2020-2021初中数学方程与不等式之分式方程易错题汇编附解析(1)

2020-2021初中数学方程与不等式之分式方程易错题汇编附解析(1)
一、选择题
1．春节期间嘉嘉去距家10千米的电影院看电影，计划骑自行车和坐公交车两种方式，已知汽车的速度是骑车速度的2倍，若坐公交车可以从家晚15分钟出发恰好赶上公交车，结果与骑自行车同时到达，设骑车学生的速度为x千米/小时，则所列方程正确的是()
A．1010
15
2
x x
-=B．
1010
15
2x x
-=C．
10101
24
x x
-=D．
10101
24
x x
-=
【答案】C
【解析】
【分析】
设骑车的速度为x千米/小时，则坐公交车的速度为2x千米/小时，根据“汽车所用时间-坐公交车所用时间15
=分钟”列出方程即可得．
【详解】
设骑车的速度为x千米/小时，则坐公交车的速度为2x千米/小时，
∴所列方程正确的是：10101
24
x x
-=，
故选：C．
【点睛】
此题考查由实际问题列分式方程，根据题意找到题目蕴含的相等关系是列方程的关键．
2．解分式方程11
2
22
x
x x
-
+=
--
的结果是（）
A．x="2" B．x="3" C．x="4" D．无解
【答案】D
【解析】
【分析】
【详解】
解：去分母得：1﹣x+2x﹣4=﹣1，
解得：x=2，
经检验x=2是增根，分式方程无解．
故选D．
考点：解分式方程．
3．甲、乙两个搬运工搬运某种货物，已知乙比甲每小时多搬运600kg，甲搬运5000kg所用的时间与乙搬运8000kg所用的时间相等，求甲、乙两人每小时分别搬运多少千克货物．设甲每小时搬运xkg货物，则可列方程为
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】
甲种机器人每小时搬运x 千克，则乙种机器人每小时搬运（x+600）千克， 由题意得： ，
故选B.
【点睛】本题考查了列分时方程解实际问题的运用，解答时根据甲搬运5000kg 所用时间与乙搬运8000kg 所用时间相等建立方程是关键．
4．从﹣4，﹣3，﹣2，﹣1，0，1，3，4，5这九个数中，随机抽取一个数，记为a ，则数
a 使关于x 的不等式组()124212
2123
x a x x ⎧--≤⎪⎪⎨-⎪<+⎪⎩至少有四个整数解，且关于x 的分式方程
2
33
a x x x ++--＝1有非负整数解的概率是（ ） A ．
29
B ．
13
C ．
49
D ．
59
【答案】C 【解析】 【分析】
先解出不等式组，找出满足条件的a 的值，然后解分式方程，找出满足非负整数解的a 的值，然后利用同时满足不等式和分式方程的a 的个数除以总数即可求出概率． 【详解】
解不等式组得：7x a
x ≤⎧⎨>-⎩
， 由不等式组至少有四个整数解，得到a≥﹣3， ∴a 的值可能为：﹣3，﹣2，﹣1，0，1，3，4，5， 分式方程去分母得：﹣a ﹣x+2＝x ﹣3， 解得：x ＝
52
a - ， ∵分式方程有非负整数解， ∴a ＝5、3、1、﹣3，
则这9个数中所有满足条件的a 的值有4个， ∴P ＝
49
故选：C ． 【点睛】
本题主要考查解一元一次不等式组，分式方程的非负整数解，随机事件的概率，掌握概率公式是解题的关键．
5．已知关于x 的分式方程211x k x x
-=--的解为正数，则k 的取值范围为（ ） A ．20k -<< B ．2k >-且1k ≠- C ．2k >-
D ．2k <且1k ≠
【答案】B 【解析】 【分析】
先用k 表示x ，然后根据x 为正数列出不等式，即可求出答案. 【详解】 解：211x k
x x
-=--Q
， 21
x k
x +∴
=-， 2x k ∴=+，
Q 该分式方程有解，
21k ∴+≠， 1k ∴≠-， 0x Q >， 20k ∴+>， 2k ∴>-，
2k ∴>-且1k ≠-， 故选：B ． 【点睛】
本题考查的是分式方程，熟练掌握分式方程是解题的关键.
