图像面积在解题中的应用
物理中“图像面积”的妙用
力 Ｆ在 时间 ｔ 内产 生的冲量
一
全过 程 阻 力 厂做 的 功 Ｗ， 一
１ ０厂 ０ ，
图 ４
【 ３ 质量 为 ５ ｇ的物体 ， 例 】 ０ ｋ 所受合外力 时间的关
系是 ： Ｆ一４， ｔ已知 ｔ 一０时物 体 的速 度为零 ， ｔ ＯＳ 当 一２
当Ｆ 一，时，ｔ ＝Ｐ 时， Ｐ ，一Ｐ ， Ｆ Ｐ 一了 ． ｍ ． ｍ，
Ｂ。
＼
ｍ ｓ
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
解析 ： 出人 的 Ｐ—ｔ 作 图像 ， 如
图４ 所示 ， 根据 图线 下所 围“ 面积”
１
表示功， 则人做的功 Ｗ 一÷ ×２ ・
三、 利用 Ｆ ＿ｔ 图像解题——
厶
关 键 抓 住 图 线 下 所 围 “ 积 ” 示 面 表
图２ —１
Ｐ １ Ｐ ｌ Ｐ ＋ ０ 一 １ ，
所 以 △ 一 １￡ １０ｍ。 ｓ ５一 ５
二、 利用 Ｆ ｓ ＿ 图像解 题——关 键抓 住 图线 下所 围 “ 面积” 表示 力在这段位移 过程 中所做的功
横 轴所 围“ 面积” 表示什么物理量 ？请看下面几个例子 。
一
【 ２ 质量 为 ２ ｇ的物体在力 Ｆ作用 下 ， 静止 例 】 ｋ 从 开始运动 ， 知物 体所 受 力 Ｆ 与位 移 Ｓ的关 系是 Ｆ一 已 ２Ｓ那么 ， ， 当位移为 ２ Ｄ时， ＿ 物体 的速度多大？ ｒ
此， 无论 是在学习还是现代科 研 中均被广 泛应用 。下面 谈 谈巧用图像“ 面积” 处理物理 问题 的一点体会 。 利用图像求解物理 问题 ， 基本 的要 求就 是能将 题 最 设 的条件情景转化为二元 图像 ， 最关键 的是懂 得 图线 与
一次函数与面积结合问题解题技巧
一次函数与面积结合问题解题技巧全文共四篇示例，供读者参考第一篇示例：一次函数与面积结合问题解题技巧一次函数是初中数学中最基本的一种函数形式，通常表示为y = kx + b，其中k和b为常数，x为自变量，y为因变量。
面积问题是数学中常见的问题类型之一，需要运用数学知识来求解。
当一次函数与面积结合在一起时，往往需要运用数学知识和解题技巧来解决问题。
本文将为大家介绍一次函数与面积结合问题解题的技巧，并通过实例来解释具体的解题方法。
一、如何将一次函数与面积联系起来在解决一次函数与面积结合问题时，我们需要先找到函数表达式和面积之间的联系。
通常，我们可以通过一次函数的图像和面积来建立它们之间的关系。
若给定一次函数y = 2x + 1，要求计算函数图像在一定区间内与x 轴之间的面积，我们可以先绘制函数的图像，然后找出其与x轴之间的面积。
二、一次函数与矩形面积的关系在一次函数与面积结合问题中，经常会出现与矩形面积有关的题目。
矩形的面积等于长乘以宽，即S = l*w。
如果给定一个矩形的长度为x，宽度为y = kx + b（k和b为常数），我们可以通过一次函数的表达式计算出矩形的面积。
三、利用一次函数的特性解决面积问题如果一个图形可以通过两条一次函数的交点来确定，我们也可以通过两条函数的表达式来求出图形的面积。
四、实例解析为了帮助大家更好地理解一次函数与面积结合问题的解题方法，我们来看一个实例：例：已知一次函数y = 2x + 3和直线y = x + 1的交点A、B、C、D，求由四个点构成的四边形的面积。
解：我们可以通过求解两条直线的交点来确定四个点的坐标。
将两条直线的表达式相等，得到x = -2，将x = -2代入其中一条直线的表达式中，得到交点坐标为(-2, -1)。
接下来，根据交点的坐标，我们可以求得四边形的边长，进而计算出四边形的面积。
将四个点连接起来可以得到一个平行四边形，根据平行四边形面积公式S = 底边长*高得到面积。
物理中“图像面积”的妙用
物理中“图像面积”的妙用作者：黎海贵来源：《中学教学参考·理科版》2011年第11期不论是解图像类物理问题，还是利用图像解决物理问题都涉及到图像，解图像类物理问题实质上就是充分利用图像带来的信息，解决物理问题的一种有效的方法；反过来，充分利用图像的一些特殊功能来达到理解、解读题设条件中的物理情景，寻找物理量之间的关系、解决物理问题的一种快捷方法，则是利用图像解决物理问题。
利用图像来处理物理问题，不仅能简明、直观形象地反映某物理量随另一物理量变化的规律，而且巧用图像处理物理问题无论是在定性或定量讨论分析某些物理问题时，都会使复杂的物理问题变得简单容易。
因此，无论是在学习还是现代科研中均被广泛应用。
下面谈谈巧用图像“面积”处理物理问题的一点体会。
利用图像求解物理问题，最基本的要求就是能将题设的条件情景转化为二元图像，最关键的是懂得图线与横轴所围“面积”表示什么物理量？请看下面几个例子。
一、利用v—t图像解题——关键抓住图线下所围“面积”表示t时间内发生的位移【例1】某物体从静止开始匀加速直线运动，一段时间后做匀减速直线运动直至停止，已知物体共用时间，总位移为，求物体在运动过程中的最大速度。
解析：由题设条件作出物体运动的v-t图像，如图1所示，根据-图线下所围“面积”表示位移，可得。
即。
点评：本题还可以运用s=vt及求解，若引入加速度来分析求解会更麻烦，借助v-t图像，可以使物体运动过程更形象、直观地表现出来，简洁明快，有着曲径通幽之妙。
［触类旁通1］两辆完全相同的汽车，沿水平路面一前一后均以的速度前进，若前车突然以恒定的加速度刹车，在它刚停车时，后车以前车刹车时的加速度的2倍开始刹车。
已知前车在刹车的过程中所行驶的距离为，若要保证两车在上述情况下不相撞，则两车在匀速行驶时应保持最小的距离是多少？解析：因为后车的加速度是前车的两倍，所以完全相同的后车减速所用时间为前车的一半，从而作出物体运动的v-t图像，如图1-1所示，根据v-t图线下所围“面积”表示位移，可得两车在匀速行驶时应保持最小的距离是图中阴影部分的面积，则有：Δs=12×(t+0.5t)×v=15t，又前即所以。
巧用图像“面积”解题
．
［ ］中学 化 学 教 学技 术 指 导 ．张 长 江． 海教 育 出版 社 ． １ 上
２０ ５ ０
