【精品高二数学试卷】2019-2020天津市高二(上)期中数学+答案

2019-2020学年天津市高二（上）期中数学试卷
一、选择题（本大题共9个小题，每小题4分，共36分，在每小题的四个选项中，只有一项是正确的，请把它选出并填在答题卡上）
1．（4分）已知集合A ＝{x ∈R ||x |≤2}，B ＝{x ∈R |x ≤1}，则A ∩B ＝（ ） A ．（﹣∞，2]
B ．[1，2]
C ．[﹣2，2]
D ．[﹣2，1]
2．（4分）设x ，y ∈R ，则“x ≥2且y ≥2”是“x 2+y 2≥4”的（ ） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件
C ．充分必要条件
D ．既不充分也不必要条件
3．（4分）命题“存在x 0∈R ，2x 0≤0”的否定是（ ） A ．不存在x 0∈R ，2x 0＞0 B ．存在x 0∈R ，2x 0≥0 C ．对任意的x ∈R ，2x ≤0
D ．对任意的x ∈R ，2x ＞0
4．（4分）设a ＜b ＜0，则下列不等式中不能成立的是（ ） A ．1
a
＞1
b
B ．
1
a−b
＞1
a
C ．﹣a ＞﹣b
D ．a 2＞b 2
5．（4分）设{a n }是等差数列，若a 2＝3，a 7＝13，则数列{a n }前8项的和为（ ） A ．128
B ．80
C ．64
D ．56
6．（4分）某种细菌在培养过程中，每20分钟分裂一次（一个分裂为两个）．经过3个小时，这种细菌由1个可繁殖成（ ） A ．511个
B ．512个
C ．1023个
D ．1024个
7．（4分）设a ＞0，b ＞0．若√3是3a 与3b 的等比中项，则1
a
+1b
的最小值为（ ） A ．8
B ．4
C ．1
D ．1
4
8．（4分）已知双曲线
x 2
a −
y 2b =1（a ＞0，b ＞0）的一条渐近线平行于直线l ：y ＝2x +10，
双曲线的一个焦点在直线l 上，则双曲线的方程为（ ） A ．x 25−
y 220
=1 B ．
x 220
−
y 25
=1 C ．
3x 2
25
−
3y 2100
=1
D ．
3x 2100
−
3y 225
=1
9．（4分）已知函数f(x)={
−x +1，x ＜0
x −1，x ≥0
，则不等式x +（x +1）f （x +1）≤1的解集是（ ）
A ．{x|−1≤x ≤√2−1}
B ．{x |x ≤1}
C ．{x|x ≤√2−1}
D ．{x|−√2−1≤x ≤√2−1}
二、填空题（本大题共6个小题，每小题4分，共24分.请将正确答案填在答题卡上） 10．（4分）如果全集U ＝R ，A ＝{x |2＜x ≤4}，B ＝[3，4]，则A ∩（∁R B ）＝ ． 11．（4分）等比数列{a n }中，a 2＝9，a 5＝243，则{a n }的前4项和为 ．
12．（4分）已知双曲线的两个焦点分别为F 1（﹣3，0）、F 2（3，0），一条渐近线方程为y =√2x ，则它的标准方程为 ．
13．（4分）若关于x 的不等式ax 2﹣6x +a 2＜0的解集是（1，m ），则m 等于 ． 14．（4分）设{a n }是首项为a 1，公差为﹣1的等差数列，S n 为其前n 项和，若S 1，S 2，S 4
成等比数列，则a 1的值为 ．
15．（4分）设a +b ＝2，b ＞0，则当a ＝ 时，12|a|
+
|a|b
取得最小值．
三、解答题.（本大题共5个小题，共60分）
16．（12分）已知集合A ＝{x |x 2﹣3x +2＝0}，B ＝{x |x 2﹣mx +2＝0}，若A 是B 的必要不充分条件，求实数m 范围．
17．（12分）已知数列{a n }是一个等差数列，且a 2＝1，a 5＝﹣5． （Ⅰ）求{a n }的通项a n ；
（Ⅱ）求{a n }前n 项和S n 的最大值．
18．（12分）已知椭圆的两焦点为F 1（﹣2√3，0），F 2（2√3，0），离心率e =√3
2． （1）求此椭圆的方程；
（2）设直线l ：y ＝x +m ，若l 与此椭圆相交于P ，Q 两点，且|PQ |等于椭圆的短轴长，求m 的值．
19．（12分）设{a n }是等差数列，{b n }是各项都为正数的等比数列，且a 1＝b 1＝1，a 3+b 5＝21，a 5+b 3＝13．
（Ⅰ）求{a n }、{b n }的通项公式； （Ⅱ）求数列{a
n b n
}的前n 项和S n ．
20．（12分）设椭圆
x 2a +
y 2b =1（a ＞b ＞0）的左、右焦点分别为F 1、F 2，右顶点为A ，上
顶点为B ，已知|AB |=√3
2|F 1F 2|． （Ⅰ）求椭圆的离心率；