6．对于非零实数a 、b ，规定a ⊗b ＝21
a b a
-．若x ⊗（2x ﹣1）＝1，则x 的值为（ ） A ．1 B ．
13 C ．﹣1
D ．-
13
【答案】A 【解析】 【分析】 【详解】
解：根据题中的新定义可得：()21x x ⊗-=21
121x x x
-=-， 解得：x=1，
经检验x=1是分式方程的解， 故选A ． 【点睛】
本题考查了新定义、解分式方程，解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解．解分式方程一定注意要验根．
7．甲、乙两人同时分别从A ，B 两地沿同一条公路骑自行车到C 地．已知A ，C 两地间的距离为110千米，B ，C 两地间的距离为100千米．甲骑自行车的平均速度比乙快2千米/时．结果两人同时到达C 地．求两人的平均速度，为解决此问题，设乙骑自行车的平均速度为x 千米/时．由题意列出方程．其中正确的是（ ）
A ．
110100
2x x =+ B ．
110100
2
x x =+ C ．
110100
2x x
=- D ．
110100
2
x x =- 【答案】A 【解析】
设乙骑自行车的平均速度为x 千米/时，则甲骑自行车的平均速度为（x+2）千米/时，根据题意可得等量关系：甲骑110千米所用时间=乙骑100千米所用时间，根据等量关系可列出方程即可．
解：设乙骑自行车的平均速度为x 千米/时，由题意得：
1102x +=100
x
， 故选A ．
8．从4-，2-，1-，0，1，2，4，6这八个数中，随机抽一个数，记为a ．若数a 使关于x 的一元二次方程()2
2
240x a x a --+=有实数解．且关于y 的分式方程
1311y a y y
+-=--有整数解，则符合条件的a 的值的和是（ ） A ．6- B ．4- C ．2- D ．2
【答案】C 【解析】 【分析】
由一元二次方程()2
2
240x a x a --+=有实数解，确定a 的取值范围，由分式方程
1
311y a y y
+-=--有整数解，确定a 的值即可判断． 【详解】
方程()2
2
240x a x a --+=有实数解，
∴△=4(a −4)2−4a 2⩾0， 解得a ⩽2
∴满足条件的a 的值为−4，−2，−1，0，1，2 方程
1
311y a y y
+-=--
解得y=
2
a +2 ∵y 有整数解 ∴a=−4，0，2，4，6
综上所述，满足条件的a 的值为−4，0，2， 符合条件的a 的值的和是−2 故选：C 【点睛】
本题考查了一元二次方程根据方程根的情况确定方程中字母系数的取值范围；以及分式方程解的定义：求出使分式方程中令等号左右两边相等且分母不等于0的未知数的值，这个值叫分式方程的解．
9．关于x 的方程
m 3+=1x 11x
--解为正数，则m 的范围为（ ） A ．m 2m 3≥≠且 B ． 2 B 3m m >≠
C ．m<2m 3≠且
D ．m>2
【答案】B 【解析】 【分析】
首先解分式方程，然后令其大于0即可，注意还有1x ≠. 【详解】
方程两边同乘以()1x -，得2x m =- ∴2
10x m x =-⎧⎨
-≠⎩
解得2m >且3m ≠ 故选：B. 【点睛】
此题主要考查根据分式方程的解求参数的取值范围，熟练掌握，即可解题.
10．新能源汽车环保节能，越来越受到消费者的喜爱.各种品牌相继投放市场.一汽贸公司经销某品牌新能源汽车.去年销售总额为5000万元，今年1~5月份，每辆车的销售价格比去年降低1万元.销售数量与去年一整年的相同.销售总额比去年一整年的少20%，今年1~5月份每辆车的销售价格是多少万元?设今年1~5月份每辆车的销售价格为x 万元.根据题意，列方程正确的是( ) A ． B ． C ．
D ．
【答案】A 【解析】
【分析】
首先根据所设今年每辆车的价格，可表示出去年的价格，同样根据销售总额的关系可表示出今年的销售总额，然后再根据去年和今年1~5月份销售汽车的数量相同建立方程即可得解. 【详解】
∵今年1~5月份每辆车的销售价格为x 万元， ∴去年每辆车的销售价格为（x+1）万元， 则有
故选A. 【点睛】
此题主要考查分式方程的应用，解题的关键是找出题中去年和今年的关系.
