22.4图形的位似变换

如图，△ABC三个顶点坐标 分别为A(2, 3)，B(2，1)， C(6, 2)，以点O为位似中心， 相似比为2，将△ABC放大，-12 -10-9-8 观察对应顶点坐标的变化， C" 你有什么发现？
8
6
A'
4A
2 B'
B
-6
-4B"-2
O -2
24
-4
-6
A"
-8
C' C
6 8 9 101112
位似变换后A，B，C的对应点为：
O
位似中心是对应点连线段的交点
9.如图，△ABC∽△DEF，则△ABC 与△DEF 是以_点__O_ 为位似中心的2位似图形，若OODA＝32，则△ABC 与△DEF 的相似比是__3__．
探究
如图，在平面直角坐标系中, 有两点A(6, 3)，B(6, 0)．以 原点O为位似中心，相似比 为 1 ，把线段AB缩小，观察
-2 A
C
-4 A'
-6
B
8 9 101112
C'
-8
解：
B'
A'（ 4 ，－ 4 ），B ' （ 8 ， － 10 ），C ' （ 10 ，－4 ），
A" （－ 4 ， 4 ），B" （－ 8 ， 10 ），C" （－10 ，4 ），
3. 如图表示△AOB和把它缩小后得到的△COD，求它们的 相似比．
5.如果四边形ABCD与四边形A’B’C’D’是位似图形,
且位似比为k,则下列等式中成立的有( ①② )
① AC BD k
A'C' B' D'
③ S三角形ABC
S三角形A'B'C '