（Ⅱ）设P 为椭圆上异于其顶点的一点，以线段PB 为直径的圆经过点F 1，经过原点O
的直线l与该圆相切，求直线l的斜率．
2019-2020学年天津市高二（上）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共9个小题，每小题4分，共36分，在每小题的四个选项中，只有一项是正确的，请把它选出并填在答题卡上） 1．【解答】解：∵A ＝{x ||x |≤2}＝{x |﹣2≤x ≤2}
∴A ∩B ＝{x |﹣2≤x ≤2}∩{x |x ≤1，x ∈R }＝{x |﹣2≤x ≤1} 故选：D ．
2．【解答】解：若x ≥2且y ≥2，则x 2≥4，y 2≥4，所以x 2+y 2≥8，即x 2+y 2≥4； 若x 2+y 2≥4，则如（﹣2，﹣2）满足条件，但不满足x ≥2且y ≥2． 所以“x ≥2且y ≥2”是“x 2+y 2≥4”的充分而不必要条件． 故选：A ．
3．【解答】解：∵特称命题的否定是全称命题．
∴命题“存在x 0∈R ，2x 0≤0”的否定是：“对任意的x ∈R ，2x ＞0”． 故选：D ．
4．【解答】解：设a ＜b ＜0，1
a −
1b
=
b−a ab
＞0成立，
根据不等式的乘法，﹣a ＞﹣b 成立， ﹣a ＞﹣b ＞0，所以a 2＞b 2，
1a−b
−
1a
=
b a(a−b)
＜0，所以
1
a−b
＜1
a
，
故选：B ．
5．【解答】解：解法1：设等差数列{a n }的首项为a 1，公差为d ， 由等差数列的通项公式以及已知条件得{a 1+d =3a 1+6d =13
，
解得{a 1=1
d =2
，故s 8＝8+8×72×2=64．
解法2：∵a 2+a 7＝a 1+a 8＝16， ∴s 8=
a 1+a 8
2
×8＝64． 故选：C ．
6．【解答】解：经过3个小时，总共分裂了九次， 就是29＝512个，
故选：B ．
7．【解答】解：因为3a •3b ＝3，所以a +b ＝1，
1a
+
1b
=(a +b)(1a
+1b
)=2+
b a
+
a b
≥2+2√b a ⋅
a
b
=4，
当且仅当b
a
=a b
即a =b =1
2
时“＝”成立，
故选：B ．
8．【解答】解：∵双曲线的一个焦点在直线l 上，
令y ＝0，可得x ＝﹣5，即焦点坐标为（﹣5，0），∴c ＝5， ∵双曲线
x 2a −
y 2b =1（a ＞0，b ＞0）的一条渐近线平行于直线l ：y ＝2x +10，
∴b a
=2， ∵c 2＝a 2+b 2， ∴a 2＝5，b 2＝20， ∴双曲线的方程为x 25
−
y 220
=1．
故选：A ．
9．【解答】解：依题意得{x +1＜0x +(x +1)(−x)≤1
或{x +1≥0x +(x +1)x ≤1
所以{x ＜−1x ∈R 或{x ≥−1
−√2−1≤x ≤√2−1⇒x ＜−1或−1≤x ≤√2−1⇒x ≤√2−1
故选：C ．
二、填空题（本大题共6个小题，每小题4分，共24分.请将正确答案填在答题卡上） 10．【解答】解：∵B ＝[3，4]，∴∁R B ＝{x |x ＞4或x ＜3}， 则A ∩（∁R B ）＝{x |2＜x ＜3}＝（2，3）， 故答案为：（2，3） 11．【解答】解：q 3=a 5
a 2
=27 ∴q ＝3
∴a 1=a
2
q =3
∴S 4=a 1(1−q 4)
1−q =120
故答案为120
12．【解答】解：设双曲线的方程为x 2
a 2
−
y 2b 2
=1(a ＞0，b ＞0)，
依题意可得{a 2+b 2=9
b
a
=√2
，
解得{a 2
=3b 2=6
，
从而该双曲线的方程为x 23
−
y 26
=1．
故答案为：
x 23
−
y 26
=1．
13．【解答】解：∵ax 2﹣6x +a 2＜0的解集是 （1，m ）， ∴a ＞0，
1，m 是相应方程ax 2﹣6x +a 2＝0的两根， 解得 m ＝2； 故答案为：2．
14．【解答】解：由题意可得，a n ＝a 1+（n ﹣1）（﹣1）＝a 1+1﹣n ，S n =
n(a 1+a n )2=n(2a 1+1−n)
2
， 再根据若S 1，S 2，S 4成等比数列，可得 S 22=S 1•S 4，即 (2a 1−1)2=a 1•（4a 1﹣6）， 解得 a 1=−1
2
， 故答案为：−12．
15．【解答】解：∵a +b ＝2，b ＞0， ∴
12|a|
+
|a|b
=
12|a|
+
|a|2−a
，（a ＜2）
设f （a ）=1
2|a|+|a|
2−a ，（a ＜2），画出此函数的图象，如图所示． 利用导数研究其单调性得， 当a ＜0时，f （a ）=−12a +a a−2
， f ′（a ）=