（ ） 对 我们 的安全 用 电有 什么样 的启示 ？ ４这
Ｅ ３物 理 教 学 艺 术 论 ； 一 呜 ．广 西 教 育 出版 社 ．２ ０ ２ 唐 ０２ ［ ］课 堂 教 学 中 教 师 的 情 境 意 识 ． 袁 维 新 ． 育 评 论 ３ 教
２ ｉｔ — 图像“ 积”表 示流过 导体 的 电量 面
例题 图 ２ 示 为用高 电 阻放 电法 测 电容 所
的实验龟 路 图 。 其原 理是 用测 出 电容 器 在充 电电 压 为 Ｕ 时所 带 电量 Ｑ， 而求 出其 电容 Ｃ。 从
在 — 图像 中 ， ｔ 图像 的“ 积” 示物 体通 过 面 表 的位 移 。 于 一 些 复 杂 的运 动 ， 对 如果 结 合 物 体 的 运 动 图像 ， 以帮 助 我 们 分 析 物 体 的运 动 过 程 ， 可
巧 甩 图像 “ 积 ＂解 题 面
刘 月荣
一
江 苏邗 江 中 学 ，江 苏省 扬 州 市 ２ ５ ０ ２０９
摘 要 ： 物 理 学 中 在 常 用 图像 “ 积 ”来描 述 所 求 的物 理 量 ． 活 应 用 图像 “ 积 ” 既 可 以帮 学 生 理 解 物 理 过 程 ， 面 灵 面 ， 也
在 物 理学 中 ， 用 图像 “ 积”来 描 述 所 求 常 面 的物理 量 ， 活 应 用 图像 “ 积 ” 既 可 以帮 学 生 灵 面 ， 理解 物 理过 程 ， 可 以很 快 求 出物理 量 。 面 笔 也 下 者举 例 说 明应 用 图像 “ 积 解题 。 面 ’
１ ＂ 图像 “ 积”表示 物体 的位移 ｏ －ｚ 面
2023年高中奥林匹克物理竞赛解题方法图像法
高中奥林匹克物理竞赛解题措施十一、图像法措施简介图像法是根据题意把抽象复杂旳物理过程有针对性地表到达物理图像，将物理量间旳代数关系转变为几何关系，运用图像直观、形象、简要旳特点，来分析处理物理问题，由此到达化难为易，化繁为简旳目旳，图像法在处理某些运动问题，变力做功问题时是一种非常有效旳措施。
赛题精讲例1：一火车沿直线轨道从静止发出由A 地驶向B 地，并停止在B 地。
AB 两地相距s ，火车做加速运动时，其加速度最大为a 1，做减速运动时，其加速度旳绝对值最大为a 2，由此可可以判断出该火车由A 到B 所需旳最短时间为 。
解析：整个过程中火车先做匀加速运动，后做匀减速运动，加速度最大时，所用时间最短，分段运动可用图像法来解。
根据题意作v —t 图，如图11—1所示。
由图可得11t v a =vt t t v s t v a 21)(212122=+==由①、②、③解得2121)(2a a a a s t +=例2：两辆完全相似旳汽车，沿水平直路一前一后匀速行驶，速度为v 0，若前车忽然以恒定旳加速度刹车，在它刚停住时，后车此前车刹车时旳加速度开始刹车。
已知前车在刹① ②车过程中所行旳距离为s ，若要保证两辆车在上述状况中不相碰，则两车在做匀速行驶时保持旳距离至少为 （ ）A ．sB ．2sC ．3sD ．4s解析：物体做直线运动时，其位移可用速度——时间图像中旳面积来表达，故可用图像法做。
作两物体运动旳v —t 图像如图11—2所示，前车发生旳位移s 为三角形v 0Ot 旳面积，由于前后两车旳刹车加速度相似，根据对称性，后车发生旳位移为梯形旳面积S ′=3S ，两车旳位移之差应为不相碰时，两车匀速行驶时保持旳最小车距2s.因此应选B 。
例3：一只老鼠从老鼠洞沿直线爬出，已知爬出速度v 旳大小与距老鼠洞中心旳距离s 成反比，当老鼠抵达距老鼠洞中心距离s 1=1m 旳A 点时，速度大小为v 1=20cm/s ，问当老鼠抵达距老鼠洞中心s 2=2m 旳B 点时，其速度大小v 2=?老鼠从A 点抵达B 点所用旳时间t=?解析：由于老鼠从老鼠洞沿直线爬出，已知爬出旳速度与通过旳距离成反比，则不能通过匀速运动、匀变速运动公式直接求解，但可以通过图像法求解，由于在s v1图像中，所围面积即为所求旳时间。
面积法在初中数学解题中的应用-最新教育文档
面积法在初中数学解题中的应用数学是中学阶段基础教育的主要学科之一，对启发学生思维、开发学生智力、培养逻辑能力等方面都有举足轻重的作用。
其中，平面几何又是中学数学学科中重要的内容。
学习平面几何相关知识有助于帮助学生形成良好的几何思维习惯，同时能有效培育和提升学生的数学演绎和推理能力。
平面几何在中国也拥有十分悠久的发展历史，同样，平面几何中的面积问题与平面几何一样历史悠久，从溯源的角度上看，面积还是几何学的起源之一。
面积及面积法在日常生活中的运用随处可见，与生活息息相关、紧密相连。
文章围绕面积法在初中数学解题中的应用展开研究，从面积简史、面积及面积法的基本概念入手，结合解题实例，详细分析面积法在初中数学解?}过程中的巧妙应用。
在中学数学中，关于面积和面积法相关知识的教学已达到一定深度。
通过对面积和面积法的学习，一方面能够使学生更好、更直观地学习、理解和掌握数学知识，另一方面通过面积法，构建“数形结合”几何模型，能够将中学数学中一些较为抽象和代数化知识进行更为直观、具象的几何解释。
这些都对培养学生的数学品质，理解数学思想，提升和强化学生具象思维和直觉思维等大有裨益。
对此，有必要更加深入地研究和探索面积及面积法的相关发展历程、概念，以及其在中学数学解题中的巧妙运用，来增强中学生数学思维的灵活性，提高学生的数学素养。
一、与面积相关内容的概述（一）中国古代数学的面积发展史面积的发展史最早可以追溯到古埃及时期，其在中国的发展也同样历史悠久、源远流长。
与其他古代文明相比，面积在中国数学史上的发展有着独特的风格和特色，其在中国古代的实际运用主要在于对田垄、土地的测量。
早在公元前2世纪，中国古代的数学家就著有《算术书》，该书是中国数学史上首次系统性地提出和阐释面积相关的算题，其中就包括对田地的测量以及土地税征收等，以及与实际生产生活密切联系的面积问题。
在之后的历史发展中，又相继有《九章算术》《九章算术注》《孙子算经》《缀术》等相关著作问世。
高考物理物理解题方法：图像法习题知识归纳总结及答案解析
