经济数学极值的经济应用

所以利润最大时 0 Q 3, Q 3 , 的产出水平是 Q 3. Q 3.
三. 利润最大
续解 案例3
R ( Q ) 40 Q 4 Q 2, C ( Q ) 2 Q 2 4 Q 10 ,
求利润最大时的产量、产品的价格和利润.
(Q ) 6 Q 2 36 Q 10 , 所以利润最大时的产出水平是 Q 3 .
§3.4 极值的经济应用
§3.4 极值的经济应用
一. 收益最大 二.平均成本最低 三.利润最大 四.存货总费用最少
ESC
一. 收益最大
案例1 (合理定价,以使收益最大)经市场调研,金牛牌内衣 在某地区每周的需求 Q (单位:件)与其价格 p (单位: 元/件)之间具有如下关系: Q 1600 40 p ,
最多可多销售2500件．
ESC
一. 收益最大
续解 设因降价可多销售 Q 件衬衣,则销售的总件数为1000 Q . Q 例2 p 50 2 50 0 . 02 Q (元), 100 这时,总收益函数为售价与销售件数的乘积,即
R R ( Q ) p ( 1000 Q ) ( 50 0 . 02 Q )( 1000 Q )
一. 收益最大
案例1 续解案例1 (合理定价,以使收益最大)
R p Q ( 40 1 Q ) Q 40 Q 1 Q 2, 40 40
因
0 Q 800 , 0, d R 40 2 Q 0 , Q 800 , dQ 40 0 , 800 Q 1600 .

( x )

0 , 0,
30 x 60 , 60 x 75 .
所以,当 x 60 人时,利润函数取最大值.即每团60人时,旅行 社可获得最大利润.最大利润为
( 60 ) ( 1200 x 10 x 2 15000 ) x 60 21000 (元).
0 , 0 Q 9 . 798 , Q 9 . 798 , 0, 0, Q 9 . 798 .
故当 Q 9 . 798 (万台)时,平均成本函数有最小值.即产量为 97980台时,平均成本最低. 这时,每台彩电的最低平均成本为 AC Q ( 0 . 4 Q 3 . 8 38 . 4 ) Q 9 . 798 9 . 798 Q
由总收益函数可得价格函数 R ( Q ) 40 Q 4 Q 2 p 40 4 Q , Q Q 利润最大时的价格
p Q 3 40 4 3 28 .
这时的最大利润为

6 3 2 36 3 10 44 . Q 3
ESC
三. 利润最大
利润最大化原则
Q ( 0 , ).
ESC
二. 平均成本最低
案例2 续解案例2 (以价格优势抢占市场份额,平均成本最低) 本案例是以平均成本函数为目标函数. C (Q ) AC 0 . 4 Q 3 . 8 38 . 4 , Q ( 0 , ). Q Q
因
d ( AQ ) 0 . 4 38 .24 dQ Q
ESC
四. 存货总费用最少
案例4
(成批到货,一致需求,不许缺货的库存模型 ) 指工厂生产的 每批产品,先整 批存入仓库.
Q (库存水平)
最高库存水平
成批 到货
指市场对这种产 一致 品的需求在单位 需求 时间内数量相同, 因而产品由仓库 均匀提取投放市 场. o t 指当前一批产品 不许 缺货 由仓库提取完后, 下一批产品立即 一个计 划期内 进入仓库.
11 . 64 (百万元/万台 ) 1164 (元/台 ).
ESC
三. 利润最大
案例3 (经营者的目的是为了追求最大利润一—利润最大 化原则) 设厂商的总收益函数和总成本函数分别为
R ( Q ) 40 Q 4 Q 2, C ( Q ) 2 Q 2 4 Q 10 ,
求利润最大时的产量、产品的价格和利润. 解案例3 本案例是以利润函数为目标函数.利润函数为
p 50 0 . 02 750 35 (元/件),
最大销售额为
R 35 ( 1000 750 ) 61250 (元).
ESC
二. 平均成本最低
案例2 (以价格优势抢占市场份额,平均成本最低) 川红彩 电为了在市场竞争中,以价格优势抢占市场份额,在 集团内实施“以平均成本最低为目标”的经营策略. 根据以往的统计资料,生产总成本 C (单位:百万元)是 月产量 Q (单位:万台)的函数
( Q ) R ( Q ) C ( Q ),
若当产量 Q Q0 时利润最大,由极值存在的必要条件,必有
因利润函数
( Q0) R ( Q0) C ( Q0) 0 ,
即
பைடு நூலகம்
R ( Q 0) C ( Q 0).
上式表明,利润最大时,边际收益等于边际成本,这称为利 润最大化原则.
(5)存货总费用是生产准备费与库存费之和,记作 E . 我们的问题是:如何决策每批的生产数量,即批量 Q ,以使存 货总费用 E 取最小值．
ESC
四. 存货总费用最少
续解 案例4
(成批到货,一致需求,不许缺货的库存模型 ) 先建立目标函数——存货总费用 E的函数表达式 依假设,在一个计划期内
Q , 2 C1 D , 生产准备费 = 每批生产准备费 生产批数= Q
平均库存水平
t
t
T (时间)
ESC
四. 存货总费用最少
案例4 (成批到货,一致需求,不许缺货的库存模型 ) (1) 工厂生产总量为 D ; (2)分批投产,每次投产数量,即批量为 Q ;
假设 前提
(3)每批生产准备费为 C 1;
Q (4)每件产品的库存费为 C 2 ,且按批量的一半,即 收取库存费; 2
900 x 15000 , 900 x 10 ( x 30 ) x 15000 ,
2
1 x 30 , 30 x 75 .
ESC
三. 利润最大
续解 这是求利润最大,目标函数是利润函数.依题设,对旅行社 例3 而言,机票收入是收益,付给航空公司的包机费是成本. 900 , 1 x 30 , ( x ) 1200 20 x , 30 x 75 . 显然,应由 1200 20 x 0 得 x 60 . 又
试确定商品的价格 p 、需求Q ,以使收益最大,并求最大收益. 解案例1 要确定商品的价格 p、需求 Q 的值,以使收益最大,所 以目标函数应是总收益函数. 由于总收益 R 为价格 p与销售量 Q (需求量)的乘积,而由需求 Q 与其价格 p 之间的关系,得 于是
p 40 1 Q . 40 R p Q ( 40 1 Q ) Q 40 Q 1 Q 2, 40 40 ESC Q ( 0 , 1600 ).
故Q 800 (件)时, 总收益最大.
这时,每件内衣的售价为 最大收益为
p 40 1 800 20 (元/件), 40 R 20 800 16000 (元).
ESC
一. 收益最大
例1
(“薄利多销”，以使收益最大) 天力牌衬衣,若定价为每件 50元,一周可售出1000件,市场调查显示,若每件售价每降低2元, 一周的销售量可增加100件.问每件售价定为多少元时,能使商 家的销售额最大,最大销售额是多少？ 解 销售额最大,就是收益最大.所以目标函数是总收益函数.
C C ( Q ) 0 . 4 Q 2 3 . 8 Q 38 . 4 .
问:月产量应为多少台,才能实现平均成本最低的目标?这时,每 台彩电的平均成本为多少元? 解案例2 本案例是以平均成本函数为目标函数. 由总成本函数得平均成本函数
C (Q ) AC 0 . 4 Q 3 . 8 38 . 4 , Q Q
边际 收益
=
边际 成本
ESC
三. 利润最大
边际收益 边际成本
R,C
C C (Q) R R(Q)
(Q)
总利润 最大
o

