】见解析.
【解析】试题分析：观察所给不等式，注意不等式的左边与右边的特征，得到猜想，然后利用数学归纳法的证明标准，验证时成立，假设是成立，证明时等式也成立即可.
试题解析：猜想：
证明：（1）时，不等式显然成立．
（2）假设时，不等式成立，即成立，
当时，
不等式的左边
下面证明：，由于这个不等式的两边都是正数，只要证明
即可．
又.故时不等式成立．
综合（1）和（2）知原不等式对一切正整数成立．
21. 已知、、是椭圆：（）上的三点，其中点的坐标为，过椭圆的中心，且，．
（1）求椭圆的方程；
（2）过点的直线（斜率存在时）与椭圆交于两点，设为椭圆与轴负半轴的交点，且
，求实数的取值范围．
【答案】（Ⅰ）．（Ⅱ）．
【解析】试题分析：（1）∵且过，则．∵，∴，即
．又∵，设椭圆的方程为，将C点坐标代入得，解得，
．即可求出椭圆的方程．（2）由条件，当时，显然；
当时，设：，，消得由可得，①
设，，中点，则，，∴．由
，∴，即。

∴，化简即可求出结果．
试题解析：解：（1）∵且过，则．
∵，∴，即．
又∵，设椭圆的方程为，
将C点坐标代入得，解得，．
∴椭圆的方程为．
（2）由条件，当时，显然；
当时，设：，，消得由可得，①
设，，中点，则，，∴．
由，∴，即。

∴，
化简得②∴将①代入②得，。

∴的范围是。

综上．12．
考点：1．椭圆的方程；2．直线与椭圆的位置关系．
22. 设函数，其中和是实数，曲线恒与轴相切于坐标原点．
（1）求常数的值；
（2）当时，关于的不等式恒成立，求实数的取值范围；
（3）求证：对于任意的正整数，不等式恒成立.
【答案】(1) b=1;(2) . (3) 见解析.
【解析】试题分析：(1)求出函数的导数，求得切线的斜率，由条件可得,即可得到;(2 )求出
的导数，对讨论，①当时，②当时，③当时，求出单调区间，求得最小值，即可得到的范围；(3 )对要证的不等式等价变形，可得①，且②运用（2 )中的结论，通过的取值，即可得证.
试题解析：(1) 对求导得：，根据条件知，所以
.
(2) 由(1)得，
.
① 当时，由于，有，于是在上单调递增，从而
，因此在上单调递增，即而且仅有；
②当时，由于，有，于是在上单调递减，从而
，因此在上单调递减，即而且仅有；
③当时，令，当时，，于是在
上单调递减，从而，因此在上单调递减，
即而且仅有.
综上可知，所求实数的取值范围是.
(3) 对要证明的不等式等价变形如下：
对于任意的正整数，不等式恒成立. 并且继续作如下等价变形：
对于相当于（2）中，情形，有在上单调递减，即而且仅有.
取，得：对于任意正整数都有成立；
对于相当于（2）中情形，对于任意，恒有而且仅有.
取，得：对于任意正整数都有成立.
因此对于任意正整数，不等式恒成立
【方法点睛】本题主要考查导数的几何意义、利用导数研究函数的单调性及不等式的证明，属于难题.不等式证明问题是近年高考命题的热点，命题主要是和导数、绝对值不等式及柯西不等式相结合，导数部分一
旦出该类型题往往难度较大，要准确解答首先观察不等式特点，结合已解答的问题把要证的不等式变形，并运用已证结论先行放缩，然后再化简或者进一步利用导数证明.。