高考物理物理解题方法：图像法习题知识归纳总结及答案解析一、题方法：图像法1．甲乙两车在一平直道路上同向运动，其v ﹣t 图象如图所示，图中△OPQ 和△OQT 的面积分别为s 1和s 2（s 1＜s 2）．初始时，甲车在乙车前方s 0处．下列判断错误的是（ ）A ．若s 0＝s 1+s 2，两车不会相遇B ．若s 0＜s 1，两车相遇2次C ．若s 0＝s 1，两车相遇1次D ．若s 0＝s 2，两车相遇1次【答案】D 【解析】 【分析】 【详解】由图线可知：在T 时间内，甲车前进了s 2，乙车前进了s 1+s 2；在t =T 时，两车速度相同，若s 0=s 1+s 2，则s 0＞s 1，两车不会相遇，故A 正确；若s 0+s 2＜s 1+s 2，即s 0＜s 1，在T 时刻之前，乙车会超过甲车，但甲车速度增加的快，所以甲车还会超过乙车，则两车会相遇2次，故B 正确；若s 0=s 1，则s 0+s 2=s 1+s 2，即两车只能相遇一次，故C 正确．若s 0=s 2，由于s 1＜s 2，则s 1＜s 0，两车不会相遇，故D 错误；本题选错误的，故选D.2．从同一地点同时开始沿同一方向做直线运动的两个物体Ⅰ、Ⅱ的速度图象如图所示．在00~t 时间内，下列说法中正确的是（ ）A ．Ⅰ、Ⅱ两个物体所受的合外力都在不断减小B ．Ⅰ物体所受的合外力不断增大，Ⅱ物体所受的合外力不断减小C ．Ⅰ物体的位移不断增大，Ⅱ物体的位移不断减小D ．Ⅰ、Ⅱ两个物体的平均速度大小都是122v v 【答案】A 【解析】 【详解】AB ．速度-时间图象上某点的切线的斜率表示该点对应时刻的加速度大小，故物体Ⅰ做加速度不断减小的加速运动，物体Ⅱ做加速度不断减小的减速运动，故A 正确，B 错误； C ．图线与时间轴包围的面积表示对应时间内的位移大小，由图象可知：随着时间的推移，Ⅰ、Ⅱ的速度图象与时间轴围城的面积不断变大，故位移不断变大，故C 错误； D ．图线与时间轴包围的面积表示对应时间内的位移大小，如果物体的速度从2v 均匀减小到1v ，或从1v 均匀增加到2v ，物体的位移就等于图中梯形的面积，平均速度就等于12 2v v +，故Ⅰ的平均速度大于12 2v v +，Ⅱ的平均速度小于12 2v v +，故D 错误；【点睛】本题关键是根据速度时间图象得到两物体的运动规律，然后根据平均速度的定义和图线与时间轴包围的面积表示对应时间内的位移大小分析处理．3．如图，光滑水平面上放着长木板B ，质量m ＝2kg 的木块A 以速度v 0＝2m/s 滑上原来静止的长木板B 的上表面，由于A 、B 之间存在有摩擦，之后，A 、B 的速度随时间变化情况如右图所示，重力加速度g ＝10m/s 2.则下列说法正确的是（ ）A ．A 、B 之间动摩擦因数为0.1 B ．长木板的质量为1 kgC ．长木板长度至少为2mD ．A 、B 组成系统损失机械能为4J 【答案】A 【解析】 【分析】A 在B 的表面上滑行时，根据v -t 图像的斜率可得到A 的加速度大小，由牛顿第二定律求得动摩擦因数。
高中物理物理解题方法：图像法习题知识归纳总结及答案解析
高中物理物理解题方法：图像法习题知识归纳总结及答案解析一、题方法：图像法1．一个质量为0.5kg 的物体，从静止开始做直线运动，物体所受合外力F 随时间t 变化的图象如图所示，则在时刻t =8s 时，物体的速度为（ ）A ．2m/sB ．8m/sC ．16m/sD ．42m/s 【答案】C【解析】【分析】【详解】 F t -图像的面积表示冲量，在上方为正，在下方为负，故根据动量定理可得11122212222210222mv ⨯+⨯⨯-⨯⨯+⨯+⨯⨯=-，解得第8s 末的速度为16/v m s =，C 正确．【点睛】F-t 图像的面积是解决本题的关键，在物理中，从图像角度研究问题，需要注意图像的斜率，截图，面积等表示的含义．2．从1907 年起，密立根就开始测量金属的遏止电压C U （即图1 所示的电路中电流表G的读数减小到零时加在电极K 、A 之间的反向电压）与入射光的频率ν，由此算出普朗克常量h ，并与普朗克根据黑体辐射得出的h 相比较，以检验爱因斯坦光电效应方程的正确性．按照密立根的方法我们利用图示装置进行实验，得到了某金属的 C U ν-图像如图2 所示．下列说法正确的是A ．该金属的截止频率约为4．27× 1014 HzB ．该金属的截止频率约为5．50× 1014 HzC ．该图线的斜率为普朗克常量D ．该图线的斜率为这种金属的逸出功【答案】A【解析】【分析】【详解】试题分析：设金属的逸出功为0W ，截止频率为c ν，因此0W h ν=；光电子的最大初动能Ek 与遏止电压UC 的关系是k c E eU =，光电效应方程为0k E h W ν=-；联立两式可得：0C W h U e eν=-，因此图像的斜率为h e ，ＣＤ错误；当C 0U =可解得144.310c Hz νν==⨯，即金属的截止频率约为Hz ，在误差允许范围内，可以认为A 正确；B 错误．考点：光电效应．3．一质量为2kg 的物体静止在水平桌而上，在水平拉力F 的作用下，沿水平方向运动2s 后撒去外力，其v ﹣t 图象如图所示，下列说法正确的是（ ）A ．在0～6s 内，物体的位移大小为12mB ．在2～6s 内，物体的加速度大小为0.5m/s 2C ．在0﹣6s 内，摩擦力做的功为﹣8JD ．在0～6s 内，摩擦力做的功为﹣4J【答案】B【解析】【详解】A 、根据速度时间图线围成的面积表示位移大小，在0～6s 内，物体的位移大小为126m 6m 2x =⨯⨯=，故选项A 错误； B 、在2～6s 内，物体的加速度大小为2Δ0.5m/s Δv a t==，故选项B 正确； CD 、根据牛顿第二定律得阻力为20.5N 1N f ma ==⨯=，在0～6s 内，摩擦力做功为16J 6J f W fx =-=-⨯=-，故选项C 、D 错误．4．下列给出的四组（每组两个图象）图象中，能够反映同一直线运动的是（ ）A．B．C．D．【答案】C【解析】【详解】AB．A图中v-t图像表示先匀速后匀加速，所以x-t图像错误，A错误；同理B也错误；C．C图中x-t图像表示物体先静止，后匀速，匀速速度为2m/s，因此v-t图像正确，故C 正确；D．D图中没有匀加速所以v-t图像不对，D错误。
