(浙江专用)2020高考数学二轮复习小题分层练(四)

小题分层练(四) 本科闯关练(4)
1．已知集合P ＝{x |x ≥0}，Q ＝⎩⎨⎧⎭
⎬⎫x ⎪⎪⎪x ＋1x －2≥0，则P ∩(∁R Q )＝( ) A ．(－∞，2) B ．(－∞，－1] C ．(－1，0)
D ．[0，2]
2．已知复数z ＝1＋i
i ，其中i 为虚数单位，则|z |＝( )
A.1
2 B.
2
2
C. 2
D ．2
3．已知a ，b ∈R ，条件p ：“a >b ”，条件q ：“2a
>2b
－1”，则p 是q 的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件
D ．既不充分也不必要条件
4．正五角星是一个非常优美的几何图形，且与黄金分割有着密切的联系．在如图所示的正五角星中，以A ，B ，C ，D ，E 为顶点的多边形为正五边形，且PT
AT ＝
5－1
2
.下列关系中正确的是( ) A.BP →－TS →
＝5＋12RS →
B.CQ →＋TP →
＝5＋12TS →
C.ES →－AP →
＝5－12
BQ →
D.AT →＋BQ →
＝5－12
CR →
5．已知sin(x －2 017π)＝13，x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π，3π2，则tan 2x ＝( ) A.2
4 B ．－
24
C.42
7
D ．4 2
6．若正实数x ，y 满足x ＋2y ＋2xy －8＝0，则x ＋2y 的最小值为( ) A ．3 B ．4 C.92
D.112
7．已知等比数列{a n }的公比为q ，则数列{a n ＋a n ＋1}( ) A ．一定是等比数列
B ．可能是等比数列，也可能是等差数列
C ．一定是等差数列
D ．一定不是等比数列
8．已知函数f (x )＝x －4＋
9
x ＋1
，x ∈(0，4)，当x ＝a 时，f (x )取得最小值b ，则在直角坐标系中，函数g (x )＝⎝ ⎛⎭
⎪⎫1a |x ＋b |
的图象可能是( )
9.如图，已知三棱锥D ­ABC ，记二面角C ­AB ­D 的平面角是θ，直线
DA 与平面ABC 所成的角是θ1，直线DA 与BC 所成的角是θ2，则( )
A ．θ≥θ1
B ．θ≤θ1
C ．θ≥θ2
D ．θ≤θ2
10．定义两种运算：a ⊕b ＝a 2－b 2，a ⊗b ＝（a －b ）2，则函数f (x )＝2⊕x
（x ⊗2）－2为( )
A ．奇函数
B ．偶函数
C ．奇函数且为偶函数
D ．非奇函数且非偶函数
11．已知2a
＝3，则8a
＝________，log 26－a ＝________．
12．△ABC 中，∠BAC ＝2π3
，AB ＝2，AC ＝1，DC →＝2BD →，则AD →·BC →
＝________．
13．已知x ，y 满足⎩⎪⎨⎪
⎧x ＋2y ≥0x －y ≤00≤y ≤m
，若z ＝x ＋y 的最大值为6，则m ＝________；z 1＝2x ＋y
的最小值为________．
14．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是________，表面积是________．
15．已知椭圆x 24＋y 2
b
2＝1(0＜b ＜2)与y 轴交于A ，B 两点，点F 为该椭圆的一个焦点，则
△ABF 面积的最大值为________．
16．袋中有大小相同的3个红球，2个白球，1个黑球．若不放回摸球，每次取1球，摸取3次，则恰有两次是红球的概率为________；若有放回摸球，每次取1球，摸取3次，则摸到红球次数的期望为________．
17．已知数列{a n }共16项，且a 1＝1，a 8＝4.记关于x 的函数f n (x )＝1
3
x 3－a n x 2＋(a 2n －1)x ，
n ∈N *.若x ＝a n ＋1(1≤n ≤15)是函数f n (x )的极值点，且曲线y ＝f 8(x )在点(a 16，f 8(a 16))处的切
线的斜率为15，则满足条件的数列{a n }的个数为________．
小题分层练(四)
1．解析：选D.由题意可知Q ＝{x |x ≤－1或x ＞2}，则∁R Q ＝{x |－1＜x ≤2}，所以P ∩(∁R Q )＝{x |0≤x ≤2}．故选D.
2．C
3．解析：选A.由条件p ：“a >b ”，再根据函数y ＝2x 是增函数，可得2a >2b ，所以2a >2b
－1，故条件q ：“2a >2b
－1”成立，故充分性成立．
但由条件q ：“2a
>2b
－1”成立，不能推出条件p ：“a >b ”成立，例如由20
>20
－1成立，不能推出0>0，故必要性不成立．
故p 是q 的充分不必要条件，故选A.
4．解析：选A.由题意，知BP →－TS →＝TE →－TS →＝SE →，RS SE ＝PT AT ＝5－12，所以SE →＝5＋12RS →，
故A 正确；CQ →＋TP →＝PA →－PT →＝TA →＝5＋12ST →，故B 错误；ES →－AP →＝RC →－QC →＝RQ →
＝5－12QB →，故
C 错误；因为AT →＋BQ →＝S
D →＋RD →，5－12CR →＝RS →＝RD →－SD →，若AT →＋BQ →＝5－12CR →成立，则SD →
＝0，
不合题意，故D 错误．故选A.
