八年级初二数学下学期平行四边形单元 期末复习综合模拟测评学能测试试题

八年级初二数学下学期平行四边形单元 期末复习综合模拟测评学能测试试题
一、解答题
1．如图正方形ABCD ，DE 与HG 相交于点O （O 不与D 、E 重合）．
（1）如图（1），当90GOD ∠=︒， ①求证：DE GH =； ②求证：2GD EH DE +>
；
（2）如图（2），当45GOD ∠=︒，边长4AB =，25HG =，求DE 的长． 2．在矩形ABCD 中，连结AC ，点E 从点B 出发，以每秒1个单位的速度沿着B A →的路径运动，运动时间为t （秒）．以BE 为边在矩形ABCD 的内部作正方形BEHG ．
（1）如图，当ABCD 为正方形且点H 在ABC ∆的内部，连结,AH CH ，求证：
AH CH =；
（2）经过点E 且把矩形ABCD 面积平分的直线有______条；
（3）当9,12AB BC ==时，若直线AH 将矩形ABCD 的面积分成1：3两部分，求t 的值．
3．已知：在ABC 中，∠BAC=90°，AB=AC ，点D 为直线BC 上一动点（点D 不与B 、C 重合）．以AD 为边作正方形ADEF ，连接CF ．
（1）如图1，当点D 在线段BC 上时，BD 与CF 的位置关系为__________；CF 、BC 、CD 三条线段之间的数量关系____________________．
（2）如图2，当点D 在线段BC 的延长线上时，其它条件不变，请你写出CF 、BC 、CD 三条线段之间的数量关系并加以证明；
（3）如图3，当点D 在线段BC 的反向延长线上时，且点A 、F 分别在直线BC 的两侧，其它条件不变：
①请直接写出CF 、BC 、CD 三条线段之间的关系．
②若连接正方形对角线AE 、DF ，交点为O ，连接OC ，探究AOC △的形状，并说明理由．
4．如图，在Rt ABC ∆中，90,40,60B AC cm A ∠=︒=∠=︒，点D 从点C 出发沿CA 方向以4/cm 秒的速度向点A 匀速运动，同时点E 从点A 出发沿AB 方向以2/cm 秒的速度向点B 匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个地点也随之停止运动.设点,D E 运动的时间是t 秒（010t <≤）.过点D 作DF BC ⊥于点F ，连接,DE EF .
（1）试问四边形AEFD 能够成为菱形吗？如果能，求出相应的t 值；如果不能，请说明理由；
（2）当t 为何值时，90FDE ∠=︒？请说明理由.
5．如图，在平面直角坐标系中，已知▱OABC 的顶点A （10，0）、C （2，4），点D 是OA 的中点，点P 在BC 上由点B 向点C 运动． （1）求点B 的坐标；
（2）若点P 运动速度为每秒2个单位长度，点P 运动的时间为t 秒，当四边形PCDA 是平行四边形时，求t 的值；
（3）当△ODP 是等腰三角形时，直接写出点P 的坐标．
6．共顶点的正方形ABCD 与正方形AEFG 中，AB =13，AE 2． （1）如图1，求证：DG =BE ；
（2）如图2，连结BF ，以BF 、BC 为一组邻边作平行四边形BCHF ． ①连结BH ，BG ，求
BH
BG
的值； ②当四边形BCHF 为菱形时，直接写出BH 的长．
7．如图1，点E 为正方形ABCD 的边AB 上一点，EF EC ⊥，且EF EC =，连接
AF ，过点F 作FN 垂直于BA 的延长线于点N ． （1）求EAF ∠的度数；
（2）如图2，连接FC 交BD 于M ，交AD 于P ，试证明：
2BD BG DG AF DM =+=+．
8．如图1，在矩形ABCD 中，对角线AC 与BD 相交于点O ，过点O 作直线EF ⊥BD ，且交AC 于点E ，交BC 于点F ，连接BE 、DF ，且BE 平分∠ABD .
