浙江省台州中学2017-2018学年高二下学期期中考试数学试题(含答案)

浙江省台州中学2017-2018学年高二下学期期中考试
数学试题
一、选择题：
1．已知集合}4|{2
≤=x x A ，}13|{<<-=x x B ，则=B A （ ） A ．]4,3(- B ．)1,2[- C ．]2,3(- D ．]2,2[- 2．下列结论正确的是（ ）
A ．若直线b a //，直线α⊂b ，则α//a
B ．若直线α⊥l ，则α内的所有直线都与l 垂直
C ．若直线l 不平行于α，则α内没有与l 平行的直线
D ．若直线l 不垂直于α，则α内没有与l 垂直的直线
3．直线)2(-=x k y （R k ∈）与圆5)3()2(2
2
=-+-y x 的位置关系是（ ） A ．相离 B ．相切 C ．相交 D ．无法确定
4．若y x ,满足约束条件⎪⎩
⎪
⎨⎧≤-≤-+-≥1031y x y x x ，则y x z -=3的最大值是（ ）
A ．7-
B ．1-
C ．5
D ．7
5．函数bx bx a x f cos sin )(+=（b a ,是与x 无关的实数）的周期（ ） A ．与a 有关，且与b 有关 B ．与a 有关，但与b 无关 C ．与a 无关，且与b 无关 D ．与a 无关，但与b 有关
6．已知等比数列}{n a 的公比为q ，前n 项和是n S ，则“0>q ”是“2017201820162S S S >+”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件 7．函数x x y 2
sin =，]5,5[-∈x 的图象可能是（ ）
8．已知圆21,O O 是两个相离，且半径不相等的定圆，动圆C 与圆21,O O 中的一个外切，另一个内切，则动圆圆心C 的轨迹为（ ）
A ．双曲线
B ．抛物线
C ．椭圆
D ．圆
9．已知定义在R 上的函数⎩⎨⎧>+≤-=)
0)(ln()0()(x a x x a e x f x （e 为自然对数的底数），若方程21
)(=x f 有两个不相等
的实数根，则实数a 的取值范围是（ ） A ．210≤
≤a B ．e a ≤≤0 C ．2121≤≤-a D ．e a ≤≤-2
1
10．如图，已知正方体EFGR ABCD -的上底面中心为H ，点O 为AH 上的动点，P 为FG 的三等分点（靠近点F ），Q 为EF 的中点，分别记二面角R OQ P --，R OP Q --，Q OP R --的平面角为γβα,,，则（ ）
A ．βαγ<<
B ．βγα<<
C ．γβα<<
D ．γαβ<<
第Ⅱ卷（共90分）
二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）
11．椭圆
112
1622=+y x 的焦点坐标为 ，离心率为 ． 12．等差数列}{n a 满足3,1522
31-==a a a a ，则=n a ，其前n 项和为 .
13．某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的体积为 ，该四棱锥最长棱的长度为 ． 14．已知单位向量b a ,满足2
1
=
⋅b a ，向量c 使得0)()(=-⋅-b c a c ，则||c 的最小值为 ，c a ⋅的最大
值为 ．
15．在A B C ∆中，点D 在AC 边上，7
7
2cos -=∠ABC ，7=AB ，1==BD BC ，则=∠A D B ． 16．若)6,6(,π
πβα-∈，R m ∈，且03tan 3=-+m αα，03tan 3
1
93=++m ββ，则=+)3cos(βα .
17．已知R z y x ∈,,，且满足42
2
2
=++z y x ，则yz xy 2+
的最大值为 ．
三、解答题 （本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）
18．已知函数m x x x f ++=
2cos 22sin 3)(，其中R m ∈.
（1）求)(x f 的单调递增区间； （2）若)(x f 在区间]2
,
0[π
上的最大值为6，求实数m 的值.
19．如图，在四棱锥ABCD P -中，⊥PA 平面ABCD ，
3===BC AB PA ，1==CD AD ，0120=∠ADC ，
点M 是AC 与BD 的交点，点N 在线段PB 上，且PB PN 4
1
=. （1）证明：//MN 平面PDC ；
（2）求直线MN 与平面PAC 所成角的正弦值.
20. 已知函数x x ax x f ln )(2
+=，其中R a ∈. （1）当0=a 时，求)(x f 的最小值；
（2）若)(x f 有三个不同的单调区间，求实数a 的取值范围.
21．如图，设D C B A ,,,为抛物线y x 42
=上不同的四点，且点D A ,关于y 轴对称，BC 平行于该抛物线在点
D 处的切线l .
（1）求证：直线AB 与直线AC 的倾斜角互补；
（2）若AC AB ⊥，且ABC ∆的面积为16，求直线BC 的方程.
22．设n T 是数列}{n a 的前n 项之积，且满足n n a T -=3，*
N n ∈.
（1）求证：数列}2
1
31{
--n a 是等比数列，并写出数列}{n a 的通项公式； （2）设n S 是数列}{n a 是前n 项之和，证明：n
n n T n S T n 2211-+<<-+. .