Q1 Q2
Q0
Q3
Q
R(Q) C(Q) Q o 1
ESC
(Q)
Q2
Q0 Q3
Q
三. 利润最大
区旅行团.若每团人数不超过30人,飞机票每张收费900元;若每 团人数多于30人,则给予优惠,每多1人,机票每张减少10元,直 至每张机票降到450元为止.每团乘飞机,旅行社需付给航空公 司包机费15000元.问每团人数为多少时,旅行社可获得最大利 润?最大利润为多少? 解 这是求利润最大,目标函数是利润函数.依题设,对旅行社而 言,机票收入是收益,付给航空公司的包机费是成本. 900 450 45 , 设以x 表示每团人数, p 表示飞机票的价格.因 10 所以每团人数最多为30+45=75人.所以飞机票的价格
(Q ) R (Q ) C (Q )
40 Q 4 Q 2 ( 2 Q 2 4 Q 10 )
ESC
6 Q 2 36 Q 10 ,
Q ( 0 , 10 ).
由于
0, d 12 Q 36 0, dQ 0,
库存费 = 每件产品的库存费批量的一半= C 2
于是,存货总费用 E 与批量Q 的函数关系为
Q E E ( Q ) C 2 C1 D , 2 Q
Q ( 0 ， D ].
实际上,上式中的 Q 取区间( 0 ， D ] 中 D 的整数因子.
ESC
四. 存货总费用最少
根据极值存在的必要条件,有
设因降价可多销售 Q 件衬衣,则销售的总件数为1000 Q . 依题设,每件衬衣售价每降低2元,销售可增加100件,现因降价 多销售了Q 件衬衣,故每件衬衣应降价 2 Q 元,从而,每件衬衣的 售价 p 应为原售价减去每件衬衣应降低的价格,即
100
Q p 50 2 50 0 . 02 Q (元), 100 由上式,当 p 0时, Q 2500 , 即因降价
p

900 , 900 10 ( x 30 ),
1 x 30 , 30 x 75 .
旅行社的利润函数为
( x ) xp 15000

因
900 x 15000 , 1 x 30 , 1200 x 10 x 15000 , 30 x 75 . 900 , , 1200 20 x , 130 x x 30 75 . ( x )
E ( Q ) C2 DC 1 0, 2 2 Q
E E (Q ) C 2
或
C 2Q 2
Q C1 D , 2 Q 2 DC 1.
由上式解得
Q0
“经济批量” 2 DC 1 . (只取正值) 公式 C2
DC 1 DC 1 C 2 , 则 E ( Q ) 0 ; 又,当 Q Q0 时, Q 2 2 2 Q0 Q Q0 时, DC 1 DC21 C 2 , 则 E ( Q ) 0 , 当 2 Q2 Q
50000 30 Q 0 . 02 Q 2, Q ( 0 , 2500 ).
因
0 Q 750 , 0, d R 30 0 . 04 Q 0 , Q 750 , dQ 0, 750 Q 2500 . 故 Q 750 (件)时,销售额最大. 这时,每件衬衣的售价为
例3 (确定组团人数,以使旅行社利润最大)某旅行社举办风景
p
900 900 ,10 ( x 30 ),
1 x 30 , 30 x 75 .
ESC
( x 取正整数 )
三. 利润最大
续解
例3
这是求利润最大,目标函数是利润函数.依题设,对旅行社 而言,机票收入是收益,付给航空公司的包机费是成本.