安徽省淮南市实验中学2月高三模拟考试试题数学（文科）

安徽省淮南市实验中学2月高三模拟考试试题
数学文科
本试题分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，总分150分，考试时间120分
钟。

第Ⅰ卷（选择题，共55分） 一、选择题（本大题共11小题，每小题5分，共55分） 1．已知集合P={x |x 2－3x <0}，Q={x |
2
π<x <23π}，则P∩Q=
A ．Φ
B ．{x |3< x <π}
C ．{x |
2
π
< x <π}
D ．{x |
2
π
< x <3} 2．函数的y =222-x （x ≤－1）反函数是
A ．y =－1212+x （x ≥0）
B ．y =1212+x （x ≥0）
C ．y =－12
12+x （x ≥2）
D ．y =12
12+x （x ≥2）
3．若函数f （x ）= x 3－x 2－1，则此函数图象在点（1, f （1））处的切线的倾斜角为
A ．0
B ．锐角
C ．
2
π
D ．钝角
4．在长方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，B 1C 和C 1D 与底面A 1B 1C 1D 1所成的角分别为60°和45°，则异面直线B 1C 和C 1D 所成的角的余弦值为
A ．4
6
B ．3
6
C ．
6
2
D ．6
3
5．曲线y =2si n )4cos()4
(π
π
-
+
x x 和直线在y =2
1
在y 轴右侧的交点按横坐标从小到大依次记为P 1，P 2，P 3，…，则|P 2P 4|等于
A ．π
B ．2π
C ．3π
A
B C
D
A 1
D 1
C B
D ．4π
6．已知α、β是平面，m 、n 是直线，则下命题不正确的是
A ．若m ∥n , m ⊥α, 则n ⊥α
B ．若,m ⊥α, m ⊥β, 则α∥β
C ．若m ⊥α, m ∥n , n ⊂β, 则α⊥β
D ．若m ∥α, α ∩β=n 则m ∥n
7．设函数f （x ）是定义在R 上的以5为周期的奇函数，若f （2）>１，f （）=3
3
-+a a ，则a 的取值范围是
A ．（－∞, 0）∪（3, +∞）
B ．（－∞, 0）
C ．（0, +∞）
D ．（0, 3）
8．若实数x 、y 满足条件⎩⎨⎧≤≤≤+-5
129
)3(22x y x ，则x y 的最大值为
A ．9－45
B ．5
C ．3
D ．1
9．已知点A, F 分别是椭圆122
22=+b
y a x （a >b >0）的右顶点和左焦点，点B 为椭圆短轴的
一个端点，若BA BF ⋅=0，则椭圆的离心率e 为
A ．
21（3－1） B ．2
1
（5－1） C ．
2
2
D ．
2
5 10．在圆周上有10个等分，以这些点为顶点，每3个点可以构成一个三角形，如果随机选择了3个点，刚好构成直角三角形的概率是
A ．5
1 B ．
4
1 C ．
3
1
D ．
2
1 11．已知集合P={x |5x －a ≤0}， Q={x |6x －b >0}，a , b ∈N, 且A∩B∩N={2，3，4}，则整数对（a , b ）的个数为
A ．56
B ．42
C ．30
D ．20
第Ⅱ卷（非选择题, 共95分）二、填空题（每小题4分，共16分）
12．
6
1
2⎪⎪
⎭
⎫
⎝
⎛
-
x
x的展开式的中间项为；
13．已知OA=（k, 12），OB=（4, 5），OC=（－k, 10），且A、B、C三点共线，则k= ;
14．已知S n是数列{a n}的前n项和，a2 =5, a n+1=2 a n－1, 则S4= ；
15．已知函数f（x）=
x
⎪
⎭
⎫
⎝
⎛
3
1
－log2x正实数a、b、c成公差为正数的等差数列，且满足f
（a）f（b）f（c）<0,若实数d是方程f（x）=0的一个解，那么下列四个判断：① d<a; ②d>b; ③d<c; ④d>c中有可能成立的为（填序号）．
三、解答题（本大题共6小题，共79分）
16．（本小题满分12分）
设函数f（x）=2cos x（cos x+3si nx）－1,x∈R
（1）求f（x）的最小正周期T；
（2）求f（x）的单调递增区间．
17．（本小题满分13分）
某校设计了一个实验学科的实验考查方案：考生从6道备选题中一次性随机抽取3题，按照题目要求完成全部实验操作．规定：至少正确完成其中2题的便可提高通过．已知6道备选题中考生甲有4题能正确完成，2题不能完成；考生乙每题正确完成的概率都是，且每题正确完成与否互不影响．求：
（1）考生甲通过实验考查的概率；
（2）考生乙通过实验考查的概率；
（3）甲、乙两考生至少有一人通过实验考查的概率．
18．（本小题满分14分）
如图，正三棱柱ABC－A1B1C1的底面边长是2，D是侧棱CC1的中点，直线AD与侧面
BB1C1C所成的角为45°．
（1）求此正三棱柱的侧棱长；
（2）求二面角A-BD-C的大小；
