2021高考理科数学(人教A版)一轮复习课时规范练42空间向量及其运算

课时规范练42 空间向量及其运算
基础巩固组
1.已知空间四边形OABC 中,OA ⃗⃗⃗⃗⃗ =a ,OB ⃗⃗⃗⃗⃗ =b ,OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =c ,点M 在OA 上,且OM=2MA ,N 为BC 中点,则MN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =( ) A.1
2a-2
3b+1
2c
B.-23a+12b+1
2c
C.1
2a+1
2b-1
2c D.2
3a+2
3b-1
2c
2.若直线l 的方向向量为a =(1,0,2),平面α的法向量为n =(-2,0,-4),则( ) A.l ∥α B.l ⊥α C.l ⊂α
D.l 与α斜交
3.(2019陕西西安质检)已知空间四边形ABCD 的每条棱和对角线的长都等于a ,E ,F 分别是BC ,AD 的中点,则AE
⃗⃗⃗⃗⃗ ·AF ⃗⃗⃗⃗⃗ 的值为( ) A.a 2
B.1
2a 2 C.1
4a 2
D.√3
4a 2
4.若向量a =(√3,1,0),b =(1,0,z ),<a ,b >=π
3,则实数z 的值为( ) A.√2
B.2
C.±√2
D.±2
5.平行六面体ABCD-A 1B 1C 1D 1中,向量AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,AD ⃗⃗⃗⃗⃗ ,AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 两两的夹角均为60°,且|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |=1,|AD ⃗⃗⃗⃗⃗ |=2,|AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=3,则|AC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |等于( ) A.5
B.6
C.4
D.8
6.已知空间向量a ,b ,满足|a|=|b|=1,且a ,b 的夹角为π
3,O 为空间直角坐标系的原点,点A ,B 满足OA
⃗⃗⃗⃗⃗ =2a+b ,OB ⃗⃗⃗⃗⃗ =3a-b ,则△OAB 的面积为 . 7.已知向量p 在基底{a ,b ,c }下的坐标为(2,1,-1),则p 在基底{a +b ,a -b ,c }下的坐标为 ,在基底{2a ,b ,-c }下的坐标为 .
8.(2019江苏宿迁期末)若平面α的一个法向量为12,12
,0,直线l 的方向向量为(1,0,1),则l 与α所成角
的大小为 .
9.在空间直角坐标系中,以点A (4,1,9),B (10,-1,6),C (x ,4,3)为顶点的△ABC 是以BC 为斜边的等腰直角三角形,则实数x 的值为 . 10.
如图,在棱长为a 的正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中,G 为△BC 1D 的重心, 求证:(1)A 1,G ,C 三点共线; (2)A 1C ⊥平面BC 1D.
综合提升组
11.(2019广西模拟)A ,B ,C ,D 是空间不共面的四点,且满足AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ·AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =0,AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ·AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =0,AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ·AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =0,M 为BC 中点,则△AMD 是( ) A.钝角三角形 B.锐角三角形 C.直角三角形
D.不确定
12.直三棱柱ABC-A 1B 1C 1中,∠BCA=90°,M ,N 分别是A 1B 1,A 1C 1的中点,BC=CA=CC 1,则BM 与AN 所成角的余弦值为( )
A.110
B.25
C.
√30
10
D.√2
2
13.已知正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1,下列命题: ①(A 1A ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +A 1D 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +A 1B 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )2=3A 1B 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 2
; ②A 1C ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·(A 1B 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −A 1A ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )=0;
③向量AD 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 与向量A 1B ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的夹角为60°;
④正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1的体积为|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ·AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·AD ⃗⃗⃗⃗⃗ |. 其中真命题的序号是( ) A.①②
B.①②③
C.①④
D.①②④
14.(2019西安调研)已知AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,5,-2),BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(3,1,z ),若AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⊥BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ,BP ⃗⃗⃗⃗⃗ =(x-1,y ,-3),且BP ⊥平面ABC ,则实数x+y= .
创新应用组
15.
如图,四边形ABCD 和ADPQ 均为正方形,它们所在的平面互相垂直,动点M 在线段PQ 上,E ,F 分别为AB ,BC 的中点.设异面直线EM 与AF 所成的角为θ,则cos θ的最大值为 . 16.
