(物理)物理万有引力与航天练习全集及解析

（物理）物理万有引力与航天练习全集及解析
一、高中物理精讲专题测试万有引力与航天
1．如图所示，返回式月球软着陆器在完成了对月球表面的考察任务后，由月球表面回到绕月球做圆周运动的轨道舱．已知月球表面的重力加速度为g ，月球的半径为R ，轨道舱到月球中心的距离为r ，引力常量为G ，不考虑月球的自转．求：
（1）月球的质量M ；
（2）轨道舱绕月飞行的周期T ．
【答案】（1）G
gR M 2
=（2）2r r T R g
π=【解析】
【分析】 月球表面上质量为m 1的物体，根据万有引力等于重力可得月球的质量；轨道舱绕月球做圆周运动，由万有引力等于向心力可得轨道舱绕月飞行的周期；
【详解】
解：(1)设月球表面上质量为m 1的物体，其在月球表面有：112Mm G m g R = 112
Mm G m g R = 月球质量：G
gR M 2
= (2)轨道舱绕月球做圆周运动，设轨道舱的质量为m
由牛顿运动定律得： 22Mm 2πG m r r T ⎛⎫= ⎪⎝⎭
222()Mm G m r r T π= 解得：2r
r T R g
π=
2．如图所示，宇航员站在某质量分布均匀的星球表面一斜坡上P 点沿水平方向以初速度v 0抛出一个小球，测得小球经时间t 落到斜坡上另一点Q ，斜面的倾角为α，已知该星球半径为R ，万有引力常量为G ，求：
(1)该星球表面的重力加速度；
(2)该星球的质量。

【答案】（1）02tan v g t θ= （2）202tan v R Gt
θ 【解析】
【分析】
平抛运动在水平方向上做匀速直线运动，在竖直方向上做自由落体运动，根据平抛运动的规律求出星球表面的重力加速度；根据万有引力等于重力求出星球的质量；
【详解】
(1)根据平抛运动知识可得200
122gt y gt tan x v t v α=== 解得02v tan g t
α= (2)根据万有引力等于重力，则有
2GMm mg R = 解得2202v R tan gR M G Gt
α==
3．一宇航员站在某质量分布均匀的星球表面上沿竖直方向以初速度v 0抛出一个小球，测得小球经时间t 落回抛出点，已知该星球半径为R ，引力常量为G ，求：
(1)该星球表面的重力加速度；
(2)该星球的密度；
(3)该星球的“第一宇宙速度”．
【答案】(1)02v g t =
(2) 032πv RGt ρ= (3)02v R v t = 【解析】
(1) 根据竖直上抛运动规律可知，小球上抛运动时间02v t g =
可得星球表面重力加速度：02v g t
=． (2)星球表面的小球所受重力等于星球对小球的吸引力，则有：2GMm mg R =
得：2
202v R gR M G Gt
== 因为3
43
R V π= 则有：032πv M V RGt
ρ== (3)重力提供向心力，故2
v mg m R
=
该星球的第一宇宙速度v ==【点睛】本题主要抓住在星球表面重力与万有引力相等和万有引力提供圆周运动向心力，掌握竖直上抛运动规律是正确解题的关键．
4．假设在月球上的“玉兔号”探测器，以初速度v 0竖直向上抛出一个小球，经过时间t 小球落回抛出点，已知月球半径为R ，引力常数为G ．
(1)求月球的密度．
(2)若将该小球水平抛出后，小球永不落回月面，则抛出的初速度至少为多大？
【答案】（1）
032v GRt π （2【解析】
【详解】
(1)由匀变速直线运动规律：02gt v =
所以月球表面的重力加速度02v g t
= 由月球表面，万有引力等于重力得
2GMm mg R = G
gR M 2
= 月球的密度03=2v M V GRt
ρπ= (2)由月球表面，万有引力等于重力提供向心力：2
v mg m R
=
可得：v =
5．利用万有引力定律可以测量天体的质量．
（1）测地球的质量
英国物理学家卡文迪许，在实验室里巧妙地利用扭秤装置，比较精确地测量出了引力常量的数值，他把自己的实验说成是“称量地球的质量”．已知地球表面重力加速度为g ，地球半径为R ，引力常量为G ．若忽略地球自转的影响，求地球的质量．
（2）测“双星系统”的总质量
所谓“双星系统”，是指在相互间引力的作用下，绕连线上某点O 做匀速圆周运动的两个星球A 和B ，如图所示．已知A 、B 间距离为L ，A 、B 绕O 点运动的周期均为T ，引力常量为G ，求A 、B 的总质量．
（3）测月球的质量
若忽略其它星球的影响，可以将月球和地球看成“双星系统”．已知月球的公转周期为T 1，月球、地球球心间的距离为L 1．你还可以利用（1）、（2）中提供的信息，求月球的质量．
【答案】（1）2gR G
；（2）2324L GT π；（3）2321214L gR GT G π-． 【解析】
【详解】
（1）设地球的质量为M ，地球表面某物体质量为m ，忽略地球自转的影响，则有 2Mm G mg R =解得：M =2
gR G
； （2）设A 的质量为M 1，A 到O 的距离为r 1，设B 的质量为M 2，B 到O 的距离为r 2， 根据万有引力提供向心力公式得：
2121122()M M G
M r L T π=， 2122222()M M G M r L T
π=， 又因为L =r 1+r 2 解得：23
122
4L M M GT π+=； （3）设月球质量为M 3，由（2）可知，23132
14L M M GT π+= 由（1）可知，M =2
gR G
解得：232
13214L gR M GT G
π=-
6．地球的质量M=5.98×1024kg ，地球半径R=6370km ，引力常量G=6.67×10－11N·m 2/kg 2，一颗绕地做圆周运动的卫星环绕速度为v=2100m/s ，求：
（1）用题中的已知量表示此卫星距地面高度h 的表达式
（2）此高度的数值为多少？（保留3位有效数字）
【答案】（1）2GM h R v
=
-（2）h=8.41×107m 【解析】
试题分析：（1）万有引力提供向心力，则
解得：2GM h R v
=- （2）将（1）中结果代入数据有h=8.41×107m
考点：考查了万有引力定律的应用
7．双星系统一般都远离其他天体，由两颗距离较近的星体组成，在它们之间万有引力的相互作用下，绕中心连线上的某点做周期相同的匀速圆周运动。