（1）①求证：四边形BFDE 是菱形；②求∠EBF 的度数．
（2）把（1）中菱形BFDE 进行分离研究，如图2，G ，I 分别在BF ，BE 边上，且BG =BI ，连接GD ，H 为GD 的中点，连接FH ，并延长FH 交ED 于点J ，连接IJ ，IH ，IF ，IG ．试探究线段IH 与FH 之间满足的数量关系，并说明理由；
（3）把（1）中矩形ABCD 进行特殊化探究，如图3，矩形ABCD 满足AB =AD 时，点E 是对角线AC 上一点，连接DE ，作EF ⊥DE ，垂足为点E ，交AB 于点F ，连接DF ，交AC 于点G ．请直接写出线段AG ，GE ，EC 三者之间满足的数量关系．
9．点E 在正方形ABCD 的边BC 上，点F 在AE 上，连接FB ，FD ，∠ABF=∠AFB ． （1）如图1，求证：∠AFD=∠ADF ；
（2）如图2，过点F 作垂线交AB 于G ，交DC 的延长线于H ，求证：DH=2 AG ；
（3）在（2）的条件下，若EF=2，CH=3，求EC 的长．
10．如图，在平行四边形ABCD 中，BAD ∠的平分线交BC 于点E ，交DC 的延长线于F ，以EC CF 、为邻边作平行四边形ECFG 。

（1）证明平行四边形ECFG 是菱形；
（2）若ABC 120︒∠=，连结BG CG DG 、、，①求证：DGC BGE ≌；②求BDG ∠的度数；
（3）若ABC 90︒∠=，8AB =，14AD =，M 是EF 的中点，求DM 的长。

【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除
一、解答题
1．（1）①证明见解析；②证明见解析；（2）410
DE =． 【分析】
（1）过点D 作//DM GH 交BC 延长线于点M ，连接EH ，
①由正方形的性质可得//AD BC ，AD CD =，90A ADC DCM ∠=∠=∠=︒，即可证明四边形DGHM 是平行四边形，可得DM=GH ，由90GOD ∠=︒可得∠EDM=90°，根据直角三角形两锐角互余的性质可得12∠=∠，利用ASA 可证明△ADE≌△CDM，可得DE=DM ，即可证明DE=GH ；
②由①得DM=DE ，根据勾股定理可得2，利用三角形三边关系即可得结论； （2）过点D 作DN//GH 交BC 于点N ，作ADM CDN ∠=∠，DM 交BA 延长线于点
M ，可证明四边形GHND 为平行四边形，可得DN HG =，GD HN =，根据勾股定理可求出CN 的长，利用AAS 可证明ADM CDN ∆∆≌，可得AM NC =，DM DN =，根据
平行线的性质∠EDN=45°，根据角的和差故选可得∠MDE=∠EDN ，利用SAS 可证明
MDE NDE ∆∆≌，即可证明AE CN EN +=，设AE x =，利用勾股定理可求出x 的值，进而利用勾股定理求出DE 的值即可得答案． 【详解】
（1）如图（1），过点D 作//DM GH 交BC 延长线于点M ，连接EH ，EM ， ①∵四边形ABCD 为正方形，
∴//AD BC ，AD CD =，90A ADC DCM ∠=∠=∠=︒ ∴四边形DGHM 为平行四边形， ∴DM=GH ，GD HM =， ∵90GOD ∠=︒，
∴90EDM EOH ∠=∠=︒， ∴290EDC ∠+∠=︒， ∵90ADC ∠=︒， ∴190EDC ∠+∠=︒， ∴12∠=∠，
在ADE ∆和CDM ∆中12A DCM AD DC ∠=∠⎧⎪
=⎨⎪∠=∠⎩
，
∴ADE CDM ∆∆≌， ∴DE DM =， ∴DE GH =．
②在DEM ∆中，∠EDM=90°， ∴222DE DM EM +=， ∵DE DM =， ∴222DE EM =， ∴2EM DE =
，
在EHM ∆中，HM EH EM +>， ∵GD HM =， ∴2GD EH GH +≥
．
（2）如图（2），过点D 作DN//GH 交BC 于点N ，则四边形GHND 为平行四边形，
∴DN HG =，GD HN =，
∵90C ∠=︒，4CD AB ==，25HG DN ==
， ∴222CN DN DC =
-=，
∴422BN BC CN =-=-=，
作ADM CDN ∠=∠，DM 交BA 延长线于点M ，