如图,直三棱柱ABC-A 1B 1C 1,底面△ABC 中,CA=CB=1,∠BCA=90°,棱AA 1=2,M ,N 分别是A 1B 1,A 1A 的中点. (1)求BN
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的模; (2)求cos <BA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,CB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ >的值; (3)求证:A 1B ⊥C 1M.
参考答案
课时规范练42 空间向量及其运算
1.B 显然MN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =ON ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =12(OB ⃗⃗⃗⃗⃗ +OC ⃗⃗⃗⃗⃗ )-23OA ⃗⃗⃗⃗⃗ =12b+12c-23a .故选B .
2.B ∵a =(1,0,2),n =(-2,0,-4),
即n =-2a ,故a ∥n ,∴l ⊥α.
3.C AE ⃗⃗⃗⃗⃗ ·AF ⃗⃗⃗⃗⃗ =12(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AC ⃗⃗⃗⃗⃗ )·12AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =14(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ·AD ⃗⃗⃗⃗⃗ +AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ·
AD ⃗⃗⃗⃗⃗ )=14(a 2cos60°+a 2cos60°)=14a 2.故选C .
4.C |a |=√(√3)2+12=2,|b |=√1+z 2,a ·b =√3.∴cos π
3=a ·b
|a ||b |=√3
√2=1
2,化为z 2=2,解得z=±√2.故选C .
5.A 设AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =a ,AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =b ,AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =c ,则|AC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=a+b+c ,|AC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |2=a 2+b 2+c 2+2a ·b+2b ·c+2c ·a =25,因此|AC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=5.
6.5√34 由OA ⃗⃗⃗⃗⃗ =2a+b ,OB ⃗⃗⃗⃗⃗ =3a-b ,得|OA ⃗⃗⃗⃗⃗ |=√(2a +b )2=√7,|OB ⃗⃗⃗⃗⃗ |=√(3a -b )2=√7,OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ·OB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(2a+b )·(3a-b )=112.
∴cos ∠BOA=OA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·OB
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |OA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗
||OB
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=11
14,
∴sin ∠BOA=5√3
14.
∴S △OAB =1
2|OA
⃗⃗⃗⃗⃗ ||OB ⃗⃗⃗⃗⃗ |sin ∠BOA=5√3
4
. 7.32,1
2,-1 (1,1,1) 由条件p =2a +b -c .设p 在基底{a +b ,a -b ,c }下的坐标为(x ,y ,z ),则p =x (a +b )+y (a -b )+z c =(x+y )a +(x-y )b +z c ,
因为a ,b ,c 不共面,所以{x +y =2,
x -y =1,z =-1,
所以{ x =3
2,
y =12,z =-1,即p 在基底{a +b ,a -b ,c }下的坐标为32,1
2,-1,
同理可求p 在基底{2a ,b ,-c }下的坐标为(1,1,1). 故答案为32,1
2,-1,(1,1,1).
8.π6 设平面α的一个法向量为m =12,1
2,0,直线l 的方向向量为n =(1,0,1),
则
cos <m ,n >=m ·n
|m ||n |
=
12
2
2
×√2
=12,令l 与α所成角的大小为θ,则sin θ=1
2,即直线l 与
平面α所成角为π
6.
9.2 由题意知AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ·AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =0,|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |=|AC
⃗⃗⃗⃗⃗ |. 又AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(6,-2,-3),AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(x-4,3,-6), ∴{
6(x -4)-6+18=0,
(x -4)2=4,
解得x=2.
10.证明 (1)CA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =CB ⃗⃗⃗⃗⃗ +BA ⃗⃗⃗⃗⃗ +AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =CB ⃗⃗⃗⃗⃗ +CD ⃗⃗⃗⃗⃗ +CC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,CG ⃗⃗⃗⃗⃗ =CC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +C 1G ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =CC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +
23×12(C 1
B ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +
C 1
D ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )=CC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +13(CB ⃗⃗⃗⃗⃗ −CC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +CD ⃗⃗⃗⃗⃗ −CC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )=13(CB ⃗⃗⃗⃗⃗ +CD ⃗⃗⃗⃗⃗ +CC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )=13CA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
, ∴CG ⃗⃗⃗⃗⃗ ∥CA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,即A 1,G ,C 三点共线. (2)设CB ⃗⃗⃗⃗⃗ =a ,CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =b ,CC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =c , 则|a |=|b |=|c |=a , 且a ·b=b ·c=c ·a=0. ∵CA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =a+b+c ,BC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =c-a ,
∴CA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·BC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(a+b+c )·(c-a )=c 2-a 2=0. 因此CA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⊥BC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,即CA 1⊥BC 1. 同理CA 1⊥BD.