11．甲、乙二人做某种机械零件，已知每小时甲比乙少做8个，甲做120个所用的时间与乙做150个所用的时间相等，设甲每小时做x 个零件，下列方程正确的是（ ）
A ．
120150
8x x =- B ．
120150
8x x
=+ C ．
120150
8x x
=- D ．
120150
8
x x =+ 【答案】D 【解析】 【分析】
首先用x 表示甲和乙每小时做的零件个数，再根据甲做120个所用的时间与乙做150个所用的时间相等即可列出一元一次方程. 【详解】
解：∵甲每小时做x 个零件，∴乙每小时做（x+8）个零件， ∵甲做120个所用的时间与乙做150个所用的时间相等，∴120150
8
x x =+， 故选D. 【点睛】
本题考查了分式方程的实际应用，熟练掌握是解题的关键.
12．已知关于x 的分式方程13222mx
x x
-+=--有解,则m 应满足的条件是（ ） A ． 1 2m m ≠≠且 B ．2m ≠
C ．1m =或2m =
D ．1m ≠或2m ≠
【答案】A 【解析】 【分析】
分式方程去分母转化为整式方程(m-2)x=-2，由分式方程有解可知m-2≠0，最简公分母x-2≠0，求出x 的值，进一步求出m 的取值即可. 【详解】
13222mx x x
-+=--， 去分母得，1-（3-mx ）=2(x-2) 整理得，（m-2）x=-2
∵分式方程13222mx x x
-+=--有解， ∴m-2≠0，即m≠2，
∴2
2
x m -=
- ∵分式方程13222mx x x
-+=--有解， ∴x-2≠0，即x≠2，
∴
2
22
m -≠-，解得，m≠1， 所以，m 的取值为： 1 m ≠且2m ≠ 故选：A. 【点睛】
此题主要考查了分式方程的求解，关键是会解出方程的解，注意隐含条件.
13．九年级学生去距学校10千米的博物馆参观，一部分学生骑自行车先走，过了25分钟后，其余学生乘汽车出发，结果他们同时到达，已知汽车的速度是骑车学生速度的3倍．设骑车学生的速度为x 千米/小时，则所列方程正确的是（ ）
A ．
1010253x x -= B ．
1010
253x x
-= C ．
10105312
x x -= D ．
10105312
x x -= 【答案】D 【解析】 【分析】
设骑车学生的速度为x 千米/小时，则汽车的速度为3x,先分别表示出骑自行车学生和乘汽车学生所用时间，然后根据题中所给的等量关系,即可列出方程． 【详解】
解：设骑车学生的速度为x 千米/小时，则汽车的速度为3x
由题意得：
10105312
x x -= 故答案为D ． 【点睛】
本题考查了出分式方程的应用，明确题意、确定等量关系是解答本题的关键．
14．已知甲车行驶35千米与乙车行驶45千米所用时间相同，且乙车每小时比甲车多行驶 15 千米，设甲车的速度为x 千米/小时，依据题意列方程正确的是
A ．
354515x x =- B ．
3545
+15x x
= C ．
3545
-15x x
= D ．
3545+15
x x = 【答案】D 【解析】 【分析】
首先根据甲车的速度为x 千米/小时，表示出乙车的速度为（x+15）千米/小时，再根据关键是语句“甲车行驶35千米与乙车行驶45千米所用时间相同”列出方程即可． 【详解】
解：设甲车的速度为x 千米/小时，则乙车的速度为（x+15）千米/小时，由题意得：
3545+15x x =， 故选D ． 【点睛】
此题主要考查了分式方程的应用，关键是正确理解题意，表示出甲乙两车的速度，再根据关键是语句列出方程即可．此题用到的公式是：路程÷速度=时间．
15．某单位向一所希望小学赠送1080本课外书，现用A 、B 两种不同的包装箱进行包装，单独使用B 型包装箱比单独使用A 型包装箱可少用6个；已知每个B 型包装箱比每个A 型包装箱可多装15本课外书．若设每个A 型包装箱可以装书x 本，则根据题意列得方程为（ ） A ． B ． C ．
D ．
【答案】C 【解析】
设每个A 型包装箱可以装书x 本，则每个B 型包装箱可以装书（x+15）本，根据单独使用B 型包装箱比单独使用A 型包装箱可少用6个，列方程得：
，故选C.