在ADM ∆和CDN ∆中90C MAD CDN ADM DC AD ∠=∠=︒⎧⎪
∠=∠⎨⎪=⎩
，
∴ADM CDN ∆∆≌， ∴AM NC =，DM DN =， ∵45GOD EOH ∠=∠=︒， ∴45EDN ∠=︒， ∴45ADE CDN ∠+∠=︒， ∴45ADE ADN MDE ∠+∠=︒=∠，
在MDE ∆和NDE ∆中MD ND MDE EDN DE DE =⎧⎪
∠=∠⎨⎪=⎩
，
∴MDE NDE ∆∆≌，
∴EM EN =，即AE AM AE CN EN +=+=， 设AE x =，则BE=4-x ，
在Rt BEN ∆中，2
2
2
2(2)x x +=+， 解得：43
x =
， ∴2
2
2
2
441043DE AD AE ⎛⎫=+=+= ⎪⎝⎭
．
【点睛】
本题考查正方形的性质、平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、三角形的
三边关系及勾股定理，熟练掌握相关性质及判定定理，并正确作出辅助线是解题关键． 2．（1）见解析；（2）1条；（3）7211t =或185
t = 【分析】
(1)证△AEH ≌△CGH （SAS ），即可得出AH=CH ； (2)连接BD 交AC 于O ，作直线OE 即可；
(3)分两种情况：①连接AH 交BC 于M ，证出BM=CM=
1
2
BC=6，由题意得BE=BG=EH=GH=t ，则AE=9-t ，GM=6-t ，由三角形面积关系得出方程，解方程即可； ②连接AH 交CD 于M ，交BC 的延长线于K ，证出DM=CM=
1
2
CD ，证△KCM ≌△ADM 得CK=DA=12，则BK=BC+CK=24，且BE=BG=EH=GH=t ，则AE=9-t ，GK=24-t ，由三角形面积关系得出方程，解方程即可． 【详解】 解：(1)四边形BEHG 是正方形，
BE BG ∴=，90BEH BGH ∠=∠=︒，90AEH CGH ∠=∠=︒，
又
AB BC =， AE CG ∴=， 又EH HG =，
()AEH CGH SAS ∴∆≅∆，
AH CH ∴=．
(2)解：连接BD 交AC 于O ，如图1所示：
作直线OE ，则直线OE 矩形ABCD 面积平分， 即经过点E 且把矩形ABCD 面积平分的直线有1条， 故答案为：1； (3) 解：分两种情况：
①如图2所示：连接AH 交BC 于M ，
∵四边形ABCD 是矩形，
∴△ABC的面积=△ADC的面积，
∵直线AH将矩形ABCD的面积分成1：3两部分，∴△ABM的面积=△ACM的面积，
∴BM=CM=1
2
CD=6
，
由题意得：BE=BG=EH=GH=t，则AE=9-t，GM=6-t，
∵△ABM的面积=△AEH的面积+正方形BEHG的面积+△GHM的面积，
∴
1
2
×6×9=
1
2
t(9-t)+t²+
1
2
t(6-t)，
解得：
18
5
t=；
②如图3所示：连接AH交CD于M，交BC的延长线于K，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠MCK=∠B=∠D=∠BCD=90°，AD=BC=12，CD=AB=9，△ABC的面积=△ADC的面积，∵直线AH将矩形ABCD的面积分成1：3两部分，
∴△ADM的面积=△ACM的面积，
∴DM=CM=
1
2
CD=
9
2
，
在△KCM和△ADM中，
∠=∠
⎧
⎪
=
⎨
⎪∠=∠
⎩
D MCK
DM CM
AMD KMC
，
∴△KCM≌△ADM(ASA)，
∴CK=DA=12，
∴BK=BC+CK=24，
由题意得：BE=BG=EH=GH=t，则AE=9-t，GK=24-t，
∵△ABK的面积=△AEH的面积+正方形BEHG的面积+△GHK的面积，
∴1
2
×24×9=
1
2
t(9-t)+t²+
1
2
t(24-t)，
解得：
72
11
t=，
综上所述，
72
11
t=或
18
5
t=，
故答案为：
72
11
t=或
18
5
t=．
【点睛】
本题是四边形综合题目，考查了正方形的性质、矩形的性质、全等三角形的判定与性质、三角形面积以及分类讨论等知识；本题综合性强，熟练掌握正方形的性质和矩形的性质，证明三角形全等是解题的关键．