（3）求点C到平面ABD的距离．
A
B
C D
1
A
1
B
1
C
19．（本小题满分14分）
已知数列{a n }中，a n =2－
1
1-n a （ n ≥2，n ∈N +）
（1）若a 1=53，数列{b n }满足b n =11
-n a （ n ∈N +），求证数列{b n }是等差数列；
（2）若a 1=53，求数列{a n }中的最大项与最小项，并说明理由．
20．（本小题满分12分）
已知椭圆C 的中心在原点，焦点在x 轴上，它的一个顶点恰好是抛物线y =4
1x 2
的焦点，离心率等于5
52．
（1）求椭圆C 的方程；
（2）过椭圆C 的右焦点F 作直线l 交椭圆C 于A 、B 两点，交y 轴于M 点，若
MA =λ1AF ，MB =λ2BF ，求证λ1+λ2为定值．
21．（本小题满分14分）
已知函数f （x ）= x 3－2
1x 2
+bx +c ，且f （x ）在x =1处取得极值． （1）求b 的值；
（2）若当x ∈[－1，2]时，f （x ）< c 2恒成立，求c 的取值范围； （3）c 为何值时，曲线y =f （x ）与x 轴仅有一个交点．
参考答案
一、选择题：本大题共11小题，每小题5分，共55分．
1．D 2．A 3．B 4．A 5．A 6．D 7．D 8．B 9．B 10．C 11．C
二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分． 12．-160；
13．3
2
； 14．34； 15．①②③
三、解答题：本大题共6小题，共79分． 16．)
62sin(22cos 2sin 3cos sin 322cos )(π
+
=+=
+=x x x x x x x f ………… 6分
（1）ππ
==
22T ． ………… 9分 （2）由2k π –
2
π≤ 2x +
6
π ≤ 2k π + 2π, 得：k π – 3π≤ x ≤ k π + 6
π
（k ∈Z ）,
f （ x ） 单调递增区间是[k π – 3π，k π +6
π
]（k ∈Z ）． …… 12分
17．（1）考生甲通过实验考查的概率+=3612241C C C P 54
51533
6
234=+=C C C 。

……5分 （2）考生乙通过实验考查的概率=2P 27
20
27827123232)32
1(3
223=
+=
+⋅-）（）（C ， ……………………………10分
（3）甲、乙两考生至少有一人通过实验考查的概率为
135
128
11121=
-⋅--=）（）（P P P …………………… 13分 18．（1）设正三棱柱ABC —111C B A 的侧棱长为x ．取BC 中点E ，连AE ．
ABC ∆ 是正三角形，AE BC ∴⊥．
又底面ABC ⊥侧面11BB C C ，且交线为BC ．
AE ∴⊥侧面11BB C C ．
连ED ，则直线AD 与侧面11BB C C 所成的角为45ADE ∠=． 在AED Rt ∆中，2
3tan 4514
AE
ED
x =
=+，解得22x =
∴此正三棱柱的侧棱长为22 ……………………5分
注：也可用向量法求侧棱长．
（2）解法1：过E 作EF BD ⊥于F ，连AF ，
⊥AE 侧面,11C C BB ∴AF BD ⊥．AFE ∴∠为二面角C BD A --的平面
A
B
C
D
1
A 1
B 1
C E
F G H
I
角．
在BEF Rt ∆中，sin EF BE EBF =∠， 又22231,sin 2(2)
CD BE EBF BD =∠=
==+∴3
EF =
又3,AE =∴在AEF Rt ∆中，tan 3AE
AFE EF
∠=
=． 故二面角C BD A --的大小为arctan3． …………………………10分 解法2：（向量法，见后）
（3）解法1：由（2）可知，⊥BD 平面AEF ,∴平面AEF ⊥平面ABD ，且交线为
AF ，
∴过E 作EG AF ⊥于G ，则EG ⊥平面ABD ．
在AEF Rt ∆中，223330310
3(3)(
)3
AE EF
EG AF
⨯=
==
+．
E 为BC 中点，∴点C 到平面ABD 的距离为230
2EG =
． ………… 14分 解法2：（思路）取AB 中点H ，连CH 和DH ，
由,CA CB =DA DB =，易得平面ABD ⊥平面CHD ，且交线为DH ． 过点C 作CI DH ⊥于I ，则CI 的长为点C 到平面ABD 的距离． 解法3：（思路）等体积变换:由
C AB
D A BCD V V --=可求．
解法4：（向量法，见后）
题（Ⅱ）、（Ⅲ）的向量解法：
（2）解法2：如图，建立空间直角坐标系
xyz o -．
则3),(0,1,0),(0,1,0),(2,1,0)A B C D -．
A
B
C
D 1
A 1
B 1
x
y
z
o
设
1(,,)n x y z =为平面ABD 的法向量．
由⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅0