高一物理中v—t图像法的妙用
高一物理中v—t图像法的妙用摘要图像法是高中物理中很常用的一种解题方法，它的优点是：简洁直观、思路清晰、运算简单，尤其是在处理运动学中的很多问题上，v-t图像、s-t图像的应用更是非常广泛，但是在本文中，我要用到的v-t图像法不是它的传统运用，而是在处理一类特殊问题中，运用我称之为的“精准图像法”，将之前的v-t图像进一步深化，使其在定量运算中更加简单，收到意想不到的效果.关键词高一物理；v-t图像法例：有甲乙两辆车停在在平直的公路上，甲车在第一段时间内先以加速度a 做匀加速直线运动，紧接着在下一段相等的时间内以加速度2a继续做匀加速运动；乙车在第一段时间内先以加速度2a做匀加速直线运动，紧接着在下一段相等的时间内以加速度a继续做匀加速运动，甲乙辆车运动总时间相同，求两车运动总位移之比？分析：本题属于分段匀变速直线运动，题中没用具体点数据条件，而且所给物理量条件相对隐蔽，用刚学过匀变速直线运动公式的学生，找不到落脚点去套公式，无处下手，学生往往比较害怕；因此需要先通过仔细审题，充分挖掘条件：甲乙辆车都经过了两段相同的时间，时间可以设为t，前后两段甲乙的加速度大小刚好相反，运动总时间又相同，而且题目所求为位移之比而非具体结果，因此用公式法可做如下求解：对于甲车：第一段时间内，位移X1= at2 其末速度V1=at第二段时间内，位移X2=V1t+ 2at2=2 at2 可得X甲= X1+ X2=2.5 at2对于乙车：第一段时间内，位移X1= 2at2=at2 其末速度V2=2at第二段时间内，位移X2=V2t+ at2=2.5 at2 可得X乙= X1+ X2=3.5 at2因此可得：X甲：X乙=5：7现用图像法，简单分析可知：甲乙运动时间相同，加速度对称，速度变化量相同，末速度亦相同，可先在v-t图像上画出坐标格，然后再画出甲乙运动图像如图所示：根据v-t图像的意义，图像与时间轴所围面积即可代表所经过位移，现取图中一个标准坐标格面积为x，则直接观察可得甲车图像OAP与时间轴所围面积为2.5x；乙车图像OBP与时间轴所围面积为3.5x，可直接看出，两辆车位移之比为5：7.本人把该方法取名为“精准作图法”，其优点为：先画出标准的坐标格，在坐标格上做图像，可以直接观察辆车的运动速度和位移，省去繁琐运算，把常规图像法中的求面积变成了数方格，把一道运动学中复杂的公式运算题变成了一道口算题，简洁明了，学生容易接受，也培养了求解匀变速运动类问题的信心；其适用性：适合处理匀变速运动中，有明确物理量或者数据的分段运动，无论是定性分析还是定量运算，都很实用；还可以拓展到追及与相遇问题中的位移确定，都能收到很不错的效果。
谈谈物理图像中的面积
１ ０
１ ０
１ ０
Ｄ
１ ２ ３ ｔ ／ ｓ
Ｄ
１ ２ ３ Ｕ ｓ
０
１ ２ ３ Ｕｓ
Ａ
Ｂ
Ｃ
Ｄ
图 ６
解析
选Ｃ。由速 度 图像 与 横 轴所 夹 “ 面积 ” 等 于这 段 时 间 内 的位移 可 知 ， 该 汽 车在 绿
下 面 的面 积 。
／【 ｍ。 Ｓ ）
０
０
图２ ｔ
ｔ ／ ｓ
ｔ
图 １
图 ３
对 于匀 变 速直 线运 动 ． 它 的位移 与 它 的 一￡ 图像 是 不 是也 有 类似 的关 系 ？ 我 们 以初 速
度 。 做 匀 变 速直 线 运 动 （ 图２ ） 的物 体 为例 ， 来 研究 它 在ｔ 时 间 内 的位 移 与 面积 的 关 系 。先 把 物体 的运 动分 成 几个 小 段 ，每 一小 段 的小矩 形 面积 表 示 这段 位移 ，那 么几 个 小矩 形 的 和 就 近似 的代表 物 体整 个 过 程 的位 移 。如果 我 们将 这 个过 程 分 成更 多 的小 段 （ 图３ ） ， 那 么这 些 小段 的位移 之 和 就更 加 精确 地 等 于整 个 过程 的位移 。当 然 ，如果 把 这个 过 程 分得 非 常 非常小 （ 图４ ） ， 那 么 很 多很 多 小 矩 形 的 面积 之 和 就 能 非 常 准 确 地 代 表 物 体 的 位 移 了 。这
内容 ， 其 中面 积 始终 是 图 像应 用 的核 心 。常 见 的 有 ： 速 度一 时 间 图像 面 积 表示 位 移 、 加 速
度 一 时 间 图像 面积 表 示速 度 变化 量 ，力 一 位 移 图像 面积 表 示做 功 ，电流一 时 间图像 面 积 表示 电量 ， 电场 强 度一 位 移 图像 面 积 表示 电势 差 ， 速度 倒 数 一 位移 图像 面 积 表 示 时 间 ， 功
例谈面积法在解题中的妙用
＋ Ｄ Ｆ — Ｂ Ｇ．
反思 ： 述 方法 中 ， 面积 法解决 更加 简单 明了． 上 用
而这 些方法 对解决 同一 问题 的难易 系数 不 一定 相 同． 有些 知识点 、 学思 想 和 数 学方 法 平 时 不 常用 ， 数 比较 生疏 ， 运用 时不容 易想 到 ， 则题 目的难 度 系数 增 加 了． 如本题 “ 截长 法” 补短法 ” “ 运用 的知识 点 比较 少 ， 合 综 程度 比较低 ， 涉及 的数 学 思想 方 法 容 易想 到 ， 本 所 如
ＡＭ 、 ＰＤ、 Ｅ、 Ｆ 之 间 的 数 量 关 系 ， 证 明 你 的 Ｐ Ｐ 并
猜想 ．
图 ｌ 图２
方 法 １（ ：截长 法 ） 图 １ 过点 Ｄ 作 ＤＭ 上 Ｂ 垂 如 ， Ｇ，
足 为 Ｍ ， 用 △ Ｂ △ ＤＭＢ 解 决 问 题 ． 运 ＥＤ
方法 ２ （ ：补短 法 ） 图 ２ 过点 Ｂ作 Ｂ 上 Ｆ 交 如 ， Ｍ Ｄ ＦＤ 的延 长线 于 点 Ｍ ， 用 △Ｂ 运 ＥＤＯ △Ｂ Ｏ ＭＤ 解 决 问 题（ 若等腰 三角形 是 钝 角 三角 形 ， 图 ３ 则 可类 比锐 如 ，
２ｌ ｏ 年葶３ ｌ中旬 ） 期
中学 皇 学蠢 季 参考
…
曲 ｇ
∞
＿ 方 孝
心
例 谈 固 飘 穗
引题 ： 等腰 三角形底 边上 任一 点 到两腰 的距 离和
解 题 中 的 妙 用
较 大． 以学 生解题 对数 学方 法 的正 确选 用显 得尤 为 所