3．（1）BD⊥CF，CF=BC-CD；（2）CF=BC+CD，见解析；（3）①CF=CD−BC，②等腰三角形，见解析
【分析】
（1）先说明△ABC是等腰直角三角形，利用SAS即可证明△BAD≌△CAF，从而证得
CF⊥BD、CF=BD，又 BD+CD=BC, CF=BC-CD；
（2）先利用SAS即可证得△BAD≌△CAF，从而证得BD=CF，即可得到CF-CD=BC；
（3）①与（2）同理可得BD=CF，然后结合图形可得CF=CD-BC；
②先根据等腰直角三角形的性质得到∠ABC=∠ACB=45°，再根据邻补角的定义求出
∠ABD=135°，再根据同角的余角相等求出∠BAD=∠CAF，然后利用“边角边”证明
△BAD≌△CAF，得∠ACF=∠ABD，求出∠FCD=90°，然后根据直角三角形斜边上的中线等
于斜边的一半求出OC=1
2
DF，再根据正方形的对角线相等求出OC=OA，从而得到△AOC
是等腰三角形．
【详解】
（1）解：∵∠B4C=90°，AB=AC
∴∠ABC=∠ACB=45°
∵四边形ADEF是正方形
∴AD=AF，∠DAF=90°
∵∠BAC=∠BAD+∠DAC=90°，∠DAF=∠CAF+∠DAC=90°∴∠BAD=∠CAF
在△BAD和△CAF中，
AB=AC，∠BAD=∠CAF，AD=AF，
∴△BAD≌△CAF(SAS)，
∴BD=CF，∠ABD=∠ACF=45°
∴∠FCB=∠ACF+ ∠ACB=90°，即CF⊥BC
∵BD+CD=BC
∴CF+CD=BC；
故答案为：BD⊥CF，CF=BC-CD；
（2）证明：∵∠BAC=90°，AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB=45°，
∵四边形ADEF是正方形，
∴AD=AF，∠DAF=90°，
∵∠BAD=∠BAC+∠DAC，
∠CAF=∠DAF+∠DAC，
∴∠BAD=∠CAF，
在△BAD和△CAF中，
AB=AC，∠BAD=∠CAF，AD=AF，
∴△BAD≌△CAF(SAS)，
∴BD=CF，
∵BD=BC+CD，
∴CF=BC+CD；
（3）①与（2）同理可得，BD=CF，
所以，CF=CD−BC；
②∵∠BAC=90°，AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB=45°，
则∠ABD=180∘−45°=135°，
∵四边形ADEF是正方形，
∴AD=AF，∠DAF=90°，
∵∠BAC=∠BAF+∠CAF=90°，
∠DAF=∠BAD+∠BAF=90°，
∴∠BAD=∠CAF，
在△BAD和△CAF中，
AB=AC，∠BAD=∠CAF，AD=AF，
∴△BAD≌△CAF(SAS)，
∴∠ACF=∠ABD=180°−45°=135°，
∴∠FCD=∠ACF−∠ACB=90°，
则△FCD为直角三角形，
∵正方形ADEF中，O为DF中点，
∴OC=1
DF，
2
∵在正方形ADEF中，OA=1
AE，AE=DF，
2
∴OC=OA，
∴△AOC是等腰三角形．
【点睛】
本题考查了四边形的综合题，正方形的性质、全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的性质、等腰三角形的判定以及同角的余角相等的性质，在（1）证明三角形全等得到思路并推广到（2）（3）是解答本题的关键.
t ，理由见解析. 4．（1）四边形AEFD能够成为菱形，理由见解析；（2）5
【分析】
（1）能；首先证明四边形AEFD为平行四边形，当AE＝AD时，四边形AEFD为菱形，即40﹣4t＝2t，解方程即可解决问题；
（2）当∠FDE＝90°时，AEFD为矩形，再根据线段的长度关系列方程求得.
【详解】
解：（1）四边形AEFD 能够成为菱形，
理由如下：在DFC ∆中，90,30DFC C ∠=︒∠=︒，4DC t =，
∴2DF t =，
又∵2AE t =，∴AE DF =，
∵,AB BC DF BC ⊥⊥，∴//AE DF ，
又∵AE DF =，∴四边形AEFD 为平行四边形，
如图1，当AE AD =时，四边形AEFD 为菱形，即4042t t -=，解得203t =.
