几何初步、相交线与平行线、命题类型题举例(原卷版)-简单数学2021年中考一轮复习宝典(全国通用)

4.1几何初步、相交线与平行线、命题核心考点演练类型题举例
类型体系（本专题共42题35页）
考点1：最短路径问题
典例：（2021·陕西宝鸡市·八年级期末）如图，在平面直角坐标系中，点P是正比例函数y＝x图象上的一点，点A的坐标为（0，1），点B的坐标为（4，1），当PB－PA取最大值时，点P的坐标为（）
A．（1，2）B．（－0.5，－0.5）C．＋3，3）D．（－2，－2）
方法或规律点拨
本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，轴对称-最短路线问题，待定系数法求一次函数的解析式，求得P的位置是解题的关键．
巩固练习
1．（2021·河北秦皇岛市·七年级期末）如图所示，从A到B有①②③三条路可以走，每条路长分别为L，M，N，则L，M，N的大小关系是()．
A ．L M N >>
B ．L M N =>
C ．M N L >>
D ．L N M
>>2．（2021·山西运城市·八年级期末）如图所示，ABCD 是长方形地面，长20AB =，宽10AD =，中间整有一堵砖墙高2MN =，一只蚂蚁从A 点爬到C 点，它必须翻过中间那堵墙，则它至少要走（ ）
A ．20
B ．24
C ．25
D ．26
3．（2020·郑州市·河南省实验中学八年级期中）如图是放在地面上的一个长方体盒子，其中AB ＝8cm ，BC ＝4cm ，BF ＝6cm ，点M 在棱AB 上，且AM ＝2cm ，点N 是FG 的中点，一只蚂蚁要沿着长方形盒子的外表面从点M 爬行到点N ，它需要爬行的最短路程为（ ）
A ．10cm
B ．
C ．cm
D ．cm
4．（2021·武汉二中广雅中学九年级期末）如图，在△ABC 中，∠ABC ＝45°，AB ＝AC ＝8，BC ＞6，点E ，F 分别在BC ，AC 边上，且AF ＝CE ，则AE +BF 的最小值为_____．
5．（2020·天津和平区·九年级期中）如图，AB，CD是半径为15的⊙O的两条弦，AB＝24，CD＝18，MN是直径，AB⊥MN于点E，CD⊥MN于点F，P为EF上任意一点，则PA＋PC的最小值为_____．
6．（2021·甘肃酒泉市·八年级期末）如图，台阶A处的蚂蚁要爬到B处搬运食物，它爬的最短距离是
_____．
7．（2021·河南郑州市·八年级期末）如图，圆柱形容器外壁距离下底面3cm的A处有一只蚂蚁，它想吃到正对面外壁距离上底面3cm的B处的米粒，若圆柱的高为12cm，底面周长为24 cm．则蚂蚁爬行的最短距离为_______．
A B C是平面内三点．
8．（2021·浙江杭州市·杭州外国语学校七年级期末）如图，,,
（1）按要求作图：请先用铅笔作图，确认无误后，再用黑色水笔描深．
①作射线BC，过点B作直线l，使,A C两点在直线l两旁；
②过点A作直线l的垂线段，垂足为E；
,．
③点P为直线l上任意一点，点Q为射线BC上任意一点，连结线段AP PQ
（2）在（1）所作图形中，若点A到直线l的距离为2，点A到射线BC的距离为5，点A、B之间的距离
的最小值为__________，依据是___________．
为8，点,A C之间的距离为6，则AP PQ
9．（2021·四川成都市·成都实外八年级期末）如图，在矩形ABCD 中，8BC =，30ABD Ð=°，若点M 、N 分别是线段DB 、AB 上的两个动点，则AM MN +的最小值为________．
11．（2020·浙江八年级期末）已知，如图：在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，四边形OABC 是长方形，点A ､C ､D 的坐标分别为(9,0) A ，(0,4)C ，(5,0)D ，点P 从点O 出发，以每秒1单位长度的速度沿O C B A ®®®运动，点P 的运动时间为t 秒．
（1）当5t =时，P 点坐标为___________；
（2）当4t >时，OP PD +有最小值吗？如果有，请算出该最小值，如果没有，请说明理由；
（3）当t 为何值时，ODP V 是腰长为5的等腰三角形？若存在，直接写出t 的值，若没有，请说明理由．
12．（2021·江苏金湖县·八年级期末）在如图所示的正方形网格中，每个小正方形的边长都是1，△ABC 的顶点都在正方形网格的格点（网格线的交点）上．
（1）请在图中的网格平面内画出平面直角坐标系，使点A 坐标为（4，3），点C 坐标为（﹣1，﹣2）；（2）在（1）的条件下．
①画出△ABC 关于x 轴对称的△A ′B ′C ′；