李 印 （ 苏省泰 兴市 黄桥 初级 中学 ） 江
角 三角形解 决 问题 ） ．
图３
图 ４
方 法 ３ （ 积 法 ） 图 ４ 连 结 ＡＤ ， Ｓ 仙ｏ ：面 如 ， 则 △
物理习题中的图像问题及方法分析
物理习题中的图象问题及分析李辉@ QQ:2362021239图象和语言文字、函数方程一样，属于一种表达工具。
既能帮助我们深入、直观地理解物理状态，也能反映出物理状态变化的规律，应用图象，既能进行定性分析、比较判断，又能进行定量的计算、论证，通过图象往往能找到巧妙的解题途径，把问题简单化。
一、图像问题的基本素养需要在以下方面下足基本功，努力让图像成为解题的潜意识。
（1）看清坐标轴所表示的物理量及单位，并注意坐标原点是否从零开始。
（2）图象上每一点都对应着两个数，沿图象上各点移动，反映着一个量随另一个量变化的函数关系，因此，图象都应与一个特定函数方程相对应。
（3）图象上任一点的斜率，反映了该点处一个量随另一个量变化的快慢，如v-t图象中的斜率为加速度，即为纵坐标的变化量除以横坐标的变化量所得的物理量。
（4）一般图象与它对应的横轴（或纵轴）之间的面积，往往也代表一个物理量，如v-t 图象中，图线与t轴所围成的面积代表位移等。
二、对物理习题的图像处理要求的三个层次：识图、画图、用图三、高中物理的两大类图像：1、无解析式的图像；2、有解析式的图像四、实例分析：1、无解析式的图像（实验数据的描绘，在习题中出现的作用是“参考”）【例题】如图甲所示是一只“6V、3.6W”小灯泡的伏安特性曲线.另有一只定值电阻R =16Ω，一只电动势E = 8V的电池组，其内阻不计.（1）当小灯泡在电路中正常发光时，其电阻值是多大？（2）若把小灯泡、定值电阻、电池组连接成如图乙所示的电路时，则小灯泡所消耗的电功率是多大？此时小灯泡的电阻又是多大？【例题】（2007上海）某同学设计了如图（a）所示电路研究电源输出功率变化情况．电源E电动势、内电阻恒定，R1为滑动变阻器，R2、R3为定值电阻，A、V为理想电表．R LE图乙U/V 图甲（1）若滑动片P由a滑至b时A示数一直变小，则R1和R2必须满足的关系是．（2）若R1=6Ω，R2=12Ω，电源内电阻r=6Ω，当滑动片P由a滑至b时，电源E的输出功率P随外电路总电阻R的变化关系如图（b）所示，则R3的阻值应该选择．（B）A．2ΩB．4ΩC．6ΩD．8Ω【变式】（2011•徐汇区二模）某同学设计了如图甲所示电路研究电源输出功率随外电阻变化的规律．电源电动势E恒定，内电阻r=6Ω，R1为滑动变阻器，R2、R3为定值电阻，A、V为理想电表．当滑动变阻器滑臂从a到b移动的过程中，输出功率随滑臂移动距离x的变化情况如乙图所示，则R1的最大阻值及R2、R3的阻值可能为下列哪组（A）A．12Ω、6Ω、6ΩB．6Ω、12Ω、4Ω C．12Ω、6Ω、2Ω D．6Ω、12Ω、8Ω2、有解析式的图像（解析式是核心）（1）在我们曾经错过的题目中体会图像的简洁与高效【例题】（2016汾阳中学高一期末考试）如图所示，甲从A地由静止匀加速跑向B地，当甲前进距B为S1时，乙从距B地S2处的C点由静止出发，加速度与甲相同，最后二人同时到达B地，则AB两地距离为（）A．B．C．D．【例题】（2016•吕梁市一模改编）如图所示，足够长斜面倾角为30°，固定于水平面上．用轻绳相连的木块a、b在平行于斜面的恒定拉力作用下，沿斜面向上匀速运动．途中轻绳断裂，b由绳断处继续运动距离x后，撤去拉力．已知a的质量为m，b的质量为5m，a、b与斜面间的动摩擦因数均为，不计绳的长度，以下说法正确的是（）A．绳断裂时，a的加速度g B．绳断裂时，b的加速度为gC．a与b间的最大距离为x D．a与b间的最大距离为x【例题】（2016.9第一次百校联A卷慢组）如图甲所示，有一块木板静止在足够长的粗糙水平面上，木板质量为M=4kg，长为L=1.4m；木块右端放的一小滑块，小滑块质量为m=1kg，可视为质点．现用水平恒力F作用在木板M右端，恒力F取不同数值时，小滑块和木板的加速度分别对应不同数值，两者的a﹣F图象如图乙所示，取g=10m/s2．求：（1）小滑块与木板之间的滑动摩擦因数，以及木板与地面的滑动摩擦因数．（2）若水平恒力F=27.8N，且始终作用在木板M上，当小滑块m从木板上滑落时，经历的时间为多长．【2015课标1卷】一长木板置于粗糙水平地面上，木板左端放置一小物块；在木板右方有一墙壁．木板右端与墙壁的距离为5m，如图（a）所示，t=0时刻开始，小物块与木板一起以共同速度向右运动，直至t=1s时木板与墙壁碰撞（碰撞时间极短）．碰撞前后木板速度大小不变，方向相反，运过程中小物块始终未离开木板，已知碰撞后1s时间内小物块的v-t图线如图（b）所示．木板的质量是小物块质量的15倍，重力大小g取10m/s2．求（1）小物块与木板间的动摩擦因数μ1；（2）木板与地面间的动摩擦因数μ2；（3）求从木板撞到墙上开始计时到小物块速度减为0的过程中，小物块移动的距离x1和木板离开墙移动的距离x2；（4）根据题意求木板的最小长度L【变式】一长木板置于光滑水平地面上，木板左端放置一小物块，在木板右方有一墙壁，木板右端与墙壁的距离为4m，如图（a）所示．t=0时刻开始，小物块与木板一起以共同速度向右运动，直至t=1s时木板与墙壁碰撞（碰撞时间极短）．碰撞前后木板速度大小不变，方向相反；运动过程中小物块始终未离开木板．已知碰撞后1s时间内小物块的v-t图线如图（b）所示．小物块质量是木板质量的3倍，重力加速度大小g取10m/s2．求（1）木板与墙壁碰撞后，木板离开墙壁的最大距离；（2）小物块距离木板左端的最终距离【答案】：（1）木板与墙壁碰撞后，木板离开墙壁的最大距离为1.33m；（2）小物块距离木板左端的最终距离为4m．t【例题】（2015课标2卷）下暴雨时，有时会发生山体滑坡或泥石流等地质灾害．某地有一倾角为θ=37°（sin37°=）的山坡C，上面有一质量为m的石板B，其上下表面与斜坡平行；B上有一碎石堆A（含有大量泥土），A和B均处于静止状态，如图所示．假设某次暴雨中，A浸透雨水后总质量也为m（可视为质量不变的滑块），在极短时间内，A、B间的动摩擦因数μ1减小为，B、C间的动摩擦因数μ2减小为0.5，A、B开始运动，此时刻为计时起点；在第2s末，B的上表面突然变为光滑，μ2保持不变．已知A开始运动时，A离B下边缘的距离l=27m，C足够长，设最大静摩擦力等于滑动摩擦力．取重力加速度大小g=10m/s2．求：（1）在0～2s时间内A和B加速度的大小（2）A在B上总的运动时间．【练习题】甲、乙两辆汽车同时通过公路上的同一地点，向同一方向运动，它们的瞬时速度依次为v1、v2（D）Ａ．在t1时刻甲、乙两辆汽车再次相遇Ｂ．在t1时刻以后，乙车将在甲车前面Ｃ．在t2时刻以前，甲、乙两车间的距离始终在减小Ｄ．在t2时刻以前，甲车始终在乙车前面【变1】一个固定在水平面上的光滑物块，其左侧面是斜面AB，右侧面是曲面AC,如图所示。