∴当203
t =
秒时，四边形AEFD 为菱形. （2）
如图2，当90FDE ∠=︒时，四边形EBFD 为矩形，
在Rt AED ∆中，60A ∠=︒，则30ADE ∠=︒，∴2AD AE =，
即4044t t -=，
解得5t =.
【点睛】
本题考查平行四边形的判定和性质、菱形的判定、直角三角形的判定和性质、矩形的性质等知识，解题的关键是方程思想，学会构建方程解决问题.
5．（1）B （12，4）；（2）52t s =
；（3）58,4,3,4,2,4,,42 【分析】
（1）由四边形OABC 是平行四边形，得到OA BC =，//OA BC ，于是得到 10OA =，2OE AF ，可求出点B 的坐标； （2）根据四边形PCDA 是平行四边形，得到PC AD =，即1025t -=，解方程即可得到结论；
（3）如图2，可分三种情况：①当5PD OD 时，②当5PO OD 时，③当 PD OP =时分别讨论计算即可．
【详解】
解：如图1，过C 作CE OA ⊥于E ，过B 作BF OA ⊥于 F ，
四边形OABC 是平行四边形，
OA BC ，//OA BC ， A ，C 的坐标分别为(10,0)， (2,4)， 10OA ∴=，2OE AF
， 10BC ∴=，
(12,4)B ； （2）设点P 运动t 秒时，四边形PCDA 是平行四边形，
由题意得：102PC t =-，
点D 是OA 的中点， 152OD BC AD OA ，
四边形PCDA 是平行四边形，
PC AD ，即1025t -=，
52
t ∴=， ∴当52
t =秒时，四边形PCDA 是平行四边形； （3）如图2，①当5PD
OD 时，过1P 作1PE OA 于 E ，
则14PE ，
3DE ∴=，
1(8,4)P ，
又D ，C 的坐标分别为()5,0，(2,4)，
∴225245CD ,
即有，当点P 与点C 重合时，5PD OD ，
2,4P ； ②当5PO
OD 时，过2P 作2P G OA 于 G ， 则24P G ，
3OG ∴=，
2(3,4)P ；
③当PD OP =时，过3P 作3P F
OA 于 F ， 则34P F ，52
OF =， 35(2
P ，4)； 综上所述：当ODP ∆是等腰三角形时，点P 的坐标为(8,4)， 5(2
，4)，(3,4)，(2,4)． 【点睛】
本题是四边形综合题，考查了平行四边形的性质，等腰三角形的性质，勾股定理，熟练掌握平行四边形的性质和等腰三角形的性质是解题的关键．
6．（1）证明见解析；（
2）①
BH BG =
②BH 的长为
或． 【分析】
（1）证()DAG BAE SAS △≌△，即可得出结论；
（2）①连接GH ，延长HF 交AB 于N ，设AB 与EF 的交点为M ，证
()GAB GFH SAS △≌△，得GH GB =，GHF GBA ∠=∠，证GHB ∆为等腰直角三角形，即得结论；
②分两种情况，证出点B 、
E 、G 在一条直线上，求出10A
F E
G ===，则5OA OG OE ===，由勾股定理求出12OB =，求出BG ，即可得出答案．
【详解】
（1）∵四边形ABCD 和四边形AEFG 是正方形，
∴AD =AB =CB ，AG =AE ，∠DAB =∠GCE =90°，
∴∠DAB ﹣∠GAF =∠GCE ﹣∠GAF ，
即∠DAG =∠BAE ，
在△DAG 和△BAE 中，
AD AE DAG BAE AG AE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
，
∴△DAG ≌△BAE (SAS)，