②点D 是y 轴上的一个动点，连接BD 、DC ，则△BCD 周长的最小值为 ．
考点2：方位角问题
典例：（2021·怀宁县石牌初级中学九年级月考）如图，某风景区有三个景点A ，B ，C ，景点C 在A 的北偏西60°方向、且在B 的北偏西15°方向上，景点B 在A 的正西方向上，160AB =千米，求景点B 到C 的距离（结果保留根号）．
方法或规律点拨
本题考查方位角的概念，以及解直角三角形的实际应用，灵活结合题意构造直角三角形是解题关键．巩固练习
1．（2020·河北九年级其他模拟）如图，下列判断正确的是（ ）．
A ．
B 看B 的仰角是1148¢
°B ．A 看B 的俯角是45°C ．C 看B 的俯角1148¢°D ．B 在C 的南偏西'
7852°2．（2020·河北衡水市·九年级一模）如图所示，海岛B 在海岛A 的方向是（
）．
A．北偏西20°B．北偏西70°
C．南偏东20°D．南偏东70°
3．（2020·河北九年级其他模拟）嘉嘉和淇淇玩一个游戏，他们同时从点B出发，嘉嘉沿正西方向行走，淇淇沿北偏东30°方向行走，一段时间后，嘉嘉恰好在淇淇的南偏西60°方向上．若嘉嘉行走的速度为1m/s，则淇淇行走的速度为（）
A．0.5 m/s B．0.8 m/s C．1 m/s D．1.2 m/s
4．（2020·石家庄市第二十八中学九年级二模）一艘轮船由海平面上A地出发向南偏西40°的方向行驶35海里到达B地，再由B地向北偏西20°的方向行驶相同的距离到达C地，则A、C两地相距（）
A．海里B．C．35海里D．25海里
6．（2020·河北保定市·九年级一模）如图，OA是表示北偏东55°方向的一条射线，则OA的反向延长线OB 表示的是（）
A．北偏西55°方向上的一条射线B．北偏西35°方向上的一条射线
C．南偏西35°方向上的一条射线D．南偏西55°方向上的一条射线
7．（2020·山东日照市·九年级其他模拟）如图，快艇从点A 处向正北方向航行到B 处时，向右转60°航行到C 处，再向左转40°继续航行，此时的航行方向在点C 的（ ）
A ．北偏东20°
B ．北偏西20°
C ．北偏东40°
D ．北偏西40°
8．（2020·河北唐山市·九年级三模）如图，有A ，B ，C 三个地点，且AB ⊥BC ，从A 地测得B 地在A 地的北偏东43°的方向上，那么从B 地测得C 地在B 地的（ ）
A ．南偏西43°
B ．南偏东43°
C ．北偏东47°
D ．北偏西47°
10．（2021·广东茂名市·七年级期末）如图，在灯塔O 处观测到轮船A 位于北偏西55°的方向，同时轮船B 在南偏东15°的方向，那么AOB Ð的大小为（ ）
A ．70°
B ．110°
C ．140°
D ．160°
11．（2021·内蒙古鄂尔多斯市·七年级期末）在灯塔O 处观测到轮船A 位于北偏西55°的方向，同时轮船B 在南偏西6548¢°的方向，那么AOB Ð的大小为__________．
12．（2021·安徽九年级专题练习）如图，轮船从点A 处出发，先航行至位于点A 的南偏西15°且点A 相距100km 的点B 处，再航行至位于点B 的北偏东75°且与点B 相距200km 的点C 处.则点C 与点A 的距离约为
_______________km （精确到1km ）≈1.414）.
考点3：余角和补角
典例：．（2020·浙江杭州市·七年级期末）如图，直线CD 经过AOB Ð的顶点O ，
OE 平分AOB Ð，OF 平分BOD Ð．
（1）若COE Ð＝4DOE Ð，求DOE Ð的度数．
（2）若BOD Ð＝13
AOB Ð，且AOB EOF Ð+Ð=160°，求BOD Ð和EOF Ð的度数．方法或规律点拨
本题主要考查角平分线的定义、补角及角的和差关系，熟练掌握角平分线的定义、补角及角的和差关系是解题的关键．
巩固练习
1．（2021·河北保定市·七年级期末）若1Ð，2Ð互为补角，且12Ð>Ð，则下列表示2Ð的余角的式子中正确的是（ ）①()1122Ð+Ð；②190Ð-°；③()1122Ð-Ð；④()1212
Ð-Ð.A ．①
B ．②
C ．②③
D ．②④
2．（2021·浙江杭州市·杭州外国语学校七年级期末）已知一个锐角的度数为71.52°，则这个角的余角为__________．（结果用度、分、秒来表示）
3．（2020·浙江绍兴市·七年级期中）已知一个角的余角比这个角的补角的一半小25°，那么这个角的度数为________．
4．（2021·湖南株洲市·七年级期末）若35A Ð=°，则A Ð的余角等于______度．
5．（2021·河北保定市·七年级期末）如图，把APB Ð放在量角器上，读得射线PA 、PB 分别经过刻度117