巧用物理图像“面积”解题实例
巧用物理图像“面积”解题实例分析正兴学校物理组 林汉中物理图像能形象地表达物理规律、能直观地叙述物理过程、能鲜明地表达物理量间的依赖关系。
在解题中如能充分利用物理图像的“面积”所表示的物理意义来解题，可以使解体过程得到简化，起到比解析法更巧妙、更灵活的独特效果。
图像在中学物理在应用十分广泛，这是因为它具有如下优点：能形象地表达物理规律、能直观地叙述物理过程、能鲜明地表达物理量间的依赖关系。
在众多物理图像中，图像与坐标轴所围成的“面积”常与某一表示过程的物理量相对应，如能充分利用“面积”的这一特点来解题，不仅思路清晰，而且在很多情况下可以使解体过程得到简化，起到比解析法更巧妙、更灵活的独特效果。
在有些情况下运用解析法可能无能为力，但在图像法中应用面积的特点则会使你豁然开朗。
一、V －t 图像中的“面积”大小表示位移的大小【例1】如右下图2所示，两光滑斜面的总长度相等，高度也相等，两球由静止从顶端下滑，若球在图上转折点无能量损失，则有 ( )A ． 两球同时落地；B ．b 球先落地；C ．两球落地时速率相等 ；D ．a 球先落地【解析】在分析运动的全过程中，可由机械能守恒定律判定出两球落地时速率相等。
因为b 球运动时间无法用运动学公式求得，所以不能直接比较两球落地时间的大小。
但因为两球从顶端到落地过程运动位移相等，根据V －t 图中的“面积”表示位移的大小，可以做出两次运动的V －t 图像(见图3)，由图可知t b ＜t a ，b 球用时比a 球用时少，故应选正确答案为 B 、C 。
二、F －L 图像中的“面积”大小表示做功的多少【例2】一立方形木块，边长为0.2m ，放在水池中，恰有一半浮出水面而处于静止状态，现用力将木块慢慢推至全部浸没水中，在这一过程中必须对木块做多少功?【解析】将木块全部压入水中，这一过程由于浮力变化，因而所施的力也是变化的，这是变力做功过程。
所施外力由0随深度线性增大到ρgV －G(式中ρ为水的密度)，由题意知G ＝ρg 2V ＝40N ，所以ρgV-G ＝2G-G ＝G ，这一段位移为0．1m ，可以写出关系式F＝ρgSL (0 ≤L ≤0.1m)。
“面积法”在数学解题中的应用
“面积法”在数学解题中的应用作者：张敏勇来源：《读与写·下旬刊》2011年第09期摘要: 在初中平面几何中，有一类题目，可能有多种解法，如果适当运用图形之间的面积关系，将会使问题解决途径浅显易懂，暂且称这一解决问题的方法为“面积法”，本文举例说明这一方法在解题中的应用。
面积法在数学解题中的应用是很广泛的，灵活运用这一方法，对于培养学生的思维方式，拓展解决问题的思路都是有益的。
关键词: 数学；解题方法；面积法中图分类号：G633.6 文献标识码：E 文章编号：1672-1578（2011）09-0260-011.用面积法比较线段的大小如图1,在⊿ABC中，AB＞AC，BD、CE分别是AC、AB上的高，判断CE的大小。
解：∵⊿＝1 2 AB•CE＝1 2 AC•BD;AB＞∴CE＜图2.用面积法证明勾股定理如图2，直角三角形的两条直角边是a和b，斜边是c，求证：图证明：将所给三角形如图拼接，使C，A，D在同一直线上，连接BE。
易证BC∥ED，∠BAC+∠EAD＝∴∠BAE＝∴梯形＝ 1 2 （a+b）（a+b）＝整理得3.用面积求角度已知菱形ABCD的对角线AC、BD的乘积等于菱形的一条边的平方，求菱形的一个钝角的大小。
解：作AE⊥BC于∵菱形＝BC•AE＝又∵AC•BD＝；BC•AE＝；菱形中BC＝∴AE＝又∵AE⊥∴∠ABE＝30°；∴∠BAD＝150°图4.用面积法证角平线定理已知⊿ABC，AD平分∠BAC，求证： AB AC ＝证明：作DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，AG⊥BC于G。
∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥∴DE＝又∵⊿＝ 1 2 AB•DE＝⊿＝1 2 AC•DF＝∴ AB•DE AC•DF ＝AB AC ＝图4的问题，每隔多少时间发车.如果应用“设而不求”的方法.我们可设汽车的速度为，自行车的速度为，两地间每隔x分钟发一次车，则相邻两车的距离为由题意可得：20（-）①②∴20（-）∴代入①得：20（-）∴其实每一道应用题都有多种建立方程的等量关系的途径和疗法如果学生在教师的引导下，通过多种途径，应用多种方法去分析、思考。
借用“面积”巧解题--高中物理图像法解题技巧之一
内阻 力 的 冲 量 。 分 析 ：由 题 意 可 知 ，阻 力 与深 度 的
关 系 Ｆ－－ｋｘ，深度 与 时间 的关 系 Ｘ＝ｖｔ，则 阻 力 与 时 间 的 关 系 为 Ｆ＝Ｋｖｔ，或 者 Ｆ＝Ｋ ｚ； 变 力 的 冲 量 Ｉ－－Ｆｔ，如 图 ４所 示 。“力一 时 问 ”图像 中阴 影 部 分 的 “面 积 ”就 是 变 力 的 冲量 ：
常见的方法之一。用图像法解题能 比较 个正 比函数 ，如图 ２所示 ，从“弹力—位
形象直观地解 决问题 ，并 且可以利用不 移 ”图像 可得弹性 势能 Ｅ。＝ ，即 阴影 ２００Ｎ 、Ｆ２＝１０００Ｎ