如地月系统，忽略其他星体的影响和月球的自转，把月球绕地球的转动近似看做双星系统。

已知月球和地球之间的距离为r ，运行周期为T ，引力常量为G ，求地球和月球的质量之和。

【答案】23
2
4r GT π 【解析】
【分析】
双星靠相互间的万有引力提供向心力，具有相同的角速度．应用牛顿第二定律列方程求解．
【详解】
对地球和月球的双星系统，角速度相同，则：22122Mm G
M r m r r
ωω== 解得：221Gm r r ω=； 222GM r r ω=； 其中2T
πω=，r=r 1+r 2； 三式联立解得：23
2
4r M m GT π+= 【点睛】
解决本题的关键知道双星靠相互间的万有引力提供向心力，具有相同的角速度．以及会用万有引力提供向心力进行求解．
8．双星系统一般都远离其他天体，由两颗距离较近的星体组成，在它们之间万有引力的相互作用下，绕中心连线上的某点做周期相同的匀速圆周运动．已知某双星系统中两颗星之间的距离为 r ，运行周期为 T ，引力常量为 G ，求两颗星的质量之和． 【答案】23
24r GT
π 【解析】
【详解】
对双星系统，角速度相同，则：22122Mm G M r m r r
ωω== 解得：221Gm r r ω=； 222GM r r ω=；
其中2T
πω=，r =r 1+r 2； 三式联立解得：23
2
4r M m GT π+=
9．如图所示，为发射卫星的轨道示意图．先将卫星发射到半径为r 的圆轨道上，卫星做匀速圆周运动．当卫星运动到A 点时，使卫星加速进入椭圆轨道．沿椭圆轨道运动到远地点B 时，再次改变卫星的速度，使卫星入半径为3r 0的圆轨道做匀速圆周运动．已知卫星在椭圆轨道时，距地心的距离与速度的乘积为定值，卫星在椭圆轨道上的A 点时的速度大小为v ，卫星的质量为m ，地球的质量为M ，万有引力常量为G ，则：
(1)卫星在两个圆形轨道上的运行速度分别多大?
(2)卫星在B 点变速时增加了多少动能?
【答案】（10GM r 03GM r （2）2
0618
GMm mv r - 【解析】
【分析】
【详解】
（1）做匀速圆周运动的卫星，所受万有引力提供向心力，得：
2
2Mm v G m r r
=， 当r =r 0时，v 1
， 当r =3r 0时，v 2
， （2）设卫星在椭圆轨道远地点B 的速度为v B ，据题意有：r 0v =3r 0v B 卫星在B 点变速时增加的动能为△E k =
2221122B mv mv -， 联立解得：△E k =2
0618
GMm mv r -
10．假如你乘坐我国自行研制的、代表世界领先水平的神州X 号宇宙飞船，通过长途旅行，目睹了美丽的火星，为了熟悉火星的环境，飞船绕火星做匀速圆周运动，离火星表面的高度为H ，测得飞行n 圈所用的时间为t ，已知火星半径为R ，引力常量为G ，求：
（1）神舟X 号宇宙飞船绕火星的周期T ；
（2）火星表面重力加速度g ．
【答案】（1）t T n = （2）()322224n R H g R t
π+= 【解析】
(1)神舟X 号宇宙飞船绕火星的周期t T n =
(2)根据万有引力定律()()2224Mm
G m R H T
R H π=++， 2
Mm G mg R = 解得()
322224n R H g R t π+=
【点睛】本题考查了万有引力定律的应用，考查了求重力加速度、第一宇宙速度问题，知道万有引力等于重力、万有引力提供向心力是解题的前提与关键，应用万有引力公式与牛顿第二定律可以解题．。