图像面积在解题中的应用

图像“面积”在解题中的应用

上海市崇明中学 吴士玉 地址：崇明县鼓浪屿路801号 邮编：202150 利用图像来解决物理问题是常见的一种方法，而图像法解题中有一类是利用图像“面积”来解决问题的。在利用图像法来处理问题时，若能有意识的利用图像“面积”的物理意义来解题，将会给问题的解决带来极大的方便。下面就介绍几类图像“面积”在物理解题中的应用。

一．t v -图像“面积”表示物体的位移

在直线运动中，我们常利用t v -图像来解题。在t v -图像中，图像与横轴所围的面积就表示物体的位移。对一些较复杂的运动过程，如能结合t v -图像加以分析，即可快速解决问题。

例题：A 、B 两个物体从同一高度同时开始运动，A 做竖直上抛运动，B 做简谐振动（起点为B 的平衡位置），且同时到达同一个最高点。下列关于两物体在运动过程中的速度大小关系，正确的是（ ）

A ．

B A v v > B ．B A v v <

C ．先B A v v <后B A v v >

D ．先B A v v >后B A v v < 解析：此题中B 做非匀变速运动，无法建立运动学公式来比较，所以可以尝试运用ν～t 图像来分析。先画出竖直上抛的A 物体的运动

图线（匀减速运动），然后根据题

意：两者的运动时间相同，运动位移相同，如图1即可得出D 选项正

确。 二．s F -图像的“面积”表示作用力F 做的功

功的大小也可以用图像来描述，图2表示恒力做功的情况，图中横坐标为物体的位移s ，纵坐标为在位移方向上的作用力F ，画出的图像（水平线）反映力与位移的关系，该图叫做F —s 图。图线下的阴影面积就表示力F 在位移S 方向上做的功。

例题：已知在弹性限度内弹簧的弹力与形变量成正比，即Kx F =，试画出弹簧的弹力随位移变化的图像，并利用该图像计算弹簧在伸长了1x 的过程中弹力做的功。 解析：据公式Kx F =可知，弹簧所受的弹力F 与形变量x 成正比，图像应为一过坐标原点的倾斜直线，如图3所示。当形变量为1x 时，对应的弹力11Kx F =，则图线与横轴所围的面积为图中阴影部分即表示弹力做的功，21112

1

21kx kx x W =⨯⨯=

。 三．V p -图像“面积”表示气体做功、确定某状态的温度

对于气体而言，气体在等压膨胀过程中对外做功W 应该等于压强P 乘以增加的体积△V

，

V A

不符合位移相等

符合题意 图1 图2

图3

1Kx

据V P L PS L F W ⋅=⋅=⋅=，可知P-V 图像中，图像跟横轴所围的面积表示气体做的功。利用PV 乘积亦可确定气体在某状态下的温度。

例题：如图4所示，一定质量的理想气体，由状态A 沿直线AB 变化到B ，判断在此过程中，该气体对外界做功还是外界对气体做功？并求出功的大小。 解析：据V p -图像可知，该气体从A 状态到B 状态的体积在膨胀，因此气体对外做功。由图像得出该气体对外做功即为图线AB 与横轴围成的面积的大小。即

()J W 400101310)13(2

1

35=⨯-⨯⨯+=

-。故气体对外做功为400J 。

例题：如图5所示，为一定质量的理想气体状态变化的P —V 图，气体由状态A 经状态B 、C 、D 再回到A ；已知状态A 的温度T A =150K ，则状态B 、C 、D 的温度分别为多少开？

解析：由理想气体状态方程可知C T PV =，所以

PV T =。只要确定了PV 值，即可确定各状态的温度，而PV

值就是V p -图像中过某点作两坐标轴的垂线与坐标轴围成的

“面积”，因C C V P T A A A 1==，故K T V P T A B B B 450313==⨯==；

K T C V P T A c c c 900623==⨯==；K T C V P T A D D D 900661==⨯==。

四．I U -图像的面积表示电功率的大小

例题：如图6所示，直线A 为电源的路端电压U 与电流I 的关系图像，直线B 是电阻R 两端的电压U 与电流I 的图像。用该电源与电阻R 组成闭合电路，则电源的输出功率为多少瓦？电源的效率为多少？ 解析：据题可知两图线的交点M 所对应的电压2V 即

为路端电压，则矩形OCMD 的面积即表示电源的输出功率（外电路消耗的功率）4W 22UI =⨯==出P ；则电源的总功率即为矩形OEND 的面积，6W 23EI =⨯==总P ，故该电源的效率为%7.6664P P ===总出η。 五．自构图像面积解题

在平时的练习中，有些习题用公式法往往不易解决，但若能据题构造相应的物理量间的

关系图像，再利用图像“面积”来解答，将会变得很容易。

例题：一只老鼠从老鼠洞沿直线爬出，已知爬出速度v 的大小与距老鼠洞中心的距离s 成反比，当老鼠到达距老鼠洞中心距离s 1=1米的A 点时，速度大小为v 1=20cm/s ，问当老鼠到达距老鼠洞中心s 2=2米的B 点时，其速度大小v 2是多少？老鼠从A 点到达B 点所用的时间t 为多少秒？

解析：

老鼠的运动既不是匀速直线运动，也不是匀变速直线运动，无法直接用公式求出

图4

1 2 3 4 5 6

图

5

I/A

1 2 3 4 5 6

图6

时间。据题可知s k v =

，即可得s v

~1

图像是一条过原点的直线，如图7所示。图像跟横轴所围的面积的单位为s v

⨯1

的单位

“秒”，与利用t v -图像求位移类比，可得图像与横轴所围面积（阴

影部分）值即为所求时间t 。由图可得s=2m 时，老鼠的速度为10cm/s ，在1m-2m 之间图像与横轴包围的梯形面积即为所求的时

间。所以老鼠从A 到B 的时间s s t 5.72

11.012.01=⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛+=。 例题：A 、B 两点相距s ，将s 平分为n 等份。今让一物体(可视为质点)从A 点由静止开始做加速度为a 的匀加速运动，但每过一个等分点，加速度

都增加n

a 。试求该物体到达B 点的速度。

解析：对匀变速直线运动而言，存在公式as v v t 22

02=-，

所以在加速度a 与位移s 的图像中，图像与横轴所围的面积

表示2

2

2o

t v v -。首先建立以加速度a 为纵轴，以位移s 为横

轴的直角坐标系，根据题意作a-s 图像如图8所示。图像跟

横轴所围的面积等于图中各个矩形面积之和。面积=

n

n as a n n a n s n a a n s n a a n s a n

s 21

312-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-+

++⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎭⎫ ⎝⎛++ ，所以

⎪⎭⎫ ⎝

⎛

-==n as v B 132面积。

2

.011.01图7

n n

n n a+ a+ a+ 图8