∴DG =BE ；
（2）①连接GH ，延长HF 交AB 于N ，设AB 与EF 的交点为M ，如图2所示：
∵四边形BCHF 是平行四边形，
∴HF //BC ，HF =BC =AB ．
∵BC ⊥AB ，
∴HF ⊥AB ，
∴∠HFG =∠FMB ，
又AG //EF ，
∴∠GAB =∠FMB ，
∴∠HFG =∠GAB ，
在△GAB 和△GFH 中，
AG FG GAB HFG AB FH =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
，
∴△GAB ≌△GFH (SAS)，
∴GH =GB ，∠GHF =∠GBA ，
∴∠HGB =∠HNB =90°，
∴△GHB 为等腰直角三角形，
∴BH 2=
， ∴2BH BG
= ②分两种情况：
a 、如图3所示：
连接AF、EG交于点O，连接BE．
∵四边形BCHF为菱形，
∴CB=FB．
∵AB=CB，
∴AB=FB=13，
∴点B在AF的垂直平分线上．
∵四边形AEFG是正方形，
∴AF=EG，OA=OF=OG=OE，AF⊥EG，AE=FE=AG=FG，∴点G、点E都在AF的垂直平分线上，
∴点B、E、G在一条直线上，
∴BG⊥AF．
∵AE=52，
∴AF=EG2
=AE=10，
∴OA=OG=OE=5，
∴OB2222
AB OA
=-=-=12，
135
∴BG=OB+OG=12+5=17，
由①得：BH2
=BG=172；
b、如图4所示：
连接AF、EG交于点O，连接BE，
同上得：点B 、E 、G 在一条直线上，OB =12，BG =OG +OB ﹣OG =12﹣5=7，
由①得：BH 2=BG =72； 综上所述：BH 的长为172或72．
【点睛】
本题是四边形综合题目，考查了正方形的性质、菱形的性质、全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质、勾股定理、线段垂直平分线的判定等知识；本题综合性强，熟练掌握正方形的性质和菱形的性质，证明三角形全等是解题的关键．
7．（1）∠EAF=135°；（2）证明见解析．
【分析】
（1）根据正方形的性质，找到证明三角形全等的条件，只要证明△EBC ≌△FNE （AAS ）即可解决问题；
（2）过点F 作FG ∥AB 交BD 于点G ．首先证明四边形ABGF 为平行四边形，再证明△FGM ≌△DMC （AAS ）即可解决问题；
【详解】
（1）解：∵四边形ABCD 是正方形，
∴90B N CEF ∠=∠=∠=︒，
∴90NEF CEB ∠+∠=，90CEB BCE ∠+∠=，
∴NEF ECB ∠=∠，
∵EC EF =，
∴EBC ∆≌FNE ∆
∴FN BE =，EN BC =，
∵BC AB =
∴EN AB =
∴EN AE AB AE -=-
∴AN BE =，
∴FN AN =，
∵FN AB ⊥，
∴45NAF ∠=，
∴135EAF =∠
（2）证明：过点F 作//FG AB 交BD 于点G .
由（1）可知135EAF =∠，
∵45ABD ∠=︒
∴135180EAF ABD ∠=︒+∠=︒，
∴//AF BG ，
∵//FG AB ，
∴四边形ABGF 为平行四边形，
∴AF BG =，FG AB =，
∵AB CD =，
∴FG CD =，
∵//AB CD ，
∴//FG CD ，
∴FGM CDM ∠=∠，
∵FMG CMD ∠=∠
∴FGM ∆≌CDM ∆
∴GM DM =，
∴2DG DM =，
∴2BD BG DG AF DM =+=+.