试卷答案
一、选择题
1-5：BBCCD 6-10：DDAAD
二、填空题
11．)0,2(±，21 12．23-=n a n ，232n n S n -=
13．20，25 14．45,213- 15．6
5π
16．1 17．32
三、解答题
18．解：（1）m x
x x f ++⋅
+=2
2cos 122sin 3)( m x x +++=12cos 2sin 3
m x +++
=1)6
2sin(2π
由Z k k x k ∈+
≤+
≤-
,2
26
22
2π
ππ
π
π，解得Z k k x k ∈+
≤≤-
,6
3
π
ππ
π
所以)(x f 的单调递增区间为)](6
,3
[Z k k k ∈+
-π
ππ
π.
（2）因为]2
,0[π
∈x ，所以]6
7,6[62πππ
∈+
x ， 所以]1,2
1
[)62sin(-∈+
π
x ， 所以)(x f 的最大值为m +3， 所以63=+m ， 所以3=m
19、解：（1）因为CD AD BC AB ==,，所以BD 垂直平分AC ，又0
120=∠ADC ， 所以2
1=
MD 在ADC ∆中，3cos 22
2
2
=∠⨯-+=ADC DC AD DC DA AC
所以3=
AC ，又因为BC AB =，所以ABC ∆是等边三角形，
所以2
3=BM 所以
3=MD BM ，又因为PB PN 41=，所以3==NP
BN
MD BM 所以PD MN //，又⊄MN 平面⊂PD PDC ,平面PDC ，所以//MN 平面PDC . （2）因为⊥PA 平面ABCD ，所以PA BD ⊥， 又因为A AC PA AC BD =⊥ ,，所以⊥BD 平面PAC
由（1）知PD MN //，所以直线MN 与平面PAC 所成角即直线PD 与平面PAC 所成角 所以DPM ∠即为所求角
在PAD Rt ∆中，2=PD ，所以4
1
221
sin ===∠DP DM DPM
所以直线MN 与平面PAC 所成角的正弦值为
4
1. 20、（1）当0=a 时，x x x f ln )(=，)1,0(∈x ，则x x f ln 1)('+= 所以)(x f 在)1
,0(e 上递减，在)1,1(e 上递增，所以e
e f x f 1)1()(min -== 所以0=a 时，)(x f 的最小值为e
1-. （2）x ax x f ln 12)('++=，
当0≥a 时，)('x f 在),0(+∞上单调递增，
从而)(x f 在),0(+∞上至多有两个单调区间，不合题意 当0<a 时，因为x
a x f 12)(''+=， 所以)('x f 在)21,0(a -
上递增，在),21
(+∞-a 递减， 所以)21
ln()21(')('max a
a f x f -=-= 当2
1
-≤a 时，0)('max ≤x f ，所以)(x f 在),0(+∞上递减，只有一个单调区间 当02
1
<<-
a 时，0)('max >x f ， 所以存在)21
,0(1a x -∈，),21(2+∞-∈a
x 使得0)('=x f
从而)(x f 在),0(1x 上递减，在),(21x x 递增，),(2+∞x 上递减，满足题意
所以若)(x f 有三个不同的单调区间，则有02
1
<<-
a . 21、（1）设)0)(,(),,(00000>-x y x D y x A ，则022
1
|)'41(0x x k x x BC ===，
设直线BC 的方程为m x x y +=02
1
，),(),,(2211y x C y x B ，
联立方程组⎪⎩
⎪⎨⎧=+=y x m x x y 42
120得04202
=--m x x x 则01642
0>+=∆m x ，m x x x x x 4,221021-==+
因为04
2242444400021022
2201202102020101=-=-+=+-
++-=+-++-=+x x x x x x x x x x x x x x x y y x x y y k k AC
AB 所以直线AB 与直线AC 的倾斜角互补.
（2）因为AC AB ⊥，所以1,1-==AC AB k k ， 即14020202=-=+-=
x x x x y y k AC ，14
10101-=-=+-=x x x x y y k AB
所以4,40102+=+=x x x x 则|42|2||2||002+=+=x x x AC ，|42|2||2||001-=+=x x x AB ，
所以16|164|||||2
120=-==
x AC AB S 解得220=x ，2=m
所以当16=S 时，直线BC 的方程为22+=
x y .
22、（1）当1=n 时，1113a a T -==，所以2
3
1=a 显然3≠n a ，且3≠n T 当2≥n 时，1
133----==
n n n n n a a T T a ，即131
3--=-n n n a a a
从而
3
1
2
1321
31213121311=-
---=-----n n n n n a a a a a 所以}2131{
--n a 构成以61为首项，3
1
为公比的等比数列 所以
131612131-⋅=--n n a ，则1
32
1++=n n a
（2）由（1）可知1
332+⋅=n n n T ，从而)31
1(2111n n T -=-
一方面因为n
n n a 31
1321>+=
-， 所以n
n n
i i n T n S 11)311(21311-=-=>
-∑=，即n n T n S 11-+> 另一方面因为=-1n a n
n 3
2
132<+=
， 所以)11(23113
12
1n n
n
i i n T n S -=-=<-∑=，即n n T n S 22-+<
所以n
n n T n S T n 2211-+<<-
+.。