同条 件 下 一 些 物理 量 的 变 化特 点 、变 化 部 分 的 “面 积 ”，从 而得 弹 性 势 能 公式
图 １所示 ，初速度为零的匀变速直线运 式来解决 。下面我们来 做“力·位移”图 索 地 错选 为 Ａ。由 于 三个 物 体 的时 间 相
动的“速度一时间”图像 ，图像与时间坐 像 ，如 图 ３所示 ：阴影 部分的 “面积 ”就 等 ，根据平均速度的定义式 ：平均速度：
标及时间 ｔ围成的 阴影部分 的 “面积 ” 是 变 力 做 的 功 。
总位移／总时 问 ，要 比较三 个物体的平
Ｓ： １
哦 ，
可
以推 导 为
Ｓ＝ｖｔ，这 里 可 理解
Ｔ
Ｗ １ （Ｆ２＋Ｆ１）Ｓ
均速度大小 ，只要 比较 个物体在这段 时间内的位移 即可 。而 个物体的位移
为高等数学 中“微 元法 ”求解 问题 。
７
Ｗ ： －－（２２０＋２００）１０＝２１Ｏ Ｊ
综 合上述 分析 ，如果物理解题过程 中有 一个物理量 是变量 ．可 以根据它的 函 数 关 系作 图 ，利 用 图 像 围 成 的 面 积 求 出另一物理 量，处 理方 式与高等 数学 的 积分相 同。对高 中学生来说 ，这是一 种 直 观 、有 效的解题 方法 ，特别有 利于学 生 思 维 能 力 与解 题 能 力 的培 养 。
物理解题方法之——图像法
图像法
面：图线与坐标轴围成的面积常与某一表示过程 的物理量相对应。如V 图像与横轴包围的“面积” 的物理量相对应。如V-T图像与横轴包围的“面积” 大小表示位移大小。 斜率：表示横、纵坐标上两物理量的变化之比， 常用一个重要的物理量与之相对应，同样可以从 物理公式或者单位的角度去分析。如V 物理公式或者单位的角度去分析。如V-T图像的斜 率表示加速度的大小。 截：表示横、纵坐标上两物理量在“边界” 截：表示横、纵坐标上两物理量在“边界”条件 下物理量的大小。一般代表物理过程的初状态或 者末状态。
解析： 解析：物体做直线运动时，其位移可用 速度速度-时间图像中的面积来表示，故可用 图像法解答。
S甲
△s
s
S甲= s + △s
v
v
0
s s
0
S甲
△s
甲
s
t
乙
t
s
S甲= s + △s
△s=2s
例题2 例题2：
一火车沿直线轨道从静止出发由A地驶向B 一火车沿直线轨道从静止出发由A地驶向B 地，AB 地，AB两地相距S，火车做加速运动时，其 AB两地相距S 加速度最大为a 加速度最大为a1，做减速运动时，其加速度 的绝对值最大为a 的绝对值最大为a2，由此可以判断出火车由 A到B所需的最短时间为多少？
解析： 解析： 因为老鼠从洞沿直线爬出的速度与通过的 距离成反比，即s=k/v.则不能通过匀速运 距离成反比，即s=k/v.则不能通过匀速运 动、匀变速运动公式直接求解，所以想到 要通过图像法解决。 但我们可以理解为s 但我们可以理解为s 与1/v成正比。 1/v成正比。
以距离S为横轴，1/V为纵轴建立坐标系，作1/v——s 以距离S为横轴，1/V为纵轴建立坐标系，作1/v——s图像， 在1/V——S图像中，所围面积即为所求的时间。 1/V——S 则S与1/v成正比。 1/v成正比。
巧用图像面积解题
巧用图象面积解决物理问题物理图像能形象、直观地表达物理规律、描述物理过程、反映物理量间的函数关系。
用图象法解题可以避免繁杂的中间运算过程，具有简明、快捷、准确等优点，特别是当某些物理量发生变化，用常规的解析法无法解决时，图象法可以帮助我们快而有效地解决问题。
在物理图象的学习和应用中，我们可以从坐标、斜率、截距、面积、交点、拐点等方面分析不同的图象所代表的物理意义。
本文仅从“面积”出发，阐释图象的妙用。
在物理教学中，我们会经常碰到这样的函数关系：y =ab，其中一个物理量a为恒量，在以a -b为坐标的函数图象中，图线与坐标轴围成的矩形面积代表y的大小。
而当a也发生变化时，用一般解析式解决往往比较复杂。
在以a -b为坐标的函数图象中，利用“微元”的思想方法，将图线分割成无限小段，每一小段图线都可近似为a恒定，这一小段图线围成的面积近似为矩形，表示这一小块y的大小，将所有小块叠加起来，不难发现图线与坐标轴围成的面积依然代表y的大小。
以下是笔者整理的部分图象“面积”的巧用。
一、1/v- x图象，图线与坐标轴围成的“面积”表示时间匀速直线运动中，，t与x、v成反比。
反比例函数在数学处理上往往比正比例函数复杂，因此我们通常将其转化为正比例函数，在x-1/v图象上，利用“微元”思想，我们不难发现1/v- x图线与坐标轴围成的“面积”表示时间。
例1．一只老鼠从洞口爬出后沿一直线运动，其速度大小与其离开洞口的距离成反比，当其到达距洞口为x1的A点时速度为v 1，若B点离洞口的距离为x2（x2>x1），求老鼠由A 运动到B所需的时间。
解析：老鼠从洞口沿直线爬出，已知爬出的速度与通过的距离成反比，则不能通过匀速运动、匀变速运动公式直接求解，但通过1/v- x图象，我们可以很简洁地得到图中阴影部分的面积即是老鼠由A运动到B 所需的时间。
二、v-t图象，图线与坐标轴围成的“面积”表示位移例2．在电场强度为E的匀强电场中，有一条与电场线平行的几何线，如图中虚线所示。
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图像“面积”在解题中的应用
上海市崇明中学 吴士玉 地址：崇明县鼓浪屿路801号 邮编：202150 利用图像来解决物理问题是常见的一种方法，而图像法解题中有一类是利用图像“面积”来解决问题的。
在利用图像法来处理问题时，若能有意识的利用图像“面积”的物理意义来解题，将会给问题的解决带来极大的方便。
下面就介绍几类图像“面积”在物理解题中的应用。
一．t v -图像“面积”表示物体的位移
在直线运动中，我们常利用t v -图像来解题。
在t v -图像中，图像与横轴所围的面积就表示物体的位移。
对一些较复杂的运动过程，如能结合t v -图像加以分析，即可快速解决问题。
例题：A 、B 两个物体从同一高度同时开始运动，A 做竖直上抛运动，B 做简谐振动（起点为B 的平衡位置），且同时到达同一个最高点。