12a 2−2(a−2)2=−(3a−2)(a+2)2a 2(a−2)
2，当a ＜﹣2时，f ′（a ）＜0，当﹣2＜a ＜0时，f ′（a ）＞0，
故函数在（﹣∞，﹣2）上是减函数，在（﹣2，0）上是增函数， ∴当a ＝﹣2时，
12|a|
+
|a|b
取得最小值3
4．
同样地，当0＜a ＜2时，得到当a =2
3时，
1
2|a|
+
|a|b
取得最小值5
4
．
综合，则当a ＝﹣2时，1
2|a|
+
|a|b
取得最小值．
故答案为：﹣2．
三、解答题.（本大题共5个小题，共60分） 16．【解答】解：化简条件得A ＝{1，2}， 若A 是B 的必要不充分条件A ∩B ＝B ⇔B ⊆A
根据集合中元素个数集合B 分类讨论，B ＝∅，B ＝{1}或{2}，B ＝{1，2} 当B ＝∅时，△＝m 2﹣8＜0 ∴﹣2√2＜m ＜2√2； 当B ＝{1}或{2}时，
{△=01−m +2=0或4−2m +2=0，m 无解； 当B ＝{1，2}时， {1+2=m 1×2=2， ∴m ＝3；
综上所述，﹣2√2＜m ＜2√2．
17．【解答】解：（Ⅰ）由题意可得公差d =a 5
−a 25−2=−5−1
5−2=−2，
所以a n ＝a 2+（n ﹣2）d ＝1+（n ﹣2）×（﹣2）＝﹣2n +5； （Ⅱ）a 1＝3，S n =3n +
n(n−1)2
×(−2)=−n 2
+4n =−（n ﹣2）2+4， 当n ＝2时，前n 项和取得最大值，最大值为4．
18．【解答】解：（1）由F 1（﹣2√3，0），F 2（2√3，0），离心率e =√3
2
．
得 c ＝2√3，a ＝4，则b ＝2； 故椭圆方程为：
x 216
+
y 24
=1；
（2）设P （x 1，y 1），Q （x 2，y 2）； 由{y =x +m x 2
16+y 2
4
=1，得 5x 2+8mx +4m 2﹣16＝0； 所以 x 1+x 2=−8m 5，x 1x 2=4m 2−165
； 则|PQ |=√1+
k 2√(x 1
+x 2
)2
−4x 1x 2=√2 √64m 225−4×4m 2−165=4，解得：m =±√302
；
故m 的值为：±
√30
2
．
19．【解答】解：（Ⅰ）设{a n }的公差为d ，{b n }的公比为q ，则依题意有q ＞0且{1+2d +q 4=211+4d +q 2=13
解得d ＝2，q ＝2．
所以a n ＝1+（n ﹣1）d ＝2n ﹣1，b n ＝q n ﹣
1＝2n ﹣
1．
（Ⅱ）
a n
b n
=
2n−12n−1
，
S n =1+
321+522+⋯+2n−32n−2+2n−1
2
n−1，① 12
S n =
12+322+523+⋯+2n−32
n−1+2n−1
2n ，② ①﹣②得12
S n ＝1+2（12
+122
+⋯+
12n−1
）−
2n−12
n ， 则S n =2+2+2
2+222+⋯+22n−2−2n−12n−1=2+2×(1+12+122+⋯+12n−2)−2n−1
2
n−1=2+2×
1−12
n−1
1−12
−
2n−12n−1=6−2n+32
n−1． 20．【解答】解：（Ⅰ）设椭圆的右焦点为F 2（c ，0），
由|AB |=√3
2|F 1F 2|，可得√a 2+b 2=√3
2×2c ，化为a 2+b 2＝3c 2． 又b 2＝a 2﹣c 2，∴a 2＝2c 2． ∴e =c a =√2
2．
（Ⅱ）由（Ⅰ）可得b 2
＝c 2
．因此椭圆方程为
x 2
2c +
y 2c =1．
设P （x 0，y 0），由F 1（﹣c ，0），B （0，c ），可得F 1P →=（x 0+c ，y 0），F 1B →
=（c ，c ）． ∵F 1B →
⊥F 1P →
，
∴F 1B →
⋅F 1P →
=c （x 0+c ）+cy 0＝0， ∴x 0+y 0+c ＝0， ∵点P 在椭圆上，∴
x 0
22c +
y 0
2c =1．
联立{x 0+y 0+c =0x 02+2y 02=2c 2，化为3x 02+4cx 0=0， ∵x 0≠0，∴x 0=−4
3c ， 代入x 0+y 0+c ＝0，可得y 0=c
3． ∴P (−4
3c ，c 3
)．
设圆心为T （x 1，y 1），则x 1=−43c+02=−23c ，y 1=c
3+c 2=23
c ． ∴T (−23c ，23
c)，
∴圆的半径r =√(−23c)2+(23c −c)2=√5
3c ． 设直线l 的斜率为k ，则直线l 的方程为：y ＝kx ． ∵直线l 与圆相切， ∴
|−23
ck−23
c|
√1+k 2=
√5
3
c ， 整理得k 2﹣8k +1＝0，解得k =4±√15． ∴直线l 的斜率为4±√15．。