1 k2
②Δ BCD∽Δ B'C'D’
④
四边形ABCD的周长 四边形A' B'C' D'的周长

1 k
6.如图,任取一点O,连接AO,BO,CO,并取它们的
作 2.连接点O与各关键点，作直线； 定 3.分别在直线上取关键点的同向或
反向对应点，并满足放缩比例；
连 4.顺次连接截取点.
即可得到所求作的新图形.
你能解释△ABC∽△A’B’C’的道理吗？ 把△ABC放大为原来的2倍(即新图与原图 的相似比为2)
A’
A B’ C’
B C
O
位似图形的概念：
如果两个相似图形的对应顶点的连 线都相交于一点，那么这两个相似图形 叫做位似图形，这个交点叫做位似中心.
中点，则△DEF与△ABC的面积比是( C )
A.1∶6 B.1∶5 C.1∶4 D.1∶2
位似图形的位似比等于相似比.
[解析] 根据位似变换的特征可知△DEF∽△ABC，且相似比 为 OD∶OA＝1∶2，所以 S△DEF∶S△ABC＝1∶4，因此应选 C.
8.如图，△ABC与△A′B′C′是位似图形，请在图 中画出位似中心O.
作一个图形的位似图形时，位似中心可 以是平面内任意一点，该点可在图形内部， 可在图形外部，可在图形边上，还可在图形 的某个顶点上。
4.若两个图形位似，则下列叙述不正确的是( C )
A.每对对应点所在直线相交于同一点; B.对应线段之比等于位似比； C.两个图形的对应线段必平行； D.两个图形的面积比等于位似比的平方；
1.下列4个图形中是位似图形的有( B )
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
2.如图，指出下列各图中的两个图形是否是位似图形， 如果是位似图形，请指出其位似中心．
是，点A 是，点P 是，点O 不是
3.已知任意四边形ABCD ,求作它的位似四边形 A’B’C’D’,使四边形A’B’C’D’与四边形ABCD 的相似比为1:4,并使位似中心分别取在: (1)四边形ABCD的外部; (2)四边形ABCD的内部; (3)四边形ABCD的一条边上; (4)四边形ABCD的一个顶点上.
8A
点D的横坐标为2
点B的横坐标为5
相似比为 2 5
6
4C
2
-8 -6 -4 -2 O -2
B 2D 4 6 8
-4
-6
-8
4．已知平面直角坐标系中△ABC的顶点A的坐标是(2，
3)，以O为位似中心在同侧将△ABC放大3倍，则放大后对 应点A′的坐标是_____(6_，__9_)．
第2课时 平面直角坐标系中图形的位似变换
放电影时，胶片上和屏幕上的画面 之间有什么关系呢？
如何把一个图形进行放大或缩小呢？源自我们在物理上都学过了小孔成像，从中 你能得到什么启示呢？
B’ A
O
B
A’
把△ABC放大为原来的2倍(即新图与原图 的相似比为2)
A
B
C
(1)在△ABC所在平面内任取一点O；
(2)以点O为端点作射线OA，OB，OC；
A '（ 4 ，6 ），B ' （ 4 ， 2 ），C '（ 12 ，4 ）； A”（－4，－6），B” （－4 ，－2），C”（－12，－4）．
观察对应点之间的坐标的变化，你有什么发现?
在平面直角坐标系中，如果位似变换是以 原点O为位似中心，相似比为k(k＞0)，原图 形上点的坐标为(x，y)，那么同向位似图形 对应点的坐标为(kx，ky)(k＞0)，反向位似 图形对应点的坐标为(－kx，－ky)(k＞0)．
(3)分别在射线AO，BO，CO上取点A’，B’，C’，
A
使得 OA' OB' OC' 2；
OA OB OC
(4)连接A’B’，B’C’，C’A’.
B C
△A’B’C’即为所求作的三角形.
O
C’
B’
反向位似变换
（内位似）
A’
作位似图形的一般步骤：
选 1.在原图上选取关键点若干个， 并在平面内任取一点O；
平面直角坐标系中位似变换的坐标规律：
前提：以原点O为位似中心，相似比为k(k＞0)
1 . 如图，四边形ABCD的坐标分别
A
8
为A（－6，6），B（－8，2），C （－4，0），D（－2，4），画出它
的为一1 个的以位原似点图O形为．位似中心，相似比 B
D6
A' 4
B'
2D'
分析2 ：问题的关键是要确定位似图 -8 -6 C-4 -2C' 2 4 6 8
位似变换的性质：
(1)每一组对应点与位似中心共线； (2)任意一组对应点到位似中心的距离之比等于位似比； (3)任意一组对应边的比(相似比)等于位似比； (4)各组对应边分别平行(或在同一条直线上). (5)位似图形是特殊的相似图形.
判断位似图形有两点：一、图形要相似； 二、对应点的连线要交于同一点(位似中心)．
就这一个结果 吗？
依次连接点A'B'C'D'就是要求的四边形ABCD的位似图形．
B"
2. 如图，△ABC三个顶 点坐标分别为A（2，－
2），B（4，－5），C C"
（5，－2），以原点O为
8 6
A" 4
2
位似中心，将这个三角 形放大为原来的2倍．
-12 -10-9-8 -6 -4
-2 O 2 4 6
3
对应点之间坐标的变化，你 有什么发现？
8 6 4
B〞2
-8 -6 -4 -2 O
A〞-2
-4 -6
-8
A A'
2 4 6B 8 B'
位似变换后A，B的对应点为A’（ 2 ， 1 ），B’（ 2 ，0 ）； A”（－2 ，－1），B” （－2 ，0 ）．
观察对应点之间的坐标的变化，你有什么发现?
探究
5．如图所示，在建立平面直角坐标系后，△ABC 的顶点 A 的
坐标为(1，－4)，若以原点 O 为位似中心，在第二象限内画
△ABC 的位似图形△A′B′C′，使△A′B′C′与△ABC 的位似比 等于12，则点 A′的坐标为 (－12，2) ．
-2
形各个顶点的坐标．根据前面的规
-4
律，点A的对应点A‘的坐标
-6
为 6 1 ,6 1 ，即（－3,3）．类
-8
2 2
似地，可以确定其他顶点的坐标．
解：如图，利用位似变换中对应点的坐标的变化规律．分别取点
A'（－ 3 ， 3 ），B ' （ － 4 ， 1 ），
C ' （－2 ， 0 ），D'（－1 ， 2 ）．
中点D,E,F,得到Δ DEF,则下列说法正确的有 __①__②__③__④___
①Δ ABC与Δ DEF是位似图形 ②Δ ABC与Δ DEF是相似图形 ③Δ ABC与Δ DEF的周长比为2:1 ④Δ ABC与Δ DEF的面积比为4:1
7. 如图，△DEF是由△ABC经过位似变换得到的， 点O是位似中心，D，E，F分别是OA，OB，OC的
(3)分别在射线OA，OB，OC上取点A’，B’，C’，
使得 OA' OB' OC' 2；
OA OB OC
(4)连接A’B’，B’C’，C’A’.
A’
△A’B’C’即为所求作的三角形.
同向位似变换 A
（外位似）
B’
C’
B
C
O
(1)在△ABC所在平面内任取一点O；
(2)分别以点A,B,C为端点作射线AO，BO，CO；