下列关于两物体在运动过程中的速度大小关系，正确的是（ ）
A ．
B A v v > B ．B A v v <
C ．先B A v v <后B A v v >
D ．先B A v v >后B A v v < 解析：此题中B 做非匀变速运动，无法建立运动学公式来比较，所以可以尝试运用ν～t 图像来分析。
先画出竖直上抛的A 物体的运动
图线（匀减速运动），然后根据题
意：两者的运动时间相同，运动位移相同，如图1即可得出D 选项正
确。
二．s F -图像的“面积”表示作用力F 做的功
功的大小也可以用图像来描述，图2表示恒力做功的情况，图中横坐标为物体的位移s ，纵坐标为在位移方向上的作用力F ，画出的图像（水平线）反映力与位移的关系，该图叫做F —s 图。
图线下的阴影面积就表示力F 在位移S 方向上做的功。
例题：已知在弹性限度内弹簧的弹力与形变量成正比，即Kx F =，试画出弹簧的弹力随位移变化的图像，并利用该图像计算弹簧在伸长了1x 的过程中弹力做的功。
解析：据公式Kx F =可知，弹簧所受的弹力F 与形变量x 成正比，图像应为一过坐标原点的倾斜直线，如图3所示。
当形变量为1x 时，对应的弹力11Kx F =，则图线与横轴所围的面积为图中阴影部分即表示弹力做的功，21112
1
21kx kx x W =⨯⨯=。
三．V p -图像“面积”表示气体做功、确定某状态的温度
对于气体而言，气体在等压膨胀过程中对外做功W 应该等于压强P 乘以增加的体积△V
，
V A
不符合位移相等
符合题意 图1 图2
图3
1Kx
据V P L PS L F W ⋅=⋅=⋅=，可知P-V 图像中，图像跟横轴所围的面积表示气体做的功。
利用PV 乘积亦可确定气体在某状态下的温度。
例题：如图4所示，一定质量的理想气体，由状态A 沿直线AB 变化到B ，判断在此过程中，该气体对外界做功还是外界对气体做功？并求出功的大小。
解析：据V p -图像可知，该气体从A 状态到B 状态的体积在膨胀，因此气体对外做功。
由图像得出该气体对外做功即为图线AB 与横轴围成的面积的大小。
即
()J W 400101310)13(2
1
35=⨯-⨯⨯+=
-。
故气体对外做功为400J 。
例题：如图5所示，为一定质量的理想气体状态变化的P —V 图，气体由状态A 经状态B 、C 、D 再回到A ；已知状态A 的温度T A =150K ，则状态B 、C 、D 的温度分别为多少开？
解析：由理想气体状态方程可知C T PV =，所以
PV T =。
只要确定了PV 值，即可确定各状态的温度，而PV
值就是V p -图像中过某点作两坐标轴的垂线与坐标轴围成的
“面积”，因C C V P T A A A 1==，故K T V P T A B B B 450313==⨯==；
K T C V P T A c c c 900623==⨯==；K T C V P T A D D D 900661==⨯==。
四．I U -图像的面积表示电功率的大小
例题：如图6所示，直线A 为电源的路端电压U 与电流I 的关系图像，直线B 是电阻R 两端的电压U 与电流I 的图像。
用该电源与电阻R 组成闭合电路，则电源的输出功率为多少瓦？电源的效率为多少？ 解析：据题可知两图线的交点M 所对应的电压2V 即
为路端电压，则矩形OCMD 的面积即表示电源的输出功率（外电路消耗的功率）4W 22UI =⨯==出P ；则电源的总功率即为矩形OEND 的面积，6W 23EI =⨯==总P ，故该电源的效率为%7.6664P P ===总出η。
五．自构图像面积解题
在平时的练习中，有些习题用公式法往往不易解决，但若能据题构造相应的物理量间的
关系图像，再利用图像“面积”来解答，将会变得很容易。
例题：一只老鼠从老鼠洞沿直线爬出，已知爬出速度v 的大小与距老鼠洞中心的距离s 成反比，当老鼠到达距老鼠洞中心距离s 1=1米的A 点时，速度大小为v 1=20cm/s ，问当老鼠到达距老鼠洞中心s 2=2米的B 点时，其速度大小v 2是多少？老鼠从A 点到达B 点所用的时间t 为多少秒？
解析：
老鼠的运动既不是匀速直线运动，也不是匀变速直线运动，无法直接用公式求出
图4
1 2 3 4 5 6
图
5
I/A
1 2 3 4 5 6
图6
时间。
据题可知s k v =
，即可得s v
~1
图像是一条过原点的直线，如图7所示。
图像跟横轴所围的面积的单位为s v
⨯1
的单位
“秒”，与利用t v -图像求位移类比，可得图像与横轴所围面积（阴
影部分）值即为所求时间t 。
由图可得s=2m 时，老鼠的速度为10cm/s ，在1m-2m 之间图像与横轴包围的梯形面积即为所求的时
间。
所以老鼠从A 到B 的时间s s t 5.72
11.012.01=⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛+=。
例题：A 、B 两点相距s ，将s 平分为n 等份。
今让一物体(可视为质点)从A 点由静止开始做加速度为a 的匀加速运动，但每过一个等分点，加速度
都增加n
a 。
试求该物体到达B 点的速度。
解析：对匀变速直线运动而言，存在公式as v v t 22
02=-，
所以在加速度a 与位移s 的图像中，图像与横轴所围的面积
表示2
2
2o
t v v -。
首先建立以加速度a 为纵轴，以位移s 为横
轴的直角坐标系，根据题意作a-s 图像如图8所示。
图像跟
横轴所围的面积等于图中各个矩形面积之和。
面积=
n
n as a n n a n s n a a n s n a a n s a n
s 21
312-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-+
++⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎭⎫ ⎝⎛++ ，所以
⎪⎭⎫ ⎝
⎛
-==n as v B 132面积。
2
.011.01图7
n n
n n a+ a+ a+ 图8。