16．若关于x 的分式方程2
233
x m
x x -=
--有增根，则m 的值为（ ）． A ．3 B ．3C 3D ．3±【答案】D 【解析】
解关于x 的方程2
233
x m
x x -=
--得：26x m =-， ∵原方程有增根，
∴30x -=，即2630m --=，解得：3m =
故选D.
点睛：解这类题时，分两步完成：（1）按解一般分式方程的步骤解方程，用含待定字母的式子表示出方程的根；（2）方程有增根，则把（1）中所得的结果代入最简公分母中，最简公分母的值为0，由此即可求得待定字母的值.
17．若关于x的分式方程
3
2
22
x m m
x x
+
+=
--
有增根，则m的值为（）
A．1-B．0 C．1 D．2
【答案】C
【解析】
【分析】
增根是化为整式方程后产生的不适合分式方程的根．所以应先确定增根的可能值，让最简公分母x﹣2＝0，得到x＝2，然后代入化为整式方程的方程，满足即可．
【详解】
解：方程两边都乘x﹣2，
得x+m﹣3m＝2（x﹣2），
∵原方程有增根，
∴最简公分母x﹣2＝0，
解得x＝2，
当x＝2时，2+m﹣3m＝0，
∴m＝1，
故选：C．
【点睛】
本题考查了分式方程的增根，难度适中．确定增根可按如下步骤进行：
①让最简公分母为0确定可能的增根；
②化分式方程为整式方程；
③把可能的增根代入整式方程，使整式方程成立的值即为分式方程的增根．
18．某工厂现在平均每天比原计划多生产40台机器，现在生产600台机器所需的时间与原计划生产480台机器所用的时间相同，设原计划每天生产x台机器，根据题意，下面列出的方程正确的是（）
A．
600480
40
x x
=
-
B．
600480
40
x x
=
+
C．600480
40
x x
=
+
D．
600480
40
x x
=
-
【答案】B
【解析】
【分析】
由题意分别表达出原来生产480台机器所需时间和现在生产600台机器所需时间，然后根
据两者相等即可列出方程，再进行判断即可． 【详解】
解：设原计划每天生产x 台机器，根据题意得：
480600
40x x =+. 故选B ． 【点睛】
读懂题意，用含x 的代数式表达出原来生产480台机器所需时间为480
x
天和现在生产600台机器所需时间为
600
40
x +天是解答本题的关键．
19．八年级（1）班全体师生义务植树300棵.原计划每小时植树x 棵，但由于参加植树的全体师生植树的积极性高涨，实际工作效率提高为原计划的1.2倍，结果提前20分钟完成任务.则下面所列方程中，正确的是（ ） A ．300300
201.2x x
-= B ．30030020
1.260x x =- C ．
30030020
1.260x x x -=+ D ．
3002030060 1.2x x
-= 【答案】D 【解析】 【分析】
原计划每小时植树x 棵，实际工作效率提高为原计划的1.2倍，故每小时植1.2x 棵，原计划植300棵树可用时300x
小时，实际用了300
1.2x 小时，根据关键语句“结果提前20分钟完
成任务”可得方程． 【详解】
设原计划每小时植树x 棵，实际工作效率提高为原计划的1.2倍，故每小时植1.2x 棵，由
题意得：
30020300
60 1.2x x
-=， 故选：D ． 【点睛】
此题主要考查了由实际问题抽象出分式方程，关键是弄清题意，表示出原计划植300棵树所用时间与实际所用时间．
20．若关于x 的方程244
x a x x =+--有增根，则a 的值为（ ） A ．-4 B ．2
C ．0
D ．4
【答案】D
【解析】
【分析】
增根是化为整式方程后产生的不适合分式方程的根．让最简公分母x-4=0，得到x=4．再将x=4代入去分母后的方程即可求出a=4.
【详解】
解：由分式方程的最简公分母是x-4，
∵关于x 的方程
244
x a x x =+--有增根， ∴x-4=0，
∴分式方程的增根是x=4． 关于x 的方程
244
x a x x =+--去分母得x=2(x-4)+a, 代入x=4得a=4
故选D ．
【点睛】 本题考查了分式方程的增根，增根问题可按如下步骤进行：
①让最简公分母为0确定增根；
②化分式方程为整式方程；
③把增根代入整式方程即可求得相关字母的值．。