【点睛】
本题考查全等三角形的判定和性质、正方形的性质、平行四边形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考常考题型．
8．（1）①证明见解析；②60EBF ∠=︒；（2）3IH FH =；（3）222EG AG CE =+. 【分析】
（1）①由DOE BOF ∆≅∆，推出EO OF =，
OB OD =，推出四边形EBFD 是平行四边形，再证明EB ED =即可．
②先证明2ABD ADB ∠=∠，推出30ADB ∠=︒，延长即可解决问题．
（2）3IH FH =．只要证明IJF ∆是等边三角形即可．
（3）结论：222EG AG CE =+．如图3中，将ADG ∆绕点D 逆时针旋转90︒得到DCM ∆，先证明DEG DEM ∆≅∆，再证明ECM ∆是直角三角形即可解决问题．
【详解】
（1）①证明：如图1中，
四边形ABCD 是矩形，
//AD BC ∴，OB OD =，
EDO FBO ∴∠=∠，
在DOE ∆和BOF ∆中，
EDO FBO OD OB
EOD BOF ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩
， DOE BOF ∴∆≅∆，
EO OF ∴=，OB OD =，
∴四边形EBFD 是平行四边形，
EF BD ⊥，OB OD =，
EB ED ∴=，
∴四边形EBFD 是菱形．
②BE 平分ABD ∠，
ABE EBD ∴∠=∠，
EB ED =，
EBD EDB ∴∠=∠，
2ABD ADB ∴∠=∠，
90ABD ADB ∠+∠=︒，
30ADB ∴∠=︒，60ABD ∠=︒，
30ABE EBO OBF ∴∠=∠=∠=︒，
60EBF ∴∠=︒．
（2）结论：
3IH FH =．
理由：如图2中，延长BE 到M ，使得EM EJ =，连接MJ ．
四边形EBFD 是菱形，60B ∠=︒，
EB BF ED ∴==，//DE BF ，
JDH FGH ∴∠=∠，
在DHJ ∆和GHF ∆中，
DHG GHF DH GH
JDH FGH ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩
， DHJ GHF ∴∆≅∆，
DJ FG ∴=，JH HF =，
EJ BG EM BI ∴===，
BE IM BF ∴==，
60MEJ B ∠=∠=︒，
MEJ ∴∆是等边三角形，
MJ EM NI ∴==，60M B ∠=∠=︒
在BIF ∆和MJI ∆中，
BI MJ B M BF IM =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
，
BIF MJI ∴∆≅∆，
IJ IF ∴=，BFI MIJ ∠=∠，HJ HF =，
IH JF ∴⊥，
120BFI BIF ∠+∠=︒，
120MIJ BIF ∴∠+∠=︒，
60JIF ∴∠=︒，
JIF ∴∆是等边三角形，
在Rt IHF ∆中，90IHF ∠=︒，60IFH ∠=︒，
30FIH ∴∠=︒， 3
IH FH ∴=．
（3）结论：222EG AG CE =+．
理由：如图3中，将ADG ∆绕点D 逆时针旋转90︒得到DCM ∆，
90FAD DEF ∠+∠=︒，
AFED ∴四点共圆，
45EDF DAE ∴∠=∠=︒，90ADC ∠=︒，
45ADF EDC ∴∠+∠=︒，
ADF CDM ∠=∠，
45CDM CDE EDG ∴∠+∠=︒=∠，
在DEM ∆和DEG ∆中，
DE DE EDG EDM DG DM =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
，
DEG DEM ∴∆≅∆，
GE EM ∴=，
45DCM DAG ACD ∠=∠=∠=︒，AG CM =，
90ECM ∴∠=︒
222
∴+=，
EC CM EM
=，
=，AG CM
EG EM
222
∴=+．
GE AG CE
【点睛】
本题考查四边形综合题、矩形的性质、正方形的性质、菱形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形，学会转化的思想思考问题，属于中考压轴题．
9．（1）见解析；（2）见解析；（3）7
【分析】
（1）利用等腰三角形的性质结合正方形的性质得出AF=AD，则∠AFD=∠ADF；
（2）首先得出四边形AGHN为平行四边形，可得FM=MD，进而NF=NH，ND=NH，即可得出答案；
（3）首先得出△ADN≌△DCP（ASA），得到PC=DN，再利用在Rt△ABE中，
BE2+AB2=AE2，即可求出答案．
【详解】
（1）证明：∵∠ABF=∠AFB，
∴AB=AF，
∵四边形ABCD为正方形，
∴AB=AD，
∴AF=AD，
∴∠AFD=∠ADF；
（2）证明：如图1所示：过点A作DF的垂线分别交DF，DH于M，N两点，
∵GF⊥DF，
∴∠GFD=∠AMD=90°，