,021AD n AB n 得3230
y z x y z ⎧=⎪
-=．取1(6,3,1).n =-- 又平面BCD 的一个法向量2(0,0,1).n =
∴10
10
1)3()6(1)1,0,0()1,3,6(,cos 222212121=+-+-⨯⋅--=⋅>=<n n n n n n ．
结合图形可知，二面角C BD A --的大小为10
． …………10分 （3）解法4：由（2）解法2，1(6,3,1),n =--(0,3).CA =-
∴点C 到平面ABD 的距离1
1
n n CA d ⋅=2
221)3()6()1,3,6()3,1,0(+-+---⋅-=＝
10
30
2 14分
19．（1）
111
1111
1
21
n n n n n a b a a a ---==
=----，而1111-=--n n a b ， ∴11111111=-=-=-----n n n n n a a a b b ．)(+∈N n
∴{n b }是首项为2
5
1111-=-=
a b ，公差为1的等差数列． ……………… 7分 （2）依题意有n
n b a 11=-，而5.31)1(25
-=-+-=⋅n n b n ，∴5.311-=-n a n ．
对于函数5
.31-=
x y ，在x ＞3．5时，y ＞0，且函数在（3．5，∞+）上为减函数．
故当n ＝4时，5
.311-+=n a n 取最大值4
a = 3．
而函数5
.31
-=
x y 在x ＜3．5时，y ＜0，且函数在（∞-，3．5）上也为减函数． 故当n ＝3时，5
.311-+
=n a n 取最小值3
a ＝－1．……………… 14分
20．（1）设椭圆C 的方程为)0(122
22>>=+b a b
y a x ，则
由题意知b = 1．.5.55211.5522
2
222=∴=-=-∴a a
a b a 即 ∴椭圆C 的方程为.15
22
=+y x …………………………………5分 （2）方法一：设A 、B 、M 点的坐标分别为).,0(),,(),,(02211y M y x B y x A
易知F 点的坐标为（2，0）．
).,2(),(,1120111y x y y x AF MA --=-∴=λλ
∴ .1,121
1111λλλ+=+=
y
y x …………………………………8分 将A 点坐标代入到椭圆方程中，得.1)1()12(
5121
02
11=+++λλλy
去分母整理得.055102
0121=-++y λλ …………………………………10分
22
2220,:10550.MB BF y λλλ=++-=同理由可得 22120,10550,x x y λλ∴++-=是方程的两个根
.1021-=+∴λλ ……………………………………12分
方法二：设A 、B 、M 点的坐标分别为).,0(),,(),,(02211y M y x B y x A 又易知F 点的坐标为（2，0）．
显然直线l 存在的斜率，设直线l 的斜率为k ，则直线l 的方程是).2(-=x k y 将直线l 的方程代入到椭圆C 的方程中，消去y 并整理得
.052020)51(2222=-+-+k x k x k …………………………………7分
.51520,51202
2212221k k x x k k x x +-=+=+∴ …………………………………8分
11 / 11 又.2,2,,22211121x x x x BF MB AF MA -=-===λλλλ将各点坐标代入得 .10)(242)(2222
1212121221121-==++--+=-+-=+∴ x x x x x x x x x x x x λλ ………12分 21．（1）,3)(2b x x x f +-='
∵1=x 处取极值，∴.2013-==+-b b 即 …… 5分
（2）.2-=b 1,3
2,0)(),1)(23(23)(212=-=='-+=--='∴x x x f x x x x x f 则令 )(,0)(,32,x f x f x 函数时当>'⎪⎭⎫ ⎝
⎛-∞-∈ 单调递增； 当)(,0)(,1,32x f x f x 函数时<'⎪⎭
⎫ ⎝⎛-∈单调递减； 当)(,0)(,),1(x f x f x 函数时>'+∞∈单调递增．
.2)2(,2722349227832c f c c f +=+=++--=⎪⎭
⎫ ⎝⎛- ∵⎪⎭
⎫ ⎝⎛->32)2(f f ，∴ 在闭区间[－1，2]上，,2)2()(2max c c f x f <+== ∴ 12-<>c c 或 ……………… 10分
（3）由（1）、（2）可知.2
3)1()(;2722)32()(-==+=-=c f x f c f x f 极小值极大值 当时或即时或2
32722,02302722>-<>-<+c c c c ， 曲线x x f y 与)(=轴仅有一个交点 ………………… 14分。