又BD 与BC 1是平面BC 1D 内的两条相交直线,故A 1C ⊥平面BC 1D.
11.C ∵M 为BC 中点,∴AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =12(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ).∴AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =12(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AC ⃗⃗⃗⃗⃗ )·AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =12AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ·AD ⃗⃗⃗⃗⃗ +12AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ·AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =0,
∴AM ⊥AD ,△AMD 为直角三角形.故选C .
12.C 如图,以点C 1为坐标原点,C 1B 1,C 1A 1,C 1C 所在的直线分别为x 轴,y 轴,z 轴,建立空间直角坐标系,
不妨设BC=CA=CC 1=1,可知点A (0,1,1),N 0,12,0,B (1,0,1),M 12,1
2,0.
∴AN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0,-12,-1,BM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =-12,12
,-1.
∴cos <AN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,BM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ >=
AN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·BM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |AN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ||BM
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |
=√30
10.根据AN ⃗⃗⃗⃗⃗ 与BM
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的夹角及AN 与BM 所成角的关系可知,BM 与AN 所成角的余弦值为√30
10.
13.A 设正方体边长为单位长为1,建立空间直角坐标系,如图.
A 1A ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,0,1),A 1D 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,0,0),A 1
B 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,1,0),A 1
C ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,1,1),A
D 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,0,-1),
所以对于①,(A 1A ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +A 1D 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +A 1B 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )2=(1,1,1)·(1,1,1)=3=3A 1B 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 2
,故①是真命题; 对于②,A 1C ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·(A 1B 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −A 1A ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )=(1,1,1)·(0,1,-1)=0,故②是真命题;
对于③,因为AD 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·A 1B ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,0,-1)·(0,1,1)=-1,所以cos <AD 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,A 1B ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ >=-1|AD 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ||A 1B ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |
=-12,向量
AD 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 与向量A 1B ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的夹角为120°,故③是假命题;
对于④,正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1的体积为|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |·|AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |·|AD ⃗⃗⃗⃗⃗ |,但是|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ·AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·AD ⃗⃗⃗⃗⃗ |=0,故
④是假命题.故选A .
14.25
由条件得{3+5-2z =0,
x -1+5y +6=0,3(x -1)+y -3z =0,
解得x=40
7,y=-15
7,z=4.
∴x+y=40
7−
157
=25
7.
15.2
以A 为坐标原点,射线AB ,AD ,AQ 分别为x ,y ,z 轴的正半轴,建立如图所示的空间直角坐标系.
设正方形ABCD 和ADPQ 的边长为2,则E (1,0,0),F (2,1,0),M (0,y ,2)(0≤y ≤2).所以AF ⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,1,0),EM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(-1,y ,2).
所以AF ⃗⃗⃗⃗⃗ ·EM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =-2+y ,|AF ⃗⃗⃗⃗⃗ |=√5,|EM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=√5+y 2.所以cos θ=|AF ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·EM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
||AF ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ||EM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |
=√5·√5+y =
√5·√5+y .
令2-y=t ,则y=2-t ,且t ∈[0,2],
所以cos θ=
√5·√5+(2-t )=
√5·√9-4t+t 2
.t=0时,cos θ=0.当t ≠0时,cos θ=
√5·√9t 2-4t
+1
=
√5·√9(1t -29)+5
9
,由t ∈[0,2],得1t ∈[1
2,+∞),
所以√9(1t -29)2+59≥√9×(12-29)2+59=√52.所以cos θ≤25,即cos θ的最大值为2
5.
16.解 如图,建立空间直角坐标系O-xyz.
(1)依题意得B (0,1,0),N (1,0,1), ∴|BN
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |= √(1-0)2+(0-1)2+(1-0)2=√3.
(2)依题意得A 1(1,0,2),B (0,1,0),C (0,0,0),B 1(0,1,2),
∴BA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,-1,2),CB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,1,2),BA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·CB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =3,|BA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=√6,|CB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=√5. ∴cos <BA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·CB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ >=
BA 1
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·CB 1
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |BA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ||CB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |
=√30
10.
(3)证明:依题意,得C 1(0,0,2),M
12,12,2,A 1B ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(-1,1,-2),C 1M ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =12,12,0. ∴A 1B ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·C 1M ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =-12+12
+0=0. ∴A 1B ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⊥C 1M ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ .
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