∴AN∥GH，
∵四边形ABCD为正方形，
∴AG∥NH，
∴四边形AGHN为平行四边形，
∴AG=NH，
∵AF=AD，AM⊥FD，
∴FM=MD，
连接NF，则NF=ND，
∴∠NFD=∠NDF，
∵∠NFD+∠NFH=∠NDF+∠H，
∴∠NFH=∠H，
∴NF=NH，
∴ND=NH，
∴DH=2NH=2AG；
（3）解：延长DF交BC于点P，如图2所示：
∵四边形ABCD 为正方形，
∴AD ∥BC ，
∴∠ADF=∠FPE ，
∴∠PFE=∠AFD=∠ADF=∠FPE ，
∴EF=EP=2，
∵∠DAM+∠ADM=∠ADM+∠PDC ，
∴∠DAM=∠PDC ，
∵四边形ABCD 为正方形，
∴AD=DC ，∠ADN=∠DCP ，
在△ADN 和△DCP 中
DAN PDC AD DC
ADN PCD ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩
， ∴△ADN ≌△DCP （ASA ），
∴PC=DN ，
设EC=x ，则PC=DN=x+2，DH=2x+4，
∵CH=3，
∴DC=AB=BC=AF=2x+1
∴AE=2x+3，BE=x+1，
在Rt △ABE 中，BE 2+AB 2=AE 2，
∴（x+1）2+（2x+1）=（2x+3）2．
整理得：x 2﹣6x+7=0，
解得：x 1=7，x 2=﹣1（不合题意，舍去）
∴EC=7．
【点睛】
本题是四边形综合题，主要考查了全等三角形的判定与性质、勾股定理、正方形的性质、平行四边形的性质等知识，解题关键是正确把握正方形的性质．
10．（1）见解析；（2）①见解析；②∠BDG=60°；（3130【分析】
（1）平行四边形的性质可得AD ∥BC ，AB ∥CD ，再根据平行线的性质和角平分线的性质证明∠CEF=∠CFE ，根据等角对等边可得CE=CF ，再根据四边形ECFG 是平行四边形，可得四边形ECFG 为菱形；
（2）①根据已知和菱形的性质得出∠BEG=120°=∠DCG，再判断出AB=BE，进而得出BE=CD，即可判断出△BEG≌△DCG（SAS）
②先得出∠CGE=60°再由①得出△BDG是等边三角形，即可得出结论；
（3）首先证明四边形ECFG为正方形，再证明△BME≌△DMC可
DM=BM,∠DMC=∠BME，再根据∠BMD=∠BME+∠EMD=∠DMC+∠EMD=90°可得到△BDM是等腰直角三角形,等腰直角三角形的性质即可得到结论．
【详解】
解：（1）证明：∵AF平分∠BAD，
∴∠BAF=∠DAF，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AB∥CD，
∴∠DAF=∠CEF，∠BAF=∠CFE，
∴∠CEF=∠CFE，
∴CE=CF，
又∵四边形ECFG是平行四边形，
∴四边形ECFG为菱形；
（2）①∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥DC，AB=DC，AD∥BC，
∵∠ABC=120°，
∴∠BCD=60°，∠BCF=120°
由（1）知，四边形CEGF是菱形，
∴CE=GE，∠BCG=1
2
∠BCF=60°，
∴CG=GE=CE，∠DCG=120°，∵EG∥DF，
∴∠BEG=120°=∠DCG，
∵AE是∠BAD的平分线，
∴∠DAE=∠BAE，
∵AD∥BC，
∴∠DAE=∠AEB，
∴∠BAE=∠AEB，
∴AB=BE，
∴BE=CD，
∴△BEG≌△DCG（SAS），②∵△BEG≌△DCG
∴BG=DG，∠BGE=∠DGC，
∴∠BGD=∠CGE，
∵CG=GE=CE，
∴△CEG是等边三角形，
∴∠CGE=60°，
∴∠BGD=60°，
∵BG=DG ，
∴△BDG 是等边三角形，
∴∠BDG=60°；
（3）连接BM ，MC ，
∵∠ABC=90°，四边形ABCD 是平行四边形，
∴四边形ABCD 是矩形，
又由（1）可知四边形ECFG 为菱形，
∠ECF=90°，
∴四边形ECFG 为正方形．
∵∠BAF=∠DAF ，
∴BE=AB=DC ，
∵M 为EF 中点，
∴∠CEM=∠ECM=45°，
∴∠BEM=∠DCM=135°，
在△BME 和△DMC 中，
BE CD BEM DCM EM CM =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
∴△BME ≌△DMC （SAS ），
∴MB=MD ，
∠DMC=∠BME ．
∴∠BMD=∠BME+∠EMD=∠DMC+∠EMD=90°，
∴△BMD 是等腰直角三角形．
∵AB=8，AD=14，
∴65
1302DM BD ∴=
=【点睛】 此题主要考查平行四边形的判定方法，全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，菱形的判定与性质等知识点，应用时要认真领会它们之间的联系与区别，同时要根据条件合理、灵活地选择方法．。