高三数学(江苏专用,文理通用)大一轮复习(要点导学+自

第40课 等比数列
一、 填空题
1. 在等比数列{a n }中,若a 3=2,a 7=8,则a 5= .
2.已知各项均为正数的等比数列{a n }的前n 项和为S n ,若a 3=18,S 3=26,则数列{a n }的公比q= .
3.在等比数列{a n }中,S n 为其前n 项和,已知a 5=2S 4+3,a 6=2S 5+3,那么此数列的公比q= .
4. 若各项都是正数的等比数列{a n }的公比q ≠1,且a 3,a 5,a 6成等差数列,则
35
46a a a a ++= .
5.已知等比数列{a n }的前n 项和为S n ,若a 2a 8=2a 3a 6,S 5=-62,则a 1= .
6. 若等比数列{a n }的公比q=2,且a 1·a 2·a 3·…·a 30=230,则a 3·a 6·a 9·…·a 30= .
7.若等比数列{a n }的各项均为正数,且a 10a 11+a 9a 12=2e 5,则ln a 1+ln a 2+…+ln a 20= .
8. 已知a n =1n sin 25n π
,S n =a 1+a 2+…+a n ,那么在S 1,S 2,…,S 100中,正数的个数是 .
二、 解答题
9.(2014·福建卷)在等比数列{a n }中,a 2=3,a 5=81. (1)求a n ;
(2)设b n =log 3a n ,求数列{b n }的前n 项和S n .
10.设数列{a n }的前n 项和为S n ,且S n =2a n -3n(n ∈N *
).
(1) 求证:数列{a n +3}为等比数列; (2) 求数列{S n }的前n 项和T n .
11. 已知等比数列{a n }满足|a 2-a 3|=10,a 1a 2a 3=125. (1) 求数列{a n }的通项公式.
(2) 是否存在正整数m,使得11a +21
a +…+1m a ≥1? 若存在,请求出m 的最小值;若不存在,
请说明理由.
第40课等比数列
1. 4 解析:因为a
5=a
3
q2=2q2>0,且
2
5
a
=a
3
a
7
=16,所以a
5
=4.
2.3 解析:设等比数列{a
n }的公比为q,由题意得
2
1
2
111
18,
26,
0,
a q
a a q a q
q
⎧=
⎪
++=
⎨
⎪>
⎩解得q=3.
3.3 解析:由a
5=2S
4
+3,a
6
=2S
5
+3,两式相减得a
6
-a
5
=2a
5
,得a
6
=3a
5
,所以q=3.
4.
5.-2 解析:设等比数列{a
n }的公比为q,由a
2
a
8
=2a
3
a
6
得
2
5
a
=2a
5
a
4
,因为a
5
≠0,所以a
5
=2a
4
,
所以q=2.又因为S
5=-62,所以a
1
(1+2+4+8+16)=-62,解得a
1
=-2.
6. 220
7.50解析:由题意得2a
10a
11
=2e5⇒a10a11=e5,所以ln a1+ln a2+…+ln
a 20=ln(a
1
·a
2
…·a
20
)=ln(a
10
a
11
)10=10ln e5=50.
8. 100 解析:当1≤n≤24时,a
n >0;当26≤n≤49时,a
n
<0,但其绝对值要小于1≤n≤24时
相应的值;当51≤n≤74时,a
n >0;当76≤n≤99时,a
n
<0,但其绝对值要小于51≤n≤74时相
应的值,所以当1≤n≤100时,均有S
n
>0.
9.(1)设等比数列{a
n
}的公比为q,
依题意得
1
4
1
3,
81,
a q
a q
=
⎧
⎨
=
⎩解得
1
1,
3,
a
q
=
⎧
⎨
=
⎩
因此a
n
=3n-1.
(2)因为b
n =log
3
a
n
=n-1,
所以S n =1()
2n n b b +=2-2n n .
10.(1) 令n=1,得a 1=3. 由 S n+1=2a n+1-3(n+1),S n =2a n -3n,
两式相减,得a n+1=2a n +3.即a n+1+3=2(a n +3),13
3n n a a +++=2, 所以数列{a n +3}为公比为2的等比数列. (2) 由(1)知a n +3=(a 1+3)·2n-1=3·2n , 所以 a n =3·2n -3.
所以S n =6(1-2)
1-2n -3n=3·2n+1-3n-6.
所以T n =12(2n -1)-32n 2-15
2n.
11. (1) 由已知得a 2=5,又a 2|q-1|=10,所以q=-1或3, 所以数列{a n }的通项公式为a n =5×3n-2或a n =5×(-1)n-2.
(2) 若q=-1,则11a +21
a +…+1m a =-1
5或0,所以当q=-1时,不存在这样的正整数m;
若q=3,则11a +21a +…+1m a =
911-103m
⎡⎤⎛⎫⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦<910,所以当q=3时,不存在这样的正整数m. 综上,不存在满足题意的m.。