2019高中数学第一章导数及其应用1.4.2微积分基本定理课后训练新人教B版选修2_2

1.4.2 微积分基本定理
课后训练
1．下列式子正确的是( )． A ．b
a ⎰f (x )d x ＝f (
b )－f (a )＋
c B ．b
a
⎰
f′(x )d x ＝f (b )－f (a ) C ．
b
a
⎰f (x )d x ＝f (x )＋c
D ．d ()b a f x x 'f x ⎡⎤()=⎢⎥⎣⎦
⎰ 2．
a
⎰
cos x d x 的值是( )．
A ．cos a
B ．－sin a
C ．cos a －1
D ．sin a 3．下列定积分的值等于1的是( )． A ．
1
0d x x ⎰
B ．1
(+1)d x x ⎰
C ．1
01d x ⎰
D ．
1
01d 2x ⎰
4．已知做自由落体运动的物体的速度v ＝gt ，则当t 从1到2时，物体下落的距离为( )．
A ．
1
2g B ．g C ．3
2
g D ．2g
5．设函数f (x )＝x m
＋ax 的导函数为f′(x )＝2x ＋1，则2
1
⎰
f (－x )d x 的值等于( )．
A ．
56 B ．12 C ．23 D ．1
6
6．若0
a
⎰
x 2d x ＝9，则a ＝________.
7．
ln3
e d =x x ⎰
__________.
8．(2012·广州高三一模)已知2≤
2
1
⎰
(kx ＋1)d x ≤4，则实数k 的取值范围为
__________．
9．计算由曲线y 2＝x 与y ＝x 2
所围成的图形的面积．
积S1与S2之和最小．
参考答案
1. 答案：B
2. 答案：D
a
⎰
cos x d x ＝sin x 0|a
＝sin a －sin 0＝sin a .
3. 答案：C ∵x ′＝1， ∴
1
⎰
1d x ＝x 10|＝1－0＝1.
4. 答案：C 物体下落的距离2
1
d s gt t =⎰
，
则有s ＝
12gt 221＝12g (22－12)＝32
g . 5. 答案：A ∵f′(x )＝2x ＋1，∴f (x )＝x 2
＋x ，于是
2
1
⎰
f (－x )d x ＝
2
1
⎰
(x 2
－x )d x
＝3221115|=3
26x x ⎛⎫-
⎪⎝⎭.
6. 答案：3 20
d a
x x ⎰
＝33
11|33
a x a =＝9，∴a ＝3. 7. 答案：2
ln3
ln300
e d =e |x x x ⎰
＝e
ln 3－e 0
＝2. 8. 答案：2
[,2]3
9. 答案：分析：求出两条曲线交点的横坐标，确定积分上下限，就可以求出图形的面
积．
解：如图所示，为了确定图形的范围，先求出这两条曲线的交点的横坐标．解方程组
2
2,,y x y x ⎧=⎨=⎩
得交点的横坐标为x ＝0及x ＝1.因此所求图形的面积12
0)d S x x =⎰，又因为313222213
3x x 'x x ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，所以3
312021|33S x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭＝211333-=.
10. 答案：分析：应用定积分将S 1与S 2表示出来，再借助于导数求S 1＋S 2的最小值．
解：S 1等于边长为t 与t 2的矩形的面积减去曲线y ＝x 2
与x 轴，直线x ＝t 所围成的图形的面积，即
S 1＝t ·t 2－
t
⎰
x 2d x ＝
23
t 3
.
S2等于曲线y＝x2与x轴，x＝t，x＝1所围成的图形的面积减去边长为t2与(1－t)的矩形的面积，即
S2＝1
t⎰
x2d x－t2(1－t)＝
2
3
t3－t2＋
1
3
.
∴阴影部分的面积S＝S1＋S2＝4
3
t3－t2＋
1
3
(0≤t≤1)．
令S′(t)＝4t2－2t＝4t(t－1
2
)＝0，得t1＝0，t2＝
1
2
，
当
1
2
t＝时，S最小，最小值为S min＝
32
41111
32234
⎛⎫⎛⎫
⨯-+=
⎪ ⎪
⎝⎭⎝⎭
.。