5．解析：选C.因为sin(x －2 017π)＝13，所以sin x ＝－13，又x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π，3π2，所以cos
x ＝－
223，所以tan x ＝24，所以tan 2x ＝2×
24
1－⎝ ⎛⎭
⎪⎫242＝42
7
. 6．解析：选B.因为正实数x ，y 满足x ＋2y ＋2xy －8＝0，所以x ＋2y ＋⎝ ⎛⎭
⎪
⎫x ＋2y 22
－8≥0，
设x ＋2y ＝t ＞0，所以t ＋14t 2－8≥0，所以t 2
＋4t －32≥0，即(t ＋8)(t －4)≥0，所以t ≥4，
故x ＋2y 的最小值为4.
7．解析：选B.由题意知a n ＝a 1q n －1
，a n ＋1＝a 1q n ，a n ＋a n ＋1＝a 1q
n －1
＋a 1q n ＝a 1q n (1
q
＋1)，a n ＋1
＋a n ＋2＝a 1q n
＋a 1q
n ＋1
＝a 1q n
(1＋q )．当q ＝－1时，数列{a n ＋a n ＋1}为一个各项均为0的常数列，
是一个等差数列；当q ≠－1时，
a n ＋1＋a n ＋2a n ＋a n ＋1＝1＋q
1
q
＋1＝q ，所以数列{a n ＋a n ＋1}是等比数列．综上
可知，数列{a n ＋a n ＋1}既可能是等差数列，也可能是等比数列．
8．解析：选B.f (x )＝x －4＋
9x ＋1＝x ＋1＋9x ＋1－5≥29－5＝1，当且仅当x ＋1＝9x ＋1
，即x ＝2时等号成立，所以a ＝2，b ＝1，则g (x )＝⎝ ⎛⎭
⎪⎫12|x ＋1|.g (x )的图象可以看作是y ＝⎝ ⎛⎭
⎪
⎫12|x |的图象向左平移一个单位长度得到的，选项B 符合要求．
9．A
10．解析：选 A.由a ⊕b ＝ a 2－b 2和a ⊗b ＝（a －b ）2
得f (x )＝2⊕x
（x ⊗2）－2
＝
4－x
2
（x －2）2
－2＝4－x 2
|x －2|－2，其定义域为[－2，0)∪(0，2]，所以f (x )＝4－x 2
（2－x ）－2＝－4－x
2
x
，所以f (x )是奇函数．
11．解析：根据指数运算法则，8a
＝(23)a
＝(2a )3＝33
＝27；根据对数定义，a ＝log 23，所以log 26－a ＝log 26－log 23＝log 2(6÷3)＝log 22＝1.
答案：27 1
12．解析：由DC →＝2BD →得AD →＝13
(AC →＋2AB →
)．
所以AD →·BC →＝13(AC →＋2AB →)·(AC →－AB →)＝13(AC →2＋AC →·AB →－2AB →2
)
＝13⎣⎢⎡⎦⎥⎤12＋1×2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12－2×22＝－83.
答案：－83
13．解析：
作出不等式组表示的平面区域，由图可知当直线z ＝x ＋y 过点A (m ，m )时，z 取到最大值6，故m ＝3；当直线z 1＝2x ＋y 过点B (－6，3)时，z 1取到最小值－9.
答案：3 －9
14．解析：容易看出该几何体为四棱锥，其体积为V ＝13×1
2×(4＋2)×2×2＝4，表面积
为S ＝1
2
×[2×2＋4×2＋(4＋2)×2＋2×22＋22·23]＝12＋26＋2 2.
答案：4 12＋26＋2 2
15．解析：不妨设点F 的坐标为(4－b 2，0)，而|AB |＝2b ，所以S △ABF ＝12
×2b ×4－b 2
＝
b 4－b 2＝b 2（4－b 2
）≤
b 2＋4－b 2
2
＝2(当且仅当b 2＝4－b 2，即b 2
＝2时取等号)，故△ABF 面
积的最大值为2.
答案：2
16．解析：P ＝C 23·C 1
3C 36＝920；记摸到红球次数为X ，则X ～B ⎝ ⎛⎭
⎪⎫3，12，所以E (X )＝3×12＝32. 答案：920 3
2
17．解析：f ′n (x )＝x 2
－2a n x ＋a 2
n －1＝[x －(a n ＋1)][x －(a n －1)]．令f ′n (x )＝0，得x ＝a n ＋1或x ＝a n －1，所以a n ＋1＝a n ＋1或a n －1＝a n ＋1(1≤n ≤15)，所以|a n ＋1－a n |＝1(1≤n ≤15)，又f ′8(x )＝x 2
－8x ＋15，所以a 2
16－8a 16＋15＝15，解得a 16＝0或a 16＝8.
当a 16＝0时，a 8－a 1＝(a 2－a 1)＋(a 3－a 2)＋…＋(a 8－a 7)＝3， 得a i ＋1－a i (1≤i ≤7，i ∈N *)的值有2个为－1，5个为1； 由a 16－a 8＝(a 9－a 8)＋(a 10－a 9)＋…＋(a 16－a 15)＝－4， 得a i ＋1－a i (8≤i ≤15，i ∈N *)的值有6个为－1，2个为1. 所以此时数列{a n }的个数为C 27C 28＝588，
同理可得当a 16＝8时，数列{a n }的个数为C 27C 2
8＝588. 综上，数列{a n }的个数为2C 27C 2
8＝1 176. 答案：1 176。