和153，把APB Ð绕点P 逆时针方向旋转到A PB ¢¢Ð，下列三个结论：
①APA BPB ¢¢Ð=Ð；②若射线PA ¢经过刻度27，则B PA ¢Ð与A PB ¢Ð互补；③若12
APB APA ¢¢Ð=
Ð，则射线PA ¢经过刻度45．其中正确的是__________________（填序号）
6．（2023·沙坪坝区·重庆南开中学七年级期中）若角a 的补角等于它的余角的3倍，则角a 等于___________度．
7．（2020·浙江杭州市·七年级期中）列方程，求角度数．
（1）如果1Ð的余角是1Ð的2倍，求1Ð的度数．
（2）如果a Ð的补角是是a Ð的3倍，求a Ð的度数．
8．（2021·河北秦皇岛市·七年级期末）如图，O 是直线AB 上的一点，OC 为任意一条射线，OD 平分∠BOC ，OE 平分∠AOC ．
（1）指出图中∠AOD 的补角
（2）若∠BOC =68°，求∠EOC 的度数
（3）直接写出∠BOD 与∠AOE 的数量关系．
9．（2021·河北石家庄市·七年级期末）已知，如图，O 为直线AB 上一点，∠DOE ＝90°．若∠AOC ＝130°，OD 平分∠AOC ．
（1）求∠BOD 的度数；
（2）通过计算说明OE 是否平分∠BOC ．
10．（2020·浙江七年级期末）如图，射线OB 在钝角AOC Ð的内部，且180,AOB AOC OP Ð+Ð=°分AOB Ð，OQ 平分AOC Ð．
（1）当OB 与OQ 重合时，求AOC Ð得度数；
（2）若100AOC Ð=°，求POQ Ð的度数；
（3）若AOC n Ð=°，求POQ Ð的度数（用含n 的代数式表示）．
考点4：平行线和相交线
典例：（2020·河北张家口市·八年级期中）已知：三角形ABC 和同一平面内的点D ．
（1）如图1，点D 在BC 边上，DE ∥BA 交AC 于E ，DF ∥CA 交AB 于F ．若∠EDF ＝85°，则∠A 的度数为_______°．
（2）如图2，点D 在BC 的延长线上，DF ∥CA ，∠EDF ＝∠A ，证明：DE ∥BA ．
（3）如图3，点D 是三角形ABC 外部的一个动点，过D 作DE ∥BA 交直线AC 于E ，DF ∥CA 交直线AB 于F ，直接写出∠EDF 与∠A 的数量关系（不需证明）．
方法或规律点拨
本题主要考查了平行线的性质以及判定的运用，解题时注意：平行线的判定是由角的数量关系判断两直线的位置关系；平行线的性质是由平行关系来寻找角的数量关系．
巩固练习
1．（2021·浙江杭州市·杭州外国语学校七年级期末）如图，下列条件中，①45Ð=Ð；
②24180Ð+Ð=°；③623Ð=Ð+Ð；④13Ð=Ð，能判断直线 12l l //的有（ ）
A ．1个
B ．2个
C ．3个
D ．4个
2．（2020·广东广州市·七年级期末）如图，AD 平分CAB Ð，//DE AC ,130Ð=°，求2Ð的度数 ．
3．（2020·呼和浩特市·内蒙古农业大学附属小七年级期末）如图，已知直线//AB CD ，100A C Ð=Ð=°，E 、F 在CD 上，且满足DBF ABD Ð=Ð，BE 平分CBF Ð．
（1）直线AD 与BC 有何位置关系？请说明理由．
（2）求DBE Ð的度数．
（3）若平行移动AD ，在平行移动AD 的过程中，存在使BEC ADB Ð=Ð的情况，求ADB Ð的度数．5．（2020·浙江九年级期末）把我们常用的一副三角尺按照如图方式摆放：
90BAO ODC Ð=Ð=°，45B Ð=°，C 30Ð=°．
（1）如图1，两个三角尺的直角边OA 、OD 摆放在同一直线上．求出此图中BOC Ð的度数；
（2）如图2，如果把图1所示的OAB V 以O 为中心顺时针旋转得到OA B ¢¢△，当OB ¢平分COD Ð时，求AOA ¢Ð为多少度；
（3）如图3，两个三角尺的直角边OA 、OD 摆放在同一直线上，另一条直角边OB 、OC 也在同一条直线上，如果把OAB V 以O 为中心顺时针旋转一周，当旋转多少度时，两条斜边//AB CD ，请直接写出答案．
6．（2020·北京海淀区·人大附中七年级期末）已知：如图，∠AOB=α，OC 平分∠AOB ，D 是边OA 上一点，将射线OB 沿OD 平移至射线DE ，交OC 于点F ，E 在F 右侧．M 是射线DA 上一点（与D 不重合），N 是线段DF 上一点（与D ，F 不重合），连接MN ，∠OMN=β．
（1）请在图1中根据题意补全图形；
（2）求∠MNE 的度数（用含α，β的式子表示）；
（3）点G 在线段OF 上（与O ，F 不重合），连接GN 并延长交OA 于点T ，且满足2∠NGO ＋∠OMN=180°，画出符合题意的图形，并探究∠ENM 与∠ENG 的数量关系．。